极坐标题型归纳总结

坐标系

1. 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x , y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

的作用下，点P(x , y)对应到点P ' (x ', y '),

称0为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 2. 极坐标系的概念 (1)极坐标系

如图所示，在平面取一个定'—0,叫做极点；自极点 0引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长 度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.

(2)极坐标

① 极径：设 M 是平面一点，极点 0与点M 的距离|0M|叫做点M 的极径，记为 p

x '= • Z>0 , y '=叮 >0

②极角：以极轴Ox为始边，射线0M为终边的角xOM叫做点M的极角，记为ft

③极坐标：有序数对(p B)叫做点M的极坐标，记为M( p氛

一般不作特殊说明时，我们认为p> 0, B可取任意实数.

3. 极坐标与直角坐标的互化

设M是平面任意一点，它的直角坐标是(x, y)，极坐标是(p 9,则它们之间的关系为:

p= x2+ y2,

x= p cos 0,

y

y= psin 0; tan 0= ：X M 0 .

1若点P的直角坐标为(3,—Q3)，则点P的极坐标为 _____________ .

2. 圆p= 5cos 0—5』3sin 0的圆心的极坐标为________ .

n 2 n

3. 在极坐标系中A 2,—3 , B 4,—两点间的距离为______________

n

4. 在极坐标系中，圆___________________________________ p= 4sin 0的圆心到直线0= ^( 0€ R)的距离是

考点一平面直角坐标系下图形的伸缩变换基础送分型考点一一自主练透

［考什么怎么考］

2

1.求椭圆4 + y2= 1经过伸缩变换

,1

x = 2x,

y'= y

后的曲线方程.

x 2 y 2

X = ax a>0 ,

3.

将圆x 2 + y 2= 1变换为椭圆—+ y

= 1的一个伸缩变换公式为

0 求a , b 的值. 9

4

Y = by b>0 ,

考点二极坐标与直角坐标的互化 重点保分型考点一一师生共研 ［典题领悟］

在极坐标系下，已知圆 O : p= cos 0+ sin B 和直线l : p in —才=¥( P > 0,0 < 0< 2 n .) (1) 求圆O 和直线l 的直角坐标方程；

(2) 当0€ (0, n 时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标.

［冲关演练］

1、将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化.

① y 2= 4x ;

n 1

② e= 3( p€ R);③尸 2—cos e-

2、在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系•已知点 A 的

极坐标为.2,扌，直线的极坐标方程为 eos 0-n = a ,且点A 在直线上，求a 的值及直线的直角坐 标方程.

n

3、圆心C 的极坐标为 2, 4，且圆C 经过极点.

(1)求圆C 的极坐标方程；

⑵ 求过圆心C 和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程.

y 2.求双曲线C : x 2— 64 = 1经过0：

x '= 3x ,

2y '= y ,

变换后所得曲线c '的焦点坐标.

n

4、已知圆O i 和圆02的极坐标方程分别为

p= 2, p — 2 2 pc os 9— 4 = 2.

(1) 把圆O i 和圆02的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 求经过两圆交点的直线的极坐标方程.

(I )求C 2的方程;

(II )在以0为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线

A ，与C 2的异于极点的交点为

B ，求|AB| .

2、(20i7全国卷n )在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，

曲线C i 的极坐标方程为 pcos 9= 4.

(i)M 为曲线C i 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM||OP|= i6,求点P 的轨迹C 2的直角坐 标方程； n _

⑵设点A 的极坐标为2, 3，点B 在曲线C 2上，求△ OAB 面积的最大值.

［冲关演练］

考点三 曲线的极坐标方程的应用 重点保分型考点 ［典题领悟］

师生共研

1、在直角坐标系xOy 中，曲线C i 的参数方程为

x 2cos y 2 2sin

(为参数)，M 为C i 上的动点,

P 点满足

3与C i 的异于极点的交点为

2O M ，点P 的轨迹为曲线C 2.

x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线

C 2：

2sin , C 3： 2 3cos

(1) 求C 2与C 3交点的直角坐标；

(2) 若C i 与C 2相交于点A ，C i 与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值。

x 1 cos

2、在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为 ( 为参数)。以O 为极点，x 轴的非负

y sin

半轴为极轴建立极坐标系。 (1) 求圆C 的极坐标方程；

(2) 直线I 的极坐标方程是 p sin 0+ 3cos 0) = 3 , 3,射线OM : 0= f 与圆C 的交点为O , P ,与直线

3 I 的交点为Q ,求线段PQ 的长。

3、(2015全国卷I )在直角坐标系xOy 中，直线C i ： x = — 2,圆C 2： (x — 1)2 + (y — 2)2= 1,以坐标 原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求C 1, C 2的极坐标方程；

n

⑵若直线C 3的极坐标方程为 0= 4( p€ R)，设C 2与C 3的交点为M , ”，求厶C 2MN 的面积.

1在直角坐标系中，曲线

C i :

x t cos y tsi n

(t 为参数，t 丰0 ,其中0 Wa < n,在以O 为极点,