定积分基本计算公式

2x
x
0
f
(t )dt
1在[0,1]上只有一个解.
证
令
F(x)
2x
x
0
f
(t )dt
1,
f ( x) 1, F ( x) 2 f ( x) 0,
F ( x)在[0,1]上为单调增加函数. F (0) 1 0,
F (1)
1
1
0
f
(t )dt
1
0 [1
f
(t )]dt
0,
所以F ( x) 0即原方程在[0,1]上只有一个解.
① f ( x)为偶函数，则
a a
f
( x)dx
a
2 0
f
( x)dx ；
②
f
( x)为奇函数，则
a a
f
( x)dx
0.
证
a
0
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx,
a
a
0
在 0 a
f
( x)dx中令 x
t ,
0
a
f
( x)dx
0
a
f
( t )dt
a
0
f
( t )dt ,
x a t , x 0 t 0,
2
原式 2
a cos t
dt
0 a sin t a2 (1 sin2 t)
2 0
cos t dt sin t cos t
1 2
2 0
1
cos t sin t
sin cos
t t
dt
1 2
2
1 2
ln
sin
t
cos
t
2 0
. 4
例11 当 f ( x)在[a, a]上连续，且有
0 f (sin x)dx 0 xf (sin x)dx,
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
0
1
x
sin x cos2
x
dx
2
01
sin x cos2
x
dx
2
01
1 cos2
x
d (cos
x)
arctan(cos
2
x )0
( ) 2 . 2 44 4
82
08 4
1 ln(1 x)
例16
计算 0
(2 x)2 dx.
解
1 ln(1 x)
0 (2 x)2 dx
1 0
ln(1
x)d
2
1
x
ln(1 x 2 x
)1 0
1
0
2
1
x
d
ln(1
x)
ln 2 1 1 1 dx
3 0 2 x 1 x
11 1 x 2 x
ห้องสมุดไป่ตู้
ln 2 3
ln(1
f
(
x
)0 (
x
x
t
)
f (t
2
)dt
,
0 f (t)dt
f ( x) 0, ( x 0)
x
0 f (t)dt 0,
( x t) f (t) 0,
x
0 ( x t) f (t)dt 0,
F ( x) 0 ( x 0).
故F ( x)在(0,)内为单调增加函数.
例 3 设 f ( x)在[0,1]上连续，且 f ( x) 1.证明
1 2
cos x2
1 0
1 (cos1 1). 2
例18 证明定积分公式
1
,
2
求
2
0
f
( x)dx.
解
2
1
2
y
0 f ( x)dx 0 f ( x)dx 1 f ( x)dx
在[1,2]上规定当 x 1时， f ( x) 5,
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
例6 求 2 max{x, x2 }dx. 2
y
解 由图形可知
y x2
f ( x) max{x, x2 }
2
0
3 1.
12 2
例15 计算 4
xdx .
0 1 cos 2x
解 1 cos 2x 2cos2 x,
4
xdx
0 1 cos 2x
4
xdx
0 2cos2 x
4
0
xdtan x
2
1
x tan x 4
1
4 tan xdx
2
0 20
1 ln sec x
4
ln 2 .
解 d 1 et2 dt d cos x et2 dt,
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
lim
x0
1 et2 dt
cos x
x2
sin x ecos2 x
lim
x0
2x
1. 2e
例 2 设 f ( x)在(,)内连续，且 f ( x) 0.
0
20
0
1
x
sin x cos2
x
dx
.
证
x t dx dt,
x 0 t , x t 0,
0
0 xf (sin x)dx ( t) f [sin( t)]dt
0 ( t) f (sin t)dt,
0 xf (sin x)dx 0 f (sin t)dt 0 tf (sin t)dt
x)
ln(2
x)10
5 3
ln
2
ln
3.
x2 sin t
1
例17
解
因设为fs(inxt)没 有1 初等t 形dt式, 的求原0x函f 数( x，)dx.
t
无法直接求出 f ( x)，所以采用分部积分法
1
0 xf ( x)dx
11
2 0
f ( x)d( x2 )
1 2
x2
f
(
x)
1 0
1 2
1
成的平面图形的面积.
解
面积
A
sin xdx
0
y
cos x 2. o 0
x
二 定积分的换元公式 定理 假设
（1） f ( x)在[a, b]上连续；
（2）函数 x (t)在[ , ]上是单值的且有连续
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时，x (t)的值在 [a,b]上变化，且 ( ) a、 ( ) b，
§4. 定积分的计算
一 定积分计算的基本公式
设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续，并且设 x为
[a, b]上的一点，考察定积分
x
a
f
( x)dx
x
a
f
(t )dt
如果上限 x在区间[a, b]上任意变动，则对
于每一个取定的 x值，定积分有一个对应值，所
以它在[a, b]上定义了一个函数，
x
基本公式 如果F ( x)是连续函数 f ( x)在区间
[a, b]上的一个原函数，则
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a).
证 已知F ( x)是 f ( x)的一个原函数，
又
( x)
x
a
f (t)dt也是
f ( x)的一个原函数,
F( x) ( x) C x [a,b]
令 x a F(a) (a) C,
y x
x2 2 x 0
2
o 1 2x
x
0 x1 ,
x
2
1 x2
原式
0 x2dx
1
xdx
2 x2dx 11.
2
0
1
2
例7 求 1 1dx.
2 x
解 当 x 0时， 1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
x
| 1 2
ln1
ln 2
ln 2.
例 8 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
记 ( x) f (t)dt. 积分上限函数 a
定理１ 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f
(t)dt 在[a, b]上具有导数，且它的导
数是
(
x)
d dx
x
a
f (t)dt
f (x)
(a x b)
证
( x
x)
xx
a
f
(t )dt
y
( x x) ( x)
x
证明函数F ( x)
0 tf
x
(t )dt
在(0,)内为单调增
0 f (t)dt
加函数.
证
d dx
x
0
tf
(t )dt
xf
( x),
dx
dx 0
f (t)dt
f ( x),
x
x
F ( x) xf ( x)0
f (t )dt f ( x)0 tf (t )dt
x
0
f
(t )dt
2
x
F(x)
0
x
2df
(
x
)
1 2
f
(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
f
(
x)
x2
1
sin t
t
dt ,
f
(1)
1 sin
1 t
t
dt
0,
f
( x)
sin x2 x2
2x
2sin x
x2
,
1
0
xf
( x)dx
1 2
f
(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
1 2
1
0
2
x
sin
x 2dx
1 2
1
0
sin
x
2dx 2
三、定积分的分部积分法
定理 3 设函数u( x)、v( x)在区间a, b上具
有连续导数，则有
b
a udv
b
uv a
b
a vdu
.
定积分的分部积分公式
证 uv uv uv,
b
b
(uv)dx uv ,
a
a
uv b
b
uvdx
b
uvdx,
a
a
a
b
b
b
udv uv vdu.
a
aa
(a)
a
a
f
(t )dt
0
F(a) C,
F ( x)
x
a
f
(t )dt
C,
x
a f (t)dt F ( x) F (a),
令x b
b
a f ( x)dx F (b) F (a).
牛顿—莱布尼茨公式
b
a
f
( x)dx
F (b)
F (a)
F
x
b a
基本公式表明
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于它
x
x0 x x0
x 0, x ( x) f ( x).
补充 如果 f (t)连续，a( x)、b( x)可导，则
F ( x) b( x) f (t )dt 的导数F( x)为 a( x)
F(x) d
b( x)
f (t)dt f
dx a( x )
b(x) b(x) f
a(x) a(x)
解
原式
1
1
1
2x2 1
x2
dx
1
1
x cos x 1 1 x2
dx
偶函数
奇函数
1
40 1
x2 1
x2
dx
1
40
x
2(1 1 (1
1
x x2)
2
)
dx
1
40
(1
1
x2
)dx
4
1
40
1 x2dx
单位圆的面积
4 .
例 13 若 f ( x) 在 [0,1] 上 连 续 ， 证 明
xf (sin x)dx f (sin x)dx . 由 此 计 算
（1）用 x (t )把变量 x换成新变量t 时，积分限也
相应的改变.
（2）求出 f [ (t )] (t )的一个原函数(t)后，不
必象计算不定积分那样再要把(t )变换成原 变量 x的函数，而只要把新变量t 的上、下 限分别代入(t )然后相减就行了.
例9 计算 2 cos5 x sin xdx. 0
的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．
注意
当a
b
时，
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)仍成立.
例4
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
2 sin
x
cos
x
x
2
3
.
0
2
例5
设
f
(x)
2x 5
0 1
x x
x x
x
f (t)dt f (t)dt
a
a
( x)
o a x x x b x
x
x x
x
a f (t)dt x f (t)dt a f (t)dt
x x
y
f (t)dt, x
由积分中值定理得
( x)
f ( )x, 在x与x ox之a间. x x x b x
f ( ), lim lim f ( )
则有
b
a f ( x)dx
f [ (t)] (t)dt .
证 设F ( x)是 f ( x)的一个原函数，
b
a f ( x)dx F (b) F (a),
令 (t ) F[ (t )],
(t) dF dx f ( x) (t) f [(t )](t),
dx dt
(t )是 f [ (t )] (t )的一个原函数.
解 令 t cos x, dt sin xdx,
x t 0,
2
2 cos5 x sin xdx 0
x 0 t 1,
0 t 5dt t 6 1 1 .
1
60 6
例10 计算 a
1
dx. (a 0)
0 x a2 x2
解 令 x a sin t, dx a cos tdt,
1
例14 计算 2 arcsin xdx. 0
解 令 u arcsin x, dv dx,
则 du dx , v x, 1 x2
1
2 arcsin xdx
0
x
arcsin
1
x2 0
1 2
0
1
1
1 2
2 6 20
1 d(1 x2 ) 1 x2
xdx 1 x2
12
1
1 x2
f
[(t )](t )dt
()
(),
( ) a、 ( ) b,
( ) ( ) F[( )] F[( )]
F(b) F(a),
b f ( x)dx F(b) F(a) ( ) ( ) a f [ (t)](t)dt.
注意 当 时，换元公式仍成立.
应用换元公式时应注意:
① f ( x)为偶函数，则 f (t) f (t),
a
a
f
( x)dx
0
a
f
( x)dx
a
0
f
( x)dx
a
20 f (t)dt;
② f ( x)为奇函数，则 f (t) f (t),
a
a
f
( x)dx
0
a
f
( x)dx
a
0
f
( x)dx
0.
例12 计算
1 2x2 x cos x dx. 1 1 1 x2
证: F ( x) 0 b( x) f (t)dt a(x) 0
b( x)
a( x)
0 f (t)dt 0 f (t)dt,
F ( x) f b( x)b( x) f a( x)a( x)
例1
1 et2 dt
求 lim x0
cos x
x2
.
分析：这是
0 0
型不定式，应用洛必达法则.