求矩阵的Jordan标准形的两种方法
2.3 矩阵的Jordan标准形
a11 (λ ) a12 (λ ) a1n (λ ) a21 (λ ) a22 (λ ) a2 n (λ ) A(λ ) = a (λ ) a (λ ) a (λ ) m1 m2 mn
6 2 2 − 6 k1 − 3k2 3 . 1 1 − 3 − k1 , 1 1 − 3 − k 2 4 设 P −1 AP = J , 1 . P = (ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ), 1 2 2 −6
′ = ( 2, 0, 1) , ξ1 = ( −1, 1, 0) , ξ 2 = ( 3, 0, 1) ? ξ 2 T T ξ = ( 2 , 0 , 1 ) , ′ ′ ξ 2 = k1ξ1 + k2ξ 2 = ξ1 + ξ 2 = ( 2, 1, 1) , 3 k1 = k2 = 1, 第二章 λ-矩阵
λi J 1 0 其一般形状 , 其中 J i = J s 1 1 λi ki ×ki
λi
第二章
λ-矩阵
3
初等因子, Jordan形的推导
例
D3(λ) = (λ-2) , λE-A有一个2阶子式
A= 0 2 2 1 2 1 2
第二章 λ-矩阵
5
初等因子, Jordan形的推导
− 1 − 2 6 例 求矩阵A的Jordan标准形, A = − 1 0 3 . − 1 − 1 4 解 1 λ − 4 r2 − r1 1 λ +1 2 − 6 r3 − (λ + 1)r1 r1 ↔ r3 λ −3 λE − A = 1 λ −3 1 λ +1 2 − 6 1 1 − 4 λ 1 0 0 λ −4 1 c2 − c1 1 c3 − (λ − 4)c1 1− λ 1− λ 0 λ −1 0 λ −1 0 1 − λ − (λ − 1)(λ − 2) 0 1 − λ − (λ − 1)(λ − 2) 0 0 0 0 1 1 r3 + r2 c3 + c2 1− λ 0 Smith标准形. 0 λ −1 0 λ −1 2 ( −1)r3 2 0 − − − 0 ( λ 1 ) 0 0 ( λ 1 ) 1 A的初等因子: λ-1, (λ-1)2. J = 1 1 . A的Jordan标准形为: 6 1 第二章 λ-矩阵
矩阵论-矩阵的相似变换
★ 1、求下列矩阵的Jordan 标准形：⑴ -101120-403A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ；⑵；⑵31-1-202-1-13A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：⑴解：⑴ 求A 的特征多项式并得到特征值的特征多项式并得到特征值101det(I A)1243λλλλ+−−=−−− 第一行乘以3λ−并加上第三行并加上第三行+10-1=-1-20(3)(1)40λλλλ−++ 这里变换行列式列使其变为上三角行列式这里变换行列式列使其变为上三角行列式 2210121(1)(2)0(1)λλλλλ−+=−−−=−−− 所以A 的特征值为12==1λλ ，3=2λ ，对应的2重特征值12==1λλ解方程组(I-A)x =0，由2131122201201201110110011/2402000000r r r r I A +−−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−=−−⎯⎯⎯→−−⎯⎯⎯→−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦121×, 2101/2011/2000r r −−⎡⎤⎢⎥⎯⎯⎯⎯→⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 10021002x y z x y z ⎧+−=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ 设x 为1，依次可以解出112x y z =⎧⎪=−⎨⎪=⎩ 得基础解系：T T1(1,1,2)p =−只有一个线性无关特征向量，故A 的Jordan 标准形为：标准形为：1112J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⑵ 求A 的特征多项式并得到特征值的特征多项式并得到特征值2311211det(I A)2202113213211211020202400(44)/λλλλλλλλλλλλλλλλ−−−−−=−=−−−−−−−−−=−−+−⑴ 7543192864A A A A A I −−++−⑵ 1A − ⑶ 100A解：解：2322110102210()det(I A)43110011124343210011(1)(2)45200(1)/(1)λλλψλλλλλλλλλλλλλλλλλ+−−−−−=−=−=+−=+−−−−−−−=+−=−−=−+−−+⑴ 令7543()192864g λλλλλλ=−−++−，需要计算g(A)，用()/g()ψλλ 得到：得到：4322()(41032)()3228g λλλλλψλλλ=+++−−+−由Hamilton-Cayley 定理知(A)O ψ= ，于是：，于是：221160(A)3A 22A 8I 6443019324g −⎡⎤⎢⎥=−+−=−⎢⎥−⎣⎦⑵ 由32(A)A 4A 5A 2I O ψ=−+−= 得21(A 4A 5I)2A I ⎡⎤−+=⎢⎥⎣⎦故得到：故得到：123101(A 4A 5I)41023/21/21/2A −−⎡⎤⎢⎥=−+=−⎢⎥−⎣⎦⑶ 设100210()()b 2b b q λλψλλλ=+++ 注意到(2)(1)'(1)0ψψψ=== ，分别将2λ=和1λ= 代入上式，再对上式求导数后将1λ=代入得到：代入得到：1002102102124211002b b b b b b b b ⎧=++⎪=++⎨⎪=+⎩ 解得到解得到 100010111002220023022101b b b ⎧=−⎪=−+⎨⎪=−⎩故得到：故得到：100221010010010019910004002010201221012A b A b A b I −⎡⎤⎢⎥=++=−⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦31122113λλλ−−−+−-21-1-2-21-1-2+1λλλ211221122λλ−−−−−−1122162616p i p ⎥⎥==−⎥⎥22212012p ⎤−⎥==33213313i p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦111623263111623ii ⎤−⎥⎥−⎥⎥⎥⎥⎦则称A 是Hermite 正定矩阵（半正定矩阵）。
史荣昌魏丰版矩阵分析第二章(2)
证：必要性，设 A 可对角化，则存在可逆矩阵 P， 使得
⎡λ1
⎤
⎢ P −1 AP = ⎢
λ2
⎥ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎣
λn
⎥ ⎦
对于任意常数 k，
⎡λ1
⎢ kI − A = kI − P ⎢
λ2
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥ P −1 ⎥
λn
⎥ ⎦
⎡k − λ1
⎢ = P⎢
⎢ ⎢ ⎣
k − λ2
⎤
⎥
⎥ P −1 ⎥
k
−
λn
⎡⎣ X1,
X2,
X
3
⎤⎦
⎢ ⎢
0
−1
1
⎥ ⎥
⎢⎣ 0 0 −1⎥⎦
= ⎡⎣− X1, − X 2 , X 2 − X3 ⎤⎦
从而可得
AX1 = − X1, AX2 = − X2 , AX3 = X2 − X3
整理以后可得三个线性方程组
(I + A)X1 = 0 (I + A)X2 = 0 (I + A)X3 = X2
k≥3
⎢ O ０0 ⎥
⎢ ⎣
0⎥⎦
(1) 每个Jordan 块 Ji 对应属于 λi 的一个特征向量； (2) 对于给定的 λi，其对应的Jordan 块的个数 等于λi 的几何重复度； (3) 特征值 λi 所对应的全体Jordan 块的阶数之和 等于 λi 的代数重复度.
根据 rank(kI − A)l = rank(kI − J )l , l = 1,2,
(λ − 1)2(λ − 2)⎥⎦
所以 A 的初等因子为 (λ −1)2 , λ − 2 .
故 A 的标准形为
求矩阵的Jordan标准形的两种方法
求矩阵的Jordan标准形的两种方法矩阵的Jordan标准形是线性代数中一个重要的概念，它是将矩阵分解为初等因子的一种形式。
这里将介绍两种求矩阵Jordan标准形的方法，一种是基于初等行变换的行阶梯形，另一种是基于特征值的特征多项式。
方法一：基于初等行变换的行阶梯形步骤1：将矩阵A放置在矩阵M中，并选取一个新的矩阵B，其大小至少与A 相同。
步骤2：对矩阵M进行初等行变换，使得A成为行阶梯形。
这意味着对A进行一系列的行交换和行简化操作，使得矩阵A的左上角成为一个单位矩阵。
步骤3：对行阶梯形的矩阵A进行进一步的行变换，使得它成为Jordan标准形。
这通常涉及到将矩阵A的某些行乘以非零常数，然后将这些行与位于它们下方的行相加。
步骤4：最终得到的矩阵A就是Jordan标准形。
这种方法需要熟练掌握初等行变换的操作，包括交换、简化、提公因子等。
同时需要注意在进行行变换的过程中保持其他行的状态不变。
方法二：基于特征值的特征多项式步骤1：首先计算矩阵A的特征值。
这些特征值可以通过解方程组Ax = λx 得到，其中x为特征向量，λ为特征值。
步骤2：对于每个特征值λ，求解方程组(λE - A)x = 0，其中E为单位矩阵。
这个方程组可以用来找到对应于特征值λ的线性独立的特征向量v。
步骤3：将找到的特征向量v组成一个矩阵V，使得V的每一列都是一个对应的特征向量。
同时选取一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP = V。
步骤4：计算矩阵V的特征多项式f(λ) = |λE - V|。
可以证明f(λ)是一个整系数多项式，并且f(λ) = f(A)。
步骤5：对f(λ)进行因式分解，得到f(λ) = Product_{i=1}^{n}(λ -λ_i)。
其中λ_i是f(λ)的根，也就是矩阵V的特征值。
步骤6：令f(λ) = 0，解出λ的值。
这些值就是矩阵A的特征值。
根据特征值的性质，可以确定矩阵A的Jordan标准形。
这种方法需要理解矩阵的特征值和特征向量的概念和性质，掌握求解特征值和特征向量的方法，同时还需要熟悉多项式的因式分解和求解根的方法。
矩阵化jordan标准型步骤
矩阵化jordan标准型步骤矩阵化Jordan标准型步骤在线性代数中，Jordan标准型是可逆矩阵与相似变换的重要概念之一。
通过将一个矩阵转换为Jordan标准型，我们可以更好地理解线性变换在向量空间中的表现，这对于解析和计算矩阵的特征值和特征向量非常有用。
本文将详细介绍将一个矩阵转换为Jordan标准型的步骤。
步骤1：找到矩阵的特征值。
首先，我们需要找到矩阵的特征值。
一个nxn矩阵A的特征值是一个标量λ，满足方程Ax=λx，其中x是非零向量。
为了找到矩阵的特征值，我们需要解决特征方程A-λI =0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。
步骤2：找到每个特征值对应的特征向量。
接下来，我们需要找到每个特征值对应的特征向量。
对于每个特征值λ，我们需要解决方程组(A-λI)x=0，其中x是特征向量。
注意，特征向量不为零，因为特征向量的零向量在任何情况下都不是非零向量。
步骤3：计算矩阵的几何重数。
在计算Jordan标准型之前，我们需要计算矩阵的几何重数。
矩阵的几何重数是特定特征值的线性无关特征向量的数量。
在计算几何重数时，我们应该将特征向量进行标准化处理。
步骤4：根据特征值的代数重数创建块。
接下来，我们需要根据每个特征值的代数重数创建Jordan块。
矩阵的代数重数是特征值在特征多项式中的幂的最高次数。
对于每个特征值λ，我们创建一个与特征值的代数重数相对应的Jordan块。
Jordan块是一个形如λI+aJ的方阵，其中λ是特征值，I是单位矩阵，J是Jordan块的大小（有J^r个非零元素的r x r方阵）。
步骤5：将Jordan块连接成一个矩阵。
接下来，我们需要将所有的Jordan块连接成一个矩阵，以得到矩阵的Jordan标准型。
具体而言，我们按照如下的方式将Jordan块排列在一起：⎡J1 ⎡⎡⎡⎡J2 ⎡⎡⎡⎡J3 ⎡这样，我们就得到了一个与原始矩阵具有相同特征值和特征向量的Jordan 标准型矩阵。
步骤6：计算矩阵的Jordan标准型。
第6讲 Jordan标准形
定义 方阵J 称为Jordan 标准形，即
J = diag ( J1 (λ1 ), J 2 (λ2 ),
其中
, J s (λs ))
⎞ ⎛ λi 1 ⎟ ⎜ λi 1 ⎟ ⎜ ⎟ (i = 1,2, , s ) J i (λi ) = ⎜ λi ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ λi ⎠ m ×m ⎝ n× n n×n 定理 设 A ∈ C ，则存在可逆阵 P ∈ C ， 使 P −1 AP = J，其中 λi 是A的特征值，J i 是若当块
1 0 −2 1 1
⎞ ⎛0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟, ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1⎠ ⎜ ⎝
0 −2 1 1 1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ 1⎟ ⎟ ⎟ 1⎠
⎛0 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
0 −2 1 1
⎞ ⎛0 ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟, ⎜ ⎟⎜ 1⎟ ⎜ ⎟⎜ 1⎟ ⎜ ⎠⎝
0 −2 1 1
p2 p3 )
设相似变换矩阵 P = ( p1 得
⎧ Ap1 = p1 ⎪ ⎨ Ap2 = p1 + p2 ⎪ Ap = 2 p 3 ⎩ 3
⎡1⎤ p1 = ⎢− 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢2⎥ ⎣ ⎦
，由 AP = PJ
⎧( I − A) p1 = 0 ⎪ ⎨( I − A) p2 = − p1 ⎪(2 I − A) p = 0 3 ⎩
a1n (λ ) ⎞ ⎟ a2 n ( λ ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ann (λ ) ⎠
, n) 为K 上的 λ 的多项式,
λ -矩阵的初等变换：(1) ri (ci ) ↔ rj (c j )
(2) kri (ci ), k ≠ 0 (3) ri (ci ) + f (λ )rj (c j ) ( f (λ )是λ的多项式）
求矩阵的Jordan标准形的两种方法
求矩阵的Jordan 标准形的两种方法方法1. 利用矩阵的初等因子原理: 由于矩阵的每一个初等因子与一个Jordan 块相对应, 反之亦然. 求出全部的初等因子即可得出其Jordan 标准形.方法2. 利用特征值和特征向量可求的可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形. 原理: 在复数域上, 每一个矩阵都与一个Jordan 标准形相似, 即存在可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形.例. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411301621A , 分别用两种方法求A 的Jordan 标准形.解: 方法1..)1(00010001120011000123101100014111102310411316212222)1(232132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+----→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+--−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-++--λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλr r r r r r A E 得A 的初等因子为2)1(,1--λλ, 于是A 的Jordan 标准形为.11001000121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=J JJ 方法2.(1) 首先求A 的特征值.3)1(||-=-λλA E , 所以特征值为1,1,1.(2) 求出相应的特征向量.求解齐次线性方程组0)(=-X A E 的全部解:.000000311311311622⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-A E相应的特征向量为)0,1,1(1-=α, )1,0,3(2=α. 1α,2α为特征值空间V 1的基.(3) 求出一组基, 使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形.由于A 不能对角化, 所以必存在一组基321,,βββ使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形. 再考虑到A 有两个线性无关的特征向量, 所以A 有一个二阶的Jordan 块. 即11ββ=A , 322βββ+=A , 33ββ=A .可见131,V ∈ββ, 需要求出向量322)(βββ=-E A 满足. 所以求解线性方程组 )()(132211V k k X E A ∈=+=-βαα. (*) 该方程组的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+---=-==0000000031126223113113113113622212121k k k k k k k k B k k k 取. 由于我们想要求一个向量122113V k k ∈+=ααβ使得线性方程组(*)有解, 所以可取任何使得该方程组有解的k 1,k 2. 我们取了k 1=k 2=k. 事实上, 还可以直接取k 1=k 2=k=1. 即)1,1,2(213=+=ααβ, 这样就得到了(*)的解=2β(1,0,0). 再取)0,1,1(11-==αβ. 于是我们有:11ββ=A , 322βββ+=A , 33ββ=A .即.110010001),,(),,(321321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ββββββA A A令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==100101211),,(321βββT ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-211110010001J J J AT T .。
矩阵的相似变换2
由行列式因子求矩阵 A 的Jordan标准形方法：
1求In A的n个行列式因子D1 ,D2 , ,Dn . 2由dk Dk Dk1 求A的不变因子dk ，
k 1, 2, , n.
3求A的初等因子和Jordan标准形.
3 1 1
例2
求矩阵A
2
0
2 的Jordan标准形
1 1 3
0
x2
0,
4 0 -2 x3
1
得p2
1 ;
2
2 0 -1 x1 1
解线性方程组 I A x p2，即 -1 -1
0
x2
1
,
4 0 -2 x3 2
0
得p3
1
;
1
0 1 0
2
所以，P
1
-1
-1
,
P
1
AP
0 2 1
1
1 1
.
Remark
Reamrk
di di1 f s.t. di1 di f
定义3
定理2中每个多项式di 称为A的不变因子.
由初等变换求矩阵 A 的Jordan标准形方法：
1用初等变换化特征矩阵In A为Smith标准形，求出 A的不变因子d1 ,d2 , ,dn .
2 将A的每个次数大于零的不变因子di 分解为互不
设ACnn ,则由Jordan分解定理知存在可逆矩阵 P Cnn使得
P1AP J , 即A PJP1, 则Ak PJ k P1.
1 0 1
例5
设A
1
2
0
,
求Ak
.
4 0 3
解
1 0 0
1 1
可求得，P
关于用几何方法求jordan标准型的一点注记
关于用几何方法求jordan标准型的一点注记Jordan标准型的几何方法求法是一种对矩阵的有效运算，它能够利用矩阵的特性进行有效解决方案的解决。
通过Jordan标准型的几何方法，可以有效获得矩阵的最优解，从而提高工作效率并节约时间。
一、标准型矩阵的几何求解法1、定义标准型矩阵标准型矩阵是指行列个数相等的矩阵，以及所有的行列非零元素都位于主对角线上，非对角元素都位于和主对角线平行的上、下左右部分。
2、标准型矩阵的几何求解法（1）令m个单位矩阵与给定的标准型矩阵称为矩阵乘积；（2）乘积矩阵的非对角线元素都置零；（3）把单位矩阵m和给定矩阵分别转换成A=LDLt形式；（4）计算出DtLt结果矩阵；（5）结果矩阵相乘，计算出矩阵乘积；（6）进行行列式计算，可以求得最优解。
二、Jordan标准型的详细推导步骤1、将矩阵经过变换，化为可算的形式（1）将矩阵的主对角线元素变成1；（2）将矩阵的非主对角线元素化为0；（3）把矩阵变换为标准型。
2、将标准型矩阵拆分成一组单位矩阵与一个矩阵的乘积（1）按照矩阵的尺度，把矩阵乘积拆分成一组单位矩阵；（2）把乘积矩阵的非对角线元素都置零；（3）将两个矩阵同时按列解线性方程组作对应加法，形成矩阵乘积。
3、计算结果矩阵（1）将每个单位矩阵以及给定的矩阵利用L_D_L~t变换成A=LDLt形式；（2）采用行列式计算，计算出两个矩阵相乘的结果矩阵；（3）计算结果矩阵DtLt；（4）结果矩阵相乘可以得到矩阵乘积；（5）再进行行列式计算，可以得到最优解。
总之，Jordan标准型的几何方法是求解矩阵最优解的一种有效方法，能够有效地提高工作效率并节约时间。
使用Jordan标准型的几何求解法前，首先需要将矩阵在行列方面进行变换，利用L_D_L~t变换，将其转换为标准型，然后把标准型矩阵和给定矩阵经过乘积拆分成一组单位矩阵，再进行行列式计算，最终能获得矩阵最优解。
第4节Jordan标准形
可逆矩阵
称一个n阶矩阵A()是可逆的，如果存在一个矩阵 B() ，使得
A()B() =B()A()=I
记A()的逆矩阵为A-1() 定理 一个n阶矩阵A()是可逆的充要条件为它的行 列式是一个非0的数。
说明：对矩阵而言，满秩矩阵不一定可逆。
2、矩阵的初等变换
定义 下面三种变换称为矩阵的初等变换
k n 2
k ni 1
i
C
1 k k 1
k i
k i
C ni ni
2、Jordan形矩阵 由若干个Jordan块构成的分块对角矩阵为Jordan 形矩阵，简称Jordan形。
J diagJ1 , J 2 ,, J s C nn
第四节
矩阵的Jordan标准形
一、Jordan块矩阵与Jordan形矩阵 二、Jordan分解定理 三、Jordan标准形的求法
一、Jordan块矩阵与Jordan形矩阵
1、Jordan块定义 称下面结构的上三角形矩阵为Jordan块矩阵，简称 Jordan块
i 1 C n n J ( i ) 1 i
1 c2 ( 2 1) c1 0 c3 ( 1) c1 0
1 c2 c3 0 0
0
2 3
0 0
2 0
1 2 1 1 2 0 0 3 2
如果矩阵A()经过有限次行或列的初等变换后变为矩 阵B() ，则称A()与B()是等价的，记为A( ) B( )
利用初等变换与初等矩阵的对应关系可得： 命题
A( ) B( ) 充要条件是存在两个可逆矩阵
矩阵理论-第三章 矩阵的Jordan标准型
1 0 0
1 0 0
c2 ( 2
)c1
0
c3 ( )c1
0
0
2
c3 c2
0
c3(1) 0
0
0
( 1)
推论 1 任一 n 阶可逆 -矩阵均可经过若干次初等 变换化为 n 阶单位矩阵 En .
反之，设
A( ) c 0 ，则 ( 1 c
A( ) ) A( )
A( ) ( 1
c
A( ) )
En ，
所以 A( ) 是可逆的， A( )1 1 A( ) ，其中 A( ) 是 A( ) 的伴随矩阵．
c
例 3.1 –矩阵
1
A(
)
D1( ) 1 D2( ) ( 1) D3 ( ) 2 ( 1)3
不变因子为:
d1( ) 1 ， d2( )
D2 ( ) D1( )
(
1) ， d3 ( )
D3 ( ) D2 ( )
(
1)2
所以 A( ) 的 Smith 标准形为:
–矩阵的相等、加法、数乘和乘法等概念与运算 都与数字矩阵相同，而且有相同的运算规律． 对 n n 的 -方阵可类似定义行列式、子式、余子式、 伴随矩阵等概念．
如果 –矩阵 A( ) 中有一个 r 阶子式 (r 1) 不为零，
而所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全为零，则称
det( E A) ( 1 )m1 ( i )mi ( s )ms
s
其中 mi n，称 mi 为 A 的特征值 i 的代数重数， i 1
矩阵Jordan形
1
3
2
2 6 4
1 3 2
1
3 2
2 1 6 0 4 0
0 2 2 2 0
0 2
2
2
0 2
1 0 0
1 P(i,j)=
-1
0 1 0 1
1
P(i,j) P(i,j)
1 P ( i ( c )) = P ( i ( c ))
1
c
1
1 解 ： I A 4 1
1 4 1 0
1
3
0
0 2 0
2
0 0
3
－1
1 0 0
0
3
－1
4( 2) ( 1)( 2 )
定 理 ： 若 A ( ) ~ B ( ), 则 rank ( A ( )) rank ( B ( ))
Smith标准形的秩是多少？
矩 阵 A ( )的 行 列 式 因 子 ： 设 ra n k ( A ( )) r , 对 于 正 整 数 1 k r , 所 以 k 阶 行 列 式 因 子 的 首 一 最 大 公 因 A ( )式 D k ( ) 称 为 A ( )的 k 阶 行 列 式 因 子 。
矩阵A的Jordan标准形是（除了Jordan块 的顺序外）唯一的 定理指出Jordan标准形存在，但是没有给 出Jordan标准形的求法。
矩阵的概念
a1 1 ( ) a 21 ( ) A ( ) a m1 ( ) a1 2 ( ) a 22 ( ) am 2 ( ) a1 n ( ) a2n ( ) amn ( )
矩阵论 Jordan标准形介绍讲解
例题2 设A R4×4 ，mA（ )=( 1 ) ( 2 )2
求矩阵A的所有可能的Jordan矩阵。
例题3 设 g( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 4 )
是矩阵A的化零多项式，证明A可以相似于对角矩阵。
2 . 性质（定理2 . 7）
• AX = 0 X g(A)X= g(0 )X
• P -1 AP =B P -1 g(A)P= g(B)
A1
•A
A2
g( A1 )
Ak
g( A)
g( A2 )
g( Ak )
f ( ) I A ( 1 )k1( 2 )k2 ( s )ks
T可以对角化T有n个线性无关的特征向量。 dimVi =n dimVi =ki
定理2. 4(p39)
T可以对角化T的变换矩阵A可以对角化。
例题2 已知{1，2 ，3 }是空间V3（F） 的基，T是空间上如下定义的线性变换，
使Ak ( kn)降阶至不超过n-1次的多项式。
f（ 0） 0，则A的逆矩阵可以用多项式表示。 对线性变换T，f ( T)=0，即f（ T ）为零变换。
三、最小多项式
1 定义（P.54， 定义2 . 5）
mA（ ）是最小多项式
mA（ A） =0 mA（ ）在化零多项式中次数最低。 mA（ ）最高次项系数是1。
g（J）的结构特点： 由第一行的元素生成
例题1 设 g( ) 3 42 5 1
对P38，eg3中的矩阵A，计算g（A）。
矩阵jordan标准型 考研考纲
矩阵Jordan标准型是线性代数中非常重要的概念，它在矩阵理论以及特征值与特征向量的研究中有着重要的应用。
在考研数学中，矩阵Jordan标准型也是一个高频考点，掌握矩阵Jordan标准型对于考研数学的学习和备考至关重要。
一、矩阵Jordan标准型的定义矩阵Jordan标准型是一种特殊的矩阵形式，它具有一些特定的性质。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个非奇异矩阵P，使得P^-1AP为Jordan标准型，那么称矩阵A相似于Jordan标准型。
二、矩阵Jordan标准型的性质矩阵Jordan标准型具有以下性质：1. 对角线上的元素是矩阵A的特征值；2. 对角线上出现的不止一个数表示A不是对角化的；3. 每一个Jordan块对应一个特征值以及其代数重数；4. 每一个Jordan块的大小对应于其几何重数。
三、矩阵Jordan标准型的计算方法计算矩阵的Jordan标准型是线性代数中的一个重要内容。
通常有以下方法：1. 先求出矩阵A的特征值和对应的特征向量；2. 根据特征值和特征向量构造特征向量矩阵P；3. 利用P^-1AP的形式求得矩阵A的Jordan标准型。
四、矩阵Jordan标准型的应用矩阵Jordan标准型上线性代数以及其他数学领域有着广泛的应用。
对于一些特定的矩阵求解矩阵的高次幂、求解矩阵的指数函数等问题时，常常需要用到矩阵的Jordan标准型。
在控制理论、量子力学等领域中，矩阵Jordan标准型也有着重要的应用价值。
五、考研考纲中与矩阵Jordan标准型相关的知识点矩阵Jordan标准型作为线性代数中的重要概念，在考研数学的考纲中也有明确的要求。
考研数学中与矩阵Jordan标准型相关的知识点主要包括：1. 矩阵的特征值与特征向量；2. 矩阵的相似对角化；3. 矩阵的Jordan标准型及其计算方法；4. 矩阵Jordan标准型的应用。
六、如何有效地学习和掌握矩阵Jordan标准型针对矩阵Jordan标准型这一知识点，考生可以采取以下学习方法：1. 掌握矩阵的特征值与特征向量的求解方法；2. 熟练掌握矩阵的对角化与相似对角化的理论与计算方法；3. 了解矩阵Jordan标准型的定义和性质，熟悉其计算方法；4. 深入理解矩阵Jordan标准型的应用场景，例如上线性方程组、微分方程、控制理论等方面的应用。
第2章2 矩阵的Jordan标准型
于是可得a = 50, b = 0, c = 49.
1 2 2 例1. 已知A = 1 0 3 , 求A100.
1 1 2
即100 = c()g() + 502 49,
故A100 = c(A)g(A) + 50A2 49E
= 50A2 49E
3 0 8 49 0 0
= 50 2 1 4 0 49 0
相似矩阵P的求法
i，dim Vi qi pi
A
1, 2, …, s
11, …, 1q1 , 21, …, 2q2 ,…,s1, …,sq s
线性无关
线性无关
线性无关
11, …, 1q1 , 21, …,2q 2 , …, s1, …,sqs
线性无关
P= 11，L ，1q1 ,21，L ，2q2 ,L ,s1，L ，sqs
2 0 5 0 0 49
199 0 400
= 100 1 200 .
100 0 201
0 11 例2. A = 0 1 0
1 1 2
① c() = |E–A| = (1)3满足c(A) = O
c()的次数为3
A的化零多项式
② f() = (1)2 = 22+1满足f(A) = O. f()的次数为2 次数最低, 首项系数为1
i 1
dimVi =qi pi
A 有 n 个线性无关的特征向量。
定理： n 阶矩阵 A 可以对角化的充分必要条件是
每一个特征值的代数重数等于其几何重数。
综合
s
设f ：V
V的特征多项式是C ( )
(
i1
i )pi，则下述条件
是等价的：
1. f是可对角化的； 2.i，dim Vi pi ; 3.V V1 V2 Vs
已知特征多项式和最小多项式求jordan标准型
已知特征多项式和最小多项式求jordan标准型已知特征多项式和最小多项式求Jordan标准型一、引言在线性代数中，特征值和特征向量是研究矩阵性质的重要工具。
特征多项式是通过将特征值代入行列式得到的，它提供了矩阵的一些重要信息。
而最小多项式则是描述一个给定矩阵的最小次数的多项式，将该矩阵作用在一个向量上，其结果可以用该最小多项式来表示。
本文将介绍已知特征多项式和最小多项式的情况下，如何求矩阵的Jordan 标准型。
二、特征多项式和最小多项式1. 特征多项式设A是一个n阶矩阵，特征值是指满足方程det(A-λI)=0的所有λ值，其中I是单位矩阵。
对于每个特征值λ，存在一个对应的n维特征向量v，使得Av=λv。
特征向量可以通过解线性方程组来求得。
特征多项式是一个n次多项式，定义为P(λ) = det(A-λI)，其中λ是变量。
特征多项式包含了所有特征值的信息，它的根就是矩阵的特征值。
2. 最小多项式矩阵的最小多项式是一个次数最低的多项式，使得它的根是矩阵A的特征值。
我们可以通过计算特征多项式的最大公因式来求得最小多项式。
三、求解Jordan标准型的步骤1. 根据给定的矩阵A，求解其特征多项式P(λ)。
2. 求解特征多项式P(λ)的根，即矩阵的特征值。
3. 对于每个特征值λ，求解方程(A-λI)v=0，其中v是未知向量。
解该齐次线性方程组可以得到特征向量v。
如果存在重复的特征值，则需要求解对应于该特征值的所有特征向量。
4. 组合特征向量构成矩阵P，其中每一列是一个特征向量。
P的逆矩阵P^-1的每一行都是特征向量。
5. 计算矩阵P^-1AP，即得到相似矩阵。
该矩阵的对角线上的元素就是矩阵的特征值。
6. 对角线上存在重复特征值的情况下，进一步进行处理。
对于每个重复特征值的Jordan块，可以通过对角线上存在的元素和上三角矩阵的对角线上的元素进行配对来确定。
四、个人观点和理解求解已知特征多项式和最小多项式情况下的Jordan标准型是一种重要的线性代数问题。
02_矩阵论_第二章Jordan 标准形介绍
从而 T 有对角阵表示。
更进一步，若 Vi 为 T 的一维不变子空间，则 Vi，有 T()Vi，所以 T() = ，即 T 在 Vi 上的矩阵是一阶对角矩阵。 推论 Vn(F) 上的线性变换有对角阵表示的充 分必要条件是：Vn(F) 可分解成 T 的一维不变子 空间的直和。
定义 2.3 形如
1 1 J ( ) 1
的 r 阶方阵成为一个 r 阶 Jordan 块。由若干个 Jordan 块 Ji(i) 构成的准对角矩阵
J1 (1 ) J J m ( m )
定理 2.3 线性变换 T 有对角阵表示的充分必 要条件是 T 有 n 个线性无关的特征向量。 证明：必要性：设有基 {1, 2,…, n} 使 T 的 矩阵为对角阵，则有
1 2 T (1 , 2 , , n ) (1 , 2 , , n ) n
应用定理 2.1，我们可以从 T 的一个变换矩 阵 A 求得 T 的特征值与特征向量。计算步骤如下： (1) 选择 Vn(F) 的基 {1, 2, …, n}，求线性 变换 T 关于该基的矩阵 A； (2) 求 A 的特征值：先求 A 的特征多项式 f() = |I A|，f() = 0 的根 1, 2, …, n 即为 A 的全 部特征值； (3) 求矩阵 A 关于 i 的特征向量 Xi，即方程 组 (I A)X = 0 的非零解，它们给出 T 的特征值 i 对应的特征向量关于基 {1, 2, …, n} 的坐标。
定义 2.1 设 T 是线性空间 Vn(F) 上的线性变 换，如果存在 Vn(F) 和数 F ， 0 ，使得 T().= ，则称数 为 T 的特征值，向量 为 T 的对应于特征值 的特征向量。 为分析线性变换 T 的特征值和特征向量的求 法，设 T 在 Vn(F) 的某一组基 {1, 2, …, n} 下 的矩阵为 A(A 不一定为对角阵)， 是关于 的特 征向量，即 T() = ，则有
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求矩阵的Jordan 标准形的两种方法
方法1. 利用矩阵的初等因子
原理: 由于矩阵的每一个初等因子与一个Jordan 块相对应, 反之亦然. 求出全部的初等因子即可得出其Jordan 标准形.
方法2. 利用特征值和特征向量可求的可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形. 原理: 在复数域上, 每一个矩阵都与一个Jordan 标准形相似, 即存在可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形.
例. 设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛
-----=411301621A , 分别用两种方法求A 的Jordan 标准形.
解: 方法1.
.)1(0
001000
1120011000123101100
014111102310411316212222
)1(232132⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--
→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+----→⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛----+--−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-++--λλλλλλλλλλλλλλλλ
λλλλλλr r r r r r A E 得A 的初等因子为2)1(,1--λλ, 于是A 的Jordan 标准形为
.
1100
1000121⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=J J
J 方法2.
(1) 首先求A 的特征值.
3)1(||-=-λλA E , 所以特征值为1,1,1.
(2) 求出相应的特征向量.
求解齐次线性方程组0)(=-X A E 的全部解:
.000000311311311622⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
---=-A E
相应的特征向量为)0,1,1(1-=α, )1,0,3(2=α. 1α,2α为特征值空间V 1的基.
(3) 求出一组基, 使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形.
由于A 不能对角化, 所以必存在一组基321,,βββ使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形. 再考虑到A 有两个线性无关的特征向量, 所以A 有一个二阶的Jordan 块. 即
11ββ=A , 322βββ+=A , 33ββ=A .
可见131,V ∈ββ, 需要求出向量322)(βββ=-E A 满足. 所以求解线性方程组 )()(132211V k k X E A ∈=+=-βαα. (*) 该方程组的增广矩阵为
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−
−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+---=-==0000000031126223113113113113622212121k k k k k k k k B k k k 取. 由于我们想要求一个向量122113V k k ∈+=ααβ使得线性方程组(*)有解, 所
以可取任何使得该方程组有解的k 1,k 2. 我们取了k 1=k 2=k. 事实上, 还可以直接取k 1=k 2=k=1. 即)1,1,2(213=+=ααβ, 这样就得到了(*)的解=2β(1,0,0). 再取)0,1,1(11-==αβ. 于是我们有:
11ββ=A , 322βββ+=A , 33ββ=A .
即
.110010001),,(),,(321321⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=ββββββA A A
令
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==100101211),,(321βββT ,
则
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-211110010001J J J AT T .。