东南大学线性代数试题

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东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）

课程名称 线性代数

考试学期

07-08-3

得分

适用专业 非电类工科专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 120分钟

一．填空题（E 表示单位矩阵）

1． 设1320,101A B x ⎛⎫⎛⎫

== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，若AB 是对称矩阵，则x = ；

2． 矩阵4735A ⎛⎫=

⎪⎝⎭

的逆矩阵1

A -= ； 3． 若33⨯矩阵A 的特征值是1,2,1-，则A 的伴随矩阵*

A 的行列式*A = ；

4． 齐次线性方程组250x y z +-=的一个基础解系是

；

5． 若二次型22212312313(,,)2f x x x x x x tx x =+++是正定的，

则参数t 满足条件 ； 6． 若矩阵122a ⎛⎫

⎪⎝⎭

不与对角阵相似，

则参数a = 。 12%）选择题

1． 假设,A B 都是可逆矩阵，则矩阵方程AXB C =的解为（ ） （A ） 1

1

X A B C --=； （B ）1

1

X CA B --=； （C ） 1

1

X A CB --=； （D ）1

1

X B CA --=。

2． 下列矩阵中，与矩阵1002A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭

合同的矩阵是（ ）

（A ）1002⎛⎫

⎪⎝⎭； （B ）2001⎛⎫ ⎪-⎝⎭； （C ）2001-⎛⎫ ⎪-⎝⎭； （D ）0132⎛⎫

⎪

⎝⎭

3． 假设,A B 分别是s s ⨯和n n ⨯矩阵，则分块矩阵O A B O ⎛⎫

⎪⎝⎭

的行列式是（ ）

（A ）A B ； （B

）A B -； （C ）(1)

s n

A B +-； （D ）(1)sn A B -。

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8%）计算行列式11111111

11111111x x D x x

+-=+-的值。

6%）假设多项式8()255f x x =-，矩阵1111111111111111A ⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭

。求()f A 。

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1. 求参数x 的值，并求A 的另一个特征值

2. 求A 的所有特征向量；

3. 求一个正交矩阵Q 及对角阵Λ，使得T Q AQ =Λ。

五． （16%）已知2是对称矩阵20003101A x ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

的二重特征值。

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14%）假设,a b 是实数，二次型

22

123121323(,,)22f x x x x x ax x bx x =+++

1． 求二次型123(,,)f x x x 的矩阵A ；

2． 求一可逆线性变换x Cy =将123(,,)f x x x 化成标准形；

3． 若f 的秩等于2，求参数,a b 的值。

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16%）设向量组1231111,1,112a βββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭与12100,1b c αα⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

等价。

1. 求向量组123,,βββ的秩；

2. 求参数,,a b c 的值；

3. 记12123(,),(,,)A B ααβββ==，求矩阵X ，使得AX B =。

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10%）证明题（本题所涉及的数均是实数，所有矩阵均是实矩阵）：

1． 假设A 是n n ⨯矩阵，x 是A 的属于特征值a 的特征向量，y 是T

A 的属于特征值b

的特征向量。若a b ≠，证明：x 与y 正交。

2． 假设,A B 都是s n ⨯矩阵。若A B +的秩()r A B n +=，证明：矩阵

T T M A A B B =+的特征值均大于零。