奥林匹克数学竞赛因式分解

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因式分解(竞赛题)含问题详解

因式分解运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．※※变式练习1分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例3 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．※※变式练习1分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例4 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例5 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．※※变式练习1.分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如an x n+an-1x n-1+…+a1x+a(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x) 要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．※※变式练习1. 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例3 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．※※变式练习1.分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．四、巩固练习：1. 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．五、真题精解：1）已知多项式ax3+bx2+cx+d除以x-1时的余数是1，除以x-2时的余数是3，那么，它除以(x-1)(x-2)时所得的余数是什么？（第12届“希望杯”试题）解：设原式=(x-1)(x-2)(ax+k)+(mx+n)，当x=1时，原式=1，即m+n=1；当x=2时，原式=3，即2m+n=3，解此关于m、n的方程组得m=2,n=-1，故原式除以(x-1)(x-2)时的余数为x-12）k为何值时，多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）解：原式中不含y的项为x2+3x+2可分解为 (x+1)(x+2)，故可设原式=[(x+1)+ay][(x+2)+by]，将其展开得：x2+(a+b)xy+aby2+3x+(2a+b)y+2，与原式对比系数得：a+b=-2, ab=k, 2a+b=-5，解之得a=-3,b=1,k=-3 3）如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，求a+b的值。

奥林匹克数学题型高级因式分解技巧

奥林匹克数学题型高级因式分解技巧数学是一门精密的学科，它需要我们掌握各种解题技巧和方法。

在奥林匹克数学竞赛中，因式分解是一种常见的题型。

而在高级因式分解题目中，我们需要掌握更多的技巧和方法来解题。

本文将介绍一些高级因式分解的技巧，帮助读者更好地应对奥林匹克数学题目。

一、整式的因式分解在奥林匹克数学竞赛题目中，有许多要求我们对整式进行因式分解的题目。

对于这类题目，我们需要掌握一些基本的技巧。

1.1 通用的因式分解公式对于形如$ab+ac+ad+...$的整式，可以使用因式分解的公式进行处理。

这个公式是：$a(b+c+d+...)$其中，$a$是整式中的一个公因式，$b$、$c$、$d$等是整式中的多项式。

使用这个公式，我们可以快速地将整式进行因式分解。

例如，对于整式$2xy+2xz+2yz$，我们可以提取公因式2，得到$2(x+y+z)$。

这样，整式就被因式分解为$2(x+y+z)$。

1.2 利用特殊的因式分解公式在奥林匹克数学竞赛中，有一些特殊的因式分解公式可以帮助我们处理题目。

下面是其中两个常用的公式：(1) 差平方公式差平方公式是$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$。

利用差平方公式，我们可以将某些整式进行因式分解。

例如，对于整式$x^2-4$，可以使用差平方公式进行因式分解，得到$(x-2)(x+2)$。

(2) 完全平方公式完全平方公式是$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。

利用完全平方公式，我们可以将某些整式进行因式分解。

例如，对于整式$x^2+6x+9$，可以使用完全平方公式进行因式分解，得到$(x+3)^2$。

通过掌握和灵活运用这些因式分解公式，我们可以更高效地解答奥林匹克数学竞赛中的因式分解题目。

二、多项式的因式分解在奥林匹克数学竞赛中，我们还会遇到一些要求对多项式进行因式分解的题目。

对于这类题目，我们需要掌握一些高级的因式分解技巧和方法。

2.1 提取公因式和消元法对于形如$ax^3+bx^2+cx+d$的多项式，我们可以尝试提取公因式的方法进行因式分解。

因式分解(奥赛)

因式分解(奥赛)因式分解【奥赛花絮】最早的数学竞赛匈牙利是举办中学数学竞赛最早的国家，自1894年匈牙利物理数学学会通过了关于举行中学生奥林匹克数学竞赛的决议起，每年十月举行这种竞赛。

仅仅由于两次世界大战和1956年的匈牙利时件间断过7年。

2003年举行的是第103届匈牙利数学竞赛。

【奥赛赛点】将一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。

因式分解是一种重要的恒等变形，在数学中有广泛的应用。

因式分解的方法比较多，除了课本介绍的提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法外，我们还要掌握换元法,主元法,配方法, 待定系数法等。

【解题思路与技巧】1．换元法.在解题的过程中，我们常把某个比较复杂的代数式看成一个整体，将它用一个字母来代替，从而简化这个代数式的结构，这种方法就是换元法.在因式分解中用换元法，又可细分为整体代换（如例1，例2），对称代换（如例3），倒数代换（如例4），平均代换（如例5）等.2．主元法在分解一个含有多个字母的多项式时，我们常选择一个字母作为主要元素，将其他字母看作常数，然后将多项式按选定的字母降幂排列，这种方法叫做主元法。

用主元法往往可以得到恰当的分组，从而找出公因式来，如例6。

3．配方法通过添项，拆项利用公式将一个多项式配成一个完全平方，是一种常用的恒等变形技巧，以便利用公式来分解因式，如例7，例8。

4．待定系数法在解决有关多项式时，可先假定问题的结果已经求出，其中含有未知系数，然后根据多项式恒等的定义或性质，列出含有这些未知数的方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知系数的值，从而解决问题的方法，如例9，例10。

【典型示例】例1 (1994年第6届“五羊杯”数学竞赛试题)在有理数范围内分解因式：（1）16(6x-1)(2x-1)(3x+1)(x-1)+25= .（2）(6x-1)(2x-1)(3x-1)(x-1)+x2= .（3）(6x-1)(4x-1)(3x-1)(x-1)+9x4= .[解] （1）原式=(6x-1)(4x-2)(6x+2)(4x+4)+25=(24x2-16x+2) (24x2-16x-8)+25设24x2-16x+2=t, 原式=t(t-10)+25=(t-5)2=(24x2-16x-3)2（2）原式=(6x-1) (x-1) (2x-1)(3x-1) +x 2=(6x 2-7x+1)(6x 2-5x+1) +x 2设6x 2-7x+1=t, 原式=t(t-2x) +x 2=(t-x)2=(6x 2-6x+1)2（3）原式=(6x-1) (x-1) (4x-1)(3x-1) +9x 4=(6x 2-7x+1) (12x 2-7x+1)+ 9x 4设6x 2-7x+1=t, 原式=t(6x 2+t)+ 9x 4=(t+3x 2)2=(9x 2-7x+1)2例2 (2000年第12届“五羊杯”数学竞赛试题)分解因式：(2x –3y)3 + (3x –2y)3 –125(x –y)3= .[解]设2x –3y=a, 3x –2y=b, -5x+5y=c,显然a+b+c=0.由公式 a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-bc-ca-ab) 知此时有a 3+b 3+c 3=3abc ，故有原式=3(2x –3y) (3x –2y) (-5x+5y)=-15(2x –3y) (3x –2y)(x-y)例3 （1997-1998年天津市初二数学竞赛决赛试题）分解因式xy(xy+1)+(xy+3)-2(x+y+12)-(x+y-1)2[解]设xy=a, x+y=b.原式=a(a+1)+(a+3)-2b-1-(b-1)2=a 2+2a+1-b 2=(a+1)2-b 2=(a+1+b)(a+1-b)=(xy+1+x+y)(xy+1-x-y)=(x+1)(y+1)(x-1)(y-1)例4（1991年贵州省初中数学竞赛试题）分解因式：x 4+x 3-4x 2+x+1[解] 原式=2222221111(4)()()4x x x x x x x x x x ⎡⎤+-++=+++-⎢⎥⎣⎦ 设1,x t x +=则22212x t x +=-，原式=x 2(t+t 2-2-4)= x 2(t+3)(t-2)=211(3)(2)x x x x x +++-=(x 2+3x+1)(x-1)2例5 （1994年石家庄市初中数学竞赛试题）分解因式 (x+1)4+(x+3)4-272[解] x+2=t, 原式=(t-1)4+(t+1)4-272=2t 4+12t 2-270=2(t 2+15)( t 2-9)=2(x 2+4x+19)(x+5)(x-1)例6（1998-1999年天津市初二数学竞赛预赛试题）把2x 3-x 2z-4x 2y+2xyz+2xy 2-y 2z 分解因式[解] 原式=(2x-z)y 2-2(2x-z)xy+(2x-z)x 2=(2x-z)(y-x)2例7 （1986年扬州市数学竞赛试题）因式分解：(1+y)2-2x 2(1+y 2)+x 4(1-y)2[解] 原式=[(1+y)2+2x 2(1-y 2)+x 4(1-y)2]-4x 2=[(1+y)+x 2(1-y)]2-(2x)2=[(1+y)+x 2(1-y)+2x] [(1+y)+x 2(1-y)-2x]=[(x+1)2-y(x 2-1)] [(x-1)2-y(x 2-1)]=(x+1)(x-xy+y+1)(x-1)(x-xy-y-1)例8 （1986年广州，武汉，福州，合肥，重庆五市初中数学联赛试题）若a为正整数，则a4-3a2+9是质数还是合数？给出你的证明。

数学奥林匹克小丛书初中卷第三版因式分解技巧

《数学奥林匹克小丛书初中卷第三版因式分解技巧》一、引言在学习数学的过程中，因式分解是一个非常重要且基础的概念。

它不仅在解题的过程中起着关键性作用，而且对于扎实的数学基础和逻辑思维能力的培养也具有重要意义。

而《数学奥林匹克小丛书初中卷第三版》中关于因式分解的技巧更是为我们提供了宝贵的学习资源和指导，帮助我们更好地掌握这一重要知识点。

二、从简到繁，由浅入深的因式分解技巧1. 提取公因式在因式分解的过程中，首先要掌握的就是提取公因式的技巧。

这是因式分解的基础，也是解题过程中最常见的一种方法。

在《数学奥林匹克小丛书初中卷第三版》中，通过大量的例题和解析，深入浅出地阐述了提取公因式的原理和方法，从而让我们更好地掌握这一技巧。

2. 分解因式除了提取公因式外，分解因式也是因式分解过程中的重要步骤。

《数学奥林匹克小丛书初中卷第三版》中提供了丰富多样的分解因式的题目，并给出了详细的解题思路和方法，帮助我们更好地理解和掌握这一技巧。

3. 特殊方法与技巧除了基础的提取公因式和分解因式外，《数学奥林匹克小丛书初中卷第三版》还介绍了一些特殊的因式分解方法和技巧，如差的平方公式、完全平方公式等。

这些特殊的方法和技巧，往往能在解题过程中起到意想不到的作用，因此对于我们来说也至关重要。

4. 延伸拓展《数学奥林匹克小丛书初中卷第三版》中不仅仅停留在基础的因式分解技巧上，还对其进行了更深远的延伸拓展。

更复杂的多项式的分解、高次方程的因式分解等。

这些内容的介绍和讲解，对于我们更深入地理解因式分解技巧以及应用它们解决实际问题都具有重要意义。

三、个人观点和理解在学习《数学奥林匹克小丛书初中卷第三版》中关于因式分解的技巧时，我深刻地体会到了因式分解在数学学习中的重要性。

它不仅是解题的利器，更是培养我们逻辑思维和分析问题能力的重要途径。

而《数学奥林匹克小丛书初中卷第三版》所提供的丰富多样的例题和详细解析，让我受益匪浅。

在未来的学习中，我也会进一步加强对因式分解技巧的掌握，努力提高解题能力和数学素养。

初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)--二次方程与方程组

第八章二次方程与方程组第一节一元二次方程【赛题精选】§1、一元一次方程的解法主要有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。

例1、利用直接开平方法解下列关于x 的方程。

（1）0)1(9)2(22=+--x x （2）)0(0)22()(22>=+-+a a x a x（3）)21(2142222nx n x n x x ++=++例2、利用因式分解法解下列关于x 的方程。

（1）(5x+2)(x-1)=(2x+11)(x-1) （2）0452=+-x x(3)02_23()12(2=++-+x x (4)0)()(22222=-++-q p pq x q p x（5）x m x m x x m )1()1()1(2222-=--+-例3、用配方法解下列关于x 的方程。

（1）)0(02≠=++a c bx ax （2）03)12()1(2=-+-+-m x m x m（3）01333223=-+++x x x§2、根的判别式、根与系数的关系韦达定理：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为1x 、2x ，那么1x 、2x 与a 、b 、c的关系为：两根之和a b x x -=+21；两根之积ac x x =21。

例4、若首项系数不相等的两个二次方程02)2()1(222=+++--a a x a x a （1）、02)2()1(222=+++--b b b x b （2）（其中a 、b 均为正整数）有一个公共根。

求ab ab b a b a --++的值。

例5、已知方程02=++c bx x 与02=++b cx x 各有两个根1x 、2x 及'1x 、'2x ，且1x 2x ＞0，'1x '2x ＞0。

求证：（1）1x ＜0，2x ＜0，'1x ＜0，'2x ＜0；（2）b-1≤c ≤b+1；（3）求b 、c 所有可能的值。

(完整版)因式分解(奥赛)

因式分解【奥赛花絮】最早的数学竞赛匈牙利是举办中学数学竞赛最早的国家，自1894年匈牙利物理数学学会通过了关于举行中学生奥林匹克数学竞赛的决议起，每年十月举行这种竞赛。

仅仅由于两次世界大战和1956年的匈牙利时件间断过7年。

2003年举行的是第103届匈牙利数学竞赛。

【奥赛赛点】将一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。

因式分解是一种重要的恒等变形，在数学中有广泛的应用。

因式分解的方法比较多，除了课本介绍的提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法外，我们还要掌握换元法,主元法,配方法, 待定系数法等。

用主元法往往可以得到恰当的分组，从而找出公因式来，如例6。

3．配方法通过添项，拆项利用公式将一个多项式配成一个完全平方，是一种常用的恒等变形技巧，以便利用公式来分解因式，如例7，例8。

【典型示例】例1 (1994年第6届“五羊杯”数学竞赛试题)在有理数范围内分解因式：（1）16(6x-1)(2x-1)(3x+1)(x-1)+25= .（2）(6x-1)(2x-1)(3x-1)(x-1)+x2= .（3）(6x-1)(4x-1)(3x-1)(x-1)+9x4= .[解] （1）原式=(6x-1)(4x-2)(6x+2)(4x+4)+25=(24x2-16x+2) (24x2-16x-8)+25设24x2-16x+2=t, 原式=t(t-10)+25=(t-5)2=(24x2-16x-3)2（2）原式=(6x-1) (x-1) (2x-1)(3x-1) +x 2=(6x 2-7x+1)(6x 2-5x+1) +x 2设6x 2-7x+1=t, 原式=t(t-2x) +x 2=(t-x)2=(6x 2-6x+1)2（3）原式=(6x-1) (x-1) (4x-1)(3x-1) +9x 4=(6x 2-7x+1) (12x 2-7x+1)+ 9x 4 设6x 2-7x+1=t, 原式=t(6x 2+t)+ 9x 4=(t+3x 2)2=(9x 2-7x+1)2例2 (2000年第12届“五羊杯”数学竞赛试题)分解因式：(2x –3y)3 + (3x –2y)3 –125(x –y)3= .[解]设2x –3y=a, 3x –2y=b, -5x+5y=c,显然a+b+c=0.由公式 a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-bc-ca-ab) 知此时有a 3+b 3+c 3=3abc ，故有原式=3(2x –3y) (3x –2y) (-5x+5y)=-15(2x –3y) (3x –2y)(x-y)例3 （1997-1998年天津市初二数学竞赛决赛试题）分解因式xy(xy+1)+(xy+3)-2(x+y+12)-(x+y-1)2 [解]设xy=a, x+y=b.原式=a(a+1)+(a+3)-2b-1-(b-1)2=a 2+2a+1-b 2=(a+1)2-b 2=(a+1+b)(a+1-b)=(xy+1+x+y)(xy+1-x-y)=(x+1)(y+1)(x-1)(y-1)例4（1991年贵州省初中数学竞赛试题）分解因式：x 4+x 3-4x 2+x+1[解] 原式=2222221111(4)()()4x x x x x x x x x x ⎡⎤+-++=+++-⎢⎥⎣⎦ 设1,x t x +=则22212x t x+=-，原式=x 2(t+t 2-2-4)= x 2(t+3)(t-2)=211(3)(2)x x x x x +++-=(x 2+3x+1)(x-1)2例5 （1994年石家庄市初中数学竞赛试题）分解因式 (x+1)4+(x+3)4-272[解] x+2=t, 原式=(t-1)4+(t+1)4-272=2t 4+12t 2-270=2(t 2+15)( t 2-9)=2(x 2+4x+19)(x+5)(x-1)例6（1998-1999年天津市初二数学竞赛预赛试题）把2x 3-x 2z-4x 2y+2xyz+2xy 2-y 2z 分解因式[解] 原式=(2x-z)y 2-2(2x-z)xy+(2x-z)x 2=(2x-z)(y-x)2例7 （1986年扬州市数学竞赛试题）因式分解：(1+y)2-2x 2(1+y 2)+x 4(1-y)2[解] 原式=[(1+y)2+2x 2(1-y 2)+x 4(1-y)2]-4x 2=[(1+y)+x 2(1-y)]2-(2x)2=[(1+y)+x 2(1-y)+2x] [(1+y)+x 2(1-y)-2x]=[(x+1)2-y(x 2-1)] [(x-1)2-y(x 2-1)] =(x+1)(x-xy+y+1)(x-1)(x-xy-y-1)例8 （1986年广州，武汉，福州，合肥，重庆五市初中数学联赛试题）若a为正整数，则a4-3a2+9是质数还是合数？给出你的证明。

(完整版)因式分解(竞赛题)含答案

因式分解1、导入：有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精美的石头。

甲就笑乙：“你为什么只挑一个啊?”乙说：“漂亮的石头虽然多，但我只选一个最精美的就够了。

”甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头!启示：人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃。

二、知识点回顾：1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．三、专题讲解例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．例2 分解因式：a 3+b 3+c 3-3abc ．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3 的正确性，现将此公式变形为a 3+b 3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c 3-3abc =［(a+b)3+c 3］-3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c 2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a 3+b 3+c 3-3abc 显然，当a+b+c=0时，则a 3+b 3+c 3=3abc ；当a+b+c ＞0时，则a 3+b 3+c 3-3abc≥0，即a 3+b 3+c 3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c 时，等号成立．如果令x=a 3≥0，y=b 3≥0，z=c 3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z ．这也是一个常用的结论．※※变式练习　1分解因式：x 15+x 14+x 13+…+x 2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x 15开始，x 的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n -b n 来分解．解因为 x 16-1=(x -1)(x 15+x 14+x 13+…x 2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x -1)，再除以(x -1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用． 2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例3 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9 =(x3-1)-9x+9 =(x-1)(x2+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8 =(x3-x)+(-8x+8) =x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8 =(9x3-9x)+(-8x3+8) =9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1) =(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8 =x3-x2+x2-9x+8 =x2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．※※变式练习 1分解因式： (1)x9+x6+x3-3； (2)(m2-1)(n2-1)+4mn； (3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4； (4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1 =(x9-1)+(x6-1)+(x3-1) =(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1) =(x3-1)(x6+2x3+3) =(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)． (2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn =m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn =(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2) =(mn+1)2-(m-n)2 =(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)． (3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4 =［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2 =［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2 =(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)． (4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab =(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1) =ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1) =a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1) =[a(a-b)+1](ab+b2+1) =(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验． 3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例4 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10 =(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5) =(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例5 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90 =(y+10)(y-9) =(2x2+5x+12)(2x2+5x-7) =(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．※※变式练习　1.分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x) =(x2+6x+8)(x2+5x+8)　=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．　1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为对于常数项而言，它是关于y 即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．的二次三项式分解　再利用十字相乘法对关于x 所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］ =(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式： (x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2； (x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是： (1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)； (2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式： (1)x2-3xy-10y2+x+9y-2； (2)x2-y2+5x+3y+4； (3)xy+y2+x-y-2； (4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2) 原式=(x+y+1)(x-y+4)．来分解． (3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0 原式=(y+1)(x+y-2)． (4)　原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如 f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×1+2=0； f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2 的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有 f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x 3-2x 2)-(2x 2-4x)+(2x-4) =x 2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x 2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x 2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．※※变式练习 1. 分解因式：9x 4-3x 3+7x 2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x 2-3x-2．解 9x 4-3x 3+7x 2-3x-2 =9x 4-3x 3-2x 2+9x 2-3x-2 =x 2(9x 3-3x-2)+9x 2-3x-2 =(9x 2-3x-2)(x 2+1) =(3x+1)(3x-2)(x 2+1) 说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了． 3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例3 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．※※变式练习 1.分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有有由bd=7，先考虑b=1，d=7 所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．四、巩固练习：1. 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v) =u4-6u2v+9v2 =(u2-3v)2 =(x2+2xy+y2-3xy)2 =(x2-xy+y2)2．五、反思总结。

初三奥数题知识点归纳总结

初三奥数题知识点归纳总结奥数，即奥林匹克数学竞赛，是一项对学生逻辑思维、数学能力和解题能力的全面考察。

随着初中阶段的学习逐渐加深，初三学生也面临着更多的奥数竞赛挑战。

为了帮助初三学生更好地备战奥数竞赛，下面将对初三奥数题的知识点进行归纳总结，以供学生们参考。

一、代数1.1 因式分解因式分解是求解代数式的重要方法之一。

常见的因式分解类型有：- 平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$- 二次三项式：$ax^2+bx+c$- 完全平方公式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$- 公因式提取法：将多个代数式中公共的因式提取出来。

1.2 方程与不等式在初三奥数题中，方程和不等式是常见的考察对象。

学生需要学会：- 方程中解的求解方法，包括一次方程、二次方程等。

- 不等式的解集判断方法，包括一次不等式、二次不等式等。

- 方程和不等式的应用问题解法。

1.3 函数与图像初三的奥数题中，函数与图像是一个重要的考察内容。

学生需要了解函数与图像的性质，包括函数的增减性、奇偶性、周期性等。

同时，学生还需要学会画出简单函数的图像，并能根据图像判断函数的性质。

二、几何2.1 图形的面积和周长几何中，图形的面积和周长是一个必须熟练掌握的知识点。

学生需要熟悉各类图形的面积和周长公式，例如矩形、正方形、三角形、圆等。

同时，学生需要能够灵活运用这些公式解决实际问题。

2.2 三角形三角形是初三奥数题中常见的图形之一。

学生需要了解各类三角形的性质，包括等腰三角形、直角三角形、等边三角形等。

此外，学生还需要学会利用三角形的性质求解相关的问题，如三角形的面积、角度关系等。

2.3 平行四边形与梯形平行四边形和梯形也是初三奥数题中常见的图形类型。

学生需要了解这些图形的性质，包括平行四边形的对角线性质、梯形的高、面积等。

三、数论3.1 整数性质整数是数论中的一个重要部分，初三奥数题中经常涉及到与整数相关的问题。

学生需要了解整数性质，包括整除性质、最大公因数与最小公倍数的求解方法等。

初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全-第07章-代数式的运算

初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全-第07章-代数式的
运算
此章介绍了一些重要的代数式的运算方法，包括多项式的加减乘除、平方差公式、完全平方公式、公式的展开与因式分解等。

一、多项式的加减乘除
1.加法和减法：将同类项进行合并，即将具有相同字母和相同指数的项相加或相减。

2.乘法：首先用分配律将多项式和多项式相乘化为多个单项式之和，然后用乘法原则计算各个单项式的乘积。

3.除法：主要采用长除法的形式，将被除式逐步除以除式。

二、平方差公式
平方差公式是解决具有连续变量的代数式的重要方法之一
根据平方差公式：
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
其中a和b是任意实数。

三、完全平方公式
完全平方公式是解决具有二次项的代数式的重要方法之一
根据完全平方公式：
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
其中a和b是任意实数。

四、公式的展开与因式分解
1.公式的展开：利用分配律将复杂的代数式展开为简单的形式。

2.因式分解：将代数式分解成为两个或更多的乘积形式。

常用的因式分解方法有：
（1）公因式法：找到公共因子并提取。

（2）提公式法：根据指定的公式将代数式进行变换。

（3）配方法：根据两个乘积的和或差的公式将代数式进行变换。

（4）分组法：将代数式中的项分成两组，然后利用提取公因子或公式进行变换。

（5）差平方因式法：利用平方差公式进行变换。

（6）和差三角型法：利用三角函数的和差公式进行变换。

初一年级数学公式：因式分解公式

【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。

奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更⾼、更强。

国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。

奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。

下⾯是⽆忧考为⼤家带来的初⼀年级数学公式：因式分解公式，欢迎⼤家阅读。

初中数学公式a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)( 1 )请写出图 3 所表⽰的代数恒等式.( 2 )试画出⼀个⼏何图形，使它的⾯积能表⽰：( a + b )( a + 3b )= a2 + 4ab + 3b2 .( 3 )请仿照上述⽅法另写⼀个含有 a ， b 的代数恒等式，并画出与之对应的⼏何图形.解：( 1 )( 2a + b )( a + 2b )= 2a2 + 5ab + 2b2 .( 2 )答案不唯— ，如( a + 2b )( a + b )= a2 + 3ab + 2b2 ，与之对应的⼏何图形如图 5 所⽰.因式分解的技巧已知 a 、 b 、 c 为有理数，且 a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca ，试说出 a 、 b 、 c 之间的关系，并说明理由.解：∵ a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca∴ a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = 0∴ 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0∴ ( a2 - 2ab + b2 )+ ( a2 - 2ca + c2 )+( b2 - 2bc + c2 )= 0∴ ( a - b ) 2 +( a - c ) 2 +( b - c ) 2 = 0∴ a - b = 0 且 a - c = 0 且 b - c = 0∴ a = b = c因式分解的应⽤若a+b=4,则2a2+4ab+2b2-6的值为( )A.36B.26C.16D.2思路分析：2a2+4ab+2b2-6=2(a+b)2-6=2×42-6=26答案：B1 . 下列四个式⼦中与多项式 2x2 - 3x 相等的是( )A. 2B. 2C. D.2 . 要使式⼦ 25a2 + 16b2 成为⼀个完全平⽅式，则应加上( ).A. 10abB. ±20abC. - 20abD. ±40ab3 . 多项式 2a2 + 4ab + 2b2 - 8c2 因式分解正确的是( ).A. 2 ( a + b - 2c )B. 2 ( a + b + c )( a + b - c )C. ( 2a + b + 4c )( 2a + b - 4c )D. 2 ( a + b + 2c )( a + b - 2c )4 . 下列计算中，正确的是( )A. an + 2÷an - 1 = a3B. 2a2 + 2a3 = 4a5C. ( 2a - 1 ) 2 = 4a2 - 1D. ( x - 1 )( x2 - x + 1 )= x3 - 15 . 将 4a - a2 - 4 分解因式，结果正确的是( ).A. a ( 4 - a )- 4B. -( a + 2 ) 2C. 4a -( a + 2 )( a - 2 )D. -( a - 2 ) 26.不论 x ， y 取什么实数， x2 + y2 + 2x ⼀ 4y + 7 的值( ).A. 总不⼩于 7B. 总不⼩于 2C. 可为任何实数D. 可能为负数。

初二因式分解奥数竞赛题

初二因式分解奥数竞赛题引言初中数学中的因式分解是一个重要的概念。

因式分解是将一个代数式表示为一系列不可再分解的乘积的形式。

它在代数运算、方程求解、多项式化简等问题中都有着广泛的应用。

在奥数竞赛中，因式分解也是常见的考点之一。

本文将介绍初二级别的因式分解奥数竞赛题，并提供详细的解题方法和策略，帮助读者更好地理解和应对这类问题。

基础知识回顾在开始具体讲解题目之前，我们先回顾一下关于因式分解的基础知识。

因子首先，我们需要明确什么是因子。

对于一个整数a，如果存在整数b使得a能够被b整除，则称b是a的因子。

例如，2是4的因子，因为4可以被2整除。

因式接下来，我们来定义什么是因式。

对于一个代数表达式，如果存在一个或多个代数表达式使得原表达式能够被这些表达式相乘得到，则这些表达式称为原表达式的因式。

例如，在表达式3x^2 + 2x中，3和x^2都是它的因式。

因式分解最后，我们来定义什么是因式分解。

对于一个代数表达式，如果可以将其写成一系列不可再分解的乘积的形式，则称这个过程为因式分解。

例如，将表达式6x^2 + 9x写成(2x + 3)(3x)的形式就是进行了因式分解。

题目讲解现在我们来看一个具体的初二级别的因式分解奥数竞赛题目：题目：将代数表达式x2+4xy+4y2−a2进行因式分解。

解题思路要完成这道题目，我们需要将给定的代数表达式进行因式分解。

具体而言，我们需要找到一种方式将该表达式写成一系列不可再分解的乘积形式。

步骤1：观察并尝试首先，我们可以通过观察和尝试来寻找可能的因子。

对于这个题目中给定的表达式x2+4xy+4y2−a2，我们可以注意到其中存在一个完全平方项x2和两个相同项4xy和4y2。

这提示我们可能存在一个完全平方三项之和公式(a+b)2的因式分解形式。

步骤2：应用完全平方三项之和公式根据步骤1的观察，我们可以将x2+4xy+4y2写成(x+2y)2的形式。

这是因为(x+2y)2=x2+4xy+4y2。

初二因式分解奥数竞赛题

初二因式分解奥数竞赛题初二数学中的因式分解是一个重要的知识点，也是奥数竞赛中常出现的题目类型之一。

因式分解是将一个多项式按照因子的形式进行拆解的过程，可以帮助我们简化计算和解决问题。

下面，我们就来看一道关于因式分解的奥数竞赛题目。

题目：将多项式 $x^3 + 8$ 进行因式分解。

解析：首先，我们观察到多项式中有一个立方项 $x^3$，可以联想到一个公式：立方差公式，即 $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$。

我们可以将多项式 $x^3 + 8$ 看作 $x^3 + 2^3$，这样就可以应用立方差公式来进行因式分解。

根据立方差公式，我们有：$x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$这就是多项式 $x^3 + 8$ 的因式分解形式。

通过这道题目的解析，我们可以看到因式分解在奥数竞赛中的重要性。

因式分解不仅可以帮助我们简化计算，还可以帮助我们发现多项式的特点和规律，从而解决复杂的数学问题。

除了这道题目，奥数竞赛中还有很多关于因式分解的题目。

下面，我们来看两道典型的奥数竞赛题目。

题目一：将多项式 $x^4 - 16$ 进行因式分解。

解析：我们观察到多项式中有一个平方项 $x^4$ 和一个常数项 $-16$，可以联想到一个公式：平方差公式，即 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。

我们可以将多项式 $x^4 - 16$ 看作 $x^4 - 4^2$，这样就可以应用平方差公式来进行因式分解。

根据平方差公式，我们有：$x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x^2 - 4)$这就是多项式 $x^4 - 16$ 的因式分解形式。

题目二：将多项式 $x^2 - 7x + 12$ 进行因式分解。

解析：我们观察到多项式中有一个二次项 $x^2$、一个一次项 $-7x$ 和一个常数项 $12$，可以使用因式分解的方法来进行拆解。

根据因式分解的基本原则，我们需要找到两个因子的乘积等于 $12$，并且它们的和等于 $-7$。

奥林匹克数学题型代数式的因式分解

奥林匹克数学题型代数式的因式分解奥林匹克数学竞赛是培养学生数学思维和解题能力的重要途径之一。

其中，代数式的因式分解是奥数中常见的题型之一。

通过对代数式进行因式分解，可以简化复杂的表达式，提高解题的效率。

本文将介绍代数式的因式分解的相关概念、方法和应用。

一、代数式的因式分解的概念代数式的因式分解是将一个代数式表示为若干个因式的积的形式。

在进行因式分解的过程中，可以使用不同的方法，如公因式法、提取公因式法、配方法等。

因式分解在代数运算中扮演着重要的角色，可以帮助我们更好地理解代数式的结构，简化运算过程，优化解题方法。

二、公因式法公因式法是一种常用的因式分解方法，适用于求解含有公因式的代数式。

在公因式法中，我们需要找到代数式中的公因式，并将其提取出来。

举例来说，假设有一个代数式2x^2 - 6x，我们可以将2x作为公因式进行提取，得到2x(x - 3)。

因此，原代数式可以被因式分解为2x(x -3)。

三、提取公因式法提取公因式法是一种常用的因式分解方法，适用于含有多个项的代数式。

在提取公因式法中，我们需要对每个项进行因式分解，并将相同的因式提取出来。

例如，对于代数式3x^2 + 6x，我们可以对每个项进行因式分解，得到3x(x + 2)。

然后，提取公因式3x，即可将代数式分解为3x(x + 2)。

四、配方法配方法是一种适用于二次三项式的因式分解方法。

在配方法中，我们需要通过构造一个合适的加法或减法，将二次三项式转化为完全平方式。

比如，对于二次三项式x^2 + 3x + 2，我们可以通过构造一个合适的加法或减法来将其转化为完全平方式。

根据二次三项式的特点，我们可以发现，该式可分解为(x + 1)(x + 2)。

五、因式分解的应用因式分解在实际问题中具有广泛的应用。

例如，在代数方程的求解、函数的图像绘制和计算等方面，都能够通过因式分解来简化操作过程。

举例来说，对于代数方程x^2 - 5x + 6 = 0，通过因式分解可以得到(x - 2)(x - 3) = 0，进而求得方程的解x = 2或x = 3。

初二因式分解奥数竞赛题

初二因式分解奥数竞赛题摘要：1.初二因式分解奥数竞赛题的概述2.初二因式分解的方法3.初二因式分解奥数竞赛题的解题技巧4.例题解析5.总结正文：【1.初二因式分解奥数竞赛题的概述】初二因式分解奥数竞赛题是针对初中二年级学生的一项重要数学竞赛内容，它涉及到的知识点主要是因式分解。

因式分解是指将一个多项式化简成若干个整式的积的形式，它可以帮助我们简化复杂的数学问题，提高解题效率。

在初二阶段，学生需要熟练掌握各种因式分解的方法，并在实际解题中灵活运用。

【2.初二因式分解的方法】初二阶段，学生需要掌握的因式分解方法主要有以下几种：(1) 提公因式法：通过提取多项式中的公因式，将多项式分解成较简单的整式积。

(2) 平方差公式法：利用平方差公式，将一个二次多项式分解成两个一次多项式的积。

(3) 完全平方公式法：利用完全平方公式，将一个二次多项式分解成一个一次多项式的平方。

(4) 分组法：将多项式按照一定规则分组，然后分别提取每组的公因式，最后将各组的因式积相乘得到原多项式的因式分解式。

(5) 公式法：利用一些已知的数学公式，如平方差公式、完全平方公式、立方差公式等，将多项式分解成简单的整式积。

【3.初二因式分解奥数竞赛题的解题技巧】(1) 熟练掌握各种因式分解方法，特别是提公因式法、平方差公式法和完全平方公式法，这些方法是解决初二因式分解奥数竞赛题的基本技巧。

(2) 在解题过程中，要善于观察多项式的特点，根据多项式的形式选择合适的因式分解方法。

(3) 注意分解过程中的符号问题，确保因式分解的正确性。

(4) 多做练习题，提高解题速度和准确度。

【4.例题解析】例题：将多项式x^2 - 4x + 4 分解因式。

解：利用完全平方公式，将多项式分解为(x - 2)^2。

【5.总结】初二因式分解奥数竞赛题是初中阶段数学竞赛的重要内容，学生需要熟练掌握各种因式分解方法，并在实际解题中灵活运用。

初三年级奥数知识点：用因式分解法求解一元二次方程

【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。

下⾯是为⼤家带来的初三年级奥数知识点：⽤因式分解法求解⼀元⼆次⽅程，欢迎⼤家阅读。

1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式;②分解因式的结果必须是以乘积的形式表⽰;③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数;④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为⽌。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个⽅⾯考虑。

3.提公因式法基本步骤：(1)找出公因式;(2)提公因式并确定另⼀个因式：①第⼀步找公因式可按照确定公因式的⽅法先确定系数再确定字母;②第⼆步提公因式并确定另⼀个因式，注意要确定另⼀个因式。

③提完公因式后，另⼀因式的项数与原多项式的项数相同。

⼏个个多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果⼀个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从⽽将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的⽅法叫做提公因式法。

具体⽅法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的公约数;字母取各项的相同的字母，⽽且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第⼀项是负的，⼀般要提出“-”号，使括号内的第⼀项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

⼝诀：找准公因式，⼀次要提净;全家都搬⾛，留1把家守。

要变号，变形看正负。

例如：(注：x^2表⽰x的2次⽅)-am+bm+cm=-m(a-b-c);a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意：把2a^2;+1/2变成2(a^2;+1/4)不叫提公因式课后习题1. ⽅程(x+3)(x-3)=0的根的情况是( )A、⽆实数根B、有两个不相等的实数根C、两根互为倒数D、两根互为相反数2. ⽤换元法解⽅程(x2+x)2+(x2+x)=6时，如果设x2+x=y，原⽅程可变形为( )A、y2+y-6=0B、y2-y -6=0C、y2-y+6=0D、y2+y+6=03. 下列⼀元⼆次⽅程最适合⽤分解因式法来解的是( )A、(x+1)(x-3)=2B、2(x-2)2=x2-4C、x2+3x-1=0D、 5(2-x)2=3。

八年级数学奥林匹克竞赛训练题1.因式分解ok

第一讲因式分解班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题1．下列由左边到右边的变形中，其中是因式分解的是（）（A ）(2a ＋3)(2a －3)＝4a 2－9（B ）4m 2－9＝(2m ＋3)(2m －3)（C ）m 2－16＋3m ＝(m ＋4)(m －4)＋3m （D ）2x (y ＋z )－3(y ＋z )＝2xy ＋2xz －3y －3z2．下面各式的因式分解中，正确的是（）（A ）－7ab －14＋49aby ＝7ab (1－2x ＋7y )（B ）－3x m y n ＋x m ＋1y n －1＝－3x m y n －1(y ＋3x )（C ）6(a －b )2－2(b －a )＝2(a －b )(3a －3b ＋1) （D ）xy (x －y )－x (y －x )＝x (x －y )(y －1) 3．下面各式的因式分解中，正确的是（）（A ）1－8(a ＋b )3＝(1－2a ＋2b )(1＋2a ＋2b ＋4a 2＋4ab ＋b 2) （B ）(x 2＋y 2)2－4x 2y 2＝(x 2＋y 2＋2xy )(x 2＋y 2－2xy ) （C ）8a －4a 2－4＝4(a －1)2（D ）a 2(x －y )＋b 2(y －x )＝(x －y )(a ＋b )(a －b ) 4．下面各式的因式分解中，正确的是（）（A ）ab －a ＋b ＋1＝(a －1)(b ＋1) （B ）4xy ＋1－4x 2－y 2＝(1＋2x －y )(1－2x －y ) （C ）3a －3b ＋3x －bx ＝(a －b )(3－x ) （D ）－4xy ＋1－4x 2－y 2＝(1＋2x ＋y )(1－2x －y )5．下列因式分解的变形中，正确的是（）（A ）x 2－(a ＋1)x ＋a 2＝(x －1)(x －a )（B ）m 2＋65m ＋61＝(2m ＋1)(3m ＋1)（C ）y 2＋(a 2＋b 2)·y ＋a 2b 2＝(y ＋a 2)(y ＋b 2)（D ）(x 2－3x )2－2(x 2－3x )－8＝(x －1)(x －2)(x ＋4)(x －1) 二、填空题1．在代数式：（1）4x 2－4x ＋1，（2）m 2＋mn ＋n 2，（3）64n 2＋1中是完全平方式的是__________． 2．若2x 2＋ax －9被2x －3除后余3，则商式是__________，且a ＝__________．3．在一个边长12.75平厘米的正方形内挖去一个边长为7.25厘米的正方形，则剩下的面积就是___________． 4．乘积(1－221)(1－231) (1)291)(1－2101)＝________________．5．已知一个正六位数，前三位数字与后三位数字完全相同，那么这个六位数一定能被质数___________整除．三、解答题1．分解因式（1）x4＋2x2－3；（2）x4＋2x2＋9；（3）(1－a2)(1－b2)－4ab；（4）x2－xy＋2x－y－3；（5）a2＋(a＋1)2＋a2(a＋1)2；（6）(m＋n)3＋2mn(1－m－n)－1；（7）(a2＋a＋1)(a2＋a＋2)－12；（8）12x4－56x3＋89x2－56x＋12．2．已知三角形的三条边a，b，c适合等式：a3＋b3＋c3＝3abc，请确定三角形的形状．3．已知：三个连续奇数，它们的平方和为251，求这三个奇数．4．已知：2x－3和3x＋1是f(x)＝ax3＋bx2＋32x＋15的因式，求a，b的值．5．证明：（1）若n为整数，则(2n＋1)2－(2n－1)2一定是8的倍数；（2）若n为正整数时，n3－n的值必是6的倍数；（3）四个连续自然数的积加1必为一完全平方数．更多数学资料，请点击：/user/925/index.html（hnnylpzの初中数学教育）。

(完整版)因式分解相关知识点整理【竞赛专用】

因式分解相关知识点整理【竞赛专用】1.因式分解的思路：“一提、二代、三分组”2.常用公式：[1]a 2 b 2 = (a + b)(a b)[2](a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2[3]a 3 ± b3 = (a ± b)(a 2∓ab + b 2 )[4](a ± b)3 = a 3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b3[5]若n为正奇数，则a n + b n = (a + b)(a n1 a n2b + a n3b 2 ab n2 + b n1 )[6]若n为正整数，则a n b n = (a b)(a n1 + a n2b + a n3b 2 +  + ab n2 + b n1 ) 应用公式时，按某个字母降幂排列是一个简单而有用的措施，值得注意。

3.常用分组方法（注意：每组项数须平均分配）：（1）按不同字母分组（2）b.按不同字母的幂分组（幂次相近的放在一起）（3）按不同项的系数分组注：当分组不当，无法继续分解原式时，就应回到分组前的状况4.拆项与添项（1）若整式按某一字母的升幂或降幂排列，那么以拆开中项为宜。

（2）可以配完全平方（配方法）5.十字相乘法（二次齐次式ax 2 + bxy + cy 2也可用此法分解，令y = 1代入原式即可）ax + c 例子：×bx + d x + 2 adx + cd×x + 3abx 2 + bcx 3x + 6x 2 + 2 xabx 2 + (ad + bc) x + cdx 2 + 5x + 6将以上竖式简化，就可以得到十字相乘法的竖式：ab ab + bc cd5112+ 3补充一个结论：2 2若二次三项式ax+bx+c的系数和a+b+c=0，则ax+bx+c=(x1)(ax c)三次齐次轮换式：l (x +y +z )+m (xy +yz +zx )+m (xy +yz +zx )+kxyz6.双十字相乘法（应用于形如ax 2 + bxy + cy 2 + dy + ey + f 的二元二次式，或者是形如ax 2 + bxy + cy 2 + dxz + eyz + fz 2 的三元齐次式.）把其中三组二元三项式或二元齐次式分别用十字相乘法来分解，如果其中两组包含相同字母的分解式所得到的数字一样.且另外两个不同字母的结果符合某一项的系数的话，分解式的系数就为第一行的三个数和第二行的三个数，直接代入原式即可.7.换元法（略）8.余数定理（x 、y 的齐次式也可以采用同样的方法）f ( x ) = a n x n + a n 1x n 1 +  + a 1x + a 0如果 f (c ) = 0 ，那么 ( x c ) 是 f ( x ) 的因式，反过来，如果 ( x c ) 是 f ( x ) 的因式，那么f (c ) = 0 .（证明过程略）注：有理根 c = p q的分子 p 是常数项 a 0 的因数，分母 q 是首项系数 a n 的因数.如果整系数多项式f ( x ) 的系数为 1. q = 1，有理根都是整数根.补充三个重要结论：（1）若多项式的系数和等于 0，那么 1 是它的根，即 ( x 1) 是它的一次因式.（2）若多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于 0，那么-1 是它的根，即( x + 1)是它的一次因式.（3）若多项式可以分解为几个有理数系数的积，则其一定能分解为几个整系数的多项式的积.9.待定系数法设待定系数，通过比较系数得出方程组，利用系数为整数的条件求解即可.10.轮换式与对称式两个轮换式（对称式）的和、差、积、商仍然是轮换式（对称式）. 基本轮换式一次齐次轮换式：l ( x + y + z )二次齐次轮换式：l ( x 2 + y 2 + z 2 ) + m ( xy + yz + zx )3 3 3 2 2 2 2 2 2这里， l 、m 、n 、k 都是待定常数（2）a +b +c 3abc =（3）当a +b +c =0时，a +b +c =3abc（2）代数基本定理：在复数集内，对于多项式f (x )=a n x +a n 1x ，并且⎤=1，+⎤= ⎤，+⎤= ⎤（可将x =⎤代入1 1 设f (x )=a n x +a n 1x3.p 不整除a 0.补充两个常用公式：（1）a 3 +b 3 +c 3 3abc = (a + b + c )(a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca )3 3 31 2(a + b + c )[(a b ) 2 + (b c ) 2 + (c a ) 2 ) 3 3 311.实数集与复数集内的分解（1）利用二次方程求根公式来分解二次三项式.nn 1+  + a 1x + a 0 （ n是正整数），一定有复数 c 使得f (c ) = 0 .（3）实系数多项式的虚数根是两两共轭的.因而，在实数集内每个多项式都可以分解为一次因式与二次因式的积.（4）1 的立方虚根 ⎤ = 1 3i 2 3 2 2多项式，求得因式）（5）单位根：一般地，在复数集内有 n 个 n 次单位根，它们是cos 2k n + i sin 2k n (k = 1,2, , n ) ，其中 cos 2n n + i sin 2n n= 1如果 k 与 n 互质，则 cos 2k n + i sin2k n称为本原单位根. （6）分圆多项式：与 n 次本原单位根对应的一次因式的积的整系数的多项式.分圆多项式在有理数集内不可约的.12.既约多项式相关知识（1）艾森斯坦（Eisenstein ，1823~1852）判别法nn 1+  + a 1x + a 0 是整系数多项式如果存在一个质数 p 满足以下条件：1. p 不整除a n ；2. p 整除其余的系数（a 0 , a 1, , a n 1 ）；2那么，f ( x ) 在有理数集内不可约.（2）绝对不可约有些多元多项式，即使在复数集内也不能分解，这样的多项式称为绝对不可约.。

数学奥林匹克竞赛试题

数学奥林匹克竞赛试题数学奥林匹克竞赛是针对中学生的高水平数学竞赛，旨在激发学生对数学的兴趣，培养他们的逻辑思维、创新能力和解决复杂问题的能力。

以下是一些典型的数学奥林匹克竞赛试题示例，供大家参考和练习。

代数问题问题1：解方程求解方程 (x^3 - 5x^2 + 7x - 1 = 0)。

问题2：因式分解将多项式 (x^4 - 81) 进行因式分解。

几何问题问题3：三角形面积在直角三角形中，已知两直角边的长度分别为3和4，求斜边上的高。

问题4：圆的性质证明：若一个圆内接四边形的对角互补，则该四边形为矩形。

组合与概率问题问题5：排列组合计算用数字1到9（每个数字仅使用一次）可以组成的所有不同三位数的数量。

问题6：概率计算一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出两个球，求取出的两个球都是红球的概率。

数列与函数问题问题7：等差数列如果数列 (a_n = 2n + 1)，求第10项和前10项的和。

问题8：函数图像画出函数 (y = |x-3|) 的图像，并指出其与x轴的交点。

解析与答案问题1答案通过因式分解或使用牛顿法等方法求解。

问题2答案(x^4 - 81 = (x^2 + 9)(x^2 - 9) = (x^2 + 9)(x + 3)(x - 3))。

问题3答案斜边上的高 (h = \frac{3 \times 4}{5} = 2.4)。

问题4答案利用圆周角定理和直角三角形的性质证明。

问题5答案总共有 (9 \times 8 \times 7) 种不同的排列方式。

问题6答案概率为 (\frac{C_5^2}{C_8^2} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14})。

问题7答案第10项 (a_{10} = 21)，前10项和 (S_{10} = 2(1 + 2 + ... + 10) + 10 = 110)。

问题8答案函数图像为V型，与x轴的交点为(3,0)。

请注意，以上只是示例题目，实际的数学奥林匹克竞赛题目可能会更加复杂和多样。

分解因式奥数练习题

分解因式奥数练习题分解因式是高中数学中的一个重要概念，也是奥数竞赛中经常出现的题型。

通过分解因式，可以将一个多项式拆分为简化的形式，从而便于进一步进行运算和研究。

下面，我将为大家提供一些分解因式的奥数练习题，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一内容。

题目一：将多项式$x^3+8y^3$分解因式。

解析：这是一个立方和的形式，我们可以使用立方和公式来进行分解。

根据立方和公式，$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$，将$x^3$看作$a$，$8y^3$看作$b$，则有：$x^3+8y^3=(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)$。

题目二：将多项式$x^4-16y^4$分解因式。

解析：这是一个差方的形式，我们可以使用差方公式来进行分解。

差方公式是$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将$x^4$看作$a^2$，$16y^4$看作$b^2$，则有：$x^4-16y^4=(x^2+4y^2)(x^2-4y^2)$，再进一步分解$x^2-4y^2=(x-2y)(x+2y)$，则最终结果为$(x^2+4y^2)(x-2y)(x+2y)$。

题目三：将多项式$x^6-64y^6$分解因式。

解析：这是一个差方的形式，我们可以使用差方公式来进行分解。

差方公式是$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将$x^6$看作$a^2$，$64y^6$看作$b^2$，则有：$x^6-64y^6=(x^3+8y^3)(x^3-8y^3)=(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)$。

题目四：将多项式$x^2+x+1$分解因式。

解析：这是一个二次多项式，无法直接使用立方和或差方公式进行分解。

我们需要使用一些其他的方法。

注意到$x^2+x+1$可以看成是$x^2+2x+1$和$-x$的和，进一步将其分解为$(x+1)^2-x$。

最终结果为$(x+1)^2-x$。

通过以上几个例子，我们可以看到分解因式的过程并不是一种机械的操作，而是需要灵活运用不同的方法和规则。