第一章线性系统的数学描述

G(s)

y(s) u(s)

n1S n1 n2S n2 1S 0 S n n1S n1 1S 0
输入单位脉冲函数时系统输出响应，即单位脉冲响应
。
g(t, )
t
y(t) 0 g(t, )u( )d
2.内部描述
内部变量x，输入变量u，与输出变量y之间的数学描述， 即时域内的一阶微分方程。
x1 f1(x1, x2 xn , u1, u2 u p )

xn

fn (x1, x2 xn , u1, u2 u p )
其向量－矩阵形式为
x f (x,u) x R,u R
X为n维列向量，u为p维列向量。
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线性定常连续系统的状态方程一般表达式为
状态方程——状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量关系 的数学表达式。
注意：（1）状态方程是一阶微分或差分方程。 （2）状态方程是状态空间分析法的基本数学方程。 （3）具有非唯一性。 （4）状态方程中不含输入变量的导数。
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1.1 状态空间表达式
1.1.2 状态方程
一般（含P个输入变量）形式的状态方程为
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向量矩阵形式为
y(t) Cx(t) Du(t)
c11 c12 c1n
C

c21
c22
Leabharlann Baidu
c2n


cq1
cq 2

cqn

qn 维的输出矩阵
d11 d12 d1p
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1.1 状态空间表达式
1.1.1 状态、状态变量和状态空间
状态——系统中能够完全描述系统行为的最小的一组内部变量。 这些变量称为状态变量，一般用 x1, x2 , x3 xn 表示。
状态向量——将状态变量的 n 1 列向量x=[x1, x2 , x3 xn ]T
称为状态向量或状态，为时间的函数。
状态空间——以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交 线性空间，称为状态空间。系统在任一时刻的状态由状态空间 中一点表示。
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1.1 状态空间表达式
1.1.1 状态、状态变量和状态空间
状态轨迹——初始时刻t0 的状态x(t0 )在状态空间中为一初始点，
随着时间推移，系统状态发生变化，在状态空间中绘出的一条 轨迹。
向量矩阵形式为
x(t) Ax(t) bu(t)
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a11 a12 a1n
A a21
a22

a2
n


an1
an2

ann

b1
b

b2


bn

n n 维的系数矩阵
列向量
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1.1.3 输出方程 1、输出方程的定义 所谓输出方程，就是描述系统输出量与状态和输入量之
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u1
u2
up
x1, x2 , x3 xn
y1
y2
yq
系统输入为u，输出为y，x为表征系统内部状况的变量。 若系统只有一个输入一个输出，则称为SISO；若系统有两个以 上输入输出时，称为MIMO。
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系统描述
1.外部描述
描述输入变量与输出变量之间的关系，即传递函数G(s) 。
向量矩阵形式为
y(t) g(x(t),u(t))
y1(t)
y(t)


y2 (t
)

yq
(t
)
输出向量
g1()
g()


g
2 ()
m p维

gq
()
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3、线性定常系统的输出方程
y1 c11x1 c12 x2 c1n xn d11u1 d12u2 d1pu p y2 c21x1 c22 x2 c2n xn d21u1 d22u2 d2 pu p yq cq1x1 cq2 x2 cqn xn dq1u1 dq2u2 dqpu p
其中 a11 ~ ann 均为系数，若各项 与时间无关，则称为线性时不 变系统，反之称为线性时变系统。
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向量矩阵形式为
x(t) Ax(t) Bu(t)
A为系数矩阵（系统矩阵、状态阵）n n
B为输入矩阵（控制系数矩阵） n p
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a11 a12 a1n
A a21
第1章 线性系统的数学描述
L/O/G/O
主要内容：
一 引言 二 系统状态空间表达式
由传递函数或高阶微分方程建 三 立系统动态方程 四 系统状态空间描述的等价变换 五 组合系统的数学描述
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引言
本课程的任务是系统分析和系统 设计。而不论是系统分析还是系统设 计，本课程所研究的内容是基于系统 的数学模型来进行的。因此，本章首 先介绍控制系统的数学模型。
间相互关系的代数方程组。 2、输出方程的标准形式
y1 g1(x1, x2 ,, xn;u1, u2 ,, u p ) y2 g2 (x1, x2 ,, xn;u1, u2 ,, u p ) yq gq (x1, x2 ,, xn;u1, u2 ,, u p )
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x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12u2 b1pu p x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b21u1 b22u2 b2 pu p xn an1x1 an2 x2 ann xn bn1u1 bn2u2 bnpu p
a22

a2
n


an1
an2

ann

b11 b12 b1p
B

b21
b22

b2
p


bn1
bn2

bnp

n n 维的系数矩阵
n p维的系数矩阵
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若系统为单输入，其状态方程为
x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b1u x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b2u xn an1x1 an2 x2 ann xn bnu