森林救火模型

x3
+
v2
பைடு நூலகம்
)
−
λt0m1(v1
x2
+
v2
)
=
0
x3 − λt0 m1 (v1 + v2 ) x − λ2 m1 (v1 + v2 ) = 0
m2
m2
( ) ( ) ( ) A = λ2m1 v1 + v2 −
2m2
λ4m12 v1 + v2 4m22
2
+
λ3t03m13 v1 + 27 m23
v2
3
由于全球气候异常，干旱、高温、大风天气影响，加之可燃物积累和火灾的周期性，发 生森林大火的危险越来越大。防扑火装备和森林防火的科技含量不高，设施、装备陈旧老化， 预防、扑救森林火灾和林火管理的手段很不适应繁重任务的需要，尤其缺乏控制大火的能力 和手段。
问题的提出
森林是人类的宝贵财富，是地球生态平衡的重要条件。森林遍布世界各地。但是，森林 救火现象经常发生。一旦发现森林失火，消防站接到火警后会立即决定派消防队员前去救火. 一般情况下，派往的队员越多，火被扑灭的越快，火灾所造成的损失越小，但是救援的开支 就越大； 相反，派往的队员越少，救援开支越少，但灭火时间越长，而且可能由于不能及 时灭火而造成更大的损失，那么怎么合理的派遣消防队员使得总损失为最小 ?
( ) ( ) ( ) B = λ2m1 v1 + v2 +
2m2
λ4m12 v1 + v2 4 m22
2
+
λ3t03m13 v1 + 27m32
v2
3
1
1
x = A3 + B 3
○3 风速适中时；燃烧区呈椭圆形.(着火点为左端点)
火势顺风 v1
风向
着火点
v 火势逆风 2
救火前的面积:
椭圆长半轴 a = (v1 + v2 )t0 2
m2
=
2πm1v2λ2 x3
+
2πm1v2λt0 x2
x3m2 = 2λ2πm1v2 + 2λπm1v 2 xt
由卡尔丹公式：
A = 2λ2πm1v2 − 2m2
⎛ ⎜⎜ ⎝
4λ4π 2m12v 4m22
4
+
8λ3π
3m13v
t6 3 0
27 m23
⎞ ⎟⎟ ⎠
B = 2λ2πm1v2 + 2m2
⎛ ⎜⎜ ⎝
2
所用时间：
xS(t
)t
=
v(v1
+
v2 )(t0
2
+
t)
2
t = v(v1 + v2 )(t0 + t)2
2xS(t )
总损失:
M
=
xm2
+
v(v1
+
v2 )(t0
2
+
t )2
m1
λ 由于 t = ，则
x
M
=
xm2
+
m1(v1
+
v2
)⎜⎛
⎝
t0
2
+
λ x
2
⎞ ⎟ ⎠
M′
=
m2
−
( λ2m1 v1
总损失： M = xm2 + π[(t0 + t )v]2 m1
2
由于 t = λ x
则： M
=
xm2
+
π
⎢⎣⎡⎜⎝⎛
t0
+
λ x
⎟⎠⎞v⎥⎦⎤
m1
M
=
xm2
+ πm1v2t0 2
+
πm1v2 λ2 x2
+
2πm1λv2t0 x
M'
=
m2
−
2πm1v 2λ2 x3
−
2πm1λv2t0 x2
令 M ' = 0 ，即：
符号说明
符号 t0 t x
S(t ) v
v1 v2 m1 m2 M λ
表示 从开始着火到消防员到达现场开始救火时间
消防员整个救火过程所用的时间 参加救火的消防员人数
每个消防员单位时间的平均救火面积 火自身燃烧的速度 火势顺风时的速度 火势逆风时的速度
燃烧单位面积的平均价值 每个救火员的出动平均费用
关键词：救火所用时间；燃烧的面积；消防员的人数；火势在不同状态下的速
度；救火及森林损失的总费用。
问题重述
题目描绘了当森林着火时，消防站会立即派出相应数量的消防队员，.一般情况
下，派往的队员越多，火被扑灭的越快，火灾所造成的损失越小，但是救援的开支就越大； 相反，派往的队员越少，救援开支越少，但灭火时间越长，而且可能由于不能及时灭火而造 成更大的损失，所以怎么合理的派遣消防队员使得总损失为最小是我们要分析的，我们可以 知道消防员的人数是足够的，所以不用考虑是否有足够的消防队员去灭火。而是得考虑在出 动多少消防队员的情况下总损失时最小的。我们考虑的问题有到达现场的时间。每一个消防 队员的工作效率，总灭火时间，还有森林的单位的价值。
短半轴 b = vt0
面积：πab = πvv1t02 2
救火所用的时间 t：
xS(t )t
=
πv(t0
+
t )v1
2
(t0
+
t
)
t
=
πv(t0
+ t)v1(t0
2xS(t )
+
t)
m1
总损失： M
=
xm2
+
πv(t0
+
t )v1 (t0
2
+t)
m1
由于 t = λ ，则 x
M
=
xm2
+
m1(v1
+
森林救火模型
余前鑫 1、高超 1、李鑫 2
（1.2010 级数学系统计 1 班） （2.2010 级数学系 6 班）
问题背景
林区产业结构调整、经济搞活和公共休假天数的增多，进入林区进行施工、采矿等生产 活动和旅游观光的人员大量增加，火源成倍增长且管理难度越来越大，森林防火面临新的困 难；上坟烧纸等迷信活动、燃放鞭炮有所抬头。另一值得关注的是，近年来由于林区输变电 线路老化以及因大风吹断电线或吹倒电杆而引发的森林火灾呈上升趋势，且后果十分严重。
整个救火活动的总费用 表示时间与人数的比例系数
基本假设
1、假设森林着火的过程是在无雨及可燃物质均匀分布的条件下进行的； 2、救火的的总费用已经平摊在每一个消防人员； 3、消防员在救火时并没有影响火势的走向（还是和原来的形状一致）； 4、在不同的风速下，当地的消防队员已经知道 v1, v2 的大小（通过经验）； 5、消防人员的人数与所用时间成反比，其比例系数为 λ 。
v2
)⎜⎛
⎝
t0
2
+
λ x
2
⎟⎞ ⎠
M′
=
m2
−
( λ2m1 v1
x3
+
v2
)
−
λt0m1(v1
x2
+
v2
4λ4π 2m12v 4m22
4
+
8λ3π
3m13v
t6 3 0
27 m23
⎞ ⎟⎟ ⎠
1
1
x = A3 + B 3
○2 风速较小时：椭圆（着火点为焦点）
风向
着火点
火势顺风的速度 v1 火势逆风的速度 v2
救火前面积：长半轴
a
=
(v1
+ v2 2
)
t0
短半轴 b = vt0
面积πab = v(v1 + v2 )t02
我们可以将这个问题分成四个部分来解答，无风、小风 、适当的风、大风。从而得出不同 的解决方案。
○1 无风时：圆形（着火点为圆心）
V 火势蔓延速度 V
着火点
V
V
救火前的面积： π (t0v)2
救火所用的时间： xS(t)t = π [(t0 + t )v]2
t = π[(t0 + t)v]2 xS(t )