东南大学线性代数试题
线性代数第三章习题与答案(东大绝版)
第三章 习题与答案 习题 A1.求向量123(4,1,3,2),(1,2,3,2),(16,9,1,3)T T T=--=-=-ααα的线性组合12335.+-ααα 解 12341161293535331223⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-=+- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα1251613109491512561037⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 2.从以下方程中求向量α1233()2()5()-++=+αααααα，其中123(2,5,1,3),(10,1,5,10),(4,1,1,1).TT T ===-ααα 解 由方程得1233322550-++--=αααααα，1232104651112632532515118310124⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα故1234⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,即(1,2,3,4)T =α.3.求证:向量组12i s α,α,,α,α 中的任一向量i α可以由这个向量组线性表出. 证 120010(1,2,,)i i s i s =+++++= ααααα4.证明: 包含零向量的向量组线性相关.证 设向量组为1211α,α,,α,0,α,,αi i s -+ ,则有12110α0αα00α0α0,0i i s k k -++++++++=≠而0,0,,0,,0,,0k 不全为0,故向量组线性相关.5.设有m 个向量12α,α,,αm ,证明: 若αα()i j i j =≠,则向量组12α,α,,αm 线性相关. 证 显然有1210α0αα0α()α0α0,0i i j m k k k +++++++-++=≠ , 而0,,0,,0,,0,,0,,0k k - 不全为0.故向量组线性相关.6.判断下列向量组的线性相关性(1) (1,1,0),(0,1,1,),(3,0,0,); (2) (2,0),(0,-1);(3) (-4,-5,2,6),(2,-2,1,3),(6,-3,3,9),(4,-1,5,6);(4) (1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,-3,4,11,12).解 (1)设有三个数123,,k k k ,使123(1,1,0)(0,1,1,) (3,0,0,)=(0,0,0)k k k ++则有方程组131223000k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩,因为系数行列式10311030010D =≠.方程组仅有零解,所以三个向量线性无关. (2)设有两个数12,k k 使12(2,0)(0,-1)=(0,0)k k + 则有方程组12200k k =⎧⎨-=⎩,由此解得120k k ==,所以两个向量线性无关.另外,也可由其分量不成比例看出两个向量线性无关. (3)设有四个数1234,,,k k k k ,使1234(-4,-5,2,6)(2,-2,1,3)(6,-3,3,9)(4,-1,5,6)=(0,0,0,0)k k k k +++,则有方程组1234123412341234426405230235063960k k k k k k k k k k k k k k k k +++=⎧⎪----=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩,其系数行列式42645231021356396D ----==,所以方程组有非零解,向量组线性相关.(4) 设有四个数1234,,,k k k k ,使1234(1,0,0,2,5)(0,1,0,3,4)(0,0,1,4,7)(2,-3,4,11,12)=(0,0,0,0)k k k k +++则有方程组14243412341234203040234110547120k k k k k k k k k k k k k k +=⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪+++=⎪⎪+++=⎩由前三个方程得1424342,3,4k k k k k k =-==-,代入第五个方程得4140k -=, 即40k =,从而1230k k k ===,所以向量组线性无关.7.设123α,α,α线性无关,证明:122331αα,αα,αα+++也线性无关. 证 设有三个数123,,k k k ,使()()()112223331αααααα0k k k +++++=, 则()()()131122233ααα0k k k k k k +++++=,因123α,α,α线性无关,故13122300k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,因系数行列式10111020011D ==≠,所以只有1230k k k ===, 由此知122331αα,αα,αα+++线性无关.8.设12α,α,,αn 线性无关,问向量组122311αα,αα,,αα,ααn n n -++++ 是线性相关,还是线性无关?并给出证明. 解 设有n 个数12,,,,n k k k 使()()()()112223111αααααααα0n n n n n k k k k --++++++++= ,则得方程组1122310000n n n k k k k k k k k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 其系数行列式11000011100000110001(1),000110000011n n D +==+-可见,当n 为奇数时,20n D =≠,方程组仅有零解,向量组线性无关, 当n 为偶数时,0n D =,方程组有非零解,向量组线性相关.9.设12α(,,,)(1,2,,)i i i in a a a i n == ,证明:向量组12α,α,,αn 线性相关的充分必要条件是det()0ij a =.证 必要性:设12α,α,,αn 线性相关,则存在不全为0的n 个数12,,,,n k k k 使1122ααα0n n k k k +++= ,即有方程组()11121211212222112200*0n n n nn n nn n a k a k a k a k a k a k a k a k a k +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 该方程组有非零解,故系数行列式0n D =,即det()0ij a =,充分性: 对于方程组(*)当det()0ij a =时,系数行列式0n D =,所以有非零解,即存在不全为0的12,,,,n k k k 使1122ααα0n n k k k +++= 成立,故12α,α,,αn 线性相关.10.设12α,α,,αn 是一组n 维向量.已知n 维标准单位向量组12e ,e ,,e n 能由它们线性表出,证明: 12α,α,,αn 线性无关.证 设12α(,,,)(1,2,,)i i i in a a a i n == ,则有1122αe e e ,i i i in n a a a =+++可见12α,α,,αn 也能由12e ,e ,,e n 线性表出,从而两个向量组等价. 因为12e ,e ,,e n 线性无关,所以12α,α,,αn 也线性无关.11.设12α,α,,αn 是一组n 维向量.证明:它们线性无关的充分必要条件是:任一n 维向量都可由它们线性表出.证 必要性:设12α,α,,αn 线性无关,β为任一n 维向量,则12α,α,,αn ,β必线性相关.(个数大于维数),因此β可由12α,α,,αn 线性表出.充分性:设任一n 维向量β都可由12α,α,,αn 线性表出.因此12α,α,,αn 与12e ,e ,,e n 等价,从而12α,α,,αn 线性无关.12.判断下列向量是否线性相关,并求出一个极大线性无关组.(1)123α(1,2,1,4),α(9,100,10,4),α(2,4,2,8);T T T =-==--- (2) 123α(1,1,0),α(0,2,0),α(0,0,3);T T T ===(3) 1234α(1,2,1,3),α(4,1,5,6),α(1,3,4,7),α(2,1,1,0);T T T T ==---=---=- 解 (1)19221004A 1102448-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭ 192082001900320-⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭192010000000-⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭102010000000-⎛⎫⎪ ⎪→⎪ ⎪⎝⎭, 向量组的秩为2, 12α,α为一个极大线性无关组.(2) 100A 120003⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100020003⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭向量组的秩为3, 123α,α,α为一个极大线性无关组.(3) 14122131A 15413670⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪--- ⎪--⎝⎭141209530953018106⎛⎫ ⎪--- ⎪→ ⎪--- ⎪---⎝⎭1412095300000000⎛⎫ ⎪--- ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭向量组的秩为2, 12α,α为一个极大线性无关组.13.求一个秩是4的方阵,它的两个行向量是(1,0,3,0,0),(1,1,0,0,0)--. 解 所求方阵可写成1030011000A 001000001000000⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则1030001300A 00100000100000⎛⎫⎪- ⎪⎪→⎪⎪ ⎪⎝⎭显然(A)4R =.14.已知12α,α,,αs 的秩为r ,证明: 12α,α,,αs 中任意r 个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.证 设12α,α,,α,r i i i 为12α,α,,αs 中任意r 个线性无关的向量,因为向量组的秩为r ,故1212α,α,,α,α,(,,)r i i i i r i i i i ≠ 线性相关.可见12α,α,,αs 中的每个向量都可由12α,α,,α,r i i i 线性表出.因此, 12α,α,,α,r i i i 是12α,α,,αs 的一个极大线性无关组.15.用初等变换化下列矩阵为阶梯形,并判断其秩.(1)001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (2)1234110215610-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;(3)023*********-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭;(4)1725314353759413254759413420253248⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭.解 (1) 001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭131********r r ↔⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,秩为3.(2) 1234110215610-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭2131123403360336r r r r+-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭32123403360000r r -⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,秩为2.(3)023*********-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭12011203430471r r ---⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭213134011200130039r r r r ++--⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪--⎝⎭323011*********r r ---⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭, 秩为2.(4)1725314353759413254759413420253248⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭213143317253143201330153015r r r r r r ---⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭433217253143201310020000r r r r --⎛⎫⎪⎪→⎪ ⎪⎝⎭1310022013172531430000r r ↔⎛⎫ ⎪⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭2131217100200110253190000r r r r --⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭23100202531900110000r r ↔⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪- ⎪⎝⎭,秩为3. 16.证明: 两个矩阵和的秩不超过这两个矩阵秩的和,即 (A B)(A)(B)R R R +≤+.证 设1A (α,,α),(A),n R r == 1α,,αr 为一个极大线性无关组,1B (β,,β),(B),n R s == 1β,,βs 为一个极大线性无关组, 1A B (r ,,r )n += .因为1r ,,r n 可由1α,,αn ,1β,,βn 线性表出,从而也可由1α,,αr ,1β,,βs 线性表出.故()1A B (r ,,r )n R R +=≤ ()11α,,α,β,,βr s R r s =+=(A)(B)R R +.17.设A 与B 可乘,且AB 0=,证明: (A)(B)A R R +≤的列数. 证法一 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n l ⨯矩阵 由AB 0=,有11111111n l m mn n nl m n n l a a b b a a b b ⨯⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0000m l⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 比较等式两边对应元素,有111111111100n n m mn n a b a b a b a b ++=⎧⎪⎨⎪++=⎩,11121211220,0n n m mn n a b a b a b a b ++=⎧⎪⎨⎪++=⎩ ,11111100l n nl m lmn nl a b a b a b a b ++=⎧⎪⎨⎪++=⎩ . 可见B 的列向量组为上述l 个齐次线性方程组的解向量,因此有 (B)(A)R n R ≤-, 移项得(A)(B)R R n +≤(A 的列数).证法二 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n l ⨯矩阵, 12(A),(B)R r R r ==,因为1(A)R r =,则A 的标准形可写成1E 000r ⎛⎫⎪⎝⎭,即存在可逆阵P,Q 使得 PAQ 1E 000r ⎛⎫=⎪⎝⎭.又设()111B Q B B r m n r m ⨯--⨯⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 则10(AB)(PAB)(PAQQ B)R R R -===,但()111111B E 0B PAQQ B Q B B 000r m r r m n r m ⨯⨯---⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 可见11(B )(PAQQ B)0r m R R -⨯==,又因为12(Q B)(B)R R r -==,所以()12(B )n r m R r -⨯=,而()1B n r m -⨯共1n r -行,因此12n r r -≥,即12r r n +≤或(A)(B)R R n +≤.习题 B1.证明: 12α,α,,αs (其中1α0≠)线性相关的充要条件是至少有一个α(1)i i s <≤可被121α,α,,αi - 线性表出.证 必要性:设12α,α,,αs 线性相关(1α0≠),则存在不全为0的s 个数12,,,s k k k 使1122ααα0s s k k k +++= ,设i k 是12,,,s k k k 中最后一个不为零的数,即0i k ≠,而10i s k k +=== ,则1122ααα0i i k k k +++= ,因为1α0≠,所以1i >,即1i s <≤,(否则120,0s k k k ≠=== 则1α0k =不能成立),于是1111αααi i i i ik k k k --=--- ,即αi 可由121α,α,,αi - 线性表出.充分性:如果1111αααi i i k k --=++ ,则11111ααα0αα0i i i i s k k --+++-+++= ,而11,,,1,0,,0i k k -- 不全为0,所以12α,α,,αs 线性相关.2.证明:一个向量组的任一线性无关组都可扩充为一个极大线性无关组. 证 设有向量组12α,α,,αn 秩为s ,12α,α,,αr i i i 是它的任意一个线性无关组,如果r s =,则它就是12α,α,,αn 的一个极大线性无关组.如果r s <,则12α,α,,αn 的其余向量中一定可以选出向量1αr i +,使12α,α,,αr i i i ,1αr i +线性无关(否则与12α,α,,αn 秩s r >矛盾),只要1r s +<,重复上述过程,直到r i s +=时为止.这样121α,α,,α,α,,αr r s i i i i i + 就是由12α,α,,αr i i i 扩充成的一个极大线性无关组.3.已知两向量组有相同的秩,且其中之一可被另一个线性表出,证明:这两个向量组等价. 证 设12A :α,α,,α;s 12B:β,β,,βt 为两个秩为r 的向量组, 1212α,α,,α;β,β,,βr r 分别为A,B 极大线性无关组,设B 可由A 线性表出,则有()()1212β,β,,βα,α,,αTr r K = ,其中K 为组合系数构成的r 阶方阵,因为1212α,α,,α;β,β,,βr r 线性无关,所以K 可逆,()()11212α,α,,αβ,β,,βr r K -= ,从而12α,α,,αr 可由12β,β,,βr 线性表出,从而可由12β,β,,βt 线性表出,又12α,α,,αs 可由12α,α,,αr 线性表出,所以12α,α,,αs 可由12β,β,,βt 线性表出,即A 可由B 线性表出,因此向量组A ,B 等价.4.设向量组12α,α,,αs 的秩为r ,在其中任取m 个向量12α,α,,αm i i i ,证明:{}12α,α,,αm i i i R r m s ≥+- .证 设12α,α,,αm i i i 的秩为t ,从它的一个极大线性无关组(含t 个向量)可扩充为12α,α,,αs 的一个极大线性无关组(含r 个向量),所扩充向量的个数为r t -个.但12α,α,,αs 中除了12α,α,,αm i i i 外,还有s m -个向量,故r t s m -≤-,即t r m s ≥+-.5.设n m ⨯阶矩阵A 的秩为r ,证明:存在秩为r 的n r ⨯阶矩阵P 及秩为r 的r m ⨯阶矩阵Q ,使A PQ =.证 因(A)R r =,故可经有限次初等行变换和初等列变换化为标准形,即存在m 阶可逆阵F 和n 阶可逆阵G ,使得 E 0GAF 00r ⎛⎫=⎪⎝⎭,即11E 0A GF ,00r--⎛⎫= ⎪⎝⎭记111212122G G G ,G G -⎛⎫= ⎪⎝⎭111212122F F F F F -⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中1111G ,F 均为r 阶方阵,则111211121121222122G G F F E0E 0A G F GG F F 0000rr--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112212122G 0F F G 0F F ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=1111111221212122G F G F G F G F ⎛⎫ ⎪⎝⎭()11112121G F F G ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 记1121G P G ⎛⎫=⎪⎝⎭,则P 为n r ⨯矩阵且(P )R r =(因1G -可逆,故其前r 列线性无关), ()1121Q F F =,则Q 为r m ⨯矩阵且(Q)R r =(因1F -可逆,故其前r 列线性无关),而A PQ =.。
东南大学线性代数几何代数历年试题
《线性代数》教学大纲32学时本课程是以矩阵为主要工具研究数量间的线性关系的基础理论课程，也是本科阶段关于离散量数学的最重要的课程。
本课程的目的是使学生熟悉线性代数的基本概念，掌握线性代数的基本理论和基本方法，提高其抽象思维、逻辑思维的能力，为用线性代数的理论解决实际问题打下基础。
教学内容和基本要求一．行列式1．理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算；12．知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响；3．了解n阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的n阶行列式；4．掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理；5．掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式的计算；6．理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求方程组的解的方法。
二．矩阵1．理解矩阵的概念；2．理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算；3．理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质；4．理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质；5．了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；26．了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵的运算规则。
三．矩阵的初等变换与Gauss消元法1．理解矩阵的初等行变换与Gauss消元法的关系，理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念；2．了解矩阵的等价标准形的概念，理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的关系；3．了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法，会求简单的矩阵方程的解；4．理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系；5．熟练掌握用矩阵的秩判断线性方程组的相容性及讨论解的情况的方法。
四．向量组的线性相关性1．理解向量的概念，理解线性组合和线性表示的概念；2．理解向量组的线性相关、线性无关的概念以及有关性质，掌握向量组的线性相关性的判别方法；3．理解向量组的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系，熟练掌握向量组的秩的性质；34．理解向量组的最大线性无关组的概念，理解向量组的最大线性无关组与向量组的秩间的关系，会求向量组的最大线性无关组；5．理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，熟练掌握基础解系的求法；6．理解非齐次线性方程组有解的充要条件，理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系，熟练掌握非齐次线性方程组的通解的表达式的求法；7．知道向量空间、子空间、向量空间的基及维数的概念，会判断向两空间的子集是否构成子空间，会求由一向量组生成的子空间及一齐次线性方程组的解空间的基及它们的维数；8．知道坐标变换公式，会求两组基间的过渡矩阵。
线性代数与解析几何__东南大学(19)--07-08-2几何与代数B-A
课程名称 适用专业
几何与代数
考试学期 0 7 - 0 8 - 2 得分
工科电类专业 考 试 形 式
闭卷
考 试 时 间 长 度 120 分钟
姓名
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
自
觉
得分
遵
1． （21%）填空题
守 考
1.
若矩阵
A
=
�1 ��l
0 1
���，
n
是正整数，则
An
=
试
中的单叶双曲面，则参数 t 满足条件
；
学号
线
作
7. 设 n > s ，若 A 是 s ﾴ n 矩阵，则 n 阶方阵 AT A 的行列式 AT A =
。
弊
2． （9%）选择题
此 答
1.
假设矩阵
A
=
�a ��c
b 1
���，若对任意
2
阶方阵
B
都有
AB
=
BA
，则
(a,
b, c)
=
；
Ａ． (1,1,1) ； B. (1,0,0) ； Ｃ． (0,1,0) ； Ｄ． (0,0,1)
3. 若 A2 x + Ax - 6x = 0 ，求 A 的特征值，并问： A 是否相似于对角阵？为什么？
8． （4%）证明：对于任意 s ﾴ n 实矩阵 B ， n 阶方阵 A = I + BT B 的特征值全大于零。
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卷 无
2.
假设矩阵
A
=
�1 ��0
线性代数习题册(答案) 南林
线性代数习题册答案第一章 行列式练习 一班级 学号 姓名1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）τ(3421)= 5 ; （2）τ(135642)= 6 ;（3）τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+（2 n-2）= n （n-1）.2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i= 8 、j= 3 .3．在四阶行列式中，项12233441a a a a 的符号为 负 .4．00342215= －24 .5．计算下列行列式：（1）122212221-----= －1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）= －5或（2）111111λλλ---= －3λ＋1＋1－（－λ）－（－λ）―（－λ） = －3λ＋3λ+2=2(2)(1)λλ-+练习 二班级 学号 姓名 1．已知3阶行列式det()ij a =1，则行列式det()ij a -= －1 . 3(1)11-⋅=-2． 1112344916= 2 .3．已知D=1012110311101254--,则41424344A A A A +++= —1 .用1，1，1，1替换第4行4． 计算下列行列式： (1)111ab c a b c abc +++= 13233110110011,0110111111r r r r c c a b c bcabcabc-----+-==++++++(2) xy x y y x y x x yxy+++(3)130602121476----(4)1214012110130131-5．计算下列n 阶行列式：(1)n xa a a x a D aax=（每行都加到第一行，并提公因式。
）(2)131111n +(3) 123123123n n n a ba a a a ab a a a a a a b+++练习 三班级 学号 姓名 1．设线性方程组123123123111x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩有惟一解，则λ满足的条件是什么？1,0,1λλλ≠-≠≠2. 求解线性方程组12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩3.已知齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪-++=⎨⎪--+=⎩有非零解，求λ的值。
线性代数与解析几何__东南大学(5)--08-09-3线性代数期末考试试卷A
2. 假 设 A = (aij )nﾴn 是 n ﾴ n 实 对 称 矩 阵 ， li (1 ﾣ i ﾣ n) 是 A 的 特 征 值 。 证 明 ：
n
nn
� �� li2 =
ai2j 。
i =1
i=1 j=1
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秩相同，并且， b3 可以由a1,a2 线性表示。求参数 m, n 的值。
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1. 当参数 a 满足什么条件时，齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解？ 2. 当 Ax = 0 有非零解时，求其基础解系。
2. （10%）设二次型 f (x1, x2 , x3 ) = x12 - 4x1x2 + 3x22 + 4x2 x3 + kx32 ， g(z1, z2 , z3 ) = z1z3 。 1. 求一可逆线性变换 x = Cy 将 f 化成标准型。 2. 问：当参数 k 满足什么条件时，存在可逆线性变换将 f 变成 g ？
弊
；
7. 如果 2 阶矩阵 A 的特征值是 2 和 3，则 A 的伴随矩阵 A* 的特征值是
；
此 答 卷
�1 -1 1 �
8.
若 2 是 A = ����-x3
4 -3
y 5
����的二重特征值，且
A
相似于对角阵，则
(
x,
y)
=
；
无
9. 如果二次型 x12 + tx22 + 4tx1x2 是正定的，则参数 t 满足条件
满足条件
；
场
2.
设
k
>
0
，向量 a
=
(k, 0,
k )T
【东大】21春学期《线性代数》在线作业3满分答案
【东大】21春学期《线性代数》在线平时作业3 提示：认真复习课程知识，并完成课程作业，本资料仅供学习参考！！一、单选题 (共 20 道试题,共 100 分)1.{图}【A项.】A【B项.】B【C项.】C【D项.】D[此题为必答题，请从以上选项中选择您认为正确的答案]参考选项是:A2.{图}【A项.】A【B项.】B【C项.】C【D项.】D[此题为必答题，请从以上选项中选择您认为正确的答案]参考选项是:D3.{图}【A项.】A【B项.】B【C项.】C【D项.】D[此题为必答题，请从以上选项中选择您认为正确的答案]参考选项是:D4.{图}【A项.】A【B项.】B【C项.】C【D项.】D[此题为必答题，请从以上选项中选择您认为正确的答案]参考选项是:A5.{图}【A项.】A【B项.】B【C项.】C【D项.】D[此题为必答题，请从以上选项中选择您认为正确的答案]参考选项是:B6.{图}【A项.】A【B项.】B【C项.】C【D项.】D[此题为必答题，请从以上选项中选择您认为正确的答案] 参考选项是:C7.{图}【A项.】A【B项.】B【C项.】C【D项.】D[此题为必答题，请从以上选项中选择您认为正确的答案] 参考选项是:C8.{图}【A项.】A【B项.】B【C项.】C【D项.】D[此题为必答题，请从以上选项中选择您认为正确的答案] 参考选项是:C9.{图}【A项.】A【B项.】B【C项.】C【D项.】D[此题为必答题，请从以上选项中选择您认为正确的答案] 参考选项是:A10.{图}【A项.】A【B项.】B【C项.】C【D项.】D[此题为必答题，请从以上选项中选择您认为正确的答案] 参考选项是:C11.{图}【A项.】A【B项.】B【C项.】C[此题为必答题，请从以上选项中选择您认为正确的答案] 参考选项是:C12.{图}【A项.】A【B项.】B【C项.】C【D项.】D[此题为必答题，请从以上选项中选择您认为正确的答案] 参考选项是:D13.{图}【A项.】A【B项.】B【C项.】C【D项.】D[此题为必答题，请从以上选项中选择您认为正确的答案] 参考选项是:C14.{图}【A项.】A【B项.】B【C项.】C【D项.】D[此题为必答题，请从以上选项中选择您认为正确的答案] 参考选项是:D15.{图}【A项.】A【B项.】B【C项.】C【D项.】D[此题为必答题，请从以上选项中选择您认为正确的答案] 参考选项是:A16.{图}【A项.】A【B项.】B【C项.】C【D项.】D[此题为必答题，请从以上选项中选择您认为正确的答案] 参考选项是:B【A项.】A【B项.】B【C项.】C【D项.】D[此题为必答题，请从以上选项中选择您认为正确的答案] 参考选项是:C18.{图}【A项.】A【B项.】B【C项.】C【D项.】D[此题为必答题，请从以上选项中选择您认为正确的答案] 参考选项是:A19.{图}【A项.】A【B项.】B【C项.】C【D项.】D[此题为必答题，请从以上选项中选择您认为正确的答案] 参考选项是:A20.{图}【A项.】A【B项.】B【C项.】C【D项.】D[此题为必答题，请从以上选项中选择您认为正确的答案] 参考选项是: B。
线性代数与解析几何__东南大学(21)--09-10-2几何与代数B-A
)2
=
A2B2 ，则 a, b
满足条件
；
2. 设 2 阶 方 阵 A = (a , b ) ， B = ( 2a - b ,a + 3b ) ， 若 B = AC ， 则 矩 阵 C =
；
场 纪
3.
直线
￬x
￭ ￮
x
+ -
y 2
- 3z y+z
= =
2 1
的一个方向向量为
；
律
4. 点 P(1,1,1) 到平面 x - 2 y + 2z = 3 的距离是
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2. 求 f 的矩阵 A ，问：当参数 a 取什么值时， A 的特征值都大于零？
3. 如果二次曲面 f (x, y, z) = 1 表示单叶双曲面，问：参数 a 应满足什么条件？
6. （10%）证明题
1. 假设 A 是 n ﾴ n 正定矩阵， B 是 s ﾴ n 实矩阵，证明： BABT 是正定矩阵的充分必要 条件是 B 的秩 r(B) = s 。
；
效
封
10. 若
A = ( a1,a2,L,an ) 是
nﾴn正 交 矩 阵 ， 则
B
= a1a1T
+
a
2a
T 2
+
L
+
a
ra
T r
(1 ﾣ r ﾣ n) 的特征多项式是
。
1.
�2 （10%）设 A = ����11
1 0 1
1� 11����，
B
=
�已知 �
XA
=
B
+
；
学号
线
线代第一章测试题及答案
线代第一章测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项不是线性代数的研究对象？A. 向量空间B. 线性方程组C. 矩阵D. 微分方程答案：D2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行（或列）的最大数目D. 矩阵的元素个数答案：C3. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 奇异矩阵D. 任意矩阵答案：B4. 向量空间的基是指：A. 空间中的任意一组向量B. 空间中的一组线性无关的向量C. 空间中的一组线性相关的向量D. 空间中的一组正交向量答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵的元素个数称为矩阵的______。
答案：阶数2. 如果一个矩阵的行向量组线性无关，则该矩阵是______矩阵。
答案：满秩3. 向量空间中，一组向量如果满足线性组合的系数全为零，则称这组向量是______的。
答案：线性无关4. 一个n阶方阵的行列式等于______。
答案：0三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述什么是线性方程组的解。
答案：线性方程组的解是指满足方程组中所有方程的未知数的取值。
2. 请解释什么是矩阵的转置。
答案：矩阵的转置是指将矩阵的行向量变成列向量，列向量变成行向量，即交换矩阵的行和列。
四、计算题（每题15分，共40分）1. 计算矩阵A的行列式，其中A = \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]。
答案：\[ \text{det}(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 \]2. 已知矩阵B = \[\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2\end{bmatrix}\]，求B的逆矩阵。
答案：\[ B^{-1} = \frac{1}{(2)(2) - (1)(4)} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -0.5 \\-2 & 1 \end{bmatrix} \]。
线性代数与解析几何__东南大学(28)--2010-2011-2《几何与代数B》试题参考解答
X.
解: 由 AX = B-X 得(A+E)X = B.
�2 0 0
由(A+E, B) = � � �02
2 0
0 2
2 0 4
6 -2 0
� � � �初uuu等uuu行uuu变uu换uur
�1 � � �00
0 1 0
0 0 1
1 3 � �1 3 �
0 1
--31� � �得 X = � � �10
x+2 -3
=
y -1 1
=
z 1
.
注: 也可以由(1, 2, 1)(2, 5, 1) = (-3, 1, 1)求 s.
�1 0 0� �2 6 �
四. (8 分)设 32 矩阵 X 满足 AX = B-X, 其中 A = � � �02
1 0
0 1
� � �, B
=
� � �04
-2 0
� � �, 求
八. (10 分) 1. 设 n 阶方阵 A 的伴随矩阵 A* O, 1, 2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的 两个不同的解. 证明:
(1) 1-2 为齐次线性方程组 Ax = 的一个基础解系.
证明: 因为1, 2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的两个不同的解, 所以 1-2 是齐次线性方程组 Ax = 的非零解. 因而|A| = 0. 又因为 A* O, 所以 A 至少有一个 n-1 阶子式不为零, 可见 r(A) = n-1. 因而 Ax = 的基础解系中只有一个解向量. 所以1-2 是齐次线性方程组 Ax = 的一个基础解系.
ﾱ(x -1)2 + ( y -1)2 = 1, ﾱﾱz = 0.
3. 在右边的坐标系中作出曲面 S 和曲线 c1 的图形
东南大学线性代数期末考试试卷B
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东 南 大 学 考 试 卷（B 卷） 课程名称 线性代数 考试学期 07—08—3 得分 适用专业 非电类工科专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 120分钟
一．％）填空题（表示单位矩阵） 1． 设，则 ； 2． 若矩阵不可逆,则满足条件 ； 3． 若矩阵满足，则 ； 4． 若矩阵的特征值是，则矩阵的行列式 ； 5． 若矩阵的秩为2，则参数满足条件 ; 6． 假设是矩阵,齐次线性方程组的基础解系中含个解，则齐次线性方程组的基础解系中向量的个数为 ； 7． 若是矩阵的相应于特征值１的特征向量，则； 8． 若二次型是正定的，则参数满足条件 ； 9． 如果每个三维行向量都可以由线性表示，则参数满足条件
； 10． 若矩阵与矩阵相似，则参数 .
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％）计算行列式,其中均不等于1。
％)假设，求。
四． (16％）已知矩阵.
1. 求的特征值多项式.
2. 如果相似于对角阵，求参数的值；
3. 若相似于对角阵,求可逆矩阵及对角阵，使得；
4. 是否存在正交阵使得是对角阵？为什么？
14％）假设是实数,二次型
1． 求二次型的矩阵；
2． 求一可逆线性变换将化成标准形；
3．
问：当参数满足什么条件时，是正定的.
16%）设向量组，.
1. 如果向量组可以由线性表示，求参数的值，求向量组的秩及其一个极大线性无
关组；
2. 如果与等价,求参数的值，并将中的每个向量表示成的线性组合。
8％)证明题（本题所涉及的数均是实数，所有矩阵均是实矩阵)：
1． 设分别是、矩阵。
若，证明:齐次线性方程组必有非零解。
2． 假设维列向量的长度,证明:矩阵是正定的。
东南大学线性代数期末考试试卷B
共 页 第 页东 南 大 学 考 试 卷（B 卷）课程名称 线性代数考试学期07-08-3得分适用专业 非电类工科专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 120分钟一．填空题（E 表示单位矩阵）1． 设12102,21111A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则AB = ；2． 若矩阵435x A ⎛⎫=⎪⎝⎭不可逆,则x 满足条件 ； 3． 若矩阵A 满足232A A E O -+=，则1A -= ;4． 若33⨯矩阵A 的特征值是1,2,1-，则矩阵123A A E -++的行列式123A A E -++= ；5． 若矩阵12321045A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩为2，则参数x 满足条件 ；6． 假设A 是n s ⨯矩阵,齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含t 个解，则齐次线性方程组0TA y =的基础解系中向量的个数为 ； 7． 若1a α⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵120b A -⎛⎫=⎪⎝⎭的相应于特征值１的特征向量，则a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭；8． 若二次型22121212(,)2f x x x x tx x =++是正定的，则参数t 满足条件 ；9． 如果每个三维行向量都可以由()()()1,2,1,0,1,2,2,3,x -线性表示，则参数x 满足条件；10． 若矩阵122a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与矩阵0053⎛⎫ ⎪⎝⎭相似，则参数a = 。
共 页 第 页％）计算行列式1234111111111111x x D x x =，其中1234,,,x x x x 均不等于1。
％）假设1101000,1,210,11101TP A P P αβαβ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求2008A .四． （16％）已知矩阵3221423A kk -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭. 1.求A 的特征值多项式。
2. 如果A 相似于对角阵,求参数k 的值;3. 若A 相似于对角阵，求可逆矩阵P 及对角阵Λ，使得1P AP -=Λ；4.是否存在正交阵Q 使得TQ AQ 是对角阵？为什么？）假设,a b 是实数，二次型2221231231323(,,)22f x x x x x x ax x bx x =++++1． 求二次型123(,,)f x x x 的矩阵A ;2． 求一可逆线性变换x Cy =将123(,,)f x x x 化成标准形； 3． 问:当参数,a b 满足什么条件时，f 是正定的。
线性代数习题与答案第一章(东大绝版)
8.计算下列行列式
(1) (2)
(3) (4)
解(1)用画线法
(2)
(3)
(4)法一
法二作五阶范德蒙行列式
按第5列展开得 ,
其中 项的系数
但 其 项的系数为
所以,
9.证明下列等式
(1) (2)
(3) .
证(1)
（2）
(3)
10.按第三行展开行列式,并计算其值
证 阶行列式有 个元素,如果零元素个数大于 个,则非零元素的个数就小于 个.于是行列式定义中的 项的每一次至少有一个零因子,所以每一项都是零.从而行列式值为零.
7.用行列式定义计算下列 阶行列式
(1)
该行列式次对角以下都是0.
(2)
解(1)由行列式定义, 项中的每一项都是 个元素的乘积,这 个元素来自不同的行,不同的列,所以这一行的可能不为零的项仅有 ,它的符号为 .于是,原行列式等于 .
解逆序数最小的排列: , ,
逆序数最大的排列: , .
这样的排列是唯一的,但逆序数介于0和 之间的排列不唯一,例如4级排列中1243与2134的逆序数均为1.
4.选择 使(1) 为奇排列; (2) 为偶排列.
解(1)这是一个9级排列, 的值为3, 7.当 时,逆序数 ;当 时,逆序数 ,所以应选 .
第一章习题解答
1.用画线法计算下列行列式
（1） （2） (3) (4)
解(1)
(2)
(3)
(4)
2.计算下列排列的逆序数
(1)35214; (2) ; (3) ; (4) .
解(1)
(2)
(3)
(4)
3.在所有 级排列中,试找出逆序数为最小和最大的排列,这样的排列是否唯一?又逆序数介于它们之间是否唯一?
线性代数历考题东南大学
试 卷 一一（33%）填空题（E 表示单位矩阵）：1． 设),(21=α，),(11-=β，则=T αβ ； =999)(βαT ；2． 设矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=031130021A ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=700650432B ，则行列式=-1AB ；3． 若向量组⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=11123321321k ααα,,，则当参数k 时，321ααα,,线性相关；4． 22⨯矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A 的伴随矩阵*A = ；5． 设矩阵A 及E A +均可逆，1-+-=)(E A E G ，则=-1G ；6． 分块矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡O E E A 的逆矩阵为 ； 7． 设56⨯是A 矩阵。
若齐次线性方程组θ=Ax 的解空间是2维的，则齐次线性方程组θ=x A T的解空间是 维的；8． 与向量T ),,(101=α，T ),,(111=β均正交的一个单位向量为 ； 9． 已知矩阵⎪⎭⎫⎝⎛=k M 3412，T MM A =，则当数k 满足条件 时，A是正定的；10． 若实对称矩阵A 有两个不同的特征值, 且O E A A =+-232则当参数k 满足条件 时，矩阵kA E +是正定的。
二（12%）求矩阵方程B X XA +=2的解，其中，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=123101300010113B A , 三（12%）设3阶方阵A 有特征值11-和二重)(，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=11011121αα,是其相应于特征值1 的特征向量，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=1003α是其相应于特征值1-的特征向量。
1.求9999AA 及。
2. 若3阶实对称矩阵B 的特征值也是11-和二重)(，证明：A 与B 必定相似。
四（12%）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++++=-+-=+++=+++132324321432x p x x x q x px x 25x 5x 3x x 0x x x x 43214321)( 1． 问：当参数q p ,满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ 2． 当方程组有无穷多解时，求出其通解（写成向量形式）。
东南大学线性代数试题及答案2
02-03学年第二学期《空间解析几何与线性代数》期终试题解答一 填空题(每小题3分, 共36分):1. 2002]315[ 201⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡= ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----6210000315; 2. 1200011032-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--2/100021031; 3. 若A 是正交矩阵, 则行列式 |A 3A T | = 1;4. 空间四点A (1, 1, 1), B (2, 3, 4), C (1, 2, k ), D (-1, 4, 9)共面的充分必要条件是k = 3;5. 点P (2, 1, 1)到直线l : 12121zy x =-+=-的距离为 1 ;6. 若4阶方阵A 的秩为2, 则伴随矩阵A *的秩为 0 ;7. 若可逆矩阵P 使AP = PB , B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3021, 则方阵A 的特征多项式为(1)(3);8. 若3阶方阵A 使I A , 2I A , A +3I 都不可逆, 则A 与对角阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-300020001相似(其中I 是3阶单位矩阵);9. 若A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-0211110y x 与对角阵相合, 则(x , y ) = (1, 2).10. 设A = [A 1, A 2, A 3, A 4], 其中列向量A 1, A 2, A 4线性无关, A 3 = 2A 1 A 2 + A 4, 则齐次线性方程组Ax = 的一个基础解系是 = [2, 1, 1, 1]T ;11. 设A , B 都是3阶方阵, AB = O , r(A ) r(B ) = 2, 则r(A ) + r(B ) = D ;(A) 5; (B) 4; (C) 3; (D) 2; 12. 设n 阶矩阵A 满足A 2 = 2A , 则以下结论中未必成立的是 B .(A) A I 可逆, 且(A I )1 = A I ; (B) A = O 或A = 2I ; (C) 若2不是A 的特征值, 则A = O ; (D) |A | = 0或A = 2I .二 计算题(每小题8分, 共24分)13. 2103132110115102- = 3001132110115102-- =300131010115102-- = = 30010310401011100-- = 0314011110)1(14--+ = 4304011110--- = 43111-- = 29. ⨯(-1) ⨯(-1) ⨯(-1) ⨯(-2)⨯(-1)14. 求直线l :211122+=-=-z y x 在平面π : x + y - 2z + 1 = 0上的垂直投影直线方程. 解: 过直线l 且垂直于平面π的平面π1的法向量必垂直于向量{2, 1, 2}和{1, 1, - 2}, 因而可取为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--1112 ,1222 ,2121 = {-4, 6, 1}.又因为π1过直线l 上的点(2, 1, -1), 由此可得平面π1的点法式方程-4(x - 2) + 6( y - 1) + (z + 1) = 0整理得4x -6 y - z - 3 = 0于是可得直线l : 211122+=-=-z y x 在平面π : x + y - 2z + 1 = 0上的垂直投影直线的一般方程: ⎩⎨⎧=---=+-+0364012z y x z y x . 15. 设XA = AB + X , 其中A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-101020201, B =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-100000001求X 99.解: 原方程可化为X (A I ) = AB , 其中I 表示单位矩阵.A I = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-001010200, AB = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-101000201.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-AB I A = ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--101000201001010200 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-102/1000101100010001 = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1)(I A AB I . 于是可得X = AB (A I ) 1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-102/1000101, X 2 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡2/300000002/3 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10000000123,X 99 = (X 2)49X = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡100000001234949⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-102/1000101 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-102/1000101234949. (注意X 未必等于(A I ) 1AB !)三 计算题, 解答题(3小题共32分).16. 设向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=01211α, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20112α, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a 1123α, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b 352β. V = L (1,2,3)是由1,2,3生成的空间.已知维(V ) = 2,V .(1) 求a , b ; (2) 求V 的一个基, 并求在此基下的坐标; (3) 求V 的一个标准正交基. 解: (1) A = [1, 2, 3, ] = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--b a 20310151122211 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---0000260013103101b a . 因为维(V ) = 2, V . 所以a6 = b + 2 = 0, 即a = 6, b = 2.(2) 由上述初等行变换的结果可知1, 2构成V 的一个基, 且 =312.初等列变换 初等行变换(3) 令1 = 1, 2 = 2 11112,,ββββα〉〈〉〈 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--012163 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡22/102/1, 再单位化得V 的一个标准正交基⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0121661ε, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4101622ε. 17. 用正交变换化简二次曲面方程:x 12 + x 22 4x 1x 2 2x 1x 32x 2x 3 = 1求出正交变换和标准形, 并指出曲面类型. 解:二次型f (x 1, x 2, x 3) = x 12 + x 224x 1x 22x 1x 32x 2x 3的矩阵A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡------011112121.A 的特征多项式|λI A | = λλλ11112121-- = (λ 3)( λ 1)( λ + 2).A 的特征值λ1 = 3, λ2 = 1, λ = 2. 由(λi I A )x = 求得A 的对应于λ1 = 3, λ2 = 1, λ = 2的特征值向量:⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=0111ξ, ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=2112ξ, ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=1113ξ.它们已经两两正交, 单位化得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=011221p , ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=211662p , ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=111333p .令P = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--33360336622336622, 则P T P = I , 且P 1AP = P T AP = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-200010003. 令x = Py , 则原二次曲面的方程化为3y 12 + y 22 2y 32 = 1.可见该二次曲面为二次锥面.18. 设D 为由yOz 平面中的直线z = 0, 直线z = y ( y 0)及抛物线y + z 2 = 2, 围成的平面区域. 将D 绕y 轴旋转一周得旋转体. (1) 画出平面区域D 的图形;(2) 分别写出围成的两块曲面S 1, S 2的方程;(3) 求S 1, S 2的交线l 在zOx 平面上的投影曲线C 的方程; (4) 画出S 1, S 2和l , C 的图形.解: (1) 平面区域D 的图形如右图所示:(2)由锥面S 1: 22z x y +=和旋转抛物面S 2: y = 2x 2z 2围成. (3) 由22z x y +=和y = 2 x 2 z 2消去y 得x 2 + z 2 = 1. 由此可得S 1, S 2的交线l 在zOx 平面上的投影曲线C 的方程: ⎩⎨⎧==+0122y z x (4) S 1, S 2和l , C 的图形如右图所示:O y z 22 O yz22 l S 1 C S 2 x四 证明题, 解答题(每小题4分, 共8分).19. 设是线性方程组Ax = b 的一个解, b , 1, 2是导出组Ax = 的基础解系.证明: , 1+, 2+线性无关. 证明: 因为A = b , 所以不是线性方程组Ax = 的解.而1, 2是Ax = 的基础解系, 故, 1, 2线性无关, 否则能由1, 2线性表示, 从而是线性方程组Ax =的解, 矛盾! 假若k 1 + k 2(1+) + k 3(2+) = , 则(k 1 + k 2 + k 3) + k 21 + k 32 = . 于是(k 1 + k 2 + k 3) = k 2 = k 3 = 0, 即k 1 = k 2 = k 3 = 0. 所以, 1+, 2+线性无关. 20. 设是3维非零实列向量, |||| =2. 又A =T .(1) 求A 的秩; (2) 求A 的全部特征值;(3) 问A 是否与对角阵相似? (4) 求|I A 3|.解: (1) 设 = [a , b , c ]T , 则A = T = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡cc cb ca bc bb ba ac ab aa O , 且秩(A ) = 1.(2) 设 是A 的对应于特征值的特征向量. 即T = .若T = 0, 则 = T = , 而 , 故 = 0.此时, 是T x = 0的解向量. 而秩(T ) = 1,故T x = 0的每个基础解系均由两个线性无关的解向量构成. 即对应于 = 0, A 有两个线性无关的特征向量,若T 0, 则由T = 可得T T = T . 从而 =T .此时, 由于T = . 故可取 = 作为对应于 = T的特征向量.综上所述, A 的全部特征值有: = 0和 = T .(3) 由(2)可见A 有3个线性无关的特征向量, 所以A 与对角阵相似.(4) 由(2)可见存在3阶可逆矩阵P , 使P 1AP = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ααT00000000.因此|I A 3| = |P 1||I A 3||P | = |(P 1IP P 1A 3P )| = |I (P 1AP )3|= 3T )(100010001αα- = 1 (T )3.If you want something badly enoughYou must let it go free If it comes back to you It’s yours If it doesn’tYou really never had it, anyway。
东南大学线性代数期末考试卷
东 南 大 学 考 试 卷 （ A 卷 ） 课程名称 线性代数 考试学期 得分 使用专业 考试形式 闭 卷 考试时间长度 120分钟 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 得分 一、（10%）选择题 1. 设3×2矩阵A =(A 1,A 2),B =(B 1,B 2)其中A 1,A 2,B 1,B 2是3维列向量. 若A 1,A 2线性无关, 则B 1,B 2线性无关的充要条件是( ). A.矩阵A 与B 等价 B. A 1,A 2能由B 1,B 2线性表示 C.向量组A 1,A 2与B 1,B 2等价 D. B 1,B 2能由A 1,A 2线性表示 2. 设A 为n 阶矩阵, E 为n 阶单位矩阵, 则下列叙述中, ( )是错误的. A. A 与E 合同的充分必要条件是A 正定 B. A 与E 相似的充分必要条件是A =E C. A 与E 相似的充分必要条件是行列式|A |=1 D. A 与E 等价的充分必要条件是行列式|A |≠0 3. 设A 为2×3矩阵, 交换A 的第一行和第二行得到矩阵B ,则( ). A. A (010100001)=B B. (010100001)A =B C. (0110)A =B D. A (0110)=B 4. 下列关于n 阶方阵A 的叙述中, 除了( )之外, 其余三个是相互等价的. A.齐次线性方程组Ax =0有非零解 B. A 的秩小于n C. A 是可逆矩阵 D.行列式|A |=0 5. 设A,B 都是m ×n 矩阵, 则下列矩阵中, ( )一定是对称矩阵.A. AB T +BA TB. A +BC. AB TD. AB T A二、（30%）判断题[ ] 6. (1234)的伴随矩阵为(4−3−21).[ ] 7. 设A,B 都是m ×n 矩阵, 则A 与B 等价的充分必要条件是它们的秩相等.[ ] 8. 设α1,α2,…,αs 为n 维列向量组, 若其中有一个向量αi 为零向量, 则α1,α2,…,αs 一定线性相关.[ ] 9. 若α,β为向量组α,β,γ的一个极大线性无关组, 而且β,γ也线性无关, 则β,γ也是学号姓名密封线α,β,γ的一个极大线性无关组.[ ] 10. 设A 为n 阶矩阵, 若对于任意的n 维列向量x , 有‖Ax ‖=‖x ‖则A 必为正交矩阵.[ ] 11. 设A 与B 都是n 阶正交矩阵, 则A +B 也是正交矩阵.[ ] 12. 设α与β都是非齐次线性方程组Ax =b 的解, 则α+β也是非齐次线性方程组Ax =b 的解.[ ] 13. 设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解, β是齐次线性方程组Ax =0的解, 则α,β线性无关.[ ] 14. 若矩阵A 与B 相似, 则A 2与B 2相似.[ ] 15．矩阵A 与B 相似的充分必要条件是A 2与B 2相似.[ ] 16. 若矩阵A 与B 具有相同的特征多项式, 则A 与B 相似.[ ] 17. 设A 与B 都是n 阶实对称矩阵, 若A 与B 具有相同的特征多项式, 则A 与B 相似.[ ] 18. 二次型f (x 1,x 2)=(x 1,x 2)(1203)(x 1x 2)的矩阵为(1203). [ ] 19. 二次型f (x 1,x 2)=(x 1,x 2)(1203)(x 1x 2)是正定的. [ ] 20. 设多项式f (x )=2x 3−5x +7, A 为三阶方阵, 则f (A )=2A 3−5A +7.三、填空题（10%）21. 设A 为3×2矩阵, B =AA T 则B 的行列式|B |= _______.22. 设向量α=(123)与β=(1−2a)正交, 则 a = _______.23. 设α为非零的3维列向量, A =ααT , 则A 的正惯性指数= ________.24. 设A 为3阶矩阵,E 为3阶单位矩阵. 若A 2=E ,则r (A −E )+r (A +E )= ________.(注: 这里r (A −E )表示A −E 的秩,r (A +E )表示A +E 的秩.)25. 若向量组α,β,γ线性无关, α+β,β−γ,α+kγ线性相关, 则k = ________.四、（10%）设A =(a 11a 11111111a 11a ). 计算行列式|A |, 并针对a 的不同取值, 求A 的秩.五、（10%）设A =(0210),B =(12103410). 求矩阵X , 使得AX =B +X.六、（10%）设A =(20011000a )与B =(100010002) 相似. 求a 以及可逆矩阵P 使得 P −1AP =B .七、（10%）已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4),其中α1,α2,α3,α4均为 4 维列向量, α2,α3,α4线性无关, 且α1=α2+α3−2α4.如果b=α1−α2+α3−α4, 求线性方程组Ax=b的通解.八、（10%）设二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2+x3)2.请写出该二次形的矩阵A,并写出该二次型在正交变换下的标准形.(不必写出所用的正交变换)。
线性代数_东南大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
线性代数_东南大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
1.任何一个线性方程组都可以用克拉默法则求解.
参考答案:
错误
2.初等矩阵都是可逆的.
参考答案:
正确
3.正交矩阵的转置不是正交矩阵.
参考答案:
错误
4.设矩阵 A, B, C 满足 A = BC 则下列说法正确的是[ ].
参考答案:
A 的列向量组一定能由
B 的列向量组线性表示.
5.任何两个矩阵都可以相加.
参考答案:
错误
6.任何一个向量组的秩一定不超过其中向量的个数.
参考答案:
正确
7.下列向量组中, [ ] 一定线性相关.
参考答案:
_含有零向量的向量组._4 个 3 维列向量构成的向量组.
8.下列关于矩阵的加法与乘法的叙述中, [ ] 是正确的.
参考答案:
矩阵的乘法对于加法满足分配律._矩阵的乘法一定满足结合律.
9.任何一个向量组的秩一定不超过其中向量的维数.
参考答案:
正确
10.任何两个矩阵都可以相乘.
参考答案:
错误
11.正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵.
参考答案:
正确。
线性代数与解析几何__东南大学(27)--2013-2014-2《几何与代数A》试题参考解答
B)
=
2,
可见
B
的
Jordan
标准形为
� � �00
2 0
00 � � �.
�2 1 0�
所以 A 的 Jordan 标准形为 � � �00
2 0
0 0
� � �,
最小多项式为(
2)2.
七. (14 分)求正交变换 x = Qy 把二次型 f(x) = a(x12 + x22 + x32) + 2(x1x2 + x1x3 x2x3)化
八. 证明题(每小题 5 分, 共 10 分) 1. 设1, 2 为矩阵 A 的两个线性无关的特征向量, 证明: 1 + 2 为 A 的特征向量当且仅
当1, 2 对应于 A 的同一个特征值. 证明: ()设 A1 = 11, A2 = 22, A(1 + 2) = (1 + 2),
于是有t = x = (1 Tx) = (1 tT) = (1 4t),
进而有t = 1 4t, 即(+4)t = 1. 可见 4, 此时 t = (+4)1.
当 4 且 0 时, 存在唯一的 x = (+4)1满足(1 Tx) = x.
2 1
� � �得
A1
=
� � �31
2 1
� � �;
� � �AA
E O
E O
O E
� � �经初等行变换化为
� � �OE
O E
O E
A1 E
� � �,
第3页共7页
�0 0 3 2 �
可见 B1 = � � �OE
A1 E
线性代数与解析几何__东南大学(6)--09-10-3线性代数期末考试试卷A
2 1 0
3 2 1
� ����，
B
=
�1 ��2
0 -1
1 0
��，求矩阵 �
X
使得
XA
-
B
=
2
X
。
�a 2 3 �
3. (12%)根据参数 a 的值，讨论矩阵 A = ����11
2a -2
-3 3a
����的秩。
共4页
第2页
4.
(14%)若方程组 (I )
:
￬ ￭￮2
x1 + x2 x1 + 3x2
姓名
学号
线
东南大学考试卷(A 卷)
课程名称 适用专业
线性代数 非电类专业
考试学期 考试形式
09-10-3 闭卷
得分 考试时间长度
120 分钟
题号
一
二
三
四
五
六
七
得分
1. （30%）填空题（ E 表示 n 阶单位矩阵， O 表示 n 阶零矩阵）：
1.
若 对 任 意 3 维 列 向 量 h = (x, y, z)T ， 矩 阵
a 1
���的特征值都大于零，则参数
a
的取值范围是
。
9.
若矩阵
A
=
�1 ��2
2 1
���与
B
=
�1 ��3
3 k
���合同，则参数
k
的取值范围是
。
10.
已知
2ﾴ
2
矩阵
A,
P
满足
P-1 AP
=
�1 ��0
0 2
��。 �
若
P
线性代数证明题
a1 a2
都成立, 都成立,
an
… …
证明: 证明: (2) 对于任意的n维向量α =(a1, a2, …, an)T, 对于任意的n =(a +…+x 设α = x1e1+x2e2+…+xnen, 即 a1 a2 = x1 0 … … 0 + 0 x2 0 +…+ 0 0 … … xn ,
an
由此可得x 由此可得x1=a1, x2=a2, …, 确实成立, 确实成立,
《线性代数》证明题 线性代数》
张小向
东南大学数学系 E-mail:z990303@ 版本:2007.12.10 版本
一. 为什么要练习解决证明题
培养严谨的逻辑思维能力。 培养严谨的逻辑思维能力。 为什么要培养严谨的逻辑思维能力？ 为什么要培养严谨的逻辑思维能力？ 竞争。 竞争。 为什么要竞争？ 为什么要竞争？ 生存。 生存。 为什么要生存？ 为什么要生存？ 本能。 本能。
… …
例 1. 设 e1 =
1 0 … …
, e2 =
0 1 … …
, …, en =
0 0 … …
,
0 1 0 证明: 线性无关. 证明: (1) e1, e2, …, en线性无关. (2) 任何一个n维向量都能由 任何一个n e1, e2, …, en线性表示. 线性表示. a1 a2 1 0 … … 0 0 1 … … 0 0 0 … … 1
证明: 因为AD 证明: 因为AD = AB + BC + CD = −8α −2β = 2BC. 2BC.
万一AD 2BC 万一AD = 2BC = θ 怎么办? 怎么办?
小样儿, 还想刁难我! 看我怎么摆平你! 小样儿, 还想刁难我! 看我怎么摆平你!
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东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）
课程名称 线性代数
考试学期
07-08-3
得分
适用专业 非电类工科专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 120分钟
一．填空题（E 表示单位矩阵）
1． 设1320,101A B x ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，若AB 是对称矩阵，则x = ；
2． 矩阵4735A ⎛⎫=
⎪⎝⎭
的逆矩阵1
A -= ； 3． 若33⨯矩阵A 的特征值是1,2,1-，则A 的伴随矩阵*
A 的行列式*A = ；
4． 齐次线性方程组250x y z +-=的一个基础解系是
；
5． 若二次型22212312313(,,)2f x x x x x x tx x =+++是正定的，
则参数t 满足条件 ； 6． 若矩阵122a ⎛⎫
⎪⎝⎭
不与对角阵相似，
则参数a = 。
12%）选择题
1． 假设,A B 都是可逆矩阵，则矩阵方程AXB C =的解为（ ） （A ） 1
1
X A B C --=； （B ）1
1
X CA B --=； （C ） 1
1
X A CB --=； （D ）1
1
X B CA --=。
2． 下列矩阵中，与矩阵1002A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
合同的矩阵是（ ）
（A ）1002⎛⎫
⎪⎝⎭； （B ）2001⎛⎫ ⎪-⎝⎭； （C ）2001-⎛⎫ ⎪-⎝⎭； （D ）0132⎛⎫
⎪
⎝⎭
3． 假设,A B 分别是s s ⨯和n n ⨯矩阵，则分块矩阵O A B O ⎛⎫
⎪⎝⎭
的行列式是（ ）
（A ）A B ； （B
）A B -； （C ）(1)
s n
A B +-； （D ）(1)sn A B -。
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8%）计算行列式11111111
11111111x x D x x
+-=+-的值。
6%）假设多项式8()255f x x =-，矩阵1111111111111111A ⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭。
求()f A 。
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1. 求参数x 的值，并求A 的另一个特征值
2. 求A 的所有特征向量；
3. 求一个正交矩阵Q 及对角阵Λ，使得T Q AQ =Λ。
五． （16%）已知2是对称矩阵20003101A x ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
的二重特征值。
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14%）假设,a b 是实数，二次型
22
123121323(,,)22f x x x x x ax x bx x =+++
1． 求二次型123(,,)f x x x 的矩阵A ；
2． 求一可逆线性变换x Cy =将123(,,)f x x x 化成标准形；
3． 若f 的秩等于2，求参数,a b 的值。
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16%）设向量组1231111,1,112a βββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭与12100,1b c αα⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
等价。
1. 求向量组123,,βββ的秩；
2. 求参数,,a b c 的值；
3. 记12123(,),(,,)A B ααβββ==，求矩阵X ，使得AX B =。
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10%）证明题（本题所涉及的数均是实数，所有矩阵均是实矩阵）：
1． 假设A 是n n ⨯矩阵，x 是A 的属于特征值a 的特征向量，y 是T
A 的属于特征值b
的特征向量。
若a b ≠，证明：x 与y 正交。
2． 假设,A B 都是s n ⨯矩阵。
若A B +的秩()r A B n +=，证明：矩阵
T T M A A B B =+的特征值均大于零。