2018年高考二项式定理十大典型问题及例题
2018年高考数学热门考点与解题技巧考点8二项式定理
考点8 二项式定理热门题型题型1 求展开式中的特定项题型2 用系数配对法解决多项式乘法问题 题型 3 三项式问题题型1 求展开式中的特定项 例1 求二项式2101()2x x+的展开式中的常数项.【解题技巧】二项式展开式的通项是展开式中的第1r +项r n r rn C a b -，先求出第1r +项的通项公式1r T +，再借助幂运算确定参数．变式1.（2107山东理11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = .解析 ()1C 3C 3rr r r rr n n T x x +==⋅⋅，令2r=，得22C 354n ⋅=，解得4n =．变式2.（2015湖南理6）已知5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）.A.3 B.3-C. 6D.6-解析： 5215C (1)r rrr r T a x-+=-，令5322r -=，解得1=r ，可得530a -=，6a =-. 故选D.题型2 用系数配对法解决多项式乘法问题例2 ()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是_______．解析：因为()6662211122x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以问题转化为求61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项及含2x -项的系数，由于该二项式的展开式的通项公式()66216611rr r r r rr T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以若令6203r r -=⇒=，则展开式中的常数项为()336120C -=-；若令6224r r -=-⇒=，则展开式中的2x -项的系数为()446115C -=，故所求()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为()2201525⨯-+=-，应填25-。
【解题技巧】这是一道典型的“多项式乘以二项式”型的二项式问题，通用的解法是系数配对法，即将多项式中的每一项k x 的系数与后面二项式展开式中r k x -的系数相乘，然后把所有这些满足条件的情况相加，即得到r x 项的系数．对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决.变式1.（2017全国3卷理科4）()()52x y x y +-的展开式中33xy的系数为（ ）.A ．80-B ．40-C ．40D ．80变式2.（2017全国1卷理科6）()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ）.A.15B.20C.30D.35解析 ()()()66622111+1111x x x x x ⎛⎫+=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭，对()61x +二项式展开中2x 项的系数为2665C 152⨯==，对()6211x x⋅+二项式展开中2x 项的系数为46C =15，所以2x 的系数为151530+=.故选C.变式3．若()()2*311nx x x n N x ⎛⎫+++∈ ⎪⎝⎭的展开式中没有常数项，则n 的可能值为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10解析 由题意可得(x +x −3)n 的展开式中没有常数项，且没有x −1项，且没有x −2项。
(完整版)二项式定理典型例题解析.docx
二项式定理 概 念 篇【例 1】求二项式 ( a － 2b)4 的展开式 . 分析：直接利用二项式定理展开.解：根据二项式定理得(a － 2b)4=C 04 a 4+C 14 a 3( － 2b)+C 24 a 2(－ 2b)2+C 34 a( － 2b)3+C 44 ( －2b) 4=a 4 － 8a 3b+24a 2b 2－ 32ab 3 +16b 4.说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－ 2b 中的符号“－”忽略 .【例 2】展开 (2x － 32) 5.2x分析一：直接用二项式定理展开式.解法一： (2x －35 05143233 232332x2) =C 5 (2x) +C 5 (2x) (－ 2x 2)+C 5 (2x) (－2x 2 ) +C 5 (2x) (－ 2x2) +C 54 (2x)( －3) 4+C 55(－3)52x 22x 2=32x 5－ 120x 2+180 － 135 + 405－243x4 7 10 .x 8x 32x分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开 .解法二： (2x －35(4x 3 3)5 2x 2) =32x10=110 ［ C 05 (4x 3)5+C 15 (4x 3 )4(－ 3)+C 52 (4x 3)3(－ 3)2+C 35 (4x 3)2(－ 3)3+C 45 (4x 3)(－ 3)4+32xC 55 (－3) 5］1 10 (1024x 15－ 3840x 12+5760x 9－4320x 6+1620x 3－ 243)=32x=32x 5－ 120x 2+180－135+ 405 － 243 .xx 4 8x 732x 10说明：记准、记熟二项式(a+b)n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.【例 3】在 (x － 3 )10 的展开式中， x 6的系数是.解法一：根据二项式定理可知x 6 的系数是 C 104 .解法二： (x － 3 )10 的展开式的通项是r－r(－ 3 )r .T r+1=C 10 x 10令 10－ r =6，即 r=4，由通项公式可知含 x 6 项为第 5 项，即 T 4+1 =C 104 x 6(－ 3 )4=9C 104 x 6.∴ x 6 的系数为 9C 104 .上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？ 问题要求的是求含x 6 这一项系数，而不是求含x 6 的二项式系数，所以应是解法二正确.如果问题改为求含 x 6 的二项式系数，解法一就正确了，也即是C 104 . 说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异 .二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关， 与二项式无关，后者与二 式、二 式的指数及 数均有关.【例 4】已知二 式(3 x － 2)10，3x(1)求其展开式第四 的二 式系数； (2)求其展开式第四 的系数； (3)求其第四 .分析：直接用二 式定理展开式.解： (3 x －210的展开式的通 是Trx10－r－ 2r， ，⋯，)=C 10 (3) ( ) (r=0 10).3x3x 1(1)展开式的第 4 的二 式系数C 103 =120.(2)展开式的第 43 72 3的系数 C 103 (－) =－ 77760.3(3)展开式的第 4 － 77760( x )7 1，即－ 77760x .x 3明：注意把 (3x － 2) 10写成［ 3 x +(－2)］ 10，从而凑成二 式定理的形式 .3x3x【例 5】求二 式( x 2+ 1)10 的展开式中的常数 .2 x分析：展开式中第r +1C 10r(x 2 )10－r (21)r ，要使得它是常数 ，必 使“x ”的指x数 零，依据是x 0=1， x ≠ 0.解： 第 r +1 常数 ，1 rr 20 51 r 5 r－ rr() =C 10 x( ) (r =0 ， 1，⋯， 10)，令 20－ r=0，得 r=8.T r +1=C 10 (x )2 2x2∴ T 9=C 108( 1)8= 45 .2256∴第 9 常数 ，其45 .256明：二 式的展开式的某一 常数 ，就是 不含 “ 元”，一般采用令通 T r+1中的 元的指数 零的方法求得常数 .【例 6】(1) 求 (1+2x)7 展开式中系数最大 ；(2)求 (1－ 2x)7 展开式中系数最大 .分析：利用展开式的通 公式， 可得系数的表达式，列出相 两 系数之 关系的不等式， 而求出其最大 .解： (1) 第 r+1 系数最大， 有C r 7 2r C r 7 1 2r 1,C r 7 2r C r 7 12r 1,7 !2r7 !2r 1,即 r !(7 r ) !(r 1) !(7 r 1) !7 !2r (r7 ! r2r 1, r !(7 r ) !1) !(7 1) !2 1 ,r 16 ,化 得r8 r 解得3又∵ 0≤ r ≤ 7，∴ r=5.71 r2 .r13.r 13∴系数最大T 6=C 75 25x 5=672x 5.(2)解：展开式中共有 8 ，系数最大 必 正 ，即在第一、三、五、七 四 中取得.又因 (1－ 2x)7 括号内的两 中后两 系数的 大于前 系数的 ，故系数最大必在中 或偏右，故只需比T 57两 系数的大小即可C 74 ( 2)4C 73 ＞ 1，所以系数和 T. 6( 2) =1C 7 4C 7最大 第五 ，即T 5=560x 4.明：本例中(1) 的解法是求系数最大 的一般解法，(2) 的解法是通 展开式多 分析，使解 程得到 化，比.【例 7】 (1+2x)n 的展开式中第6 与第7 的系数相等，求展开式中二 式系数最大的 和系数最大的 .分析：根据已知条件可求出n ，再根据 n 的奇偶性确定二 式系数最大的 .解： T 6=C n 5 (2x)5， T 7=C n 6 (2x)6，依 意有 C 5n 25=C n 6 26，解得 n=8. (1+2 x)8 的展开式中，二 式系数最大的 T 5=C n 4 (2x)4=1120x 4.C 7r 2rC 7r 1 2r 1 ,第 r +1 系数最大， 有C 7r 2rC 7r 1 2r 1.∴ 5≤ r ≤6.∴ r =5 或 r =6.∴系数最大的 T 6=1792x 5 ，T 7=1792x 6.明： (1)求二 式系数最大的 ， 根据二 式系数的性 ，n 奇数 中 两 的二式系数最大； n 偶数 ，中 一 的二 式系数最大 .(2) 求展开式中系数最大 与求二 式系数最大 是不同的，需根据各 系数的正、化情况，一般采用列不等式，再解不等式的方法求得.用 篇【例 8】若 n ∈N * ， (2 +1)n= nnn 、 n ∈Z) ，b n 的()2 a +b (abA. 一定是奇数B. 一定是偶数C.与 b n 的奇偶性相反D.与 a 有相同的奇偶性分析一：形如二 式定理可以展开后考 .解法一：由 ( 2 +1)n =n n ，知 n n2 ) n2 a +b 2 a +b =(1+=C n 0 +C 1n 2 +C n 2 ( 2 )2+C n 3 ( 2 )3+ ⋯ +C n n (2 )n .∴ b n =1+C 2n ( 2 )2+C 4n ( 2 )4+ ⋯∴ b n 奇数 . 答案： A分析二： 的答案是唯一的，因此可以用特殊 法 .解法二： n ∈ N * ，取 n=1 ， (2 +1) 1=( 2 +1) ，有 b 1=1 奇数 .取 n=2 ， ( 2 +1)2=2 2 +5，有 b 2=5 奇数 .答案： A【例 9】若将 (x+y+z)10 展开 多 式， 合并同 后它的 数()A.11B.33C.55D.66分析： (x+y+z)10 看作二 式［( x y)10z ］ 展开 .解：我 把 x+y+z 看成 (x+y)+z ，按二 式将其展开，共有11“ ”，即 (x+y+z)10=10［( x10k10－k ky) z ］ =C 10 (x+y) z .k 0，由于“和”中各 z 的指数各不相同，因此再将各个二 式(x+y) 10－k 展开，不同的乘 C 10k (x+y)10－k z k (k=0， 1，⋯， 10)展开后，都不会出 同 .下面，再分 考 每一个乘C 10k (x+y)10－k z k (k=0 ， 1，⋯， 10).其中每一个乘 展开后的 数由(x+y)10－k 决定，而且各 中 x 和 y 的指数都不相同，也不会出 同 .故原式展开后的 数11+10+9+⋯ +1=66.答案： D明：化三 式 二 式是解决三 式 的常用方法 .【例 10】求 (｜ x ｜ +1－ 2)3 展开式中的常数 .| x |分析：把原式 形 二 式定理 准形状 .解：∵ (｜ x ｜ + 1－ 2)3=(| x | － 1)6，| x || x |∴展开式的通 是T r+1=C 6r ( | x | )6－r (－ 1 )r =(－ 1)r C 6r ( | x | )6－ 2r .| x |若 T r+1 常数 ， 6－ 2r =0， r =3.∴展开式的第 4 常数 ，即 T 4=－C 36 =－ 20.明： 某些不是二 式，但又可化 二 式的 目，可先化 二 式，再求解 .【例 11】求 ( x － 3 x )9 展开式中的有理 .分析：展开式中的有理 ，就是通 公式中x 的指数 整数的.1127 r解：∵ T r+1=C 9r (x 2 )9－r (－ x 3 )r =(－ 1)r C 9r x6.令 27r∈ Z ，即 4+3r∈ Z ，且 r=0 ， 1， 2，⋯， 9.66∴ r=3 或 r =9.当 r=3 ， 27 r =4， T 4=(－ 1)3C 39 x 4=－ 84x 4. 6当 r=9 ，27 r=3， T 10=( － 1)9C 99 x 3=－x 3.6∴ ( x － 3 x )9的展开式中的有理 是第 4 － 84x 4，第 10 － x 3.明：利用二 展开式的通 T r +1 可求展开式中某些特定 .【例 12】若 (3x － 1)77 7 6 61=a x +a x + ⋯ +a x+a ，求(1)a 1 +a 2 ⋯+a 7； (2)a 1 +a 3 +a 5+a 7；0 2 4 6(3)a +a +a +a .分析：所求 果与各 系数有关可以考 用“特殊 ”法，整体解决 .解： (1)令 x=0， a 0=－ 1，令 x=1 ， a 7+a 6+ ⋯ +a 1+a 0=27=128.①∴ a 1+a 2+⋯ +a 7=129.(2)令 x=－ 1， a 7+a 6+a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0=( －4) 7.②由(1) ( 2)得： a 1+a 3+a 5+a 7= 1［ 128－ (－ 4)7］ =8256.22(3)由 (1) (2) 得 a 0 +a 2+a 4+a 6 = 1 ［ 128+(－4) 7］ =－ 8128.2 2明： (1)本解法根据 恒等式特点来用“特殊 ”法， 是一种重要的方法，它用于恒等式 .(2)一般地， 于多 式g(x)=( px+q)n =a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4 +a 5x 5+a 6x 6+a 7x 7， g(x)各 的系数和g(1)，g(x)的奇数 的系数和1［ g(1)+ g(－ 1)］，g(x)的偶数 的系数和1［ g(1)22－ g (－ 1)］ .【例 13】 明下列各式(1)1+2C 1n +4C 2n + ⋯ +2n －1C n n 1 +2n C n n =3n ；(2)(C 0n )2+(C 1n ) 2+ ⋯ +(C n n )2=C n 2 n ；(3)C 1n +2C 2n +3C 3n + ⋯ +nC n n =n2n －1.分析： (1)(2) 与二 式定理的形式有相同之 可以用二 式定理，形如数列求和，因此可以研究它的通 求 律 .明： (1)在二 展开式 (a+b)n =C 0n a n +C 1n a n －1b+C 2n a n －2b 2+ ⋯ +C n n 1 ab n －1+C n n b n 中，令 a=1， b=2，得 (1+2) n =1+2C 1n +4C 2n + ⋯ +2n －1C n n 1 +2n C n n ，即1 2+ ⋯ +2n －1n 1 n n =3n.1+2C n +4C nC n +2 C n(2)(1+ x)n (1+x)n =(1+ x) 2n ，12r12r2n.∴ (1+C n x+C n x 2+ ⋯ +C n x r + ⋯ +x n )(1+C n x+C n x 2+ ⋯ +C n x r + ⋯ +x n )=(1+ x)而 Cn 是 (1+ x)2n 的展开式中 x n 的系数，由多 式的恒等定理，得2nC 0n C n n +C 1n C n n 1 + ⋯ +C 1n C n n 1 +C n n C 0n =C n 2n . ∵ C m n =C n n m ， 0≤ m ≤ n ，∴ (C n 0 )2+(C 1n )2+ ⋯ +(C n n )2=C 2n n .(3) 法一：令 S=C 1n +2C n 2 +3C n 3 + ⋯ +nC n n . ①令 S=C 1n +2C n 2 + ⋯ +(n － 1)C n n 1 +nC n n =nC n n +(n － 1)C n n 1 + ⋯ +2C n 2 +C 1n=nC n n +(n － 1)C 1n + ⋯ +2C n n 2 +C n n 1 .②由① +②得 2S=nC 1n +nC n2 +nC n3 + ⋯ +nC n n =n(C n n +C 1n +C n2 +C n3+ ⋯ +C n n ) 0123n=n(C n+C n +C n +C n + ⋯ +C n )=n2n.∴ S=n2n－1，即 C 1n +2C n2 +3C 3n + ⋯ +nC n n =n2n－1.法二：察通：kC n k =k n n( n1) !nC n k11 .k ! (n k) !(k1)! (n k) !∴原式 =nC +C n n11 )= n2n－1，12即C n +2C n0121 +nC3+⋯n 101231 +⋯n 1 +nC n 1+nC n n 1+nC n 1=n(C n 1+C n 1+C n 1 +C n 3⋯n n－1+3C n ++nC n =n2 .明：解法二中 kC n k =nC n k11可作性住 .【例 14】求 1.9975精确到 0.001的近似 .分析：准确使用二式定理把 1.997 拆成二之和形式如 1.997=2－ 0.003.解： 1.9975=(2－ 0.003)5=25－ C 15 240.003+C 52 230.0032－ C 35 220.0033+⋯≈32－0.24+0.00072 ≈ 31.761.明：利用二式定理行近似算，关是确定展开式中的保留，使其足近似算的精确度 .【例 15】求： 5151－1 能被 7 整除 .分析：了在展开式中出7 的倍数，把51 拆成 7 的倍数与其他数的和(或差 )的形式.明： 5151－1=(49+2) 51－1=C 051 4951+C 151 49502+ ⋯ +C 5051 49· 250+C 5151 251－ 1，易知除 C 5151 251－ 1 以外各都能被7 整除 .又 251－ 1=(2 3)17－ 1=(7+1) 17－ 1=C0717+C1716+⋯+C167+C17－171717171=7(C 170 716+C 171 715+⋯ +C 1716 ).然能被 7 整除，所以5151－ 1 能被 7 整除 .明：利用二式定量明有关多式(数 )的整除，关是将所多式通恒等形二式形式，使其展开后的各均含有除式.新篇【例 16】已知 (x lgx+1) n的展开式的最后三系数之和22，中一20000. 求 x.分析：本看似繁，但只要按二式定理准确表达出来，不求解！解：由已知 C n n +C n n 1 +C n n 2 =22，即 n2+n－ 42=0. 又 n∈ N*，∴ n=6.T4中一， T4=C 3lg x 3，即 (xlgx 3lg x=10. 6(x ) =20000)=1000. x两取常用数，有1 lg2x=1， lgx=± 1，∴ x=10 或 x= .10明：当目中已知二展开式的某些或某几之的关系，常利用二式通公式，根据已知条件列出等式或不等式行求解.【例 17】 f(x)=(1+ x)m+(1+ x)n(m， n∈ N* )，若其展开式中关于x 的一次的系数和11， m，n 何，含 x2的系数取最小？并求个最小.分析：根据已知条件得到x2的系数是关于 x 的二次表达式，然后利用二次函数性探最小 .解： C 1m +C 1n =n+m=11. C m2+C n 2 =1(m2－m+n2－ n)=m2n211 ，22∵ n∈N *，∴ n=6 或 5， m=5 或 6 ， x 2 系数最小，最小 25.明：本 是一道关于二次函数与 合的 合 .【例 18】若 (x+ 1－ 2)n 的展开式的常数 －20，求 n.x分析： 中 x ≠ 0，当 x ＞ 0 ，把三 式 (x+1－ 2)n化 ( x －1)2n ；当 x ＜ 0 ，xx同理 (x+1－2) n nx － 1 2 n x 的 指数 零， 而解出 n.x=(－ 1) () .然后写出通 ，令含x解：当 x ＞ 0 ， ( x+ 1－ 2)n =(x －1 )2n ，xx其通 T r+1=C 2n r( x )2n －r (－1)r =(－ 1)r C 2r n ( x )2n －2r .x令 2n － 2r=0 ，得 n=r ，∴展开式的常数 (－ 1)r C 2n n ；当 x ＜ 0 ， (x+ 1－2) n =(－ 1)n(x －1)2n .同理可得，展开式的常数 (－ 1)r C 2n n .xx无 哪一种情况，常数 均 (－ 1)r C 2n n .令 (－ 1)r C 2n n =20.以 n=1，2， 3，⋯，逐个代入，得n=3.明：本 易忽略x ＜ 0 的情况 .【例 19】利用二 式定理 明(2 n －1 2.) ＜n31分析：2 不易从二 展开式中得到，可以考 其倒数n 1 .n 12明：欲 (2)n －1 ＜ 21成立，只需 (3)n －1＜n1成立 .3n22而 ( 3)n － 1=(1+ 1)n － 1=C n1 +C1n 11+C n 21 ( 1)2+ ⋯ +C n n 11 (1)n －122222=1+ n 1 21 2⋯n 1 1) n －12+C n1 () ++C n 1 (22＞n 1.2明：本 目的 明 程中将( 3)n －1化 (1+ 1)n －1，然后利用二 式定理展开式是解2 2决本 的关 .【例 20】求 ： 2≤ (1+1) n ＜ 3(n ∈N * ).n1 n 与二 式定理 构相似，用二 式定理展开后分析.分析： (1+)n明：当 n=1 ， (1+ 1)n =2.n当 n ≥2 ， (1+ 1)n=1+C 1n n又C n k ( 1 )k = n(n 1) (nnk ! n k1 +C n2 1 + ⋯ +C n n ( 1 )n =1+1+C n 2 1 + ⋯ +C n n ( 1 )n＞ 2.n n 2 n n 2n k 1) ≤ 1 ，k !所以 (1+ 1)n≤ 2+1+ 1 + ⋯ + 1＜ 2+1 + 1 + ⋯ + 1n2 !3 !n!1 2 2 3 ( n 1) n=2+(1 －1)+(1 － 1 )+ ⋯ +( 1 － 1)22 3 n 1 n=3－ 1＜ 3.n上有 2≤ (1+1)n ＜ 3.n明：在此不等式的 明中，利用二 式定理将二 式展开，再采用放 法和其他有关知 ，将不等式 明到底 .【例 21】求 ： 于n ∈N *， (1+ 1) n＜ (1+ 1)n+1 .nn 1分析： 构都是二 式的形式，因此研究二 展开式的通 是常用方法 .明： (1+1) n展开式的通 Tr1A n rnr+1 =C n n r=r ! n r= 1 n(n 1)(n 2) (n r 1)r ! n r=1 (1－12 r 1 ).r !)(1 －)⋯ (1－nnn(1+1 )n+1展开式的通 T ′ r+1=C n r11 1) r =A n r 1 rn 1( n r !(n 1)=1 n(n 1)(n 2) (n r1)r !n r= 1 (1－ 1 )(1－ 2)⋯ (1－r1 ).r !n 1n 1n1由二 式展开式的通 可明 地看出 T r+1＜ T ′ r+1所以 (1+ 1 )n＜ (1+1)n+1nn 1明：本 的两个二 式中的两 均 正 ，且有一 相同. 明 ，根据 特点，采用比 通 大小的方法完成本 明.【例 22】 a 、 b 、c 是互不相等的正数，且a 、b 、c 成等差数列， n ∈ N * ，求 ： a n +c n＞2b n .分析： 中 未出 二 式定理的形式，但可以根据a 、b 、c 成等差数列 造条件使用二 式定理 .明： 公差d ， a=b － d ， c=b+d.a n +c n － 2b n =(b － d)n +( b+d)n － 2b nn1n － 12n － 2 2nn n1n － 12n － 22n=［ b － C n b d+C n bd + ⋯ +(－ 1) d ］+［ b +C n bd+C n bd + ⋯ +d ］明：由 a 、 b 、 c 成等差，公差 d ，可得 a=b － d ， c=b+d ， 就 利用二 式定理 明此 造了可能性 . 即(b － d)n +(b+d) n ＞ 2b n ，然后用作差法改(b － d)n +( b+d)n－ 2b n ＞ 0.【例 23】求 (1+2x － 3x 2)6 的展开式中x 5 的系数 .分析：先将 1+2x － 3x 2 分解因式， 把三 式化 两个二 式的 ， 即(1+2 x － 3x 2)6 =(1+3x)6 (1－ x)6.然后分 写出两个二 式展开式的通 ，研究乘x 5 的系数， 可得到解决.解：原式 =(1+3 x)6(1 －x)6，其中 (1+3x)6 展开式之通T k+1=C k 6 3k x k ， (1－ x)6 展开式之通 T r+1=C r 6 (－ x)r .原式 =(1+3x) 6(1－ x)6 展开式的通C 6k C 6r (－ 1)r 3k x k+r .要使 k+r =5，又∵ k ∈ {0 ， 1， 2， 3， 4， 5， 6} ， r ∈{0 ， 1，2， 3， 4， 5， 6} ，必k 0, 或 k 1, 或 k 2, 或 k 3, 或 k 4, 或 k 5,r 5r4r 3r2r 1r 0 .故 x 5 系数 C 60 30C 65 (－ 1)5+C 16 31 C 64 (－ 1)4+C 62 32C 63 ( － 1)3+C 63 33C 62 (－ 1)4+C 64 34C 16(－ 1)+C 65 35 C 60 (－ 1)0=－ 168.明：根据不同的 构特征灵活运用二 式定理是本 的关.【例 24】 (2004年全国必修 + 修 1)(x －1)6 展开式中的常数 ()xA.15B.－ 15C.20D.－ 203r3解析： Trr6－r － rrr 32x) =(－ 1) C2，当 r=2 ，3－2=15.r +1=(－ 1)C 6 (xxr=0 ，T 3=( －1) C62答案： A【例 25】 (2004 年江 )(2x+ x )4 的展开式中 x 3 的系数是 ()A.6B.12C.24D.48解析：T r +12 rr rx ) 4－r (2x) r =( －1) r r r 2，当 r =2 ，2+ r3－ 22=24.=(－ 1) C 4 (2 C 4 x2 =3 ，T =( 2) C 4答案： C【例 26】 (2004年福建理 )若 (1－ 2x )9展开式的第3288， lim 1 1+ ⋯ +1( +2n)nxxx的 是 ()A.2B.11D.2C.52解析： T r+1=( －1) r C r 9 (2 x )r =(－1) r C r 9 2xr ，当 r =2 ， T 3=(－ 1)2C 92 22x =288.∴ x= 3.21 112 ∴ lim3 =2.( + 2 + ⋯+n)= nxxx123答案： A【例 27】 (2004 年福建文 )已知 (x － a)8 展开式中常数1120，其中 数 a 是常数，x展开式中各 系数的和是( )A.28B.38C.1 或 38D.1 或 28解析： Tr+1=( －1) rr8 －ra r rr8－2r，当 r=4 ， T4 4 =1120，∴ a=± 2.C x() =(－ a)C x=(－ a) Cx∴有函数 f(x)=(x － a)8.令 x=1， f(1)=1 或 38.x答案： C【 例 28 】(2004 年 天 津 ) 若 (1 － 2x)20040 12 22004 2004=a +a x+a x + ⋯ +ax(x ∈ R) ， (a +a )+( a +a)+0 10 2(a 0+a 3)+ ⋯ +(a 0+a 2004)= .(用数字作答 )解析：在函数 f(x)=(1 － 2x)2004中， f(0)= a 0 0 1 2+ ⋯ +a 2004，=1， f(1)=a +a +a=1 (a 0+a 1 )+(a 0+a 2)+( a 0 +a 3 )+⋯+( a 0 +a 2004) =2004a 0 +a 1+a 2+ ⋯ +a 2004=2003a 0 +a 0+a 1+a 2+ ⋯ +a 2004 =2003f(0)+ f(1) =2004.答案： 2004。
2018年浙江高考一轮 第9章 第3节 二项式定理
第三节 二项式定理1．二项式定理(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)； (2)通项公式：T r ＋1＝C r n an －r b r ，它表示第r ＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C 0n ，C 1n ，…，C n n .2．二项式系数的性质取得最大值3.(1)(a ＋b )n 展开式的各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)C k n an －k b k是(a ＋b )n 的展开式中的第k 项．( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(4)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( )[解析] (1)错误．应为第k ＋1项．(2)错误．当n 为偶数时，为中间一项；n 为奇数时，为中间的两项． (3)正确．二项式系数只与n 和项数有关．(4)错误．令x ＝1，可得a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128. [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)二项式(x ＋1)n (n ∈N *)的展开式中x 2的系数为15，则n ＝( ) A ．7 B ．6 C ．5D ．4B [(x ＋1)n ＝(1＋x )n ＝1＋C 1n ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n .依题意，得C 2n ＝15，解得n＝6(n ＝－5舍去)．]3．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．－7B ．7C ．－28D ．28B [由题意知n 2＋1＝5，解得n ＝8，⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式的通项T k ＋1＝C k 8⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－k⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x k ＝(－1)k 2k －8C k 8.令8－4k3＝0得k ＝6，则展开式中的常数项为(－1)626－8C 68＝7.] 4．在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答) 60 [依二项式定理，含x 2的项为展开式的第3项．∴展开式中T 3＝C 26(－2x )2＝60x 2，则x 2的系数为60.]5．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝________.【导学号：51062334】－1 [(1＋x )5＝1＋C 15x ＋C 25x 2＋C 35x 3＋C 45x 4＋C 55x 5. ∴(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的项为(C 25＋C 15a )x 2，依题意得10＋5a ＝5，解得a ＝－1.](1)(A ．10B ．20C ．30D ．60(2)若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________.(1)C (2)－2 [(1)法一：(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.法二：(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.故选C.(2)T r ＋1＝C r 5·(ax 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5·a 5－rx 10－52r .令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2.] [规律方法] 1.二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．2．求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．[变式训练1] (1)(2017·浙江五校联考)若⎝⎛⎭⎪⎫x 6＋1x x n 的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案) (1)C (2)10 [(1)二项展开式的通项T r ＋1＝C r n (x 6)n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r＝C r n，若T r ＋1是常数项，则6n －15r 2＝0，即n ＝54r . 又n ∈N *，故n 的最小值为5.(2)(2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r(x )r ＝25－r ·C r 5·.令5－r2＝3，得r ＝4.故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10.]系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．212B ．211C ．210D ．29(2)(2017·诸暨质检)若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝________.(1)D (2)0 [(1)∵(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，∴C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10.从而C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210，∴奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29.(2)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(1－2)4＝1. 又令x ＝0，得a 0＝(1－0)4＝1. 因此a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0.][迁移探究1] 若本例(2)中条件不变，问题变为“求a 0＋a 2＋a 4的值”，则结果如何？[解] 在(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4中， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1. ①4分 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝34. ②8分 由①＋②，可得a 0＋a 2＋a 4＝12(34＋1)＝41.14分[迁移探究2] 若将本例(2)变为“若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 016x 2016(x∈R)，则a12＋a222＋…＋a2 01622 016的值为________．”【导学号：51062335】－1[令x＝0，得a0＝(1－0)2 016＝1.令x＝12，则a0＋a12＋a222＋…＋a2 01622 016＝0，∴a12＋a222＋…＋a2 01622 016＝－1.][规律方法] 1.第(1)小题求解的关键在于求n，本题常因把“n的等量关系表示为C4n＝C8n”，错求n＝12；第(2)小题主要是“赋值”求出a0与各项系数的和．2．求解这类问题要注意：(1)区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；(2)根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1.[变式训练2](a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.3[设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.](1)(2017·浙江名校模拟)设复数x＝2i1－i(i是虚数单位)，则C12 017x＋C22 017x2＋C32 017x3＋…＋C2 0172 017x2 017＝()A．i B．－iC．－1＋i D．－1－i(2)设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝()A．0 B．1C．11 D．12(1)C (2)D [(1)x ＝2i1－i＝－1＋i ， C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x2 017＝(1＋x )2 017－1＝i 2 017－1＝－1＋i. (2)512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012·522 012－C 12012·522 011＋…＋C 2 0112 012·52·(－1)2 011＋ C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ， ∵C 02 012·522 012－C 12012·522 011＋…＋C 2 0112 012·52·(－1)2 011能被13整除． 且512 012＋a 能被13整除，∴C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除． 因此a 可取值12.][规律方法] 1.第(1)题将二项式定理的应用与坐标系中图象点的坐标交汇渗透，命题角度新颖；将图表信息转化为运用二项展开式的系数求待定字母参数，体现数形结合和方程思想的应用．2．第(2)题求解的关键在于将512 012变形为(52－1)2 012，使得展开式中的每一项与除数13建立联系．3．运用二项式定理要注意两点：①余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数；②二项式定理的逆用．[变式训练3] 设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图9-3-1所示，则a ＝________.图9-3-13 [由题意知A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4)． 故a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.又⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的通项公式T r ＋1＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a r(r ＝0,1,2，…，n )．故C1na＝3，C2na2＝4，解得a＝3.][思想与方法]1．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)揭示二项展开式的规律，一定要牢记通项T r＋1＝C r n a n－r b r是展开式的第r＋1项，不是第r项．2．通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(常用待定系数法)．3．展开式的应用：(1)可求解与二项式系数有关的求值问题，常采用赋值法．(2)可证明整除问题(或求余数)．(3)有关组合式的求值证明，常采用构造法．[易错与防范]1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项．2．(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒．3．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C k n(k＝0,1，…，n )．课时分层训练(五十四) 二项式定理A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·杭州3月测试)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( )A ．－54B.54 C ．－1516 D.1516D[T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0得r ＝4， 所以常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.]2．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4D ．20i x 4A [T r ＋1＝C r 6x 6－r i r，由6－r ＝4得r ＝2. 故T 3＝C 26x 4i 2＝－15x 4.故选A.]3．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15D ．10C [(1＋x )6的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x r ，则x (1＋x )6的展开式中含x 3的项为C 26x 3＝15x 3，所以系数为15.]4．已知⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中含的项的系数为30，则a ＝( )【导学号：51062336】A. 3 B ．－ 3 C ．6D ．－6D[T r ＋1＝C r 5(x )5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x r ＝C r 5(－a )r，由5－2r 2＝32，解得r ＝1.由C 15(－a )＝30，得a ＝－6.故选D.]5．若(1＋x )(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋…＋a 7的值是( )A ．－2B ．－3C ．125D ．－131C [令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝－2.又a 0＝C 07(－1)020＝1，a 8＝C 77(－2)7＝－128，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2－1－(－128)＝125.]6．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于( )A ．63B ．64C ．31D ．32A [逆用二项式定理，得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.]二、填空题7.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答) －56 [⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 8的通项T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 8x 16－3r，当16－3r ＝7时，r ＝3，则x 7的系数为(－1)3C 38＝－56.]8．设⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中含x 的项为________. 【导学号：51062337】150x [由已知条件4n－2n＝240，解得n ＝4，T r ＋1＝C r 4(5x )4－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝ (－1)r 54－r C r 4，令4－3r2＝1，得r ＝2，T 3＝150x .]9．(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案) －20 [x 2y 7＝x ·(xy 7)，其系数为C 78，x 2y 7＝y ·(x 2y 6)，其系数为－C 68，∴x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20.]10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为________．7x 5 [由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(不符合题意，舍去)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋128的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r，令r ＋1＝4，得r ＝3，则第四项为T 4＝C 38x 5⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝7x 5.] B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·湖州模拟)已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈Z )是一个单调递增数列，则k 的最大值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8B [由二项式定理知a n ＝C n －110(n ＝1,2,3，…，n )．又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项， ∴a 6＝C 510，则k 的最大值为6.]2．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210C [在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4， 所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.]3．(2017·宁波调研)若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________. 【导学号：51062338】11 2 [⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r ＝C r 6a 6－r b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3.由C 36a6－3b 3＝20得ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，故a 2＋b 2的最小值为2.] 4．若在(x ＋1)4(ax －1)的展开式中，x 4的系数为15，则a 的值为________.【导学号：51062339】4 [∵(x ＋1)4(ax －1)＝(x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1)(ax －1)，∴x 4的系数为4a －1＝15，∴a ＝4.]。
2018版高考数学考点44利用二项式定理求指定项试题解读与变式
考点44利用二项定理求指定项一、知识储备汇总与命题规律展望1. 知识储备汇总：（1）二项式定理：（a • b）n =C0a n Ca nJ1b • C2a n'b2•… Ca2b「…• C；b n；注意：①展开式共有n+1项；②a按降幕排列b按升幕排列，a,b幕指数之和为n；③系数依次为c0,c n,c；,…，C；。
④注意区分二项式系数与某一项的系数，二项式系数是C n（r =0,1,2，…，n），而系数既包括二项式系数也包括二项式中系数和符号展出部分（2）二项展开式的通项公式：T r1 =C n a n」b r（r=0,1,2-，n）.（3 ）二项式定理系数性质：①0< k< n 时，C：二C防.②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，最大值.③各二项式系数和：C0+ d+ ©+•••+ C n= 2n, C+ C n+ &+•••= d+ C n+ C n+-= 2n*.2. 命题规律展望：二项式定理是高考的热点和重点，主要考查利用二项式定理或通项公式计算二项式展开式或三项式或两个二项式乘积的特定项或特定项系数，难度为基础题，分值为5分.二、题型与相关高考题解读1. 求展开式中的特定项或特定系数1.1考题展示与解读例1【2017山东，理11】已知1 3x n的展开式中含有x2项的系数是54，则n二【命题意图探究】本题主要考查利用二项展开式通项公式计算已知指定项系数求二项式的指数问题，是基础题.【答案】4【解析】由二项式定理的通项公式T“ =cn（3x）r=C n 3r x r，令r =2得：C： 32=54，解得n = 4 .【解题能力要求】运算求解能力【方法技巧归纳】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步，根据给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n, r均为非负整数，且 n 》r );第二步，根据所求的指数求解所求的项. 1.2【典型考题变式】/1 f【变式1：改编条件】二项式i x /X -1 展开式中的常数项为()I X 丿 A. 10 B. -10 C. 5 D. -5【答案】B1r_05_5r \1【解析】展开式的通项为 Ty = (-1)C5x 2'，令§(15-5r) = 0得r=3，所以展开式中的常数项为3-C^ - _10，故选 B.n的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于()A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】C2气【解析】由题意得6(w-r)-^r=01(r=01l,2z->«)有解，因为n = ^r ，所以当尸=4时，n【答案】【变式2:改编结论】若x【变式3 :改编问法】若nTI ~2=2 [\ 2sin I x —4dX ，则ny+W 的展开式中常数项为( y 丿A. 8B. 16C. 24D. 60【解析】x7dxJT=2 i cos — cos0 sin — -sin0 I 2 2J2=2 i [sinx cosc dx 二 2：[-cosx sinx | 22〕=4，二 y +_)< y 丿 4-2r的通项公式为T r 1二C ； -2r y令4—2r =0，即r =2 ,二二项式2. 求三项式展开式的指定项2.1考题展示与解读2 'y十一展开式中常数项是C： 22 =24，故选C y丿例2【2015高考新课标1，理10】(x2 x y)5的展开式中，x5y2的系数为()【命题意图探究】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数，是基础题 【答案】C【解析】在（x 2 x y ）5的5个因式中，2个取因式中x 2剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故x 5y 22 12的系数为。
2018年高考数学 考点一遍过 专题49 二项式定理 理
专题49 二项式定理（1）能用计数原理证明二项式定理.（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.一、二项式定理011()C C C C ()n n n k n k k n nn n n n a b a ab a b b n --*+=+++++∈L L N ，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式，共有n +1项，其中各项的系数C ({0,1,2,,})k n k n ∈L 叫做二项式系数.二项展开式中的C kn kk n ab -叫做二项展开式的通项，用1k T +表示，即通项为展开式的第1k +项：1C k n k k k nT a b -+=. 注意：二项式系数是指0C n ，1C n ，…，C nn ，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ， b 的值有关．如()n a bx +的展开式中，第r ＋1项的二项式系数是C r n ，而该项的系数是C r n rr n a b -.当然，某些特殊的二项展开式如(1)nx +，各项的系数与二项式系数是相等的． 二、二项式系数的性质（1）对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式C C m n m n n-=得到.（2）增减性与最大值.当12n k +<时，二项式系数是逐渐增大的；当12n k +>时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值.当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数2C nn最大；当n 是奇数时，中间的两项的二项式系数1122C,Cn n nn-+相等且最大.（3）各二项式系数的和.已知0122(1)C C C C C n k kn nn n n n n x x xx x +=++++++L L.令1x =，则0122C C C C n n n n n n =++++L .也就是说，()n a b +的展开式的各个二项式系数的和为2n.（4）奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即02131C C C C 2n n n n n -++=++=L L .三、必记结论（1）C kn kk n ab -是第k ＋1项，而不是第k 项．（2）通项公式中a ，b 的位置不能颠倒．（3）通项公式中含有a ，b ，n ，k ，T k ＋1五个元素，只要知道其中四个就可以求出第五个，即“知四求一”.考向一 二项展开式通项的应用求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围（0,1,2,,k n =L ）.（1）第m 项：：此时k +1=m ,直接代入通项.（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程. （3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.典例1 的展开式中,的系数为A ．60B ．-60C ．240D ．-240【答案】C 【解析】的展开式中第项为66C (2)r rrx y --,令r =4，可得的系数为典例2 若a =d x (e 为自然对数的底数),则二项式(x-)6的展开式中的常数项为A ．-160B ．160C ．20D ．-20【答案】A【解析】由题意得a =d x =ln x=2,则二项式(x-)6的展开式中的常数项为第4项,所以其常数项为(-2)3=-160.典例3 已知关于x 的二项式(ax-)n展开式的二项式系数之和为256,常数项为112,则a 的值为A ．1B ．±1C ．2D ．±2【答案】D1．在二项式(x-1x)n 的展开式中恰好第5项的二项式系数最大,则展开式中含x 2项的系数是 A ．-56 B ．-35 C ．35 D ．562．若(x 2-a )(x+1x)10的展开式中x 6的系数为30,则a 等于 A ．13 B ．12C ．1D ．23．已知在n的展开式中,第6项为常数项.(1)求;(2)求展开式中所有的有理项.考向二求二项式系数和或各项的系数和二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b的一切值都成立.因此,可将a,b设定为一些特殊的值.在使用赋值法时,令a,b等于多少时, 应视具体情况而定,一般取“1,1-或0”,有时也取其他值.（1）形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．（2）对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．（3）若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝(1)(1)2f f+-，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝(1)(1)2f f--.典例4 若(x2+1)(x-3)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+…+a11(x-2)11,则a1+a2+…+a11的值为A．0 B．-5C．5 D．255【答案】C典例5 已知(1-2x)n的展开式中的二项式系数的和是64,则n=;若(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n,则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=.【答案】6729【解析】由于二项式系数的和2n=64,所以n=6,所以(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6,所以|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=36=729.典例6在二项式n的展开式中, (1)若所有二项式系数之和为,求展开式中二项式系数最大的项．(2)若前三项系数的绝对值成等差数列,求展开式中各项的系数和.∴n =8,在8中，令x =1，得各项系数和为1.2564．若(x +)9的展开式的常数项为-672,则其所有项的系数和为 .5．若(2x-1)6=a 0+a 1(x-1)+a 2(x-1)2+…+a 6(x-1)6,则a 1+a 3+a 5= .(用数字作答)考向三 整除问题利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.典例7 利用二项式定理证明2n +2·3n +5n －4(n *∈N )能被25整除.n＝1时，2n+2·3n＋5n－4＝25.所以，当n*∈N时，2n+2·3n＋5n－4能被25整除.6．被49除所得的余数是A．-14 B．0 C．14 D．351．(1+x)7的展开式中x2的系数是A．42 B．35 C．28 D．212．二项式62xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式的第二项是A．6x4B．﹣6x4C ．12x 4D ．﹣12x 43．若实数a =2-,则a 10-2a 9+22a 8- (210)A ．32B ．-32C ． 1024D ．5124．设二项式(6的展开式的常数项为m ,则π20sin ⎰5mx d x 的值为A ．53B ．53-C ．13D ．13- 5．已知x (x-)5的展开式中含x 4项的系数为30,则a =A ．B ．-C ．-6D ．66．若(1-2x )5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5,则|a 0 |-|a 1|+|a 2|-|a 3|+|a 4|-|a 5|= A ．243 B ．27 C ．1D ．-17．在的展开式中，各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为A ．135B ．105C ．30D ．158．已知(+)5的展开式的第三项为10,则y 关于x 的函数图象的大致形状为A BC D9．在(1-x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中,若2a2+a n-5=0,则自然数n的值是A．10 B．9C．8 D．710．若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,则log2(a1+a3+a5+…+a11)等于A．27B．28C．7 D．811．若(1x-x)n的展开式的各个二项式系数的和为256,则(1x-x)n的展开式中的常数项为__________.12．的展开式中的系数与的系数之和等于__________.13．已知(x-m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x4的系数是-35,则a1+a2+…+a7=__________.14．的二项式中不含的项的系数为__________.15．已知(+)n展开式中的各项系数的和与其各个二项式系数的和之比为128,则n的值为__________. 16．(x2+2x-3y)5的展开式中,x5y的系数为__________.17．设(5x-)n的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若M-N=240,求展开式中二项式系数最大的项.18．求8912除以11的余数.19．在二项式(2x-3y)9的展开式中,求:(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)各项系数绝对值之和.20．在二项式的展开式中,(1)写出其中含的项;(2)如果第项和第项的二项式系数相等,求的值.21．已知a>0,b>0,m≠0,n≠0,若二项式(ax m+bx n)12的展开式中系数最大的项恰好是常数项,且2m+n=0,求a b的取值范围.1．（2016四川理科）设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 42．（2017新课标全国Ⅰ理科）621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30D ．353．（2017新课标全国Ⅲ理科）()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为 A ．80- B ．40- C ．40D ．804．（2017浙江理科）已知多项式32543212345(1)(2)x x x a x a x a x a x a +++++++=，则4a =________，5a =________．5．（2017山东理科）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 6．（2016新课标全国Ⅰ理科）5(2x +的展开式中，x 3的系数是 .（用数字填写答案）1．【答案】A2．【答案】D【解析】依题意,注意到(x+1x )10的展开式的通项公式是T r+1=·x 10-r ·(1x )r =·x10-2r,(x+1x )10的展开式中含x 4(当r =3时),x 6(当r =2时)项的系数分别为,,因此由题意得310C -a =120-45a =30,由此解得a =2,故选D ． 3．【解析】(1)()()33111C 11C 22r rrn r rn rrr r r r nn T x x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-⋅⋅=-⋅⋅⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=()2311C 2rn r rr nx-⎛⎫-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭.由第6项为常数项得5r =时,2503n -⨯=,即得10n =. (2)由已知得1023010r r r -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩Z N ,则有2,5,8r =.252210103216515C C 4563,4428T T x x T T ++==⋅===-=-,822109818C 452256T T x x --+==⋅=，即得展开式中的有理项为22456345,,48256x x --. 4．【答案】-1【解析】(x+)9的展开式的通项T r+1=·x 9-r ·()r =·x 9-3r ·a r ,令9-3r =0,得r =3,故·a 3=-672,得a=- 2.令x =1,则(x+)9=(1-2)9=-1,故(x+)9的所有项的系数和为-1. 5．【答案】3646．【答案】B 【解析】由题可得，=++，所以被49整除，所以余数为0.故选B ．1．【答案】D【解析】(1+x )7的展开式的通项公式为T r+1=x r , 令r =2,得x 2的系数为=21. 2．【答案】D【解析】展开式的通项公式6162C rr r r T xx -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 令1r =,可得展开式的第二项为11562C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=412x -.选D ．3．【答案】A【解析】因为(a-2)10=a 10-2a 9+22a 8-…+210,a =2-,所以a10-2a9+22a8-…+210=(-)10=32. 4．【答案】C【解析】二项式(6的展开式的常数项为m=26C x2()4=15,所以π2sin⎰5mxd x=π2sin⎰3x d x=13-cos 3xπ2|=13-cos3π2-(13-cos 0)=13,故选C．5．【答案】C6．【答案】D【解析】由题意得|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a 5=(1-2)5=-1. 7．【答案】A【解析】因为在的展开式中，各二项式系数之和为64，即2n=64，所以n=6，二项展开式的通项63216C3rr rrT x-+=，令，则展开式中的常数项为8．【答案】D【解析】由题意得()5-2()2=10,故xy=1(x>0),得y=(x>0).故选D．9．【答案】C10．【答案】C【解析】令x=-1,得a0+a1+a2+…+a12=28,令x=-3,得a0-a1+a2-a3+…+a12=0,将所得两式作差得2(a1+a3+…+a11)=28,所以a1+a3+…+a11=27,所以log2(a1+a3+…+a11)=7.11．【答案】70【解析】依题意得 2n=256,解得n=8,所以T r+1=(1x)8-r·(-x)r=(-1)r x2r-8,令2r-8=0,则r=4, 所以T5=(-1)4=70,所以(1x-x)n的展开式中的常数项为70.12．【答案】【解析】的展开式的通项为的系数与的系数之和等于.故填.13．【答案】114．【答案】【解析】展开式的通项为,令,的二项式中不含的项的系数为.15．【答案】7【解析】令x =1,得(+)n 的展开式中的各项系数的和为(1+3)n =4n,又(+)n 的展开式中的各个二项式系数的和为2n , 所以42n n =128,所以2n=128,解得n =7.16．【答案】-480【解析】方法一：,其展开式的通项T r+1=(-3y )r，r =0,1,2,3,4,5,欲求的展开式中x 5y 的系数,只需令r =1,则(-3y )1展开式中,x 5y 的系数为-323=-480.方法二：要得到x 5y 的系数,第一步,从5个小括号(x 2+2x-3y )中取一个二次项x 2；第二步,从余下四个小括号(x 2+2x-3y )中取三个一次项2x ；第三步,从余下一个小括号(x 2+2x-3y )中取一个一次项-3y，即×23×(-3)=-480.17．【解析】依题意得,M =4n =(2n )2,N =2n ,于是有(2n )2-2n =240,(2n +15)(2n-16)=0,∴2n =16=24,解得n =4.要使二项式系数最大,则k =2,故展开式中二项式系数最大的项为T 3=(5x )2·(-)2=150x 3.18．【解析】8912＝(1＋88)12.由于上式除第一项外，各项都能被88整除，也就都能被11整除， 故8912除以11的余数是1.20．【解析】(1)展开式的通项1k T +=()41031012C kkkk x--,令10-43k =2得k =6. ∴含2x 的项是()410666631012C x-⨯-=662102C x =213440x .(2)∵3110C r -=110C r +，∴3r -1=r +1或 3r -1+r +1=10, ∴r =1或r =52（舍去）. ∴r =1.又a >0,b >0,则9485b a a b ⎧>⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,所以.1．【答案】A【解析】二项式6(i)x +的展开式的通项为616C i r r r r T x -+=，令64r -=，则2r =，故展开式中含4x 的项为24246C i 15x x =-，故选A ．【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式6(i)x +可以写为6(i )x +，则其通项为66C i r rr x -，则含4x 的项为464446C i 15x x -=-． 2．【答案】C【解析】因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x ++=⋅++⋅+，所以6(1)x +展开式中含2x 的项为22261C 15x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为442621C 15x x x⋅=，故2x 的系数为151530+=，选C ．【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含2x的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的r 不同.故选C ．【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 4．【答案】16，4【解析】由二项式展开式可得通项公式为：223232C C 2C C 2r r m m m r m mr m x x x --+⋅=⋅⋅⋅，分别取0,1r m ==和1,0r m ==可得441216a =+=，取r m =，可得25124a =⨯=．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题． 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）；（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用． 5．【答案】4【解析】()13nx +的展开式的通项公式为1C (3)C 3r r r r r r n n T x x +==⋅，令2r =，得22C 354n ⋅=，解得4n =．【名师点睛】根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.【解析】5(2x +的展开式的通项为555255C (2)2C r r rr rr x x---=(0r =，1，2，…，5)，令532r -=得4r =，所以3x 的系数是452C 10=.【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项1r T +,再确定r 的值,从而确定指定项系数.。
44 二项式定理-2018年高考数学(理)热点题型和提分含解析
专题44 二项式定理2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍1.本部分在高考中经常考查，主要有求二项展开式中的某一特定项、特定项的系数、已知某项的值求参数值、赋值法求值、利用二项展开式作不等放缩或近似计算等2．命题形式多种多样,主要以选择题、填空题的形式出现,有时涉及函数与方程的思想方法热点题型一求展开式中的指定项或特定项例1、已知在（错误!－错误!)n的展开式中，第6项为常数项.(1)求n;（2）求含x2的项的系数;（3)求展开式中所有的有理项。
（3)根据通项公式，由题意得错误!令错误!＝k（k∈Z）,则10－2r＝3k，即r＝5－错误!k，∵r∈Z,∴k应为偶数。
∴k可取2，0，－2，即r可取2,5,8.所以第3项,第6项与第9项为有理项，它们分别为C错误!错误!2x2，C错误!错误!5,C错误!错误!8x－2。
【提分秘籍】解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r）;第二步是根据所求的指数，再求所求解的项。
【举一反三】5(x∈R)展开式中x3的系数为10,则实数a等于( )错误!A．－1 B.错误!C．1 D．2解析：由二项式定理,得T r＋1＝C r5x5－r·错误!r＝C错误!·x5－2r·a r，令5－2r＝3，得r＝1,由C错误!·a＝10，解得a＝2。
答案：D热点题型二二项式系数或项系数的和问题例2、已知（1－2x）7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：(1）a1＋a2＋…＋a7；（2)a1＋a3＋a5＋a7；（3)a0＋a2＋a4＋a6；（4）|a0｜＋|a1|＋｜a2｜＋…＋｜a7｜。
解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1。
①令x＝－1,则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②(1）∵a0＝C错误!＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2。
2018年高考二项式定理十大典型问题及例题
二项式定理
1．二项式定理：
，
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做 的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数 .
③项数：共 项，是关于 与 的齐次多项式
④通项：展开式中的第 项 叫做二项式展开式的通项。用 表示。
3．注意关键点：
①项数：展开式中总共有 项。
②二项式系数和：令 ,则二项式系数的和为 ，
变形式 。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项பைடு நூலகம்定理中，令 ，则 ，
从而得到：
④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数 是偶数时，则中间一项的二项式系数 取得最大值。
如果二项式的幂指数 是奇数时，则中间两项的二项式系数 , 同时取得最大值。
⑥系数的最大项：求 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
为 ，设第 项系数最大，应有 ，从而解出 来。
题型一：二项式定理的逆用；
例：
练：
题型二：利用通项公式求 的系数；
例：在二项式 的展开式中倒数第 项的系数为 ，求含有 的项的系数？
练：求 展开式中 的系数？
题型三：利用通项公式求常数项；
②顺序：注意正确选择 , ,其顺序不能更改。 与 是不同的。
③指数： 的指数从 逐项减到 ，是降幂排列。 的指数从 逐项减到 ，是升幂排列。各项的次数和等于 .
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是 项的系数是 与 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：
令
令
5．性质：
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 ，···
二项式定理高考题(带答案)精选全文
可编辑修改精选全文完整版1.2018年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】C【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得，令,则，所以故选C.2.【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.详解：二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为3.【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________.【答案】决问题的关键．4．【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（）A. 2B.C.D.【答案】B5．【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为__________．【答案】-132【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果.详解：的展开式为：，当，时，，当，时，，据此可得：展开式中项的系数为.6.【2017课标1，理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【解析】试题分析：因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x ++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x⋅=，故2x 前系数为151530+=，选C.情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同.7.【2017课标3，理4】()()52x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为A ．80-B ．40-C ．40D ．80【答案】C 【解析】8.【2017浙江，13】已知多项式()1x +3()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++，则4a =________，5a =________． 【答案计数.9.【2017山东，理11】已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = .【答案】4【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式()1C 3C 3rr r r rr n n x x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =． 【考点】二项式定理10.【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r rr n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ． 【考点定位】二项式定理．【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C k n k k k n ab -+T =． 11.【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C12.【2015高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式 系数和为（ ）A.122 B ．112 C ．102D ．92【答案】D【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73nn C C =，解得10=n ，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯.13.【2015高考重庆，理12】53x ⎛+ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).【答案】52【解析】二项展开式通项为7153521551()()2k k kkk k k T C x C x --+==，令71582k-=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =.14.【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 . 【答案】6．【解析】由题可知()()44214411r rrrrr r T CC x--+=-=-，令412r-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()22416C -=，故应填入6．【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.15.【2015高考天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.16.【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．【考点定位】二项式定理．17.【2015高考湖南，理6】已知5-的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）B. C.6 D-6 【答案】D.18.【2015高考上海，理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为（结果用数值表示）． 【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C = 19.（2016年北京高考）在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答） 【答案】60.20.（2016年山东高考）若（a x 2）5的展开式中x 5的系数是—80，则实数a =_______. 【答案】-221.（2016年上海高考）在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 【答案】11222.（2016年四川高考）设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 4【答案】A23.（2016年天津高考）281()x x-的展开式中x 2的系数为__________.(用数字作答)【答案】56-24.（2016年全国I 高考）5(2x 的展开式中，x 3的系数是 .（用数字填写答案） 【答案】10。
49 二项式定理-2018年高考数学(理)考点一遍过含解析
(1）能用计数原理证明二项式定理.（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
一、二项式定理011()C C C C ()n n n k n k kn n n n n n a b a ab ab b n --*+=+++++∈N ,这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()na b +的二项展开式,共有n +1项，其中各项的系数C ({0,1,2,,})knk n ∈叫做二项式系数.二项展开式中的C k n kk nab -叫做二项展开式的通项,用1k T +表示，即通项为展开式的第1k +项：1C k n k k k n Ta b -+=。
注意：二项式系数是指0C n，1C n，…，C n n，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a , b 的值有关．如()na bx +的展开式中,第r ＋1项的二项式系数是C r n，而该项的系数是C r n rr nab -.当然,某些特殊的二项展开式如(1)nx +,各项的系数与二项式系数是相等的． 二、二项式系数的性质（1）对称性。
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。
事实上，这一性质可直接由公式CC m n mnn-=得到。
(2）增减性与最大值。
当12n k +<时，二项式系数是逐渐增大的；当12n k +>时，二项式系数是逐渐减小的,因此二项式系数在中间取得最大值.当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数2C nn最大；当n 是奇数时，中间的两项的二项式系数1122C ,Cn n nn-+相等且最大.（3)各二项式系数的和。
已知0122(1)C C C C C nk k n nn n n n n x x x x x +=++++++.令1x =,则0122C C C C nnn n n n=++++。
也就是说，()n a b +的展开式的各个二项式系数的和为2n。
高考数学精品试题：二项式定理
专题内容：二项式定理一、典型例题例1、已知()()511ax x ++的展开式中3x 的系数为15，则a 的值为（ ） A ．34 B ．13 C ．12 D ．1 例2、已知二项式()*12N n x n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，则展开式的常数项为（ ）A ．14B ．240C ．60D ．240- 例3、设()5234512345612x a a x a x a x a x a x +=+++++，则5a = ；123a a a ++= 。
二、课堂练习1、91x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为（ ） A ．84 B ．84- C ．28D ．28- 2、在()n x y -的展开式中，第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项是（ ）A ．第6项B ．第5项C ．第5，6项D ．第4，5项 3、若312n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中所有项系数和为81，则该展开式的常数项为（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．44、()25y x x x y ⎛⎫ ⎪⎭+⎝+的展开式中33x y 的系数为( ) A.5 B.10 C.15 D.205、若多项式()()()910210019101...11x x a a x a x a x +=+++++++，则9a = （ ）A. 9B. 10C. -9D. -10【布置作业】1、的展开式中的中间项为（ ） A ． B ． C ． D ．2、的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中的系数为（ ） A ．20B ．30C ．40D ．80 3、使（）的展开式中含有常数项的最小的（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7 4、二项式的展开式中有理项的个数为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8 5、已知，设，则（ ）A ．1023B ．1024C ．1025D ．1026 6、在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是（ ） A ． B ． C ． D ．287、的展开式中的常数项是__________． 8、的展开式中第四项的系数为120，所有奇数项的二项式系数之和为512，则实数a 的值为______.9、的展开式中项的系数为___________（用数字表示）.10、已知的展开式中，的系数是240，则实数的值为______． 11、的展开式中所有二项式系数的最大值是_____（用数字作答）． 12、已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则该展开式中系数最大的项为_________． 13、若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为第_______项 14、若二项式的展开式中第项与第项的系数相同，则其常数项是___________. 8312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭35883358x -7-437x --3()n a x x+3x 13n x x x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭n +∈N n 102x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭46n n C C =()()()()201234111n n n x a a x a x a x -=+-+-++-12n a a a +++=31()2n x x -552552-28-()51212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭4n a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭25(1()2)x x +-4x ()61ax -2x a ()61x +21(0)nax a x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭1()n x x +1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()*n ∈N 5615、设a∈Z，且0≤a≤16，若42021+a能被17整除，则a的值为_____.。
2018年高考二项式定理十大典型问题及例题
1学科教师辅导讲义1 •二项式定理：(a b)n C ：a n C ：a n 1b L C ：a n r b r LC ；b n (n N ),2 .基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n 的二项展开式。
②二项式系数：展开式中各项的系数 C ： (r 0,1,2, ,n). ③项数：共(r 1)项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第 r 1项C ：a n r b r 叫做二项式展开式的通项。
用 T r 1 C ：a n r b r 表示。
3 .注意关键点：①项数：展开式中总共有 (n 1)项。
②顺序：注意正确选择 a ,b ,其顺序不能更改。
(a b)n 与(b a)n 是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幕排列。
b 的指数从0逐项减到n ,③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和: ④奇数项的系数和与偶数项的系数和:是升幕排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,C ；,Cn, ,C ：, ,C ：.项的系数是a 与b 的系数(包括二项式系数)。
4 .常用的结论:令 a 1,b x, (1 x)n C O C 1x C 2x 2 L C ：x r LC ：x n (n N令 a 1,b x, (1 x)nC O C：XC'x 2L C：x rLn n n(1) C nX (n5.性质: ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 C 0nkC n，•…C n C i②二项式系数和：令 a b 1,则二项式系数的和为C n 2C n rC n n 2n ,变形式C 1 Cn L C ： LC： 2n在二项式定理中，令 a 1,b 1，则C° C ； Coc ；1)nc ：(1 n1) 0 ,从而得到：c O c 2 c 4C n 2rc n c ； L2r 1C n2 2" 2：1⑥系数的最大项：求（a bx ）n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。
2018届高考数学理一轮总复习检测：第十章 第三节 二项
第三节二项式定理【最新考纲】会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)；(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C o n，C1n，…，C n n.2．二项式系数的性质3.二项式各项系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n．(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1．(1)C r n a n－r b r是(a＋b)n的展开式中的第r项．()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．()(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．()(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．(2017·广州一模)(3－x)n的展开式中各项系数和为64，则x3的系数为()A．540B．－540C．600D．200解析：本题主要考查二项式定理．由题意令x＝1，则(3－x)n的展开式中各项系数和为2n＝64，解得n＝6，由二项式定理可得T r＋1＝C r636－r(－x)r＝(－1)r C r636－r x r，取r＝3可得x3的系数为(－1)3C3633＝－540.答案：B3．(2015·陕西卷)二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15，则n＝()A．7 B．6C．5 D．4解析：(x＋1)n＝(1＋x)n＝1＋C1n＋C2n x2＋…＋C n n x n依题意，得C2n＝15，解得n＝6(n＝－5舍去)．答案：B4．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为()A．1 B．129C．128 D．127解析：令x ＝1得a 0＋a 1＋…＋a 7＝128.令x ＝0得a 0＝(－1)7＝－1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝129.答案：B5．(2016·衡水质检)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2－13x n 的展开式中，各项的二项式系数和为256，则展开式中常数项是________．解析：依题意，得2n ＝256，∴n ＝8 则⎝⎛⎭⎪⎪⎫x2－13x 8展开式的通项T k ＋1＝C k 8⎝ ⎛⎭⎪⎫128－k (－1)kx8－43k ，令8－43k ＝0，则k ＝6，因此展开式中的常数项T 7＝C 68⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝7. 答案：7一个定理二项式定理(a ＋b)n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r＋…＋C n nb n (n ∈N *)揭示二项展开式的规律，一定要牢记通项公式T r ＋1＝C r n a n －r b r是展开式的第r ＋1项，不是第r 项．一点注意切记二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n，而后者是字母外的部分；前者只与n和r 有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．两类应用1．通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(常用待定系数法)．2．展开式的应用：(1)可求解与二项式系数有关的求值问题，常采用赋值法．(2)可证明整除问题(或求余数)．(3)有关组合式的求值证明，常采用构造法．一、选择题1．(2015·广东卷改编)在(x－1)4的展开式中，x的系数为() A．6B．－6C．4 D．－4解析：T r＋1＝C r4·(x)4－r·(－1)r.令r＝2，则C24(－1)2＝6.答案：A2．(2016·江西八校联考)若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a7的值是()A．－2 B．－3C．125 D．－131解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝－2.又a 0＝C 07(－1)020＝1，a 8＝C 77(－2)7＝－128.所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2－1－(－128)＝125. 答案：C3．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2 B.54 C ．1 D.24解析：T r ＋1＝C r 7·(2x)7－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r＝27－rC r 7a r·1x2r －7，令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5＝84得a ＝1.答案：C4．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．180B ．90C ．45D ．360解析：依题意，n ＝10.则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 210的通项公式T r ＋1＝C r 10(x)10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝2r C r10x5－52r 令5－52r ＝0，得r ＝2.∴展开式中的常数项T 3＝22C 210＝180.答案：A5．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于( )A ．63B ．64C ．31D ．32解析：逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.答案：A6．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n 项的系数为f(m ，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210解析：在(1＋x)6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y)4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f(m ，n)＝C m 6·C n4.所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.答案：C二、填空题7．(2015·天津卷)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________．解析：设通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x r ＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－14rx 6－2r.令6－2r ＝2得r ＝2， ∴x 2的系数为C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝1516. 答案：15168.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x n的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________．解析：由条件第五项和第六项二项式系数最大，得n ＝9.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 9展开式的第四项为T 4＝C 39·(x)6·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＝212.答案：2129．(2015·课标全国Ⅱ卷)(a ＋x)(1＋x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________．解析：设(a ＋x)(1＋x)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，∴a ＝3. 答案：3 三、解答题10．已知二项式(3x ＋1x)n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n ；(2)求展开式中的常数项．解：(1)由题意得C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝256，∴2n ＝256，解得n ＝8.(2)该二项展开式中的第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 8(3x)8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r8·x8－4r 3，令8－4r 3＝0，得r ＝2，此时，常数项为T 3＝C 28＝28. 11．若(2＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 3的展开式中的常数项为a ，求∫a0(3x 2－1)dx.解：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 3＝1－3x ＋3x 2－1x 3，∴(2＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 3的展开式中的常数项为a ＝2×1＋1×(－3)＋1×3＝2.故∫a 0(3x 2－1)dx ＝(x 3－x)|20＝6.12．已知a 为如图所示的程序框图输出的结果，求二项式⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6的展开式中含x 2项的系数．解：由题意可知i ＝1，a ＝2，i ＝2，a ＝－1；i ＝3，a ＝12；i ＝4，a ＝2.则其周期为3，i ≥2 017，则输出a ，由此可知a ＝2.T r ＋1＝C r 6(ax)6－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r的展开式为含x 2的项，∴6－r 2－r2＝2，∴r ＝1，则x 2项的系数C 16·26－1(－1)1＝－192.。
二项式定理典型例题(含解答)
二项式定理典型例题典型例题一例1 在二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+421的展开式中前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为：4324121C 21)(C rn r r n rr n r n r x x x T --+=⎪⎭⎫ ⎝⎛= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t nn ， 由已知：)1(8112312-+=+=n n n tt t ，∴8=n 通项公式为1431681,82,1,021C +-+==r rr rr T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数，∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有典型例题四例4（1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++xx 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）103)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5510C x ；用3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；用3)1(x -中的2x 乘以10)1(x +展开式中的3x 可得到531033102C 3C 3x x x =⋅；用 3)1(x -中的3x 项乘以10)1(x +展开式中的2x 项可得到521022103C C 3x x x -=⋅-，合并同类项得5x 项为：5521031041051063)C C 3C C (x x -=-+-．（2）2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x x 1251)21(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x x ．由121⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 展开式的通项公式r rrrrr x x T--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=61212121C 1)2(C ，可得展开式的常数项为924C 612=．说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决．典型例题五例5 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数．分析：62)1(x x -+不是二项式，我们通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12x x -+展开． 解：方法一：[]6262)1()1(x x x x -+=-+ -+++-+=44256)1(15)1(6)1(x x x x x其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-．含5x 项的系数为6．方法二：[]6262)(1)1(x x x x -+=-+62524232222)()(6)(15)(20)(15)(61x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-+=其中含5x 的项为555566)4(15)3(20x x x x =+-+-．∴5x 项的系数为6．方法3：本题还可通过把62)1(x x -+看成6个21x x -+相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，5x 项可由下列几种可能得到．5个因式中取x ，一个取1得到556C x ．3个因式中取x ，一个取2x -，两个取1得到)(C C 231336x x -⋅⋅． 1个因式中取x ，两个取2x -，三个取1得到222516)(C C x x -⋅⋅． 合并同类项为5525161336566)C C C C (C x x =+-，5x 项的系数为6．典型例题六例6 求证：（1）1212C C 2C -⋅=+++n n n n n n n ；（2）)12(11C 11C 31C 21C 1210-+=++++++n n nn n n n n ． 分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质nn n n n n 2C C C C 210=++++ ．解：（1）11C )!()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--⋅=--=-⋅=k n kn n k n k n n k n k n k n k n k k ∴左边111101C C C ----+++=n n n n n n n =⋅=+++=-----11111012)C C C (n n n n n n n 右边．（2）)!()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n --=-⋅+=+11C 11)!()!1()!1(11+++=-++⋅+=k n n k n k n n ． ∴左边112111C 11C 11C 11++++++++++=n n n n n n n =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n 右边． 说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解．此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求10C 2C 2C 2C 22108107910810109+++++ 的结果．仔细观察可以发现该组合数的式与10)21(+的展开式接近，但要注意：10101099102210110010102C 2C 2C 2C C )21(⋅+⋅++⋅+⋅+=+ 10101091092102C 2C 2C 21021++++⨯+= )C 2C 2C 210(21101099108210+++++=从而可以得到：)13(21C 2C 2C 21010101099108210-=++++ ． 典型例题七例7 利用二项式定理证明：98322--+n n 是64的倍数．分析：64是8的平方，问题相当于证明98322--+n n 是28的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形1122)18(93++++==n n n ，将其展开后各项含有k 8，与28的倍数联系起来．解：∵98322--+n n 98)18(98911--+=--=++n n n n9818C 8C 8C 81211111--+⋅+⋅++⋅+=+-+++n nn n n n n n981)1(88C 8C 8211111--+++⋅++⋅+=-+++n n n n n n n 2111118C 8C 8⋅++⋅+=-+++n n n n n 64)C 8C 8(112111⋅++⋅+=-+-++n n n n n 是64的倍数．说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数．典型例题八例8 展开52232⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ．分析1：用二项式定理展开式．解法1：52232⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 2232524150250523)2(23)2(23)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x C x x C x x C52554245322352323)2(23)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x C x x C x x C10742532243840513518012032xx x x x x -+-+-= 分析2：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．解法2：10535232)34(232x x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-233254315530510)3()4()3()4()4([321-+-+=x C x C x C x ])3()3()4()3()4(5554134532335-+-+-+C x C x C)243716204320576038401024(321369121510-+-+-=x x x x x x10742532243840513518012032x x x x x x -+-+-=． 说明：记准、记熟二项式nb a )(+的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．典型例题九例9 若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）． A ．11 B ．33 C ．55 D ．66 分析：10)(z y x ++看作二项式10])[(z y x ++展开．解：我们把z y x ++看成z y x ++)(，按二项式展开，共有11“项”，即∑=-⋅+=++=++10010101010)(])[()(k k k kz y x C z y x z y x ．这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式ky x -+10)(展开，不同的乘积k kk z y x C ⋅+-1010)(（10,,1,0 =k ）展开后，都不会出现同类项． 下面，再分别考虑每一个乘积k kk z y x C ⋅+-1010)(（10,,1,0 =k ）．其中每一个乘积展开后的项数由ky x -+10)(决定，而且各项中x 和y 的指数都不相同，也不会出现同类项．故原式展开后的总项数为66191011=++++ ，∴应选D ．典型例题十例10 若nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-+21的展开式的常数项为20-，求n ．分析：题中0≠x ，当0>x 时，把nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21转化为nn x x x x 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+；当0<x 时，同理nn n x x x x 21)1(21⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+．然后写出通项，令含x 的幂指数为零，解出n ． 解：当0>x 时nn x x x x 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+，其通项为rn r n r r rn r n r x C xx C T 222221)()1()1()(--+-=-=，令022=-r n ，得r n =， ∴展开式的常数项为n nnC2)1(-；当0<x 时，nn n x x x x 21)1(21⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+， 同理可得，展开式的常数项为n n n C 2)1(-．无论哪一种情况，常数项均为nn n C 2)1(-． 令20)1(2-=-nn n C ，以 ,3,2,1=n ，逐个代入，得3=n ．典型例题十一例11 1031⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式的第3项小于第4项，则x 的取值范围是______________．分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可． 解： 1031⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 有意义必须0>x ；依题意有43T T <即3373102382101)(1)(⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛x x C x x C ．∴31123891012910xx ⨯⨯⨯⨯⨯<⨯⨯（∵0>x ）．解得5648980<<x ．∴x 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<5648980x x ．∴应填：5648980<<x ．典型例题十二例12 已知n xx)1(2log +的展开式中有连续三项的系数之比为321∶∶，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x 的值．解：设连续三项是第k 、1+k 、2+k 项（+∈N k 且1>k ），则有32111∶∶∶∶=+-k n k n k n C C C ， 即321!)1)(1(!!)(!!!)1)(1(!∶∶∶∶=--+-+--k n k n k n k n k n k n ．∴321)1(1)(1)1)((1∶∶∶∶=+-+--k k k n k k n k n ．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+---32)()1(21132)()1(21)1)(()(k n k k n k k n k k k k n k n k n k 14=⇒n ，5=k 所求连续三项为第5、6、7三项．又由已知，1122log 1314=xx C ．即82log =x x ．两边取以2为底的对数，3)(log 22=x ，3log 2±=x ，∴32=x ，或32-=x ．说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解．典型例题十三例13 nx )21(+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．分析：根据已知条件可求出n ，再根据n 的奇偶性；确定二项式系数最大的项．解：556)2(x C T n =，667)2(x C T n =，依题意有8226655=⇒=n C C n n ． ∴8)21(x +的展开式中，二项式系数最大的项为444851120)2(x x C T ==．设第1+r 项系数最大，则有65222211881188≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--r C C C C r r r r r r r r ． ∴5=r 或6=r （∵{}8,,2,1,0 ∈r ）．∴系娄最大的项为：561792x T =，671792x T =．说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得．典型例题十四例14 设nm x x x f )1()1()(+++=(+∈N n m ,)，若其展开式中关于x 的一次项的系数和为11，问n m ,为何值时，含2x 项的系数取最小值？并求这个最小值．分析：根据条件得到2x 的系数关于n 的二次表达式，然后用二次函数性质探讨最小值．解：1111=+=+m n C C n m ．211)(21222222-+=-+-=+n m n n m m C C n m 499)211(55112211022+-=+-=-=n n n mn ．∵+∈N n ， ∴5=n 或6，6=m 或5时，2x 项系数最小，最小值为25．说明：二次函数499)211(2+-=x y 的对称轴方程为211=x ，即5.5=x ，由于5、6距5.5等距离，且对+∈N n ，5、6距5.5最近，所以499)211(2+-n 的最小值在5=n 或6=n 处取得．典型例题十五例15 若0166777)13(a x a x a x a x ++++=- ，求(1) 721a a a +++ ；(2) 7531a a a a +++；(3) 6420a a a a +++．解：(1)令0=x ，则10-=a ，令1=x ，则128270167==++++a a a a ． ①∴129721=+++a a a ．(2)令1-=x ，则701234567)4(-=+-+-+-+-a a a a a a a a ②由2②①-得：8256]4128[2177531=--=+++）（a a a a (3)由2②①+得：6420a a a a +++][210123456701234567）（）（a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+-++++++++=8128])4(128[217-=-+=． 说明：（1）根据问题恒等式特点来用“特殊值”法．这是一种重要方法，它适用于恒等式．(2)一般地，对于多项式nn n x a x a x a a q px x g ++++=+= 2210)()(，)(x g 的各项的系数和为)1(g ：)(x g 的奇数项的系数和为)]1()1([21-+g g ．)(x g 的偶数项的系数和为)]1()1([21--g g ． 典型例题十六例16 填空：(1) 3230-除以7的余数_____________；(2) 155555+除以8的余数是___. 分析(1)：将302分解成含7的因数，然后用二项式定理展开，不含7的项就是余数．解：3230-3)2(103-=3)8(10-=3)17(10-+=37771010910911010010-++++=C C C C2]77[791081109010-+++⨯=C C C又∵余数不能为负数，需转化为正数。
(完整版)二项式定理十大典型问题及例题
学科教师辅导讲义学员编号：年级：高二课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：教学内容③奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 a 1,b1，则 C n 0 C n 1 C n 2 C n 3 L ( 1)n C n n (1 1)n 0 ，④奇数项的系数和与偶数项的系数和：如果二项式的幂指数 n 是奇数时，则中间两项的二项式系数⑥系数的最大项：求 (a bx)n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别专题一题型一：二项式定理的逆用； 例： C n 1 C n 2 6 C n 3 62 L C n n 解：(1 6)n C 0C nC 1C n6C n 2 62C n 1 C n 2 6C 3C n62L C nn16(C n 06C 1C n6 C n 2 62L练： 12C 1n 3C n 29C 3 n L 3n1 Cn nn1C n 3 63 LC n n 6n 与已知的有一些差距，6n 1 1(C n 1 6 C n 2 62 L C n n 6n )6 n n nn n 1 n 1 nC n n 6n 1) [(1 6)n 1] (7n 1)66从而得到： C n 0 C n 2 C n 4C n 2rC n 1 C n 3 LCn 2r12 2n2n 1为 A 1, A 2, ,A n 1，设第 r 1项系数最大，应有A r 1A r 1Ar，从而解出 r 来。
A r 2(a nx)nCn 0a n x 0 Cn 1a n 1x C n 2a n 2x 2 n 0 n C na x a 0a 1x a 2x 2 2a 2x nL a n x 1a 1x a 0令x 1, 则 a 0 a 1a 2a 3La n(a1)n ① 令x 1,则a 0a 1 a 2a 3La n(a 1)n②① ②得,a 0 a 2a 4L a n(a1)n(a 1)n2 (奇数项的系数和 ①②得,a 1a 3 a 5La n(a 1)n (a 1)n2(偶数项的系数和nC n 2 取得最大值。
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学科教师辅导讲义1 •二项式定理：(a b)n C：a n C；a n 1b L C：a n r b r L C：b n(n N ),2 .基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式。
②二项式系数：展开式中各项的系数C n r (r 0,1,2, ,n).③项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：展开式中的第r 1项C：a n r b r叫做二项式展开式的通项。
用T r 1 Qa" r b r表示。
3 .注意关键点: ①项数：展开式中总共有(n 1)项。
②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。
(a b)n与(b a)n是不同的。
③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幕排列。
b的指数从0逐项减到n，是升幕排列。
各项的次数和等于n.④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数,(包括二项式系数)。
4 .常用的结论:令a 1,b x, (1 x)n C O C：X C：X2L C；x r L C n n x n(n N )令a 1,b X, (1 x)n C O C"X C'X2L C：x r L ( 1)n C：x n(n N )5.性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即C O c n，•…Cn②二项式系数和：令a b 1,则二项式系数的和为C： C n C' L C n L C： 2n,变形式c n Cn L c n L c n 2n 1 o③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a 1,b 1，则C： C1 C" C3 L ( 1)n C：(1 1)n 0 ,从而得到：c O C 2C4c n2r C" C3L c2r 1- 2n2n 12④奇数项的系数和与偶数项的系数和：二项式系数依次是C°,C n,Cn, ,C n, ,C；；.项的系数是a与b的系数C n'⑥系数的最大项：求（a bx ）n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别A 1 为A,A 2, , A n 1，设第r 1项系数最大，应有△A 1题型一：二项式定理的逆用; 例: C Cn 6 C ； 62 L C ： 6n 1解:(1 6)nC 0 c n 6 C 262 C3 63 L C ；6n 与已知的有一些差距， d C 2 6 C 3 62 L Cn6n1丄(C ： 6C ； 62 L C ： 6n )6'(C nC n 6 C 2 62 L C ； 6n 1) 7[(1 6)n 1] g(7n1)6 6 6练: C n 3C ： 9C ： L 3n 1C ；.解:设 S n C ： 3Cn 9Cn L 3“ 9；，则 3S n C n 3 C ；32 C ；33 LC ：3n C° C n 3 C ：32 C ；33 LC ：3n 1 (1 3)n 1(1 3)n 14n 1 S n33题型二：利用通项公式求 x n的系数;例：在二项式（4 1 3 x 2）n 的展开式中倒数第 3项的系数为45，求含有x 3的项的系数?、x(a(x 令x 令xnx)\na) 1, C 0a n x ° C °a 则a 。
1,则 a 。
0x nC l a n 1x 1 n 1C nax a 2 a ia 2a 3 ②得,a 。
a 2 a 4L a n n 。
nL C n a x n n 0L C n a x 1)n(a 1)n(a〃 (a“]奇数项的系数和2 n 2 2 C n a x 2 2 n 2 C na x a n(a L a n a 0 a 1x 1 a n X nL① ②2 a 2x 2a 2xLia 1x na n Xa 。
②得,a 1a 3 a5La n2（a* （a ｛（偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数nc n 2取得最大值。
如果二项式的幕指数 n 是奇数时，则中间两项的二项式系数C n 2 , C n 2同时取得最大值。
A ，从而解出r 来。
A 26解: n 2 2 由条件知C n 45，即C n 45，2n n 900，解得 n9（舍去）或n 10， 10 rT r 1 1 2r / 4 \1° r / 3 \ r r —4 C 1 0(X 4) (X 3) C 10X 423r 石日石亠 10 r 2 ，由题息 ------- --- r 4 3 3,解得r 6，练: 解: 则含有X 3的项是第7项T 6 1求(x 21 9 2x ）展开式中X C10X 3的系数? 3210x ,系数为210。
C ；(x 2)9r ( J )r 2x 1 故x 9的系数为C 3( )3 2 T r 1r 18 2r , 1、r r r , 1 .r 18 3r C 9X ( ) x C g ( ) x 2 2 令 18 3r 9,则 r题型三：利用通项公式求常数项;例: 求二项式（x 2 10的展开式中的常数项? 解: 练: 解: 练: 解: 21 - 。
2 r 2 10 r 1 r r 1 r 20 2rT r 1 G°(x ) ( ) 5(2)x 26 求二项式（2x ——）的展开式中的常数项?2x T r 1令205r 0，81 o r 8，所以 T ； Cw(-)8 45256沁)6「( D r (；)r ( {CQ2r，令6 2r0，得r 3，所以T 4（1）3C620n的二项展开式中第5项为常数项，则n42 n 41 4T 5 C n (X )(一)X 4 2n 12C n x ，令 2n 12 0,得 n 6.题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项; 例：求二项式（、、x 3 X ）9展开式中的有理项? 1 1 解：T r 1 C ；(X 2)9 r ( X 3)r 27 r(1)r C ；x 丁，令27 r 6z ,( 09)得 r 3或r 9，27 r 所以当r 3时， 627 r当 r 9 时，27 -3， 4，T 4 ( 1)3C 93 X 484 X 4， 3 9 3 3 T 10 ( 1) C 9Xx。
题型五：奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和;例：若（'X 2n展开式中偶数项系数和为256，求n .012I 12 I 1212由 C n C n C n 79,解出 n 12,假设 T r 1 项最大，Q (? 2x)12 (7) (1 4x)121设（.,X 23.2）n 展开式中各项系数依次设为T x 2题型六：最大系数，最大项；1已知（12x ）n ，若展开式中第5叽2的系数是多少？解: QCn C ；2C 5, n 2 21n 98 0,解出 n 7或n 14，当 n7时，展开式中二项式系数最大的项是练: 解: 练: 解:练: 解: 练: 解:T 4和T 5 T 4的系数 C 3( 1 )423 35 ,，T 5的系数 C 74(1)3242 2 2 的项是T 8， T 8的系数 C ^4(1)727270,当n 14时，展开式中二项式系数最大3432。
在（a b ）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少? 二项式的幕指数是偶数 2n ,则中间一项的二项式系数最大，即 在（2 T 2n2 T n 1，也就是第n 1项。
1 丄）n的展开式中，只有第 5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少? 只有第5项的二项式最大，则 n 2 6 1 2 1 5，即n 8,所以展开式中常数项为第七项等于C 8（ ） 7 2 写出在（a b ）7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项? 因为二项式的幕指数 7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有3 4 3 4 3 4C ?a b 的系数最小，T 5 C ?a b 系数最大。
1若展开式前三项的二项式系数和等于79，求（2 2x ）n 的展开式中系数最大的项?解: a 0 , a 1, a n ,练:解: 令x 1,则有a 0将①-②得:有题意得,a ia n 0,①，令x 1,则有 a 。
a a 2 a 3(1)nna n 2 ,②2佝 2n1QC ： C n 2a 3a 5a 3a 52n1256C ： c ；r 28， n 9。
所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。
所以中间两个项分别为 n 6,n7， Cn L C ；r 1n 1n 12 ， 2解得n 11p)5462 x 4，T 6 161462 x 15例: 第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项1 xn的展开式中, T 5 1 C^的展开式中X 2的系数等于C 0 20 C 2 ( 1)2C3 21 C 4( 1)1C | 22 C 0 ( 1)0 6.AAC r 4r C r 14r 1J「C LCIA ，化简得到94 r 104，又Q0 r 12， 「10,展开式中系数最大的项为 Tn,有T 11 (1)12C；0410X1016896X 10练：在(12X )10的展开式中系数最大的项是多少？解：假设T r 1项最大，QT r 1 C ；0 2r x rr 7，展开式中系数最大的项为 T 8 C1O 27X 7 15360X 7.题型七：含有三项变两项 ；例：求当(X 2 3X 2)5的展开式中X 的一次项的系数？2525r 25 rr解法①：(x 3X 2)[(x2) 3X ]，T r 1 C 5(x 2) (3x)，当且仅当r 1时，T r 1的展开式中才有 X的一次项，此时T r 1 T 2 C5(X 22)43X ，所以X 得一次项为C ；C ：243X它的系数为C 5C ：243 240。
解法②：(X 2 3X 2)5 (X 1)5(X 2)5 (C?x 5 C5X 4c/cfx 5 C；X 42 C ；25)45 544故展开式中含X 的项为C 5 XC 5 2C 5X2240X ，故展开式中X 的系数为240.练：求式子(x12)3的常数项?解：(|x|右2)3 (胸 )6，设第r 1项为常数项，则T r 1 C ；( 1)「6 r(*)r ( 1)6c ；|X 62r ，得3 36 2r 0, r 3, T 3 1 ( 1)20. 题型八：两个二项式相乘； 例：求(1 2X )3(1 X )4展开式中X 2的系数. 解: Q(1 2X )3的展开式的通项是 c m (2x)m c m 2m X m ,(1 X)4的展开式的通项是 C 4( X)n C ； 1n X n ,其中m 0,1,2,3, n 0,1,2,3, 4,令m n 2,则 m 0且 n 2,m1且n 1,m2且n 0,因此(1 2X )3(1 X )4r rr 1 r 1A r 1 A r C 1O 2 C 10 2 解得 2(11 A r 1 A r2C ；°2r C 1012r 1,牛寸 r 1r) r)，化简得到 6.3 k 7.3，又Q0 r 10，2(10 r)n的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为多少?练：求(1 41 )10展开式中的常数项解: m 10展开式的通项为c6V4c m C iO4m 3n12其中 m 0,1,2, ,6, n 0,1,2, ,10,当且仅当 4m3n,即 m n 0, m 3或 或 0, n 4,m 6, n 8, 时得展开式中的常数项为 C (0 C 10 C 3 C ；0 C ； C 0 4246.练：已知(1 x x 2)(x -y)n 的展开式中没有常数项，n N *且2 n 8,则n __________________ . x解：(X A )n 展开式的通项为c n x n r x 3r c n x n4r ,通项分别与前面的三项相乘可得 xc n x n4r ,c n x n4r ：c n x n4r 2Q 展开式中不含常数项,2 n 8 n 4r 且n 4r 1且n 4r 2,即卩 n 4,8且n 3,7且n 2,6, n 5. 题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和 ； 例：在(x 72)2006的二项展开式中，含x 的奇次幕的项之和为 s,当x 72时,S ___________解：设(x -.'2) 2006=a 0 a 1x 1 a 2x 2 a 3x 3 L a 2006x 2006 ------- ① ■— 2006 1 2 3 ■ 2006 (x 2) =a ° ax a ?x a 3X L a 20°6X ①②得2(ax a s x 35 ■ 2005、 # 匚、2006 za §x L a 2005X ) (x . 2) (x(x 2) 2006展开式的奇次幕项之和为 S(x) 1 [(x 2(x J) 2006] 当x 「2时,S(Q) 1[(月 2 ) 2006 ( & 门)2006] 2 3 2006 2 2 23008 题型十：赋值法； 设二项式(3^x =)n 的展开式的各项系数的和为 p ，所有二项式系数的和为 x 例: s ,若解: p s 272 ,则n 等于多少? 若(3 V x丄) xa 0 a-i x a 2x 2 a n x ，有 P a 0 a 1 a n ， S c n 2n ，4n ，又 p s 272 ,即 4n 2n 272(2n 17)(2n 16) 0解得2n 16或2n17(舍去)，练:1 X540.5、(1 x x 2)(1 x)10 (1 x 3)(1 x)9,要得到含x 的项，必须第一个因式中的1与(1-x) 9展开式中的项C ：( x)4题型十一：整除性；例：证明：32n 2 8n 9(n N *)能被64整除证：32n 2 8n 9 9n 1 8n 9 (8 1)n1 8n 9c 0c n18n1C ：18ncn cn；82cn cn181n 1c n n 1 8n 9c °c n18n1VSc nc n 1828(n 1) 0n 11n1 8n 9 C n 18 C n 18C ：；82由于各项均能被64整除 32n 2 8n 9(n N *)能被64整除 1、(x — 1)11展开式中x 的偶次项系数之和是 1、设 f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是 f(1) f( 1)( 2)11 /2102423、(V5 十)2。