2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷(二)(4月份)(有答案解析)

11.答案：9
解析：【分析】 本题考查了向量平行的条件和基本不等式的应用，属于基础题．
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先根据向量平行得到 + =1，再利用基本不等式即可求出最值． 【解答】 解：因为 ∥ ， 所以 4x+（1-x）y=0， 又 x＞0，y＞0， 所以 + =1，
故 x+y=（ + ）（x+y）=5+ + ≥9．
5.答案：[e2，+∞）
解析：解：要使 f（x）有意义，则：lnx-2≥0； ∴x≥e2； ∴f（x）的定义域为：[e2，+∞）． 故答案为：[e2，+∞）． 可以看出，要使得函数 f（x）有意义，则需满足 lnx-2≥0，解出 x 的范围即可．
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考查函数定义域的概念及求法，对数函数的单调性，增函数的定义．
3. 已知双曲线 C：x2-y2=1，则点（4，0）到 C 的渐近线的距离为______．
4. 设命题 p：x＞4；命题 q：x2-5x+4≥0，那么 p 是 q 的______条件（选填“充分不必
要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．
5. 函数 f（x）=
的定义域为______．
2.答案：±3
解析：解：∵z=a+3i，∴z2=（a+3i）2=（a2-9）+6ai，
由 z2 是纯虚数，得
，解得：a=±3．
故答案为：±3． 由已知求得 z2，再由实部为 0 且虚部不为 0 列式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.答案：2
解析：解：双曲线 C：x2-y2=1 的渐近线方程为 x±y=0，
②若 m⊥α，m∥β，则 α⊥β；
③若 m∥α，m∥n，则 n∥α；
④若 m⊥α，α∥β，则 m⊥β．
其中的正确命题序号是______．
11. 设 x＞0，y＞0，向量 =（1-x，4）， =（x，-y），若 ∥ ，则 x+y 的最小值为______．
12. 已知函数 f（x）=ex-e-x-2x，则不等式 f（x2-4）+f（3x）＞0 的解集为______．
6. 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若
，则
A=______． 7. 设等差数列{an}的公差为 d，其前 n 项和为 Sn，若 a4+a10=0，2S12=S2+10，则 d 的值
为______． 8. 如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，则四棱
17. 已知椭圆
的左右焦点坐标为
，且椭
圆 E 经过点
．
（1）求椭圆 E 的标准方程； （2）设点 M 是椭圆 E 上位于第一象限内的动点，A，B 分别为椭圆 E 的左顶点和 下顶点，直线 MB 与 x 轴交于点 C，直线 MA 与 y 轴交于点 D，求四边形 ABCD 的 面积．
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20. 已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 的前 n 项和为 Tn，且
，且 a3=a2+2，a2•a4=16．数列{bn} ．
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（1）求数列{an}的通项公式及其前 n 项和 Sn； （2）证明数列{bn}为等差数列，并求出{bn}的通项公式；
（3）设数列
，问是否存在正整数 m，n，l（m＜n＜l），使得
2020 年江苏省南通市高考数学模拟试卷（二）（4 月份）
一、填空题（本大题共 14 小题，共 70.0 分）
1. 已知集合 A={1，3，5}，B={2，3}，则集合 A∪B 中的元素个数为______．
2. 已知复数 z=a+3i（i 为虚数单位），若 z2 是纯虚数，则实数 a 的值为______．
解得 sinx=0 或 1- =0，
∴sinx=0 或 cosx= ．
又 x∈[0，π]， ∴其中两点坐标分别为 A(0，0)，B(π，0)，
由
，得
，则点
，
∴△ABC 的面积为
，
故答案为 .
10.答案：②④
解析：解：由 m，n 为空间两条不同的直线，α，β 为空间两个不同的平面，知： 在①中，若 m∥α，m∥β，则 α 与 β 相交或平行，故①错误； 在②中，若 m⊥α，m∥β，则由面面垂直的判断定理得 α⊥β，故②正确； 在③中，若 m∥α，m∥n，则 n∥α 或 n⊂α，故③错误； 在④中，若 m⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得 m⊥β，故④正确． 故答案为：②④． 在①中，α 与 β 相交或平行；在②中，由面面垂直的判断定理得 α⊥β；在③中，n∥α 或 n⊂α；在④中，由线面垂直的判定定理得 m⊥β． 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考 查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
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24. 已知抛物线 C：y2=2px 经过点 P（1，2），过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C 有 两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N． （Ⅰ）求直线 l 的斜率的取值范围； （Ⅱ）设 O 为原点， =λ ， =μ ，求证： + 为定值．
点（4，0）到 C 的渐近线的距离为 d= =2 ．
故答案为：2 ． 求得双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得所求值． 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基 础题．
4.答案：充分不必要
解析：【分析】 本题考查的知识点是充分必要条件的判定，不等式的解法，难度中档． 求解不等式，进而根据充要条件的定义，可得答案． 【解答】 解：命题 q：x2-5x+4≥0⇔x≤1，或 x≥4， x＞4 成立，则 x≤1，或 x≥4，一定成立， 反过来 x≤1，或 x≥4 成立，则 x＞4 不一定成立， 故 p 是 q 的充分不必要条件， 故答案为充分不必要.
当 = ， + =1 同时成立，即 x=3，y=6 时，等号成立． 故（x+y）min=9． 故答案为 9．
12.答案：{x|x＞1 或 x＜-4}
解析：【分析】 本题考查函数的单调性与奇偶性的判断以及应用，注意利用导数分析函数 f（x）的单调 性，属于基础题． 【解答】 解：根据题意，函数 f（x）=ex-e-x-2x， 有 f（-x）=e-x-ex-2（-x）=-（ex-e-x-2x）=-f（x），则函数 f（x）为奇函数， 又由 f′（x）=ex+e-x-2=ex+ -2≥0，即函数 f（x）在 R 上为增函数， 则 f（x2-4）+f（3x）＞0⇒f（x2-4）＞-f（3x）⇒f（x2-4）＞f（-3x）⇒x2-4＞-3x， 即 x2+3x-4＞0， 解可得：x＞1 或 x＜-4， 故答案为{x|x＞1 或 x＜-4}．
（t 为参数）．设
直线 l 与 x 轴的交点是 M，N 是曲线 C 上一动点，求 MN 的最大值．
23. 某市有 A，B，C，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览 A 的概率为
，游览 B、C 和 D 的概率都是 ，且该游客是否游览这四个景点相互独立．
（1）求该游客至多游览一个景点的概率； （2）用随机变量 X 表示该游客游览的景点的个数，求 X 的概率分布和数学期望 E （X）．
可得
，解得 d=-10，
故答案：-10
8.答案：
解析：【分析】 本题考查几何体体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．求出四棱锥的底面面积 与高，然后求解四棱锥的体积． 【解答】 解：由题意可知四棱锥 A1-BB1D1D 的底面是矩形，边长分别为 1 和 ，
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四棱锥的高： A1C1= , 则四棱锥 A1-BB1D1D 的体积为： 故答案为： ．
18. 某海警基地码头 O 的正西方向 30 海里处有海礁界碑 A，过点 A 且与 AO 成 60°角（即 北偏东 30°）的直线 l 为此处的一段领海与公海的分界线（如图所示）．在码头 O 的正西方向且距离 O 点 12 海里的领海海面 P 处有一艘可疑船停留，基地指挥部决 定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从 O 处即刻出发．若巡逻艇以可疑船的 航速的 λ 倍（λ＞1）前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航 速，将在点 Q 处截获可疑船． （1）若可疑船的航速为 10 海里/小时，λ=2，且可疑船沿北偏西 30°的方向朝公海 逃跑，求巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间． （2）若要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，求 λ 的最小值．
13.答案：（1，2]
解析：【分析】 本题考查函数零点的判定，考查数形结合的解题思想方法，是中档题. 把函数 g（x）=f（x）-a 有三个不同的零点，转化为方程 f（x）-a=0 有三个不同的实数 根，作出 y=f（x）与 y=a 的图象，数形结合得答案． 【解答】 解：函数 g（x）=f（x）-a 有三个不同的零点，即方程 f（x）-a=0 有三个不同的实数根， 作出 y=f（x）与 y=a 的图象如图：
9.答案： π
=．
解析：【分析】 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查学生的计算能力和推理能力，属于 中档题．
根据题意，令 sinx= tanx，结合 x∈[0，π]求出 x 的值，得出三个点 A，B，C 的坐标，即
可计算△的面积． 【解答】
解：根据题意，令 sinx= tanx，则 sinx（1- ）=0，
锥 A1-BB1D1D 的体积为______．
9. 已知函数 f（x）=sinx（x∈[0，π]）和函数 g（x）= tanx 的图象相交于 A，B，C 三
点，则△ABC 的面积为______．
10. 设 m，n 为空间两条不同的直线，α，β 为空间两个不同的平面，给出下列命题：