高等数学122函数的极限1
【南京大学 大学数学微积分】 1.2.2函数的极限
lim f ( x) A
x x0
0 , 0 , 当 x ( x0 , x0 )
时, 有 f ( x ) A .
右极限 : f ( x0 ) lim f ( x) A
0 , 0 , 当 x ( x0 , x0 ) 时, 有 f ( x ) A .
南京大学数学系
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一、自变量趋于有限值时函数的极限
1. x x0 时函数极限的定义 引例. 测量正方形面积. (真值: 边长为 x0 ; 面积为A ) 直接观测值 边长 x 间接观测值 2 面积 x 确定直接观测值精度 :
x x0
2 任给精度 , 要求 x A
故 0 , 取 , 当 0 x 1 时 , 必有
x 1 2 x 1
因此
2
x2 1 lim 2 x 1 x 1
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例4. 证明: 当 x0 0 时 lim 证:
f ( x) A
x x0
1 例6. 证明 lim 0. x x 1 1 证: 0 x x 1 1 故 0 , 欲使 0 , 即 x , x 1 1 0 取 X , 当 x X 时, 就有 x 1 lim 0 因此 x x 1 注: y 0 为 y 的水平渐近线. x
1.2.2 函数的极限
对 y f ( x) , 自变量变化过程的六种形式: ( 4) x ( 1 ) x x0
第一章
( 2 ) x x0 (3) x x0 本节内容 :
(5) x (6) x
高等数学极限公式汇总
高等数学极限公式汇总在高等数学中，极限是一个非常重要的概念，它贯穿了整个学科的始终。
极限的计算和应用需要掌握一系列的公式和方法，下面就为大家详细汇总一下高等数学中的极限公式。
一、数列极限1、定义：对于数列$＼｛a_n\｝＄，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n ＞ N$时，有$｜a_n A| ＜＼epsilon$，则称数列$＼｛a_n\｝＄的极限为$A$，记作$＼lim_{n\to\infty} a_n ＝ A$。
2、数列极限的性质（1）唯一性：如果数列$＼｛a_n\｝＄的极限存在，则极限是唯一的。
（2）有界性：如果数列$＼｛a_n\｝＄的极限存在，则数列$＼｛a_n\｝＄是有界的。
（3）保号性：如果$＼lim_{n\to\infty} a_n ＝ A ＞ 0$（或$A ＜0$），则存在正整数$N$，当$n ＞ N$时，有$a_n ＞ 0$（或$a_n ＜0$）。
3、常见数列的极限（1）＄＼lim_{n\to\infty} ＼frac{1}｛n} ＝ 0$（2）＄＼lim_{n\to\infty} q^n ＝ 0$（＄｜q| ＜ 1$）（3）＄＼lim_{n\to\infty} C ＝ C$（＄C$为常数）二、函数极限1、定义（1）当$x\to x_0$时，函数$f(x)＄的极限对于函数$f(x)＄，如果对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正数$＼delta$，使得当$0 ＜｜x x_0| ＜＼delta$时，有$｜f(x) A| ＜＼epsilon$，则称函数$f(x)＄当$x\to x_0$时的极限为$A$，记作$＼lim_{x\to x_0} f(x) ＝ A$。
（2）当$x\to\infty$时，函数$f(x)＄的极限对于函数$f(x)＄，如果对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正数$M$，使得当$｜x| ＞ M$时，有$｜f(x) A| ＜＼epsilon$，则称函数$f(x)＄当$x\to\infty$时的极限为$A$，记作$＼lim_{x\to\infty} f(x) ＝A$。
大一高等数学练习题及答案解析
大一高等数学练习题及答案解析 11．2．limx?0xx?.1?1x?1?x2005??ex?e?x?dx?x?y2.3．设函数y?y由方程?1xe?tdt?xdy确定，则dxx?0tfdt?ff?1fx14. 设可导，且，，则f?x??5．微分方程y4y??4y?0的通解为 .二．选择题1．设常数k?0，则函数个; 个; 1个; 0个.2．微分方程y4y?3cos2x 的特解形式为.y?Acos2x; y?Axcos2x;f?lnx?x?ke在内零点的个数为.y?Axcos2x?Bxsin2x;y?Asin2x.．下列结论不一定成立的是.*f?x?dx??f?x?dxc,d?a,bca若,则必有;f?x?dx?0a,bf?0a若在上可积,则;若f?x?是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有 xba?Taf?x?dx??f?x?dxT;tf?t?dtfx0若可积函数为奇函数,则也为奇函数. f?x??4. 设1?e1x1x2?3e, 则x?0是f的.连续点; 可去间断点;跳跃间断点; 无穷间断点. 三．计算题 1 ．计算定积分x3e?xdx2.2．计算不定积分xsinxcos5x.xxa,t2处的切线的方程. ．求摆线?y?a,在4. 设F??cosdt，求F?.5．设四．应用题 1．求由曲线y?xn?nlimxnn，求n??.x?2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.222．设平面图形D由x?y?2x与y?x所确定，试求D绕直线x?旋转一周所生成的旋转体的体积.ta?1,f?a?at在内的驻点为 t. 问a为何值时t最小?并求3. 设最小值.五．证明题设函数f在[0,1]上连续，在内可导且1ff=?1试证明至少存在一点??, 使得f?=1. 一．填空题： 11．．limx?x?0e.4e.dy确定，则dxx?0121?1x?1?x2005??ex?e?x?dx?x?y3．设函数y?y由方程?1e?tdt?x?e?1.12x24. 设f?x?可导，且x1tfdt?f，f?1，则f?x??e2x.5．微分方程y4y??4y?0的通解为y?e二．选择题： .1．设常数k?0，则函数个; 个; 1个; 0个.2．微分方程y4y?3cos2x 的特解形式为y?Acos2xy； ?Axcos2x； ?y?Axcos2x?Bxsin2x； y?Asin2x．下列结论不一定成立的是f?lnx?x?k内零点的个数为. e 在若?c,da,b?,则必有dcf?x?dx??f?x?dxabb;f?x?dx?0a,bf?0a若在上可积,则;若f?x?是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有a?Taf?x?dx??f?x?dxT;xtf?t?dtfx0 若可积函数为奇函数,则也为奇函数. f?x??1?e1x1x2?3e, 则x?0是f的.. 设连续点; 可去间断点;跳跃间断点; 无穷间断点. 三．计算题： 1．计算定积分?0 解：2x3e?xdx202.2设x2?t,则?x3e?xdx??1?t12tedttde?t0220-------221??t22?t?te??edt?002?? -------22131e?2?e?te?2022--------22．计算不定积分解：xsinx5cosx.xsinx111?xdx?dx?xd??4?cos5x?cos4x?4?cos4x4??cosx?--------3 x1dtanx44cosx4x113tanx?tanx?C4cos4x1-----------?xa,t2处的切线的方程.．求摆线?y?a,在,a)2解：切点为 -------2k?dyasint?s)t??dxt??a即y?x?a.-------24. 设．设F??cosdt22F2xcosxcos. ，则xn?nn?1)?limxnn，求n??.1nilnxn??ln1ni?1n ---------解：n1i1limlnxn?lim?ln??lndx0n??n??nni?1--------------12ln2101?x =------------22ln2?1e?limxne 故 n??=xln10??x1四．应用题 1．求由曲线y?x?2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.解：大一高等数学期末考试试卷一、选择题2ex,x0,1. 若f??为连续函数,则a的值为.ax,x01 3-12. 已知f??2,则limh?0f?f的值为.h13-113. 定积分?2?的值为. ?20-2124. 若f在x?x0处不连续,则f在该点处.必不可导一定可导可能可导必无极限二、填空题1．平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为3x2的曲线方程为 .2. ?dx? . ?113. limx2sinx?01= . x4. y?2x3?3x2的极大值为三、计算题1. 求limx?0xln. sin3x22. 设y?求y?.. 求不定积分?xlndx.4. 求?30?x,x?1,? fdx,其中f??1?cosx?ex?1,x?1.?5. 设函数y?f由方程?edt??costdt?0所确定,求dy. 00ytx6. 设?fdx?sinx2?C,求?fdx.3??7. 求极限lim?1??. n2n?四、解答题1. 设f??1?x,且f?1,求f. n2. 求由曲线y?cosxx??与x轴所围成图形绕着x轴旋转一周2??2所得旋转体的体积.3. 求曲线y?x3?3x2?24x?19在拐点处的切线方程.4. 求函数y?x[?5,1]上的最小值和最大值.五、证明题设f??在区间[a,b]上连续,证明bafdx?b?a1b[f?f]??f??dx.2a标准答案一、 1 B; C; D; A.二、 1 y?x?1;2; 0;0.三、 1 解原式?limx?5x5分 x?03x21分2分 x??lxn2d分 ?212x?[lndx2分21?x1?[ln?x2]?C1分解令x?1?t,则分03fdx1fdt 1分122t1??1dt 1分 1?cost1分 ?0?[et?t]1e2e1 1分两边求导得ey?y??cosx?0,分ycosx 1分 ye?cosx 1分 sinx?1cosx?dy?dx分 sinx?1解 ?fdx?12?fd2?C4分3??lim1?解原式=??n2n?322n3?32分 =e2分四、1 解令lnx?t,则x?et,f??1?et, 分 f??dt=t?et?C.2分 ?f?1,?C?0, 分fxex. 1分解 Vx2??2??cosxdx分 ?2202cos2xdx2分 ?解 ?22. 分 6x?1分 y??3x2?6x?24,y令y0,得x?1. 1分当x?1时,y0; 当1?x时,y0,分 ?为拐点, 1分该点处的切线为y?3?21. 分解y??1??2分令y??0,得x3?. 1分435y52.55,y,y1,分 ?4?435y5y最大值为. 分 ?最小值为?4?4五、证明bafdf?分 ab[f]aaf[2xdx分a[2x?df分 bbb[2x?]f?a?2?afdx分[f?f]?2?afdx,分移项即得所证分 bbb大一高数试题及答案一、填空题________ １１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ＋────── 的定义域为_________ √１－ｘ2_______________。
1.2-1极限
2
lim1 1, n
二者不相等, 故 lim sin 1 不存在. x0 x
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1.2.4 无穷小量的性质
如果函数 f (x) 在某个极限过程中的极限为零， 那么
就称 f (x)是此极限过程的无穷小（量）
无穷小举例
时,
都是无穷小量
时,
与
是无穷小级精品课程<高等数学>课程组
(2)自变量趋于有限值时函数的极限 定义3 如果在自变量 x x00的过程中，对应的函 数值可以无限接近于某x 个确定的常数 A ，那么常A数 就叫做函数在该变化过（ 程中的极限.记为lim f (x) A.
x x0
若在 x x0的过程中只考虑 x x（0 x x0 ）的情形，
n
n
若0 q 1, 要要使使 xn 0 qn , 即即n ln q ln ,
n lnε ln q
,
取
N
ln ln q
,
则当n N时,
就有qn 0 ,
lim qn 0. n
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1.2.2 函数极限的概念
(1)自变量趋于无穷大时函数的极限
记为 {an }, 其中 an 称为该数列的通项。 几个数列的例子:
例1 2n 2，4，8，... , 2n ，... ,
例2
n
n
1
1, 2, 3, 234
,n, , n 1
例3 1n1 1, 1, 1, , (1)n1 ,
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例4
设xn
C(C为常数),
o
1-2函数的极限
f (x)在x0处的左、右极限都存在 都存在并都等于A 都存在
x→x0
lim f (x) = A ⇔xlim− f (x) = lim f (x) = A → x
0
x→x0 +
x→ ∞
limf ( x) = a ⇔ lim f ( x) = lim f ( x) = a
x→x0
lim f (x) = ∞．
注：同理，无穷大也是一个变量，而不是常量。 很大的数（如1万，1亿等）都不是无穷大。
广州大学 —— 高等数学
无穷小和无穷大的关系
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如：
1 则 lim ( x − 1 ) = 0 lim = ∞. x→1 x→1 x − 1
x x → +∞
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1 f 可以观察出，当自变量 x →∞ 时， (x) = x
与0无限接近．
y a+ε a a−ε − o X x y = f (x) y a+ε a a−ε −
y = f (x)
−
X
o
x
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单侧极限
一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习
二、概念和公式的引出
1.2
函数的极限
1.2.1 函数的极限的概念 （一） x→∞ 函数的极限 （二） x →x0 函数的极限 1.2.2 单侧极限 1.2.3 无穷大与无穷小 1.2.4 无穷小的比较
背 景
如何准确地刻画无限接近这一过程呢? 十九世纪以前，人们用朴素的极限思想计 算了圆的面积、体积等． 极限概念的创立，是微积分严格化的关 键．它奠定了微积分学的基础．
高等数学基础第二章
第二章 极限与连续
1.极限的概念 2.极限的运算 3.两个重要极限 4.函数的连续性
第一节 极限的概念
一、数列的极限
首先看下面三个无穷数列 a n
（1）1,
1 2
,
1 3
,
1 4
,
…
1 n
…
（2） 0, 12，32，43， ..， .nn1，…
（3）
1,1,1, 1 2 4 8 16
f
(x)
1
2 x
x0 0 x2 x2
在x=0和x=2处的极限是否存在(图2-7为函数图像)。
解 在x=0处左极限
lim f(x)li( m x 1 ) 1
x 0
x 0
右极限 lim f(x)lim 11
x 0
x 0
可见，左、右极限存在且相等，所以，极限 limf x 1 x1
在x=2处左极限
（1）
1 lxi mx
00
（2） limqx 0 q 1 x
（3） limCC （C是任意常数） x
x x0
f x
我们讨论当 x无限趋近于1 时，函数 fx2x1的变化趋势。为此列出表2-2， 并画出函数 fx2x1的图象（如图2-6）。
f(x)2x1 f(x)2x1
f(x)2x1 3
lim (2x1)3
可约去不为零的因子 x2 ，所以
lim x 2 lim x 2 lim 1 1 x 2x 2 4x 2(x 2 )x ( 2 ) x 2x 24
例4 求
3x2 5x lim x x2 1
解 当 x 时，分子、分母都趋向无穷大，这类极限称为 型未定式，
当然商的极限法则不适用，通常需要把式子变形。用分子、分母的
2.2 极限(1-96)PPT课件
单调数列: (1) 若对一切 n , 有
a n a n 1
则称数列 { an } 为单调增数列 .
(2) 若对一切 n , 有
a n 1 a n
则称数列 { an } 为单调减数列 本段我们讨论数列 { an } 的极限 lim a n
n
定义 对任意的正数 > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时 , 有
即
k
lim a , lim a 2 k A 2 k 1 A
k
lim a , lim a “” 设 k 2 k A 2 k 1 A k
则对任意 > 0 , 分别存在 K1 > 0 , K2 > 0 , 使当
k > K1 时 , 有 当 k > K2 时 , 有
f( x ) A
则称 A 是 x 趋向于 x 时， f ( x ) 在 x 处的右 , 0 0
记为 f ( x 0 ) , 即 0
f ( x 0 ) lim f ( x ) A . 0
" "定义：
x x 0
x x 0
f ( x 0 ） lim f ( x ) A 0 , 0 , 0
( 点 x0 可以除外) 内有
A
A A
定义 , A 是一常数 , 若
对任意给定的正数ε> 0 ,
o
x0
x0
x0
x
xx 时, 有 总可找到一 0, 使当 0 0
f(x )A
则称当 x x0 时 , f (x) 以 A 为极限 , 记作
x x 0
lim f(x ) A
第一极限和第二极限公式
第一极限和第二极限公式一、第一极限公式第一极限是数学分析中的重要概念之一，它描述了一个函数在某一点处的极限行为。
第一极限公式是计算函数在某一点处的极限的数学工具，它具有以下形式：lim(x->a) f(x) = L其中，lim表示极限的意思，x->a表示自变量x趋向于a，f(x)表示函数f关于自变量x的表达式，L表示极限的值。
在使用第一极限公式时，需要满足以下条件：1. 函数f在点a的某个邻域内有定义；2. 函数f在点a的某个邻域内存在；3. 函数f在点a的某个邻域内单调。
举例来说，我们来计算以下函数在点x=1处的极限：f(x) = 2x + 1根据第一极限公式，我们有：lim(x->1) (2x + 1) = 2(1) + 1 = 3因此，函数f(x)在点x=1处的极限为3。
二、第二极限公式第二极限是数学分析中的另一个重要概念，它描述了一个函数在无穷远处的极限行为。
第二极限公式是计算函数在无穷远处的极限的数学工具，它具有以下形式：lim(x->∞) f(x) = L其中，lim表示极限的意思，x->∞表示自变量x趋向于无穷大，f(x)表示函数f关于自变量x的表达式，L表示极限的值。
在使用第二极限公式时，需要满足以下条件：1. 函数f在某个区间上有定义；2. 函数f在该区间上单调。
举例来说，我们来计算以下函数在无穷远处的极限：f(x) = 1/x根据第二极限公式，我们有：lim(x->∞) (1/x) = 0因此，函数f(x)在无穷远处的极限为0。
总结：第一极限和第二极限公式是数学分析中用于计算函数极限的重要工具。
它们分别描述了函数在某一点处和无穷远处的极限行为。
在应用这些公式时，我们需要满足一定的条件，如函数在某个区间上有定义、单调等。
通过正确使用这些公式，我们可以准确地计算函数的极限，进而研究函数的性质和行为。
1.2 极限
函数������ ������ 可以没有定义），如果当������(������ ≠ ������������)以任意方
式趋近于������������时，相应的函数������(������)都无限趋近于某一确
定常数������，则称������为函数������(������)当������ → ������������时的极限，
������
1 ������ = cos������
������
������
−1
lim cos x 1 x0
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1.2.2 函数的极限
☼ 单侧极限
左极限: x从左侧无限趋近x0 , 即x x0 ,
右极限:
记作 lim f ( x) A 或 x x0
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“ 割之弥细 , 所失弥小, 割之又割 , 以至于不可割 , 则与圆合体而无所失矣 ”
正六边形的面积������1
正十二边形的面积������2
R
正 6 × 2������−1 形的面积������������
A1 , A2 , A3 , , An ,
1.2.1 数列的极限
【问题】当 n 无限增大时, xn如何变化?
观察数列
1 n
的变化趋势：
������
11 1 1 54 3 2
《高等数学》第三节 绝对收敛与条件收敛
例 1 讨论交错级数 ( 1)
n 1
n 1
1 的敛散性. n
解：由题可知 1 1 1 1 1 2 3 n n 1
1 又： lim u n lim 0 n n n
(1)
n 1 n 1 1
即：u )
n 1 n n 1
u n的部分和sn
有： lim sn s 且s u1 ,
余项rn 可以写成： rn (u n 1 u n 2 ), | rn | u n 1 u n 2
上式也是交错级数，满足收敛的两个条件 | rn | u n 1
n 1 n 1
而不能判断它必为发散.
n
n
所以 故
n 1
sin n 也收敛， 2 n
sin n 绝对收敛． 2 n n 1
注意： (1)由于任意项级数各项的 绝对值组成的级 数是正项级数，一切判别正项级数敛散性 的判别法，都可以用来判定任意项级数是 否绝对收敛.
un , 如果 | un |收敛，则 un 绝对收敛. (2)任意项级数 n 1 n 1 n 1 但当 | un |发散时，我们只能判断 un非绝对收敛，
由定理的第一个条件：un un 1 , 由(1)式可知{s2n}是单调增加的；
由(2)式可知s2n<u1.
由单调有界数列必有极限的准则，知：当n无 限增大时，s2n趋于一个极限s，并且s不大于
u1，即 lim s2n s u1
n
再证明前2n+1项的和s2n+1的极限也是s， 有
n 1
定理1(莱布尼兹定理) 如果交错级数 (1)级数前项大于后项，即 u n u n 1 (n 1,2,3,); (2)级数的通项趋于零，即 lim un 0
高等数学求极限的各种方法
⾼等数学求极限的各种⽅法求极限的各种⽅法1.约去零因⼦求极限例1:求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x ⽆限接近,但1≠x ,所以1-x 这⼀零因⼦可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分⼦分母同除求极限例2:求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分⼦分母都以多项式给出的极限,可通过分⼦分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) ⼀般分⼦分母同除x 的最⾼次⽅;(2)=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3.分⼦(母)有理化求极限例3:求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分⼦或分母有理化求极限,就是通过有理化化去⽆理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4:求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan limsin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使⽤分⼦有理化⽅法外,及时分离极限式中的⾮零因⼦．．．．．．．．．．．就是解题的关键 4.应⽤两个重要极限求极限两个重要极限就是1sin lim 0=→xxx 与e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ,第⼀个重要极限过于简单且可通过等价⽆穷⼩来实现。
1[1].2 函数的极限
![1[1].2 函数的极限](https://img.taocdn.com/s3/m/d1bee7070740be1e650e9ac0.png)
③ 不唯一，只要求 存在，不一定求最大的.
几何意义
y
0, 以A为中心线作 A A 宽为2 的水平带形区域，
必存在x0的去心邻域
0 x x0 ,
A
O
y f ( x)
x0 x0 x0
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N定义 :
lim an a 0, N 0, 当n N时, n 有 an a
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§1.2 函数的极限
注
① 不等式 an a 刻划了an与a 无限接近； ② 正整数N与给定的 有关； ③ 数列有没有极限关键要看后面的无穷多项.
x
X 定义
lim f ( x ) A
x
0, X 0, 使当 x X时, 恒有 f ( x ) A .
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§1.2 函数的极限
lim f ( x ) A的几何意义
x
y
A+ A A- -X
O
X
x
对任给的正数 ， 总能找到x轴上的点X，使得 当x X或x X时, 函数 y f ( x ) 的图形落在
1 1 1 1 , , ,, n ,; 观察数列 2 4 8 2
1 当n无限增大时, n 无限接近于0. 2 ( 1)n1 } 而数列 {1 n ( 1)n1 无限接近于1. 当n无限增大时, 1 n 问题 以上两个数列有什么共性，如何用数学语言 去刻划？
对数列{an } 存在常数a ，an 与a的距离 an a 可以任意小，只要n足够大.
令 M max{ | a1 |, | a2 |, , | a N |, 1+ a },
高等数学求极限的17种常用方法（附例题和详解）
⾼等数学求极限的17种常⽤⽅法（附例题和详解）⾼等数学求极限的14种⽅法⼀、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim 0，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限⼜分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。
要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有⼦数列均收敛于a 。
常⽤的是其推论，即“⼀个数列收敛于a 的充要条件是其奇⼦列和偶⼦列都收敛于a ”（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→?=∞→limlimlim)()((iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+-lim lim lim 0)((iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。
极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件是：εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当⼆．解决极限的⽅法如下：1.等价⽆穷⼩代换。
只能在乘除．．时候使⽤。
例题略。
2.洛必达（L’ho spital ）法则（⼤题⽬有时候会有暗⽰要你使⽤这个⽅法）它的使⽤有严格的使⽤前提。
⾸先必须是X 趋近，⽽不是N 趋近，所以⾯对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正⽆穷的，不可能是负⽆穷。
其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接⽤洛必达法则。
另外，必须是“0⽐0”或“⽆穷⼤⽐⽆穷⼤”,并且注意导数分母不能为0。
1.2.2 函数的极限
就有 x x0 ,
lim x
x x0
x0 .
28
例 证明
证:
3 x2 ,
0, 欲使
只要
所以，可取
3
,
当0 x 1 时 , 不等式
恒成立。因此
29
例 证
证明 lim( 2 x 1) 3 .
x 1
0 ,
欲使 2 x 1 3 , 即 2 x 1 ,
" " 定义 0, 0, 使当0 x x 0 时,
恒有 f ( x ) A .
24
说明：
1. 函数极限与f ( x )在点x0处是否有定义无关 ;
2. 与任意给定的正数 有关.
3.几何解释:
当x在x 0的去心邻 域时,函数y f ( x ) 图形完全落在以直 线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.
0.5 0.9 1.9 0.99 1.99
f2(x) 1.5
1.01 2.01
1.1 2.1
1.5 2.5
当自变量x趋向于定点 x0 1时，函数 f 2 ( x) 趋向于常数2. 不难发现，f1 ( x)在x0 1处没有定义. f 2 ( x)在x0 1
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y
解:
lim
x 0
x x
x lim x x 0
lim (1) 1 x 0
1
o
x
1
lim x lim x lim 1 1
x x x0
x0
x 0
左右极限存在但不相等, lim f ( x) 不存在. x0
2.自变量趋于无穷大时函数的极限
自变量 x 表示x 及x ，
对正数X ，| x | X 表示| x | X 及x X .
lim f (x) A;
x
20. x 情形 : lim f ( x) A x
当自变量x 0而绝对值无限增大时, 函数f (x)的极限
为A,记作 lim f (x) A; x
结论：lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
x
x
x
几何解释:
y sin x x
推论
若 lim x x0
f
(x)
A,且
0,当x U 0( x0 ,)时,
f ( x) 0(或f ( x) 0),则A 0(或A 0).
4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)
定义 设在过程x a(a可以是x0 , x0 ,或x0 )中 有数列xn( a),使得n 时xn a.则称数列
A
X
X
当x X或x X时, 函数 y f ( x)图形完全落在以 直线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.
例: lim sin x 0.
y sin x x
x x
定义 : 如果lim f ( x) c,则直线 y c是函数y f ( x) x
的图形的水平渐近线.
例5 lim (ex 1) 1. x
lim nsin 1 1,
n
n
lim
n
n sin 1 1, n
n2 n 1
lim sin n n 1
n2
1
函数极限与数列极限的关系
函数极限存在的充要条件是它的任何子列 的极限都存在,且相等.
而 limsin 1 limsin n 0,
n
x n n
而 limsin 1 limsin 4n 1
f ( xn ),即f ( x1 ), f ( x2 ),, f.
定理
若 lim xa
f
(x)
A,数列f
( xn )是f
( x)当x
a
时的一个子列, 则有lim n
f
( xn )
A.
例如, lim sin x 1 x0 x
y sin x x
1.自变量趋于有限值时函数的极限
考虑自变量 x 趋近于有限值x0 ，记这一变 化过程为x x0 .
仿照数列极限的定义，给出x x0 时函数
的极限的定义.
定义1 对于函y=f(x),如果当自变量x无限
接近于 x0 时,函数 f (x)无限接近于某个常数A, 那么常数 A 就叫函数 f (x) 当 x x0 时的极限， 记作
定义3 对于函y=f(x),如果当自变量的绝对值无限
增大时,函数 f ( x)无限接近于某个常数 A , 那么常数 A 就叫函数 f (x) 当 x 时的极限，
记作 lim f (x) A或当x 时, f (x) A
x
另两种情形:
10. x 情形 : lim f ( x) A x
当自变量x 0无限增大时, 函数f (x)的极限为A, 记作
x
lim f ( x) A.
x x0
思考题
x
sin
1 x
,
试问函数 f ( x) 10,
x0 x 0 在x 0 处
5 x2 , x 0
的左、右极限是否存在？当x 0 时，f ( x) 的
极限是否存在？
思考题解答
lim f ( x) lim(5 x2 ) 5,
x0
x0
lim f ( x) lim x sin 1 0,
x0
x0
x
左极限存在, 右极限存在,
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) 不存在.
求lim f (x)
x y 0 2 xy
x0
2 y x2 2
x0
o
x
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近0, 函数值无限接近于2.
x从右侧无限趋近0, 函数值无限接近于2.
结论： lim x x0
f (x)
A
f ( x0 0)
f ( x0 0)
A.
例3 验证 lim x 不存在. x0 x
lim f (x) A
xx0
或
当x x0时, f (x) A
定义2:如果自变量x仅从小(大)于 x0的一侧
趋近于 x0 时,函数 f (x) 无限趋近于A,则称A
为函数 f (x) 当x趋近于 x0 时的左(右)极限,
记作 lim f (x) A( lim f (x) A)
x x0
x x0
1.2.1 函数的极限
一、函数极限的定义 二、函数极限的性质 三、小结与思考判断题
一、函数极限的定义
本节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给 出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过 程中，如果对应的函数值无限接近某个确定常数， 那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极 限.函数的极限与自变量的变化过程有关.自变量 的变化过程不同，函数极限的形式就不同.主要研 究两种情形：
n
xn n
2
lim1 1, n
二者不相等, 故 limsin 1 不存在.
x0
x
三、小结
函数极限的统一定义
lim f (n) A;
n
lim f ( x) A;
x
lim f ( x) A;
x x0
lim f ( x) A;
x
lim f ( x) A;
x x0
lim f ( x) A;
定理1.1函数 f (x)在点 x0 的极限存在的充分 必要条件是 f (x) 在点 x0 的左,右极限都存 在且相等.
注: 1.函数极限与f ( x)在点x0是否有定义无关;
例1求 lim(3x 1) x1
解: lim(3x 1) 2 x1
讨论单侧极限
例2 : 设
f
(x)
2 x,
x
2
2,
二、函数极限的性质
1.局部有界性
定理 若在某个过程下 , f ( x) 有极限 ,则存在 过程的一个时刻,在此时刻以后 f ( x)有界.
2.唯一性
定理 若lim f ( x)存在, 则极限唯一.
3.局部保号性
定理(保号性) 若 lim f ( x) A,且A 0(或A 0), x x0
则 0,当x U 0( x0 ,)时, f ( x) 0(或f ( x) 0).