第三章函数图像与抽象函数,函数模型

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抽象函数

专题复习：抽象函数一、知识要点函数是高中数学和高考的重要内容，而抽象函数（不带解析式的函数）往往与函数的奇偶性、单调性、周期性、函数图象的对称性及凹凸性等诸多性质联系在一起，以它抽象、多变和难以理解等特征成为函数的重点和难点内容．解决抽象函数问题，可以将它与学过的具体函数联系起来，“化抽象为具体”，寻求函数方程的变化方向，但要处理好特殊与一般的关系；适当的“赋值法”也是得到一些基础结论的好方法． 1．常见的抽象函数与相应模型函数2．函数的“五性” （1）奇偶性对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．（2）单调性一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是增函数．如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在区间D 上是减函数．（3）周期性对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+成立，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 就叫做这个函数的周期．（4）函数图像的对称性①函数()y f x =的图像关于直线x a =对称⇔()(2)f x f a x =-⇔()()f a x f a x -=+；②函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称⇔()(2)2f x f a x b +-=⇔()()2f a x f a x b -++=．（5）函数图像的凹凸性①函数()y f x =的图像在区间[,]a b 上是凹函数⇔ 对于任意的12,[,]x x a b ∈，当12x x ≠时都有：1212()()()22x x f x f x f ++<； ②函数()y f x =的图像在区间[,]a b 上是凸函数⇔ 对于任意的12,[,]x x a b ∈，当12x x ≠时都有：1212()()()22x x f x f x f ++>．二、例题解析例1．若函数()y f x =的定义域为R ，且对任意的,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+成立，已知(8)4f =，求(2)f 的值．例2．已知函数()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，试判断()f x 有在(,0)-∞上的单调性，并证明你的结论．例3．若函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且()f x 的图像关于直线(0)x a a =>对称．求证：()f x 是周期函数．例4．)(x f 是定义在(0,)+∞上的增函数，且对一切0,0x y >>都有等式)()()(y f x f yx f -=成立．（1）求)1(f 的值；（2）若1)2(=f ，解不等式2)1()3(<-+xf x f ．例5．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称，对任意121,0,2x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有1212()()()f x x f x f x +=，且0)1(>=a f ．（1）求1()2f 和1()4f 的值；（2）证明：)(x f 是周期函数．例6．已知定义在R 上函数()y f x =满足：()0f x ≠，当0x >时，()1f x >，且对任意的,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=．（1）证明：(0)1f =；（2）证明：对任意的x R ∈，恒有()0f x >；（3）证明：函数()y f x =是R 上的增函数；（4）解不等式2()(2)1f x f x x ->．三、巩固练习1．已知(21)y f x =+是偶函数，则函数(2)y f x =图像的对称轴为（）A ．1x =B ．21=x C ．21-=x D ．1-=x 2．已知定义域为(,0)(0,)-∞+∞U 的函数)(x f 是偶函数，并且在(,0)-∞上为增函数，若0)3(=-f ，则0)(<xx f 的解集为（） A ．(3,0)(3,)-+∞U B ．(3,0)(0,3)-U C ．(3,)+∞ D ．(,3)-∞-3．设()f x 是R 上的偶函数，且在(,0)-∞上是增函数，已知12120,0,||||x x x x <<<，那么（）A ．12()()f x f x -<-B ．12()()f x f x ->-C ．12()()f x f x -=-D ．1()f x -与2()f x -大小不定4．已知)(x f 在区间(,)-∞+∞上是增函数，若,a b R ∈，且0≤+b a ，则下列式子中正确的是（）A ．()()[()()]f a f b f a f b +≤-+B ．()()()()f a f b f a f b +≤-+-C ．()()[()()]f a f b f a f b +≥-+D ．()()()()f a f b f a f b +≥-+- 5．若函数)(x f y =的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对于任意的x R ∈，都有)()4(x f x f =+；②对于[0,2]内任意12,x x ，若21x x <，则有12()()f x f x <； ③函数)(x f y =的图象关于y 轴对称．则)5.4(f ，(6.5)f ，)7(f 的大小顺序是____________________．6．定义在R 上的函数()f x 满足11()()222f x f x ++-=，则127()()()888f f f +++=L ________． 7．已知()f x 是定义在R 上的函数，且[](1)1()1()f x f x f x +-=+，(1)3f =，则(2)f =__________，(2005)f =____________．8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，并且(2)()f x f x +=，当01x ≤≤时，有()f x x =，则(3.5)f =__________．9．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0)-∞上是增函数，又22(21)(321)f a a f a a ++<-+，求实数a 的取值范围．10．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为0的函数，且对任意的,a b R ∈都满足：)()()(a bf b af b a f +=⋅．（1）求)0(f ，)1(f 的值；（2）判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论．11．已知函数()f x 在(1,1)-上有定义，且对任意的,(1,1)x y ∈-，都有)1()()(xyyx f y f x f ++=+．证明：()f x 在(1,1)-上是奇函数．小结：随着高考研究的不断深入，高等数学知识的“下放”，抽象函数的题型将会增加，只要我们深刻理解函数的定义域、值域、对应法则“f ”的含义，把握住题设条件，运用函数的四性和题目涉及的有关知识，借助变量代换，取特殊值，递推归纳，广泛联想，化归转化等，就能顺利地制定出解答策略来．专题复习：抽象函数例习题答案二．例题解析例1．解：因为(8)2(4)4(2)f f f ==，所以1)8(41)2(==f f . 例2．证明：任取021<<x x ，则120x x ->->，因为)(x f 在),0[+∞是增函数，且)(x f 是偶函数，所以12()()f x f x ->-，即12()()f x f x >，因此)(x f 在(,0)-∞上是减函数．例3．证明：由于)(x f 关于直线a x =对称，所以)2()(x a f x f -=．由)(x f 是R 上的奇函数，所以)2()()(x a f x f x f +=-=-，所以)2()2()2(a x f x a f x a f -=--=+，则(4)()f a x f x +=，即)(x f 是以4a 为周期的函数．例4．解：（1）因为(1)()()()0xf f f x f x x==-=，所以(1)0f =；（2）因为4()(4)(2)2f f f =-，(4)2(2)2f f ==，所以由题意可得：)4()]3([)1()3(f x x f x f x f <+=-+，即3010(3)4x xx x +>⎧⎪⎪>⎨⎪+<⎪⎩，解之得：01x <<，所以，原不等式的解集为 {01}x x |<<．例5．（1）解：因为21(1)()02f f a ==>，211()()24f f =，211()()48f f =，所以1()2f =，1()4f =（2）证明：因为)(x f 关于直线1=x 对称，所以)()2(x f x f =-，由于)(x f 在R 上是偶函数，所以，)2()()(x f x f x f -==- 即)()2(x f x f =+，所以)(x f 是以2为周期的函数．例6．（1）证明：令0a b ==得：2(0)(0)f f =，又()0f x ≠Q ，(0)1f ∴=；（2）证明：当0x >时，()10f x >>；当0x =时，()10f x =>；令,a x b x ==-得：(0)()()1f f x f x =-=，所以1()()f x f x -=，当0x <时，0x ->，得到()10f x ->>，所以1()0()f x f x =>-，即当0x <时，也有()0f x >；综合可知：对任意的x R ∈，恒有()0f x >；（3）证明：任取12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->，所以21()1f x x ->，令21,a x b x ==-得：221211()()()()1()f x f x x f x f x f x -=-=>，又()0f x >，所以12()()f x f x <，即函数()y f x =是R 上的增函数；（4）解：由已知，不等式2()(2)1f x f x x ->等价于2[(2)]1(0)f x x x f +->=，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以22(2)30x x x x x +-=->，解之得：03x <<，所以原不等式的解集为{03}x x |<<．三．巩固练习答案1．B 2．A 3．B 4．B 解析：1．将函数(21)f x +的图象向右平移12个单位，得到函数(2)f x 的图象． 2．利用函数图像，结合函数单调性和偶函数的性质．3．2121210,0x x x x x x ->-<<<有，，且)(x f 在),0+∞（上是减函数． 4．由a b b a -≤-≤有,。

高一抽象函数五大模型总结学生版

高一抽象函数五大模型总结模型一：正比例函数模型y=kx
x+y=f x+f y,已知函数f x对一切x,y∈R,都有f
当x>0时，f x<0
1证明：f 0=0;
2证明：函数f x为奇函数；
3证明：函数f x在R上为减函数.
模型二：一次函数模型y=kx-c
x+y=f x+f y+c,已知函数f x对一切x,y∈R,都有f
且当x>0时，f x>-c
1证明：f 0=-c;
2证明：函数g x=f x+c为奇函数；
3证明：函数f x在R上为增函数.
模型三：指数函数模型y=a x
已知定义域为R的函数f x对任意的实数x,y∈R均有x+y=f x f y,且当x<0时，f x>1
f
1证明：f 0=1;
2证明：当x>0时，有0<f x<1;
3证明：函数f x在R上单调递减
模型四：对数函数模型y=log a x
0,+∞均有0,+∞上的函数f x对任意的x,y∈
已知定义在
xy=f x+f y,且当x>1时，f x>0
f
1证明：f 1=0;
2证明：当0<x<1时，f x<0;
0,+∞上为增函数.
3证明：函数f x在
模型五：幂函数模型y=xα
0,+∞上的函数f x对任意x,y∈R均有已知定义在
xy=f x f y,且当x>1时，f x>1
f
1证明：f 0=0;
0,+∞上单调递增.
2证明：函数f x在。

-函数模型及其应用(人教A版必修1)课件

-函数模型及其应用(人教A版必修1)
下面再看累计的回报数,通过计算器或计算机列表如下：
天数
回报/元
123 4
5
6
方案
一
40 80 120 160 200 240
二
10 30 60 100 150 210
三
0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2
-函数模型及其应用(人教A版必修1)
天数
回报/元
9 40
0
90
10 102.4 51.2
10 40
0
100
10 204.8 102.4
……
…
…
…
…
…
30 40
0
300
10 21474 107374182
8364. .4
8
-函数模型及其应用(人教A版必修1)
再作出三个函数的图象（图3.2-1）。
-函数模型及其应用(人教A版必修1)
由表3-4和图3.2-1可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不同.
-函数模型及其应用(人教A版必修1)
问1：例2涉及了哪几类函数模型？本例的本质是什么？问2：你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否
符合公司要求吗？问3：通过对三个函数模型增长差异的比较，你能写出例
2的解答吗？
-函数模型及其应用(人教A版必修1)
分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司的总的利润目标为 1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是，只需在区间[10，1000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可.

函数图像和抽象函数

函数图像和抽象函数一、函数的图象和性质()（）一次函数：10y kx b k =+≠(k 为斜率，b 为直线与y 轴的交点)()0）反比例函数：2（≠=k xky ()（）二次函数图象为抛物线30244222y ax bx c a a x b a ac b a=++≠=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+- a bx a b ac a b 2，对称轴44，2顶点坐标为2-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 开口方向：，向上，函数a y ac b a>=-0442mina y acb a<=-0442，向下，max1212122,,||b x ab c x x x x x x a a -=+=-⨯=-=根的关系：2212121212()()()()(m n ()()()(,2()()()(,)(,)f x ax bx c f x a x m n f x a x x x x x x f x a x x x x h x h x h =++=-+=--=--+二次函数的几种表达形式：一般式顶点式，（，）为顶点是方程的个根）函数经过点（如：二次方程的两根都大于ax bx c k b a k f k 20020++=⇔≥->>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∆()一根大于k0m n 22()0()0m n ()()0b m n af m f n f m f n ∆≥⎧⎪⎪<-<⎪⇔⎨⎪>⎪>⎪⎩⇔<在区间（，）内有根在区间（，）内有1根 ()（）指数函数：，401y a a a x =>≠ ()（）对数函数，501y x a a a =>≠log二、基本运算指数运算：，a a aa a pp1010=≠=≠-(()) aa a aaa m nm n m nmn=≥=>-((010))，()l o g ()l o g l og 00a a a M N M N M N ⨯=+>>对数运算：， l o g l o g l o g l o g l o g aa a a na M N M N M nM =-=，1 对数恒等式：a x a x log =l o g l o g l o g l og l o g 1l o g l o g mn c a a a cax b n b b b a m x a=⇒==对数换底公式：幂函数y=x a (a 为常数）例如函数y=x 、y=x 2、y=1/x （注：y=1/x=x -1等都是幂函数，而y=2x 、y=x 2-x 等都不是幂函数。

高三数学一轮复习第三章第7讲抽象函数课件理新人教A版

第十六页，共22页。
(4)由f(x)·f(2x－x2)＞1，f(0)＝1得 f(3x－x2)＞f(0)．又f(x)是R上的增函数，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.
(1)指数函数型抽象函数的一般(yībān)步骤为f(0)＝1⇒
f(－x)＝f1x⇒f(x－y)＝ffxy⇒单调性．
(2)小技巧(jìqiǎo)判断单调性：设x1>x2，x1－x2>0，则f(x1－x2)>1.f(x1)＝f(x2＋x1－x2)＝f(x2)f(x1－x2)>f(x2)，得到函数是增函数．
f(1)＝f12＋12＝f12＋f12＝2f12. f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝12f(2)． f(x)f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故选 D.
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考点2 对数函数型抽象(chōuxiàng)函数例2：已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，对定义域内的任意x1， x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时f(x)>0，f(2)＝1.
(1)求证(qiúzhèng)：f(x)是偶函数； (2)求证(qiúzhèng)：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (3)解不等式 f(2x2－1)<2.
解：(1) 对定义域内的任意x1，x2都有 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，令x1＝x，x2＝－1，则有f(－x)＝f(x)＋f(－1)．
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数，又是偶函数 D．既不是(bùshi)奇函数，又不是(bùshi)偶函数
第三页，共22页。
2．函数(hánshù) f(x)满足 f(x)·f(x＋2)＝13，若 f(1)＝2，则 f(99)＝(C )

函数概念与图像ppt课件

y
3
2
1
-2 -1
o1
2x
-1
-2
y 3
2
1 -л -л/2
o л/2 л x -1
-2
跳转
前屏
继续
34
单调区间的判断
例2.写出函数的单调增区间及单调减区间
(1)y=x+1
(2)y= -x2+2x
(3)y=
增区间减区间
(-,+) 无
(-,1] [1,+)
练习：写出下列函数的单调增区间及单调减区间增区间
9
判断两函数是否为同一函数只要判断它们的定义域和对应关系是否相同即可.
练习3 判断下列各组函数是否同一函数？
(1)f(x)1,与 g(x)x0 (2)f(x)x1,与 g(x)x21
x (3 )f(x ) x 1 ,与 g (x ) |x 1 |
答案：
（1）定义域相同且对应关系相同，是同一函数
所以，f(x)= 在（01x，）上是减函数例：证明f（x）=x³在（-∞，+∞）上是增函数
且 (1)设数 (2)作差 (3)因式分解 (4)判断符号 (5)对比定义 (6)得出结论
38
单调性的证明
思考：怎样证明函数的增减性？练习
1 判断函数f(x)= - x2+1在（0，）是增函数还是减函数，并证明你的结论
15
函数图象的变换小结（平移变换）： 1. 将函数y=f(x)的图象向左（或向右）平移|k|个单位（k>0时向左，
k<0向右）得y=f(x+k)的图象。
2. 将函数y=f(x)的图象向下（或向上）平移|k|个单位（k>0时向下， k<0向上）得y +k =f(x) 的图象。

新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习第三章第九节函数模型及其应用pptx课件北师大版

1 2
x -300x+80 000,假设每处理一吨二氧化碳得到的化工产品的收入为200
2
元.
(1)该公司二氧化碳月处理量为多少吨时,每吨的平均月处理成本最低,最
低平均成本是多少?
(2)该公司利用这种技术处理二氧化碳的最大月收益是多少?(月收益=月收
入-月处理成本)
解 (1)设每吨的平均处理成本为t元,
由已知得
所以

t=
=
1 80 000
x+
-300,x∈[300,600].
2

1 80 000
1
80 000
t=2x+ -300≥2 2 · -300=2
1 80 000
x=
,即
2

40 000-300=100,当且仅当
x=400 时,等号成立.
故当二氧化碳月处理量为400吨时,每吨的平均月处理成本取得最低值100
益为282万元.
时,△AMN 的面积为
1
f(t)= ×2×[t-(2t-2)]=2-t;当
2
1
f(t)=2×2×[(2t-4)-(t-2)]=t-2;当
1
f(t)=2·
2t·
t=t2;当
1<t≤2
2<t≤3 时,△AMN 的面积为
3<t≤4 时,△AMN 的面积为
2 ,0 ≤ ≤ 1,
2-,1 < ≤ 2,
C.y=max+n(m>0,a>1)
D.y=mlogax+n(m>0,a>0,a≠1)
)
答案
B
解析由函图象可知符合条件的只有指数函数模型,并且m>0,0<a<1,故

高考专题总复习之---抽象函数ppt

） B. 增函数且最大值为 -5
y D. 减函数且最大值为 -5
5 O -7 -3 3 -5 7 x
易知选B。
回
4. 比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性、周期性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。例4.已知函数 y f x 是偶函数，且 y f x 2 在 0, 2 上是单调减函数，则（ A ） A f 0 f 1 f 2 B f 1 f 0 f 2
对f ( x)有T 8 f (2008) f (8 251 0) f (0) 1
6. 研究函数的图象
这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解
例13. 若函数
y f ( x 2) 是偶函数，则 y f ( x)
左移 2 个单位右移 2 个单位
的图象关于直线_______对称。
f(x+y)=f(x)f(y)
f(x+T)=f(x) …….
f(x)=ax
周期函数
……
5. 求函数值
紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解
例5. 已知 f ( x) 的定义域为 R ，且对一切正实
数x，y有 f ( x y) f ( x) f ( y) 都成立，若
定义域.
例1.函数 y f ( x)的定义域为 (， 1) ,则函数 y f ( x 2 2) 的定义域是。
练习已知 y f (2 x ) 的定义域为 1,1 ，求函数
y f ( x)
1 , 2 的定义域________ 。 2

第三章函数的概念与性质(单元解读)课件高一数学(人教A版必修第一册)

运算求解
能求出简单函数的定义域；能根据函数的表示方法，求出给定自变量所对应的函数值；能将函数单调性的证明转化为程序化的运算问题。
六、单元教学建议 1.做好初高中衔接 2.使学生经历完整的概念学习过程 3.要重视“事实”的教学价值
4.函数概念的教学要采用“归纳式” 5.函数性质的教学
七、单元学习难点及其突破 1. 判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A,B 必须是非空实数集. (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应. 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系.
a.数学抽象：函数的概念； b.逻辑推理：函数性质的由来； c.数学运算：求定义域、值域、函数解析式等； d.直观想象：抽象函数解不等式； e.数学建模：通过建立函数模型，借助函数与方程的思想解决实际问题.
三：课时安排
本章数学约需12课时，具体分配如下(仅共参考):
3.1函数的概念及其表示
约4课时
8.函数单调性的应用 (1)函数单调性定义的“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围. (2)若一个函数在区间[a,b] 上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.
9. 利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性. (2)利用单调性求出最大(小)值. 2. 函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x) 在区间[a,b] 上是增(减)函数，则f(x) 在区间[a,b] 上的最小(大)值是 f(a), 最大(小)值是f(b).
3.2函数的基本性质
约3课时
3.3幂函数
约1课时
3.4函数的应用(一)

3.1.1 《函数的概念》课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册(精品)

这个函数与正比例函数 y 4x相同吗? 又如，你能用已有的函数知识判断 y x 与 y x2 ，是否相同吗?
x
要解决这些问题，就需要进一步学习函数概念．
02
新知探索
New Knowledge explore
函数的概念
问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时．（1）这段时间内列车行进的路程S（单位：km)，与运行时间t(单位:h)的关系如何表示？这是一个函数吗？为什么?
函数的概念
如果让你用函数的定义重新认识一次函数，二次函数与反比例函数，那么你会怎样表述这些函数？
一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域是R,值域也是R,对应关系f把R中的任意一个数x，对应到R中唯一确定的数ax+b．
二次函数 y ax2 bx c,(a 0) 的定义域是R,记值域为B，
显然，工资W一周工作天数d的函数，其对应关系是：W=350d ②
d的变化范围是数集A2={1，2，3，4，5，6}， W的变化范围是数集B2={350，700，1050，1400，1750，2100}，
对于数集A2中的任一个工作天数d，按照对应关系②，在数集B2中都
有唯一确定的工资W与它对应.
函数的概念
【解析】由图知A中的任意一个数，B中都有唯一确定数，与之对应，
所以f：A→B是从A到B的函数，定义域A={1，2，3，4，5}，值域C={2，3，4，5}．
值域是集
合B吗？
函数的概念
函数的解析式是舍弃问题的实际背景，而抽象出来的它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律，例如正比例函数y=kx (k不等于零)，可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系，一定密度的物体的质量与体积的关系，圆的周长与半径的关系等．

高中数学专题抽象函数

高中数学专题--抽象函数抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些表达函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法〔如化归法、数形结合法等〕，这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。

常见的特殊模型:特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=x nf(xy)=f(x)f(y) [或)y (f )x (f )y x (f =]指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [)y (f )x (f )y x (f =-或对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )yx (f -=或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=+ 余切函数 f(x)=cotx)y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-=+目录：一.定义域问题二、求值问题三、值域问题四、解析式问题五、单调性问题六、奇偶性问题七、周期性与对称性问题八、综合问题一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。

例1.假设函数y = f 〔x 〕的定义域是[－2，2]，则函数y = f 〔x+1〕+f 〔x －1〕的定义域为 11≤≤-x 。

解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。

抽象函数的模型汇总【15类题型】(原卷版)- 【重难点突破】人教A版必修第一册重难点专题突破

抽象函数的模型归纳在解决抽象函数问题时，我们一定要熟悉最常见的一些基本初等函数的性质特征，再根据题目所给条件特征的吻合性，对照猜想符合条件的函数模型，应用所猜模型的性质去估计或验证所求结果.这种典型的目标前置于具体函数的导入，虽然不符合数学命题的初衷，有投机取巧的嫌疑，但确实会极大地简化和优化我们的解题过程，成为解决此类问题的一大利器,从应试的角度来说，这种解法是值得参考的.熟悉模型，并不是死记硬背，直接借用函数模型来解题，而是通过函数模型，理解模型中所涉及的性质与运算法则，提供解题思维突破口。

.【题型1】抽象函数的赋值求值【题型2】正比例函数模型(内加外加型)：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)【题型3】一次函数模型（有常数）: f(x＋y)＝f(x)＋f(y)+a【题型4】指数函数模型(内加外乘型) : f(x＋y)＝f(x)f(y)【题型5】对数函数模型(内乘外加型) ：f(xy)＝f(x)＋f(y)【题型6】幂函数模型(内乘外乘型): f(xy)＝f(x)f(y)【题型7】二次函数的抽象表达式：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2axy－c【题型8】抽象函数奇偶性与对称性问题（看不出函数模型）【题型9】抽象函数单调性与不等式问题（看不出函数模型）【题型10】正弦或双曲正弦函数的抽象表达式【题型11】余弦或双曲余弦函数的抽象表达式【题型12】正切型函数的抽象表达式【题型13】三次函数模型【题型14】正余弦函数辅助角型【题型15】其它函数的抽象表达式【题型1】抽象函数的赋值求值赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解【例1】已知函数()f x 满足()()1,12x f f x f y f y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论中正确的是（） A ．124f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()20f =C ．()41f = D ．()82f =【例2】（23-24高一上·山东·阶段练习）已知函数()f x 的定义域为R ，若()()()21f x y f x f y xy +=++-对任意实数x ，y 都成立，则()0f = ；()()441f f -= . 【例3】已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()1154f x f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()2f 的值为（）A ．152B ．154C ．174D ．172【巩固练习1】（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知()f x 是定义在R 上且不恒为零的函数，对于任意实数a ，b 满足()()()f ab af b bf a =+，若()22f =，则1(1)4f f ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．【巩固练习2】（23-24高一上·吉林·期末）已知函数()f x 对任意,x y ∈R ，恒有()()()22f x y f x f y xy +=+++，且()11f =-，则（）A ．()01f =-B ．()26f =C ．()02f =-D ．()22f =【巩固练习3】已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()31,00,f x x f x x ⎛⎫=∈-∞+∞ ⎪⎝⎭，()()()2f x f y xy f x y ++=+，则()3f 的值是（）A ．9B ．10C ．11D ．12【巩固练习4】已知定义域为R 的函数()f x ，满足 ()()()()()22f x y f x f y f x f y +=---，且()00f ≠，()20f -=，则()2f =________.【巩固练习5】已知对所有的非负整数(),x y x y ≥均有()()()()11222f x y f x y x y f x f y ++--+-=+⎡⎤⎣⎦，若()13f =，则()5f =______．【题型2】正比例函数模型(内加外加型)：f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )正比例函数的抽象表达式1、对于正比例函数()f x kx = ，与其对应的抽象函数为()()()f x y f x f y ±=± .2、有以下性质 ①()00f =②奇函数证明：令y x =-，则()()()0f x x f x f x -=+-= ③可能具有单调性（结合其他条件） 3、相似的模型()()()2f x y f x y f x ++-= ()()()2f x y f x y f x ++-=【例1】（多选题）（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，则下列说法正确的是（）A ．()00f =B ．()()()f x f y f x y -=-C ．()f x 为奇函数D ．()f x 在区间[],m n 上有最大值()f n【例2】（多选题）（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数()f x 满足()()(),,f x y f x f y x y +=+∈R ，则（）A ．(0)0f =B ．()(1),f k kf k =∈ZC ．(),(0)x f x kf k k ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭D ．()()0f x f x -<【例3】（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <，又()12f =-．(1)判断()f x 的奇偶性；(2)判断()f x 在R 上的单调性，并证明你的结论；(3)当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2220f kx f x ++>恒成立，求实数k 的取值范围．【巩固练习1】已知是定义在R 上的函数，且对任意实数,x y ， ()()()22f x y f x f y +=+. (1)若()12f =-，求12f ⎛⎫⎪⎝⎭，23f ⎛⎫⎪⎝⎭的值. (2)若时恒有()0f x <，试判断函数单调性，并说明理由.【巩固练习2】（多选）已知函数()f x 满足()()(),,f x y f x f y x y +=+∈R ，则（） A ．(0)0f =B ．()(1),f k kf k =∈ZC ．(),(0)x f x kf k k ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭D ．()()0f x f x -<【巩固练习3】（多选）定义域为R 的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，()21f =，且0x <时，()0f x <，则（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在(),-∞+∞单调递增C ．()114f -=-D ．不等式()22f x -≤的解集为{}6x x ≤【巩固练习4】（多选题）（23-24高一上·江苏无锡）定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，则下列说法正确的是（）A ．()f x 在R 上单调递减B ．复合函数()sin f x 为偶函数C ．复合函数()cos f x 为偶函数D ．当[]0,2πx ∈，不等式()1sin 02f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的解集为π5π,66⎛⎫ ⎪⎝⎭【题型3】一次函数模型（有常数）: f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )+a一次函数的抽象表达式（1）对于一次函数()f x kx b =+ ，与其对应的抽象函数为 ()()()f x y f x f y b ±=±. （2）对于一次函数()()f x k x b =- ，与其对应的抽象函数为 ()()()f x y b f x f y +-=+.【例1】已知函数()f x 的定义域为R ，()()()2f x y f x f y +=+-，则（） A ．()00f =B ．函数()2f x -是奇函数C ．若()22f =，则()20242f =-D ．函数()f x 在单调递减【例2】（多选）若定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且当0x >时，()2f x >-，则（）A ．()02f =-B ．()2f x +为奇函数C ．()f x 在R 上是减函数D ．若()12f =，则不等式()()2128f x x f x ++->的解集为{}|12x x -<<【例3】已知函数()f x 对任意x ，y ∈R ，满足条件()()()2f x f y f x y +=++，且当0x >时，()2f x >，()35f =，则不等式()2223f a a --<的解集为.【例4】已知函数()f x 对,x y ∀∈R ，都有()()()2f x y f x f y +=+-，若()()3202421xF x f x x=++在[]2024,2024-上存在最大值M 和最小值m ，则M m +=（）A ．8B ．4C ．2D ．0【巩固练习1】已知函数()f x 的定义域为R ，且()10f =，若()()()2f x y f x f y +=++，则下列说法正确的是（）A ．()14f -=-B ．()f x 有最大值C ．()20244046f =D ．函数()2f x +是奇函数【巩固练习2】（多选）设函数()f x 满足：对任意实数x 、y 都有,()()()4f x y f x f y +=+-且当0x >时，()4f x >.设()()4g x f x =-.则下列命题正确的是（）A ．(2023)(2023)8f f -+=B ．函数()f x 有对称中心(0,4)C ．函数()g x 为奇函数D ．函数()g x 为减函数【巩固练习3】（多选）若定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且当0x >时，()2f x >-，则（）A ．()02f =-B ．()2f x +为奇函数C ．()f x 在R 上是减函数D ．若()12f =，则不等式()()2128f x x f x ++->的解集为{}|12x x -<<【巩固练习4】（2023-2024学年重庆一中高一阶段测）（多选）已知定义在区间[46]-，上的函数()f x 满足：对任意m n R ∈，均有()()()1f m n f n f m -++=；当1x >时，()0f x >．则下列说法正确的是（）A ．(1)0f =B ．()f x 在定义域上单调递减C ．()1f x +是奇函数D ．若(2)1f =，则不等式(2)()2f x f x >+的解集为(2]3，【题型4】指数函数模型(内加外乘型) : f (x ＋y )＝f (x )f (y )指数函数的抽象表达式对于指数函数 ()x f x a =，与其对应的抽象函数为()()()f x y f x f y += 或()()()f x f x y f y -=，且()0f x >.1、两个式子之间的关联：()()()()()()()()()f x f x y f x f y f x f x y f y f x y f y +=⇒=-⇒-=2、单调性判断：先得出(0)(0)(0)(0)1f f f f =⇒=，再比较2211()()()f x f x x f x =-和1（即(0)f ）的大小关系 3、模型补充：（1）()()())xa f x y f x f y m x m+=⇒=；（2）()()()()x f x f x y m f x m a f y -=⇒=⋅【例1】已知函数()f x 的定义域为R ，对任意x ，y 都满足()()()f x y f x f y +=，且()0f x ≠.当0x >时，()1f x >，且()29f =. (1)求()1f ，()3f 的值；(2)用函数单调性的定义证明()f x 在R 上单调递增；(3)若对任意的R x ∈，()()()2223534f x a a f x f x -+≥--恒成立，求实数a 的取值范围.【例2】已知函数()f x 满足，()()()(),13f p q f p f q f +=⋅=，则()()()()()()()()()()()()()()()222221224364851013579f f f f f f f f f f f f f f f +++++++++的值为（）A ．15B ．30C ．60D ．75【巩固练习1】如果()()()f a b f a f b +=且()12f =，则()()()()()()246153f f f f f f ++=（）A ．125B ．375C ．6D ．8【巩固练习3】已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的实数x ，y 均有()()()f xy f x f y =，且()11f -=-，当01x <<且()()0,1f x ∈.(1)判断()f x 的奇偶性；(2)判断()f x 在()0,∞+上的单调性，并证明；【题型5】对数函数模型(内乘外加型) ：f (xy )＝f (x )＋f (y )对数函数的抽象表达式对数函数()log a f x x = 或()log a f x m x =其对应的抽象函数为()()()f xy f x f y =+ 或()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(0,)x ∈+∞ 1、单调性判断：由()()()()()x f xy f x f y f x f f y y ⎛⎫=+⇒=+⎪⎝⎭，则有()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭记120x x <<，2211()()x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再结合题目给的()f x 在()0,1或()1,+∞上的正负. 2、补充：对于对数函数()log a f x x = ，其抽象函数还可以是()()n f x nf x = 3、若()()()f xy f x f y n =++，则()()log 01,,0a f x m x n a x y =->≠>且 4、若()()()x f f x f y n y=-+，则()()log 01,,0a f x m x n a x y =+>≠>且【例1】已知定义在()0,∞+上的函数()f x ，满足()()()1f xy f x f y +=+，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()112f =（）A ．1B ．11C ．12D ．1-【例2】设函数()f x 的定义域为{|0}x x >，且满足条件()41f =，对于任意()12,0,x x ∈+∞，有()()()1212f x x f x f x =+，且当12x x ≠时，有()()21210f x f x x x ->-.(1)求()16f 的值；(2)若(6)()2f x f x ++>，求x 的取值范围.【例3】已知函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，且()()()f xy f x f y =+．当(0,1)x ∈时，()0f x <． (1)求(1)f ；(2)证明：函数()y f x =在(0,)+∞为增函数； (3)如果112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解不等式1()()32f x f x -≥-．【例4】已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，对任意正实数1x ，2x 都有()()()12121f x x f x f x =++，且当01x <<时，()1f x >-． (1)求()1f 的值；(2)试判断()f x 的单调性，并证明；(3)若()26510f x x -+>，求x 的取值范围．【巩固练习1】已知函数()()0y f x x =≠满足()()()1f xy f x f y =+-，当1x >时，()1f x <，则（） A ．()f x 为奇函数 B ．若()211f x +>，则10x -<< C ．若()122f =，则()10244f =- D ．若122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1101024f ⎛⎫= ⎪⎝⎭【巩固练习2】已知函数()f x 在区间()0,∞+上是严格增函数，且()()()f x y f x f y ⋅=+． (1)求证：()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)已知()31f =，且()()12f a f a >-+，求a 的取值范围．【巩固练习3】已知函数()f x 的定义域为R ，对任意的,a b ∈R ，都有()()()f a f b f a b =+．当0x <时，()1f x >，且(0)0f ≠．(1)求(0)f 的值，并证明：当0x >时，0()1<<f x ； (2)判断()f x 的单调性，并证明； (3)若1(2)2f =，求不等式()215616f t t ->的解集．【巩固练习4】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数()f x 满足()()()1f xy f x f y =+-，且()0,x y ∈+∞,，则()()()1112332f f f f f ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．0B ．1C ．5D ．52【题型6】幂函数模型(内乘外乘型): f (xy )＝f (x )f (y )幂函数函数的抽象表达式对于幂函数()a f x x = ，与其对应的抽象函数为()()()f xy f x f y =或()()x f x f y f y ⎛⎫=⎪⎝⎭奇偶性性判断：令1y =-单调性判断：()()()()()2212111111x x f x f x f x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2111xf x f x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【例1】已知对任意实数,x y 都有()()()f xy f x f y =，且()()11,279f f -==，当01x ≤<时，()[)0,1f x ∈，若0a ≥且(1)f a +≤a 的取值范围 .【例2】已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的实数x ，y 均有()()()f xy f x f y =，且()11f -=-，当01x <<且()()0,1f x ∈.(1)判断()f x 的奇偶性；(2)判断()f x 在()0,∞+上的单调性，并证明；【例3】已知0x ≠时，函数()f x >，对任意实数,x y 都有()()()f xy f x f y =，且(1)1,(27)9f f -==，当01x ≤<时，()[0,1)f x ∈ （1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在[0,)+∞上的单调性，并给出证明；（3）若0a ≥且(1)f a +≤a 的取值范围.【巩固练习1】已知定义在R 上的函数()f x 在[)0,+∞上是增函数，且对任意的x ，y ，都有()()()f xy f x f y =，若()11f -=，则()1f x <的解集为．【巩固练习2】已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()(),,0,x y f xy f x f y f x ∀∈+=R 在[)0,+∞上单调递减，()11f -=，则满足()1f x <的x 的取值范围为 .【巩固练习3】某问题的题干如下：“已知定义在R 上的函数()f x 满足：①对任意R x y ∈､，均有()()()2f xy f x f y =⋅；②当0x >时，()0f x >；③(2)16f =.”某同学提出一种解题思路，构造()0)(·b f x a x a =≠，使其满足题干所给条件.请按此同学的思路，解决以下问题.(1)求()f x 的解析式；(2)若方程2()2mx f x x =-恰有3个实数根，求实数m 的取值范围.【巩固练习4】已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的实数x ，y 均有()()()f xy f x f y =，且()11f -=-，当01x <<且()()0,1f x ∈.(1)判断()f x 的奇偶性；(2)判断()f x 在上的单调性，并证明；(3)若对任意1x ，[]21,1x ∈-，[]1,1a ∈-，总有()()212221f x f x m am -≤-+恒成立，求实数m 的取值范围.【题型7】二次函数的抽象表达式：f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2axy －c二次函数的抽象表达式对于二次函数2()f x ax bx c =++ ，与其对应的抽象函数为()()()2f x y f x f y axy c +=++-()()()()()22222=++2=+++2=2f x y a x y b x y c ax bx ay by c axy ax bx c ay by c axy c f x f y axy c+=++++++++++-++-此模型，b 的值无法推导，多依赖其他条件来待定系数确认.【例1】已知函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++，若()11f =，则()25f =（） A ．25 B ．125 C ．625 D ．15625【例2】已知函数()f x 的定义域为R ，()()()2f x y xy f x f y ++=+，()12f =，则下列说法不正确的是（） A ．()00f =B ．()210f -=-C ．()2y f x x =+是奇函数D ．()2y f x x =-是偶函数【例3】已知函数()f x 满足：x ∀，∈Z ，()()()21f x y f x f y xy +=+++成立，且(2)1f -=，则()()*2f n n ∈=N （）A ．46n +B ．81n -C ．2421n n +-D ．2825n n +-【巩固练习1】定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ,y ∈R )，f (1)＝2，则f (3)= ， f (-3)= .【巩固练习2】（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）（多选）已知函数()f x 对任意,x y ∈R 恒有()()()41f x y f x f y xy +=+++，且()11f =，则（）A ．()01f =-B ．()f x 可能是偶函数C ．()28f =D ．()f x 可能是奇函数【巩固练习3】对于每一对实数x ，y ，函数f 满足函数方程()()()1f x f y f x y xy +=+--，如果()11f =，那么满足()()1,f m m m m =≠∈Z 的m 的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数多个【巩固练习4】已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()22,(1)2f x f y f x y xy f +=+-+=，则下列结论正确的是（） A ．(4)12f =B ．方程()f x x =有解C ．12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数D ．12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数【题型8】抽象函数奇偶性与对称性问题（看不出函数模型）证明奇偶性：利用定义和赋值的方法找到(-)f x 与()f x 的关系【例1】（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()f a f b f a ab b -=-，则（） A ．()00f = B ．()12f =C ．()1f x -为偶函数D ．()1f x -为奇函数【例2】（23-24高一上·重庆·期末）（多选）已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且()133f =，则下列说法正确的是（）A ．若对任意x ，R y ∈，总有()()()f xy yf x xf y =+，则()f x 是奇函数B ．若对任意x ，R y ∈，总有()()()f x y f x f y +=+，则()f x 是偶函数C ．若对任意x ，R y ∈；总有()()()f xy yf x xf y =+，则11327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．若对任意x ，R y ∈，总有()()()f x y f x f y +=+，则11327f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【例3】已知对任意实数x ，y ，函数()f x 满足()()()111f xy f x f y +=+++，则()f x （）A ．有对称中心B ．有对称轴C ．是增函数D ．是减函数【例4】已知函数()f x 的定义域为R ，且102f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，若()()()4f x y f x f y x y ++=，则下列结论错误的是（） A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．函数12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数D ．函数12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是减函数【巩固练习1】（多选）已知定义在R 上的函数()f x ，对任意实数,x y ，都有()()()f xy yf x xf y =+，则（） A ．()00f = B ．()10f = C ．()()16162f f = D ．()f x 为奇函数【巩固练习2】（多选）（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）已知函数()f x 对任意,x y ∈R 恒有()()()41f x y f x f y xy +=+++，且()11f =，则（）A ．()01f =-B ．()f x 可能是偶函数C ．()28f =D ．()f x 可能是奇函数【巩固练习3】（23-24高一上··期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()2f xy f x f y f x f y =--+，()()01f f <，且()0f x >.(1)求()1f -的值；(2)判断()f x 的奇偶性，并证明.【巩固练习4】设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f -<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=-+-．则()55f =______．【巩固练习5】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()2f xy f x f y f x f y =--+，()02f <，()()01f f ≠，且()0f x >．(1)求()0f ，()1f ，()1f -的值；(2)判断()f x 的奇偶性，并证明．【巩固练习6】（福建泉州·期末）已知定义在R 上的函数(),,R f x x y ∀∈，()()()()23f x y f x y f x f y ++-=，且()0f x ≠，则下述结论中正确的是（）A ．()01f =B ．若()11f =，则()20242024f =C ．()f x 是偶函数D ．()R,2x f x ∃∈=-【巩固练习7】（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）（多选）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()()(2)(2)f x y f x f y f x f y +=⋅---，且()()00,20f f ≠-=，则（）A ．()21f =B ．()f x 是偶函数C ．22[()][(2)]1f x f x ++=D ．()()()()12320241f f f f ++++=【题型9】抽象函数单调性与不等式问题（看不出函数模型）判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：或;②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：或.【例2】（23-24高一上·湖北鄂州阶段测）已知定义在()1,1-上的函数()f x 满足：对(),1,1x y ∀∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，且当()1,0x ∈-时，()0f x >．(1)判断函数()f x 的奇偶性并用定义证明；(2)判断函数()f x 在()1,1-上的单调性，并用单调性定义证明；(3)解不等式：()1101f x f x ⎛⎫++> ⎪-⎝⎭．() =+y x f ()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-() =xy f ()()()112112x f xx x f x f x f -⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=-()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f【巩固练习1】（23-24高一上·山东·阶段练习）已知定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x 满足()()()()()f x f y f y f x f x y -=-，当0x >时，()0f x >，且(1)1f =．(1)求(2),(1)f f -；(2)判断()f x 的奇偶性，并说明理由；(3)判断()f x 在(,0)-∞上的单调性，并说明理由．【巩固练习2】（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为()(),00,I =-∞+∞的函数()f x 满足对任意12,x x I ∈，都有())()12121f x x x f x x f x =+ (1)求证：()f x 是奇函数； (2)设()()f x g x x=，且当1x >时，()0g x <，求不等式()()31g x g x ->-的解集．【巩固练习3】（23-24高一上·广东湛江·阶段测）已知定义在()(),00,-∞+∞上的函数()f x 满足()()()()f xy f x f y f x y +=+，当0x <时，()0f x <，且()11f =．(1)求()()2,1f f -；(2)判断()f x 的奇偶性，并说明理由；(3)判断()f x 在(),0-∞上的单调性，并用定义证明．【巩固练习4】设定义在R 上的函数()f x 对任意,R x y ∈均满足：()()2()2x yf x f y f ++=，且(0)0f =，当0x >时，()0f x >.(1)判断并证明()f x 的奇偶性；(2)()f x 在R 上的单调性 (3)若(2)1f =，解不等式(21)2(3)f m f m -≤-+.【巩固练习5】（高一上·广东广州）定义在R 上的函数()y f x =满足：①值域为(1,1)-，且当0x >时，1()0f x -<<，②对定义域内任意的,x y ，满足()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=+⋅，试回答下列问题：(1)判断并证明函数()y f x =的奇偶性；(2)判断并证明函数()y f x =的单调性；(3)对(0,),[1,2]m a ∀∈+∞∃∈-，使得不等式()22(23)f am mt f m a m --≥+恒成立，求t 的取值范围．【巩固练习6】（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+．(1)判断()y f x =的奇偶性并证明；(2)若()11f =，求()2f -；(3)若()30,0x f x x ∀>+>，判断并证明()3y f x x =+的单调性．【题型10】正弦或双曲正弦函数的抽象表达式正弦型函数的抽象表达式对于正弦函数()sin f x kx = ，与其对应的抽象函数为22()()()()f x y f x y f x f y +-=- 注：此抽象函数对应于正弦平方差公式：22sin sin sin()sin()αβαβαβ-=+-备注：这类函数，还有可能是双曲正弦函数型()2x xe ef x --=【例1】已知函数()f x 的定义域为()()()()22R,f x y f x y f x f y +-=-，且当0x >时，()0f x >，则（） A ．()01f = B ．()f x 是偶函数C ．()f x 是增函数D ．()f x 是周期函数【例2】（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()()223,122f x y f x y f x f y f f x ⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．()f x 为偶函数C ．(3)(3)f x f x +=--D ．(1)(2)(3)(2023)f f f f ++++=【巩固练习1】（多选题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()22f x y f x y f x f y +-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()11,21f f x =+为偶函数，则（）A ．()00f =B ．()f x 为偶函数C ．()()22f x f x +=--D ．(1)(2)(3)(2024)0f f f f ++++=【巩固练习2】（多选题）（2024·辽宁·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，且22()()()(),(1)2,(2)0f x y f x y f x f y f f +-=-==，则下列说法中正确的是（）A ．()f x 为偶函数B ．(3)2f =-C ．(1)(5)f f -=D ．20242()2k f k ==-∑【巩固练习3】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，且22()()()(),(1)1,(2)0f x y f x y f x f y f f +-=-==，则下列说法中正确的是（）A ．()f x 为偶函数B ．(3)1f =-C ．(1)(5)f f -=-D ．20231()1k f k ==∑【题型11】余弦或双曲余弦函数的抽象表达式余弦型函数的抽象表达式对于余弦型函数()cos f x kx = ，涉及2种余弦的和差化积公式 1、公式一：cos cos 2coscos22αβαβαβ+-+=其抽象函数模型是：()()222x y x y f x f y f f +-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2、公式二：cos()cos()cos cos 2αβαβαβ++-=（2022新高考2卷T8用的就是这个模型）2其抽象函数模型是：2()()()()f x f y f x y f x y =++-3、双曲余弦函数：这类抽象表达式，还有可能是双曲余弦函数型()2x xe ef x -+=，不过较少出现特征：()()cosh 12x x e e f x x -+==≥=【例1】（多选）已知定义在R 上的连续函数()f x 满足,x y ∀∈R ，()()()()f x y f x y f x f y ++-=，()10f =，当[)0,1x ∈时，()0f x >恒成立，则下列说法正确的是A ．()01f =B ．()f x 是偶函数C ．13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()f x 的图象关于2x =对称【例2】（多选）已知函数()f x 满足()()()(),R,2x y f x y f x y f x f y ∀∈++-=，且()10f =，则下列命题正确的是（） A ．()21f = B ．()1f x +为奇函数C ．()f x 为周期函数D ．0R x ∃∈，使得()020f x +=成立【例3】（多选）已知函数()y f x =对任意实数x ，y 都满足()()222x y x y f f f x f y +-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，且()11f =-，则下列说法正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()00f =C ．()()10f x f x +-=D ．()()()()12320231f f f f +++⋅⋅⋅+=-【例4】（多选）已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()()()222f x y f x y f x f y +-=+，且()11f =-，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．()f x 为偶函数C ．()()2f x f x =D ．2是函数()f x 的一个周期【巩固练习1】已知函数()f x 定义域为R ，满足()()()()()11,f f x y f x yf x f y =++-=，则()8f = .【巩固练习2】（多选）函数() f x 的定义域为R ，且满足()()()() 2f x y f x y f x f y ++-=，()41f =-，则下列结论正确的有（）A ．()00f =B ．()20f =C ．()f x 为偶函数D ．()f x 的图象关于()1,0对称【巩固练习3】（多选）函数() f x 的定义域为R ，且满足()()()() 2f x y f x y f x f y ++-=，()41f =-，则下列结论正确的有（）A ．()00f =B ．()20f =C ．()f x 为偶函数D ．()f x 的图象关于()1,0对称【巩固练习4】已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()(),11f x f y f x y f x y f ⋅=++-=，则下列选项不正确的是（） A ．()02f = B ．()f x 为偶函数C ．()()6f x f x =+D ．()f x 在区间[]0,4上单调递减【巩固练习5】已知定义在上的函数()f x 满足：()112f =，且()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，则下列结论正确的是（） A ．()00f =B ．()f x 的周期为4C ．()21f x -关于12x =对称 D ．()f x 在()0,∞+单调递减【巩固练习6】（2022新高考2卷T8）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【题型12】正切型函数的抽象表达式正切型函数的抽象表达式对于正切型函数 ()tan f x kx =（k 根据其余条件待定系数），此抽象函数对应于正切函数和差角公式：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=与其对应的抽象函数为()()()1()()f x f y f x y f x f y ±±=【例1】（多选）已知函数()f x 的定义域为{}42,x x k k Z ≠+∈，且()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=-，()11f =，则（） A ．()00f = B ．()f x 为偶函数C ．()f x 为周期函数，且4为()f x 的周期D ．()20231f =-【例2】（多选题）已知函数()f x 满足(1)1f =，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-，则（）A ．()00f =B ．()()f x f x -=-C ．()f x 的定义域为RD ．()f x 的周期为4【例3】已知函数()f x ()1,1-，满足：当0x >时，()0f x >；任意的x ，()1,1y ∈-，均有()()()()()1f x y f x f y f x f y ⎡⎤+-=+⎣⎦.若()1ln 2f x f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则x 的取值范围是（）（e 是自然对数的底数）A ．1e ⎛ ⎝B ．C ．)e 1e ⎛⋃ ⎝D ．)e【巩固练习1】给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A ．()3x f x =B ．()sin f x x =C ．2()log f x x =D ．()tan f x x =【巩固练习2】（多选题）（23-24高二上·广东茂名·阶段测）已知函数()f x 的定义域为{}42,x x k k ≠+∈Z ，且()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=-，()11f =，则（）A ．()00f =B ．()f x 为偶函数C ．()f x 为周期函数，且2为()f x 的周期D ．()20231f =-【巩固练习3】（多选）已知函数()f x 的定义域为(1,1),()()1x y f x f y f xy ⎛⎫+-+= ⎪+⎝⎭，且当(0,1)x ∈时，()0f x >，则下列说法正确的是（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 为增函数C ．若实数a 满足不等式(2)(1)0f a f a +->，则a 的取值范围为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．111236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【巩固练习4】已知定义在()1,1-上的函数()f x 满足：当0x >时，()0f x >，且对任意的x ，()1,1y ∈-，均有()()()()()1f x y f x f y f x f y ⎡⎤+-=+⎣⎦.若()1ln 2f x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围是（e 是自然对数的底数）（）A ．B ．1e ⎛ ⎝C ．)D ．)e 1e ⎛⋃ ⎝【题型13】三次函数模型三次函数型：()()()()3，f x y f x f y axy x y +=+++则()3f x ax bx =+（其中b 可以借助其他条件待定系数）【例1】（多选）（2024·福建莆田·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+，则（）A ．()y f x =是奇函数B ．若()11f =，则()24f -=C ．若()11f =-，则()3y f x x =+为增函数D ．若()30,0x f x x ∀>+>，则()3y f x x =+为增函数【巩固练习1】已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+，证明：()y f x =是奇函数【巩固练习2】（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+．(1)判断()y f x =的奇偶性并证明；(2)若()11f =，求()2f -；(3)若()30,0x f x x ∀>+>，判断并证明()3y f x x =+的单调性．【题型14】正余弦函数辅助角型正余弦函数辅助角型，形如()()()2cos f x y f x y f x y ++-=⋅ 则()sin cos f x a x b x a b =+，，值可以通过其他条件待定系数【例1】已知函数()f x 的定义域为()()()R,2cos f x y f x y f x y ++-=且()01f =，π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭么（）A ．()f x 为偶函数B ．()π1f =C ．π2x =是函数的最大值点 D ．()f x 的最小值为2-【巩固练习1】已知函数()f x 的定义域为R ，且()π012f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，若()()()2cos f x y f x y f x y ++-=⋅，则函数()f x （）A ．以π为周期B ．最大值是1C ．在区间ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D ．既不是奇函数也不是偶函数【巩固练习2】（多选题）已知定义域为R 的函数()f x 对任意实数x 、y 满足()()()2cos f x y f x y f x y ++-=，且()00f =，π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．其中正确的是（）A ．π142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 为奇函数C ．()f x 为周期函数D ．()f x 在(0,π)内单调递减【题型15】其它函数的抽象表达式1、反比例函数：()()()()()f x f y f x y f x f y +=+，则(1)()f f x x=，,(),(),()0x f x f y f x y ⎡⎤⎣⎦+均不为 2、()ln f x x x =：()()()f xy xf y yf x =+3、2()ln f x x x =：()()()22f xy x f y y f x =+【例1】（江苏省G4联盟联考）（多选）定义在()0,∞+上的函数()f x 满足如下条件：①()()()22f xy x f y y f x =+；②当1x >时，()0f x >.则（）A ．()10f =B ．()2f x x在()0,∞+上是增函数C ．()f x 是周期函数D ．()10f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭【巩固练习1】已知定义在R 上且不恒为0的函数()f x ，对任意的,R x y ∈，都有()()()f xy xf y yf x =+，()22f =（1）求()8f ；（2）证明函数()f x 是奇函数【巩固练习2】（2023新高考1卷12题）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点（高一可改为单调性相关的问题）。

抽象函数ppt课件

You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
f (x) 的定义域．
例 2 已知函数 f (x2 2x 2) 的定义域为0，3，求函数 f (x) 的定义域．
解：由 0≤ x ≤3，得1≤ x2 2x 2≤5 ．令 u x2 2x 2 ，则 f (x2 2x 2) f (u) ，1≤u ≤5 ．
故 f (x) 的定义域为1，5 ．
抽象函数专题讲解
抽象函数初步
• 抽象函数：没有给出具体解析式的函数。 • 在高考中，常以抽象函数为载体，考查函数的定义域、值域、单
调性、奇偶性、周期性及图象问题。
一、抽象函数定义域
1．已知 f (x) 的定义域，求 f g(x) 的定义域
其解法是：若 f (x) 的定义域为 a ≤ x ≤b ，则在 f g(x) 中，a ≤ g(x) ≤b ，从中解得 x
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切创伤的并非时间,而是爱.
Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
谢谢！
请您欣赏
励志名言
The best classroom in the world is at the feet of an elderly person.
的取值范围即为 f g(x) 的定义域．
例 1.已知函数 f (x) 的定义域为1，5，求 f (3x 5) 的定义域．

抽象函数的性质-奇偶性、对称性、周期性、单调性课件-2024届高三数学一轮复习

()±()
∓()()
f(x±y)=
余弦函数f(x)=cos x
正切函数f(x)=tan x
常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型:
抽象函数f(x)具有的性质
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x+y)=f(x)+f(y)-b
f(xy)=f(x)f(y)

f(xy)= f(x)f(y)或者
g(x)=f′(x).若 f( -2x),g(2+x)均为偶函数,则(

A.f(0)=0
解析:法一

B.g(-)=0
C.f(-1)=f(4)
)
D.g(-1)=g(2)
不妨取 f(x)=1(x∈R),经验证满足题意,但 f(0)=1,所以选项 A 不正确.
因为 f( -2x)为偶函数,所以 f( -2x)=f( +2x), 所以 f( -2× )=f( +2× ),即 f(-1)=f(4),所以 C 正确;
()

f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y)
f(x±y)=f(x)f(y)∓g(x)g(y)
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
()±()
f(x±y)=
∓()()
正弦函数f(x)=sin x 余弦函数g(x)=cos x
余弦函数f(x)=cos x 正弦函数g(x)=sin x
f(2)=3f(2)=3,所以 f(2)=1.
因为 f(2)=f( × )=f( )+f( )=2f( ),所以 2f( )=1,

所以 f( )= .
答案:(1)

新旧版本教材第三章函数概念与性质教材分析与教学建议课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

通过具体实例,结合 y x , y 1 , y x2 , y x , y x3 的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数. x
4.函数应用体会函数与现实世界的密切联系,初步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具. 5.函数的形成与发展收集函数概念的形成与发展的历史资料，撰写论文,论述函数发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献.
三、本章教材与原教材相应内容的主要区别和联系
（三）教材内容对比
旧教材
新教材
课本66页的例3，是对旧教材例题的改编，解析式与旧教材例题一样，解析式中的字母发生了改变，从而帮助学生理解函数表达与字母无关，进一步强化函数三要素.
三、本章教材与原教材相应内容的主要区别和联系
（三）教材内容对比
课本68页的例6是新增加的题目，是在例5的基础上进一步考查分段函数图象的画法，题目中提出了两个函数中较大者函数的概念，课后练习3对应着给出了两个函数中较小者函数.课后习题12题，是对例6内容的进一步加深和补充.
新教材77页新增思考题，意在引导学生体会函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，函数在某个区间上单调，并不意味着函数在整个定义域内都是单调的.
三、本章教材与原教材相应内容的主要区别和联系
（三）教材内容对比
旧教材Βιβλιοθήκη 新教材新教材78页的例1换成了学生熟悉的一次函数单调性的证明.这可以让学生进一步熟悉用定义证明函数单调性的过程，同时也是对初中所学知识的一个严格的证明，是初高中衔接的重要体现.讲解这部分内容时，我们可以引导学生去证明、总结初中所学的另外两个函数（二次函数、反比例函数）的单调性，进一步提升常用函数中单调性的理解.例题的证明过程中将抽象的图像语言转化为比较大小，进而引入做差法，体现了转化化归的思想.

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第5讲函数的图象1、若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )A 、⎝⎛⎭⎫1a ，bB 、(10a,1－b )C 、⎝⎛⎭⎫10a ，b ＋1 D 、(a 2,2b )2、下列四个函数中，图象如图K3－5－1所示的只能是( )图K3－5－1A 、y ＝x ＋lg xB 、y ＝x －lg xC 、y ＝－x ＋lg xD 、y ＝－x －lg x3、方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( )A 、没有根B 、有且仅有一个根C 、有且仅有两个根D 、有无穷多个根4、与函数y ＝0.1lg(2x －1)的图象相同的函数是( )A 、y ＝2x －1⎝⎛⎭⎫x >12B 、y ＝12x －1C 、y ＝12x －1⎝⎛⎭⎫x >12 D 、y ＝⎪⎪⎪⎪12x －15、设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是( )A BC D6．方程lg x ＝sin x 的实根的个数为( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个7、在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f (x )的图象恰好通过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．有下列函数：①f (x )＝sin2x ；②g (x )＝x 3；③h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x；④φ(x )＝ln x . 其中是一阶整点函数的是( )A 、①②③④B 、①③④C 、①④D 、④8、关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是____．9、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －2 (x ≤－1)，(x －2)(|x |－1) (x >－1)，如果方程f (x )＝a 有四个不同的实数根，求实数a 的取值范围．10、设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a .(1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．第6讲函数与方程1、设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (x ≤0)，x 2 (x >0).若f (a )＝4，则实数a ＝( )A 、－4或－2B 、－4或2C 、－2或4D 、－2或22、由下表知f (x )＝g (x )有实数解的区间是( )A 、(－1,0)B 、(0,1)C 、(1,2)D 、(2,3)3、设函数f (x )＝x 3－4x ＋3＋ln x (x >0)，则y ＝f (x )( )A 、在区间⎝⎛⎭⎫0，12，⎝⎛⎭⎫12，2内均无零点B 、在区间⎝⎛⎭⎫0，12，⎝⎛⎭⎫12，2内均有零点 C 、在区间⎝⎛⎭⎫0，12内无零点，在区间⎝⎛⎭⎫12，2内有零点 D 、在区间⎝⎛⎭⎫0，12内有零点，在区间⎝⎛⎭⎫12，2内无零点4、函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( )A 、没有零点B 、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点5、若关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1<0<x 2<2，则k 的取值范围是( )A 、⎝⎛⎭⎫－34，0B 、⎝⎛⎦⎤－34，0C 、⎝⎛⎭⎫0，34D 、⎣⎡⎭⎫0，346、设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝______.7、函数f (x )＝ln(x ＋2)－2x的零点所在区间是(n ，n ＋1)，则正整数n ＝____.8、下面是用区间二分法求方程2sin x ＋x －1＝0在[0,1]内的一个近似解(误差不超过0.001)的算法框图，如图K3－6－1所示，则判断框内空白处应填入____________，才能得到需要的解．图K3－6－19、已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．10、已知函数f(x)＝e x＋2x2－3x.(1)求证：函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x的近似值(误差不超过0.2)；(2)当x≥1时，若关于x的不等式f(x)≥ax恒成立，试求实数a的取值范围(参考数据e≈2.7，e≈1.6，e0.3≈1.3)．第7讲抽象函数1、下列四类函数中，有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是()A、幂函数B、对数函数C、指数函数D、余弦函数2、设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，已知x1>0，x2<0，且f(x1)<f(x2)，那么一定有()A、x1＋x2<0B、x1＋x2>0C、f(－x1)>f(－x2)D、f(－x1)·f(－x1)<03、已知函数f (x )是定义在R 上的函数且满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x )，若x ∈(0,3)时，f (x )＝log 2(3x ＋1)，则f (2 011)＝( )A 、4B 、－2C 、2D 、log 274、已知定义域为R 的偶函数f (x )的一个单调递增区间是(2,6)，那么x 的函数f (2－x )有( )A 、对称轴为x ＝－2，一个递减区间是(4,8)B 、对称轴为x ＝－2，一个递减区间是(0,4)C 、对称轴为x ＝2，一个递增区间是(4,8)D 、对称轴为x ＝2，一个递增区间是(0,4)5、若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R ，有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，则下列说法一定正确的是( )A 、f (x )为奇函数B 、f (x )为偶函数C 、f (x )＋1为奇函数D 、f (x ＋1)为偶函数6、已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A 、f (－25)＜f (11)＜f (80) B 、f (80)＜f (11)＜f (－25) C 、f (11)＜f (80)＜f (－25) D 、f (－25)＜f (80)＜f (11)7、对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；④f (x 1)－1x 1<0(x 1≠0)；⑤f (－x 1)＝1f (x 1).当f (x )＝2x 时，上述结论中正确结论的序号是________．8、已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2为偶函数，对于函数y ＝f (x )有下列几种描述： ①、y ＝f (x )是周期函数； ②、x ＝π是它的一条对称轴； ③、(－π，0)是它图象的一个对称中心；④、当x ＝π2时，它一定取最大值．其中描述正确的是____________．9、设函数y ＝f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，并且同时满足下面两个条件：①对正数x ，y 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )； ②f ⎝⎛⎭⎫12＝1.(1)求f (1)和f (4)的值； (2)求满足f (x )＋f (5－x )>－2的x 的取值范围．10、函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x ＞0时，f (x )＞1. (1)求证：f (x )是R 上的增函数； (2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)＜3.第8讲函数模型及其应用1、在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，每吨为800元；购买2 000吨，每吨为700元．一客户购买400吨，单价应该是( )A 、820元B 、840元C 、860元D 、880元2、用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( ) A 、3 B 、4 C 、6 D 、123、已知某驾驶员喝了m 升酒后，血液中酒精的含量f (x )(毫克/毫升)随时间x (小时)变化的规律近似满足表达式f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5x －2(0≤x ≤1)，35·⎝⎛⎭⎫13x(x ＞1)，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不超过0.02毫克/毫升，此驾驶员至少要过( )小时后才能开车(精确到1小时)．4、进货单价为80元的商品400个，按90元一个可以全部卖出，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少20个，问售价()元时获得的利润最大？()A、85B、90C、95D、1005、某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为______台．6、某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是______．7、某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款______元．8、如图K3－8－1(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图K3－8－1(2)(3)所示．图K3－8－1给出以下说法：(1)图(2)的建议是：提高成本，并提高票价；(2)图(2)的建议是：降低成本，并保持票价不变；(3)图(3)的建议是：提高票价，并保持成本不变；(4)图(3)的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是________．9、已知某企业原有员工2 000人，每人每年可为企业创利润3.5万元．为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元．据评估，当待岗员工人数x 不超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利润⎝⎛⎭⎫1－81100x 万元；当待岗员工人数x 超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利润0.959 5万元．为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？10、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式； (2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)．。