第十一章动量定理

m1
ω1
2、两均质轮质量均为m1，半径均为R， 两轮 间距离为 d，履带质量为m，长为 L，求 (1)系统的动量；(2)除去与地面接触的履 带以外的履带的动量。 解：(1) 系统的动量为各部分动量的矢量和 p轮1 = p轮2 = m1 v ；p带= m v
m1
m v R d
m1 R
p = p轮1 + p轮2 + p带 = ( 2 m1 + m )v
I y Fy (t )dt
t2 t1
I z Fz (t )dt
t2 t1
3、力系的冲量 作用于质点系中力系的各力冲量的矢量和称为力系的冲量，即
I I i Fi (t )dt
t2 t1
t2
t1
F (t )dt
i
t2
t1
FR (t )dt
结论：力系的冲量等于力系的主矢在同一时间内的冲量。
Fy (m1 m2 ) g m2 2e cos t
三. 质点系的动量守恒定律 ★当作用于质点系上的外力主矢恒等于零时，则质点系 的动量保持不变。 当 F ( e ) 0, p p0 =常矢量 R ★当作用于质点系上的外力主矢在某轴（如x轴）上投 影恒等于零时，则质点系的动量在该轴上的投影保持 不变。
t2 t1
质点动量定理 的积分形式
即：质点在 t1 至 t2 时间内动量的改变量等于作用于其上的力在同 一时间内的冲量。
二、质点系的动量定理 设质点系有 n 个质点，第 i 个质点的质量为 mi，速度为 vi； ··· ··外力， i(i) ··· F ··· ··内力， 受力Fi(e) ···
d (mi vi ) ( Fi ( e ) Fi (i ) )dt Fi ( e ) dt Fi (i ) dt
题非常方便简捷 。
几个有意义的实际问题
地面拔河与太空拔河，谁胜谁负？
冰上拔河，谁胜谁负？
几个有意义的实际问题
偏心转子电动机工作时为什么会左 右运动；会不会上下跳动？
蛤蟆夯是如何工作的？
几个有意义的实际问题
隔板
水 池
蹲在磅秤上的人站起来时，磅秤 指示数会不会发生变化？
水
光滑台面
抽去隔板后将会发生 什么现象？
dp Fi dt dI
(e) i 1 i 1
n
n
(e) i
或
n dp Fi ( e ) dt i 1
质点系动量定理 的微分形式
质点系的动量对时间的一阶导数等于作用于质点系的外力的矢量和 在瞬时 t1至 t2 段时间内积分，有
质点系动量定理的积分形式
n n

p2 p1
dp Fi dt
当 F ( e ) 0, p x p0 x =常量 x
质点系动量守恒的实例
• 炮身与炮弹 • 水平飞行时的火箭 • 人与小船
结论：只有外力才能改变质点系的动量；内力不能改变质
点系的动量，但能改变其中各部分的动量。
• 动量守恒方程中的速度必须是绝对速度； • 应确定一个正方向，严格按照动量投影的正负号去计算；
• 动量守恒定理常用来求速度。
实例分析—太空拔河
宇航员A、B的质量分别为mA、mB。开始时二人在太空保持静止。若A的 力气大于B，则拔河胜负如何？
C
vA
F ( e) 0,
vB
mAv A mB v B (mA mB )vC 0
∴ 二人拔河不分胜负！
例题4 火炮（包括炮车与炮筒）的质量是 m1，炮弹的质量是 m2，
(2) p带=
d 2R 2(d R) = m v = p m2v mv mv 带 L L L
二、冲量 力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作用 时间内对物体作用的累积效应的度量。 1、常力的冲量·· ·· ··常力矢量与其作用时间的乘积。
I Ft
2、变力的冲量
与动量的量纲相同
1 2 H gt t 2
由质点动量定理得
2H g
P
0－0＝N*τ－P (t＋τ)
1 2H 1 2 1.5 t N * P 1 P 1 30 0.01 9.8 1 1690 kN g
§11-2 动量定理
一、质点的动量定理 若质量m恒定，则牛顿第二定律可写为
d 质点动量定理 d(mv ) Fdt (mv ) F 或 的微分形式 dt 即：质点的动量对时间的导数等于作用于其上的力。
在t1至t2时间内积分，得

v2
v1
d (mv ) Fdt
t2 t1
mv 2 mv1 Fdt I
I x 0.27 tan 0.0605 I y 4.46
3.5o
例题2 重30kN的重锤自高H＝1.5m自由落下并打在工件上，工件在锻锤的打 击下发生变形，变形所经历的时间τ＝0.01s。
x
求：锻锤对工件的平均压力。
H=1.5m
解：以锻锤为研究对象。工件的反力与工件的变形 有关，工件变形是在时间τ内的变化，所以工件的 反力也是变化的，现取平均值N*。
动力学普遍定理概述
对质点动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。
对质点系动力学问题： 理论上讲，n个质点列出3n个微分方程， 联立求解即可。 实际上的问题是： 1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非常困难； 2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运 动,仅需 要研究质点系整体的运动情况。 从本章起, 讲述解答动力学问题的其它方法, 而首先要讨论的是动力学普遍 定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理)。 表明两种量 —— 一种是同运动特征相关的量(动量、动量矩、动能等)， 一种是同力相关的量(冲量、力 矩、功等) —— 之间的关系，从不同侧面对 物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问

v1
I x mv2 sin mv1 sin
带入数值得
mv2 mv1 I

Ix
v2
x
I y mv2 cos v1 cos
Iy
θ
I
I x 0.27 N .s ; I y 4.46 N .s
2 2 I I x I y 0.27 2 4.462 4.47 N .s
ω O
vE
φ E
A D x
vD
y B
A
ω O
pOA
φ E
(b)
D x
因为规尺和两个滑块的公共质心在 点A，它们的动量表示成 p´= pBD + pB + pD = 2(m1 + m2)vA 由于动量 pOA 的方向也是与 vA 的方 向一致，所以整个椭圆机构的动量
y vB B ω O
vA
A D x
力的元冲量
力在微小时间间隔dt内的冲量。
dI Fdt
力在有限时间内（瞬时t1至瞬时t2）的冲量
I Fdt
t2 t1
若
I I xi I y j I z k,
F Fx (t )i Fy (t ) j Fz (t )k
t t1
则冲量计算的投影式为 I x 2 Fx (t )dt
对于整个质点系 其中：
(i )
d(mi vi ) Fi ( e ) dt Fi (i ) dt
Fi dt 0
n n i 1 i 1

d(mi vi ) dp Fi ( e ) dt dI i( e )
i 1
n
质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和。
2 2
p
m1 v1
（2）利用质心求质点系动量
z
m2
mn
m1
C
设质点系内各质点对固定点O的矢径为 ri，则
vi d ri , dt
mi
p mi vi mi
dri d mi ri dt dt
x
rC
ri
o y
m r mr
i i
C
d rC d p (m rC ) m m vC dt dt
v
2、质点系的动量 （1）质点系内各质点动量的矢量和，称为质点系的动量主矢，简 称为质点系的动量。用 p 表示。
p mi vi pi
i 1 i 1
n
n
[例] 三物块用绳连接如图示，其质量为 m1=2m2 =4m3 ，如绳的质量和变形 均不计， 则三物块均以同样的速度v运动。求该质点系的动量。
x
C2 p2
ewk.baidu.comφ
A
m2 g
p y=m2 ωe sinωt
由质点系动量定理： Fy
dp x (e) Fx , dt dp y (e) Fy , dt
dp x Fx , dt dp y Fy m1 g m2 g , dt
MA
Fx m2 2e sin t ,
vE
φ E
vD
y B ω O pOA φ E pBD+pB+pD A D x
方向与 vA 相同，而大小等于
1 m1l 2(m1 m2 )l p pOA p 2 1 (5m1 4m2 )l 2
思考：
ω2
m m2 O2 C O
1
1、皮带轮传动系统由均质轮和均质皮带 组成，该系统的动量等于多少？
p m1v1 m2v2 m3v3
px m2v2 m3v3 cos 45 2.707m3v p y m1v1 m3v3 sin 45 3.293m3v
v3 m3 45°
m2
v2
px p y 4.263m3v px ( p, i ) arccos 50.58, p
p y mi viy m vCy
px mi vix m vCx
pz mi viz m vCz
结论：质点系的动量等于质点系的总质量与其质心速度的乘积。
（3）若一个质点系由多个刚体组成，则该质点系动量可写为
p pi mi vCi
式中 mi 、vCi 分别为第 i 个刚体的质量和它的质心的速度。 [例]求图示均质物体或物体系统的动量。
n N* 56.3 P
N*
例题3 已知定子m1，转子m2 ；角速度ω；偏心距为e。求基础对电机的反力。
解： 研究定子与转子组成的系统，受力如图， 系统的动量为 p = p 1+ p 2 C1 m1 g Fx ω y
∴ p = p2 = m2ωe 设 t =0时，C1C2铅直，则φ=ωt 时， p x=m2 ωe cosωt
y
B A
ω O
D φ
x
(a)
解：整个机构的动量等于曲柄OA，规尺 BD，滑块B和D的动量的矢量和，即
p = pOA + pBD + pB + pD 其中曲柄OA的动量 pOA=m1vE ，大小是 pOA = m1vE = m1lω/2 其方向与vE一致，即垂直于OA并顺 着ω的转向(图 b)。
y vB B
第十一 章
动量定理
§11-1 动量与冲量
§11-2 动量定理
§11-3 质心运动定理 结论与讨论
§11-1 动量与冲量
一、动量 例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。 1、质点的动量 质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。
p
p mv
动量是矢量，其方向与速度方向一致。 动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。 动量的量纲为 dim mv = MLT-1 在国际单位制中，动量的单位为 kg· m/s。
O

vC
O
vC
C

C
例题1画椭圆的机构由匀质的曲柄 OA，规尺 BD 以及滑块B 和 D 组成(图 a)，曲柄与规尺的中点 A 铰接。已知规尺长2l ，质 量是2m1 ；两滑块的质量都是m2 ；曲柄长l，质量是m1 ，并以 角速度ω绕定轴 O 转动。试求当曲柄 OA 与水平成角φ时整个 机构的动量。
t2 (e) i 1 t1
p2 p1 I i( e )
i 1
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作 用于质点系外力冲量的矢量和。 动量定理的投影式：
dp x (e) Fx dt dp y (e) Fy dt dp z (e) Fz dt
( p2 x p1x I xe )
( p2 y p1 y I ye )
p2 z p1z I z( e )
例题1质量为1 kg的小球，以v1=4m/s的速度与一固定水平面相 碰撞，＝30o，小球弹起的速度为v2=2m/s，β＝60o。 求：作用于小球的冲量的大小和方向。
y
解：以小球为研究对象，并取如图所示的 坐标系。