专升本试题及解答(西华2016(高等数学))

2016年西华大学专升本《高等数学》考试题

一、判断正误（每小题2分，共10分）

1、函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。 （ 错误 ） 【知识点】极值的必要条件。

解析：由极值的必要条件知，驻点和奇点都可能是极值点。如，函数x y =在0=x 点是奇点，但0=x 为极小值点。

2、函数)(x f 在),(+∞-∞上连续，则对任意常数b a ,有⎰⎰

+≤b

a

b

a

dx x f dx x f ]1)([)(。

（ 错误 ）

【知识点】定积分的性质。

解析：对任意)(x f ，有1)()(+

a

b

a dx x f dx x f ]1)([)(；

（2）当a b ≤时，

⎰⎰

+≥b

a

b

a

dx x f dx x f ]1)([)(。

3、方程x

e x y y y 326=-'-''的特解形式可设为x

e c bx ax x y 32

)(++= 。（ 正确 ）

【知识点】二阶常系数非齐次方程的特解形式。（特解)(*x Q e x y n x k λ=由三部分构成）

解析：由062

=--r r 得：2,321-==r r ，

因3=λ为特征单根，所以，特解应设为：x

e c bx ax x y 32

)(++=。

4、级数

n

n n x n )(!1

⋅∑∞

=在e x <时发散。 （ 错误 ） 【知识点】幂级数的收敛域。

解析：1!)1()!1(lim lim 11<=⋅++=+∞→+∞→e x x n n n x n u u n n

n n n n

n n ，即e x <，即收敛区间),(e e -。 即，当e x -<或e x >时，幂级数发散。

5、设21,ηη是非齐次线性方程组b AX =的两个解，则212ηη-任是b AX =的解。 （ 正确 ）

【知识点】非齐次线性方程组解的定义。

解析：因b b b A A A =-=-=-22)2(2121ηηηη，所以，212ηη-为b AX =的解。

二、填空题：（每题4分，共16分）

1、设函数)(u f 具有连续偏导数，)(2

2

y x f z +=，则全微分=dz 。

【知识点】全微分的定义。 解析：)(2ydy xdx f dz +'=

2、已知向量组T )0,1,1,1(1=α、T

k )1,0,,0(2=α、T )1,0,2,2(3=α、T )1,12,0(4=α线性相

关，则=k 。

【知识点】向量组的线性相关性（齐次线性方程组有非0解）。 解析：

→

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭⎫

⎝⎛111020*********k →

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-1110220010002

01

k →

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫ ⎝

⎛---k k 1002200111002

01

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--k 210001*********

01

因为向量组线性相关，所以，021=-k ，即2

1

=k 。

3、二次积分⎰

⎰=

x

e dy y x

f dx I ln 0

1

),(可改变积分次序为I = 。

【知识点】交换积分次序。

解析：原积分区域D 为：x y e x ln 0,1≤≤≤≤； 将D 化成Y 型区域为：e x e y y

≤≤≤≤,10，故⎰

⎰=

e

e y

dx y x f dy I ),(10

。

4、幂级数

n

n n n n x ]4

3)1(31[

-+∑∞

=的收敛半径为 。 【知识点】幂级数的收敛半径（代数和运算）。

解析：31331lim 11=⨯

=+∞→n n n R ；4344

3lim 1

2=⨯=+∞→n n n R ，即3}4,3min{==R 。 （方法二）3)43

(41)1(31)43(3)1(1lim 4

3)1(3143)1(31lim lim

1111

1

=⋅-+⋅-+=-+-+==+∞→+++∞→+∞→n n n n

n n n n n n n n n n

n a a R 。 三、求解下列各题（每小题6分，共60分） 1、求极限)1

2111(

lim 2

22n

n n n n n n n -+++-++-+∞

→ 。 【知识点】夹逼定理。

解析：

n n n n n n n n n n n n n n n n 1121111122222=-+≤-+++-++-+≤+=+ 而011lim

=+∞→n n ，01

lim =∞→n

n ，由夹逼定理知， 0)1

2111(lim 222=-+++-++-+∞→n

n n n n n n n 。