迭代的蛛网图

变量 代换
r xk yk ( r 1) N
xk 1 bxk (1 xk ) (2)
一阶(非线性)差分方程
*
记 b r 1
(1)的平衡点y*=N
r 1 1 (2)的平衡点 x r 1 b
讨论 x* 的稳定性
补充知识
一阶非线性差分方程 xk 1 f ( xk ) (1) 的平衡点及稳定性 (1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的根
*
y
b/4
yx
yx
b/4
y f (x)
y f (x)
0 x0
x1 1 / 2
x x2
*
1
x
0 x0
x1 1/2 x * x 2 1
x
xk （振荡地） x *
xk （不） x *
k
b=1.7
b=2.6
b=3.3
b=3.45
b=3.55
0
1 2 3 91
0.2000
0.2720 0.3366 0.3796 0.4118
平衡点 x f ( x) bx(1 x)
1 x 1 b
*
b r 1
另一平衡 点为 x=0
稳定性
f ( x* ) b(1 2 x* ) 2 b
f ( x * ) 1
1 b 3
x* 不稳定
y
b/4
f (0) b 1
x* 稳定 不稳定
b 3 ( f ( x ) 1)
x f ( x ),
* 1 * 2
1 * x 1 b
* 2 * 1
x1, 2
*
b 1 b 2b 3 2b
2
x f (x )
0 x1 x x2 1
* * *
x*不稳定，研究x1*, x2*的稳定性
b 1 b 2 2b 3 的稳定性 x1*, 2 2b * ( 2) 2 ( f ( 2) ( x)) x x* ( f ( 2) ( x)) x x* f ( x1* ) f ( x2 ) [ f ( x)] [ f ( x)]
xk 1 f ( x* ) f ( x* )( xk x* ) (2) (1)的近似线性方程
稳定性判断
x*也是(2)的平衡点 x*是(2)和(1)的稳定平衡点 x*是(2)和(1)的不稳定平衡点
( x * ) 1 f f ( x ) 1
*
xk 1 bxk (1 xk ) 的平衡点及其稳定性
倍周期收敛
1
2
f ( x) b(1 2 x)
(f
( 2) * ( x1, 2 )) 1
* * ( f ( 2) ( x)) x x* , x* b2 (1 2 x1 )(1 2 x2 )
1 2
b=3.4
y=f(2)(x)
b 1 6 3.449
x2 k x1 , x2 k 1 x2
若yk=N, 则yk+1,yk+2,…=N
y*=N 是平衡点
讨论平衡点的稳定性，即k, ykN ？
离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性
yk y k 1 y k ry k (1 ) (1) N
r yk 1 (r 1) yk 1 yk (r 1) N
0.6154 0.6154
0.4794 0.8236
0.4794 0.8236
0.4474 0.8530
0.4327 0.8469
0.5060 0.8874
0.3548 0.8127
倍周期收敛——x*不稳定情况的进一步讨论
b 3.3
xk （不） x *
* 子序列 x2 k x1* , x2 k 1 x2
*
*
y= x
x1*
x0
x*
x2*
倍周期收敛的进一步讨论
b 3.45 ( f
( 2) * ( x1, 2 ))' 1
x1*, x2* (及x*)不稳定
出现4个收敛子序列 x4k, x4k+1, x4k+2, x4k+3 平衡点及其稳定性需研究 xk 4 f
3.449 b 3.544 时有4个稳定平衡点
0.8236
0.4794 0.8236 0.4794 0.8236
0.8469
0.4474 0.8530 0.4327 0.8469
0.8127
0.5405 0.8817 0.3703 0.8278
1 b
97 98
99 100
0.4118 0.4118
0.4118 0.4118
0.6154 0.6154
单周期不收敛
2倍周期收敛
xk 2 f ( xk 1 ) f ( f ( xk )) f ( 2) ( xk ) (*)
xk 1 f ( xk )
x f ( f ( x)) b bx(1 x)[1 bx(1 x)] f ( x) bx(1 x)
(*)的平衡点
( 4)
( xk )
4倍周期收敛
2n倍周期收敛, n=1,2,…
bn~ 2n倍周期收敛的上界 n, bn3.57 混沌现象
b0=3, b1=3.449, b2=3.544, … b>3.57, 不存在任何收敛子序列
xk 1 bxk (1 xk ) 的收敛、分岔及混沌现象
b
迭代的蛛网图
二次函数迭代
差分形式的阻滞增长模型
连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型)
x x(t ) rx (1 ) N
x(t) ~某种群 t 时刻的数量(人口)
t, xN, x=N是稳定平衡点(与r大小无关)
离散 形式
yk ~某种群第k代的数量(人口)
yk y k 1 y k ry k (1 ), k 1,2, N
*
yx
(1) 1 b 2
x 1 1/ b 1/ 2
*
x1
0
y f (x)
xk （单调增） x
*
x0 x1 x 2 x * 1 / 2
1
x
xk 1 bxk (1 xk ) 的平衡点及其稳定性
(2) 2 b 3
(3) b 3
y
x 1 1/ b 1/ 2
0.2000
0.4160 0.6317 0.6049 0.6154
0.2000
0.5280 0.8224 0.4820 0.4794
0.2000
0.5520 0.8532 0.4322 0.4327
0.2000
0.5680 0.8711 0.3987 0.3548
数值计算结果
xk 1 bxk (1 xk )
初值 x0=0.2
b <3, x x * 1 b=3.3, x两个 极限点
b=3.45, x4个 极限点 b=3.55, x8个 极限点
92
93 94 95 96
0.wenku.baidu.com118
0.4118 0.4118 0.4118 0.4118
0.6154
0.6154 0.6154 0.6154 0.6154