2018年高考二项式定理十大典型问题及例题

学科教师辅导讲义

1 •二项式定理：

(a b)n C：a n C；a n 1b L C：a n r b r L C：b n(n N ),

2 .基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式。

②二项式系数：展开式中各项的系数C n r (r 0,1,2, ,n).

③项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式

④通项：展开式中的第r 1项C：a n r b r叫做二项式展开式的通项。用T r 1 Qa" r b r表示。

3 .注意关键点: ①项数：展开式中总共有(n 1)项。

②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(a b)n与(b a)n是不同的。

③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幕排列。b的指数从0逐项减到n，是升幕排列。各项的次数和等于

n.

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数,

(包括二项式系数)。

4 .常用的结论:

令a 1,b x, (1 x)n C O C：X C：X2L C；x r L C n n x n(n N )令a 1,b X, (1 x)n C O C"X C'X2L C：x r L ( 1)n C：x n(n N )

5.性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即C O c n，•…Cn

②二项式系数和：令a b 1,则二项式系数的和为C： C n C' L C n L C： 2n,

变形式c n Cn L c n L c n 2n 1 o

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

在二项式定理中，令a 1,b 1，则C： C1 C" C3 L ( 1)n C：(1 1)n 0 ,

从而得到：c O C 2C4c n2r C" C3L c2r 1- 2n2n 1

2

④奇数项的系数和与偶数项的系数和：二项式系数依次是C°,C n,Cn, ,C n, ,C；；.项的系数是a与b的系数

C n'

⑥系数的最大项：求（a bx ）n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别

A 1 为A,A 2, , A n 1，设第r 1项系数最大，应有

△

A 1

题型一：二项式定理的逆用; 例: C Cn 6 C ； 62 L C ： 6n 1

解:

(1 6)n

C 0 c n 6 C 2

62 C

3 63 L C ；

6n 与已知的有一些差距， d C 2 6 C 3 62 L Cn

6n

1

丄(C ： 6

C ； 62 L C ： 6n )

6

'(C n

C n 6 C 2 62 L C ； 6n 1) 7[(1 6)n 1] g(7n

1)

6 6 6

练: C n 3C ： 9C ： L 3n 1C ；

.

解:

设 S n C ： 3Cn 9Cn L 3“ 9；，则 3S n C n 3 C ；32 C ；33 L

C ：3n C° C n 3 C ：32 C ；33 L

C ：3n 1 (1 3)n 1

(1 3)n 1

4n 1 S n

3

3

题型二：利用通项公式求 x n

的系数;

例：在二项式（4 1 3 x 2）n 的展开式中倒数第 3项的系数为45，求含有x 3的项的系数?

、x

(a

(x 令x 令x

n

x)

\n

a) 1, C 0a n x ° C °a 则a 。

1,则 a 。 0x n

C l a n 1x 1 n 1

C n

ax a 2 a i

a 2

a 3 ②得,a 。 a 2 a 4L a n n 。 n

L C n a x n n 0

L C n a x 1)n

(a 1)n

(a

〃 (a

“]奇数项的系数和

2 n 2 2 C n a x 2 2 n 2 C n

a x a n

(a L a n a 0 a 1x 1 a n X n

L

① ②

2 a 2x 2

a 2x

L

i

a 1x n

a n X

a 。

②得,a 1

a 3 a

5L

a n

2

（a

* （

a ｛（

偶数项的系数和

⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数

n 是偶数时，则中间一项的二项式系数

n

c n 2取得最大

值。

如果二项式的幕指数 n 是奇数时，则中间两项的二项式系数

C n 2 , C n 2同时取得最大值。

A ，从而解出r 来。 A 2

6

解: n 2 2 由条件知C n 45，即C n 45，

2

n n 90

0，解得 n

9（舍去）或n 10， 10 r

T r 1 1 2

r / 4 \1° r / 3 \ r r —4 C 1 0(X 4) (X 3) C 10X 4

2

3r 石日石亠 10 r 2 ，由题息 ------- --- r 4 3 3,解得r 6，

练: 解: 则含有X 3的项是第7项T 6 1

求(x 2

1 9 2x ）展开式中X C10X 3

的系数? 3

210x ,系数为210。 C ；(x 2)9r ( J )r 2x 1 故x 9的系数为C 3

( )3 2 T r 1

r 18 2r , 1、r r r , 1 .r 18 3r C 9X ( ) x C g ( ) x 2 2 令 18 3r 9,则 r

题型三：利用通项公式求常数项;

例: 求二项式（

x 2 10的展开式中的常数项? 解: 练: 解: 练: 解: 21 - 。 2 r 2 10 r 1 r r 1 r 20 2r

T r 1 G°(x ) ( ) 5(2)

x 2

6 求二项式（2x ——）的展开式中的常数项?

2x T r 1

令20

5r 0，

8

1 o r 8，所以 T ； Cw(-)8 45

256

沁)6「( D r (；)r ( {CQ

2r

，令6 2r

0，得r 3，所以T 4

（1）

3

C

6

20

n

的二项展开式中第5项为常数项，则n

4

2 n 4

1 4

T 5 C n (X )(一)

X 4 2n 12

C n x ，令 2n 12 0,得 n 6.

题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项; 例：求二项式（、、x 3 X ）9展开式中的有理项? 1 1 解：T r 1 C ；(X 2)9 r ( X 3)r 27 r

(1)r C ；x 丁，令

27 r 6

z ,( 0

9)得 r 3或r 9，

27 r 所以当r 3时， 6

27 r

当 r 9 时，

27 -

3

， 4，T 4 ( 1)3C 93 X 4

84 X 4

， 3 9 3 3 T 10 ( 1) C 9X

x

。

题型五：奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和;

例：若（'X 2

n

展开式中偶数项系数和为

256，求n .