正余弦定理一轮复习

2bc
2ac
a2 (b2 c2 a2 ) b2 (a2 c2 b2 ),
a2b2 a2c2 a2a2 b2a2 b2c2 b2b2,
a2c2 a2a2 b2c2 b2b2,
c2 (a2 b2 ) (a2 b2 )(a2 b2 )，
(a2 b2（) c2 b2 a2） 0，
即时应用
1.在ABC中，已知 a 2, c 2 3, cos A 3 且b c,求b.
2
分析：已知三角形两边以及一边对角，求第三边； 可用正弦定理，也可以用余弦定理.
解：由余弦定理变形式：cosA＝b2 c2 a2 2bc
即 3 b2 12 4 , 解得b 2或b 4, 2 4 3b
a b或a2 b2 c2，
故ABC为等腰或者直角三角形.
方法二：由a＝cos B，得sin A＝cos B， b cos A sin B cos A
∴sin Acos A＝cos Bsin B， ∴sin 2A＝sin 2B. ∵A、B 为△ABC 的内角， ∴2A＝2B 或 2A＝π－2B， ∴A＝B 或 A＋B＝π.
(1)判断三角形形状要利用正、余弦定理化成 仅含边的关系或仅含角的三角函数的关系．
考点四 例3 在△ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是 a，b，c，已知 c＝2，C＝π.
3 (1)若△ABC 的面积等于 3，求 a，b；
(2)若 sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC 的面积．
解：（1）由余弦定理变形式：cosC a2 b2 c2 2ab
得a2 b2 ab 4,
又SABC
3,即 1 absin C 2
3,所以ab 4,
联立方程组a2 b2 ab 4，解得a 2,b 2. ab 4
(2)由题意，得 sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin A cos A，
即 sin B cos A＝2sin A cos A，
当 cos A＝0，即 A＝π2时，B＝π6，a＝433，b＝233，
已知两边及一边对角(解一元二次方程).
例1 在ABC中，A 3 ，AB 6, AC 3 2,点D在BC边上，
4 AD BD, 求AD的长.
解：方法一：由余弦定理：a2 b2 c2 2bc cos A得
a2 （3 2）2 62 2 • 3 2 • 6 •（- 2 ），解之a 3 10, 2
D．正三角形
解：因为在△ABC 中，A＋B＋C＝π， 即 C＝π－(A＋B)，所以 sin C＝sin(A＋B)． 由 2sin A cos B＝sin C， 得 2sin A cos B＝sin A cos B＋cos A sin B， 即 sin A cos B－cos A sin B＝0，即 sin(A－B)＝0. 又因为－π＜A－B＜π，所以 A－B＝0，即 A＝B. 所以△ABC 是等腰三角形，故选 B. 答案：B
2 ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
判断形状时候边化角或者角化边，转化为边边关系（因 式分解）或者角的关系（三角函数恒等变形）， 注意：隐藏条件，不漏解.
Hale Waihona Puke Baidu时应用
B 2．在△ABC 中，已知 2sinA cos B＝sin C，那么△ABC 一定是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
第七节 正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理； 能解决一些简单的三角形度量问题.
基础回顾
1．正弦定理： a ＝ b ＝ c ＝2R，其中 R 是三角形外接圆的半径． sin A sin B sin C
变形为：
(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
由正弦定理 b a , 解得sin B 10 ，即cosB 3 10 ,
sin B sin A
10
10
1 AB 在ABD中，DA DB, cosB 2 ,所以BD 10,
BD
故AD 10.
应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定 理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷
(3)sin A＝ a ，sin B＝ b ，sin C＝ c ．
2R
2R
2R
2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．
变形为：cos A＝b2＋c2－a2，cos B＝a2＋c2－b2，cos C＝a2＋b2－c2.
2bc
2ac
又由cosB a2 c2 b2 , 解得cosB 3 10 ，
2ac
10
1 AB 在ABD中，DA DB, cosB 2 ,所以BD 10,
BD
故AD 10.
方法二：
方法二：由余弦定理：a2 b2 c2 2bc cos A得
a2 （3 2）2 62 2 • 3 2 • 6 •（- 2 ），解之a 3 10, 2
2ab
基础回顾
3.三角形中常用的面积公式：
（1）S 1 ah(h表示边a上的高)； 2
（2）SABC
1 2
absin C
1 2
ac sin
B
1 bcsin 2
A.
4.正弦定理解决的问题： 已知两边以及一边的对角； 已知两角以及任意一边； 两边以及夹角求三角形面积. 余弦定理解决的问题： 已知两边以及夹角； 已知三边解三角形；
当 cos A≠0 时，得 sin B＝2sin A，由正弦定理，得 b＝2a，
联立方程组
a2＋b2－ab＝4， b＝2a
a＝2 3， 3
解得 b＝433.
所以△ABC 的面积 S＝12ab sin C＝233.
课堂总结 感悟提升
1．解三角形时，要根据所给的条件选用正弦定理、余弦定理; 2．实施角和边的相互转化; 3．三角形中的三角式的计算．
又b c,所以b 2.
学会判断采用哪个定理更简单； 注意隐含条件：三角形内角和定理.
例2
在ABC中，若 a cosB , 试判断三角形形状. b cos A
解：方法一：由a cosB ,得a cos A b cosB, b cos A
a b2 c2 a2 b a2 c2 b2 ,