一、曲线的参数方程

x2 y
x 2, 2


这是抛物线的一部分。
练一练
1.将下列参数方程化为普通方程：
(1)
x 2 3 cos y 3 sin
x=t+1/t
(2)
x sin y cos 2
步骤：（1）消参；
(3)
y=t2+1/t2
（2）求定义域。
（1）（x-2）2+y2=9 （2）y=1- 2x2（- 1≤x≤1） （3）x2- y=2（X≥2或x≤- 2）
∴参数方程为
x 1 cos y 3 sin
(θ为参数)
练习.
(1)(x－1)2＋y2＝4上的点可以表示为 ( A.(－1＋cos, sin) B.(1＋sin, cos) C.(－1＋2cos, 2sin) D.(1＋ 2cos, 2sin) )
的圆心为_________，半径为______.
练习.
x 4 2 cos ( 2) (为参数) y 2 sin
(4,0) ，半径为______. 的圆心为_________
练习.
x 4 2 cos ( 2) (为参数) y 2 sin
解： (1)因为x t 1 1 所以 t x 1 代入 y 1 2 t 所以普通方程是y 2 x （ 3 x 1) 这是以（1， 1）为端点的一条射线（包括端点）
（2）把 x sin cos 平方后减去 y 1 sin2 得到 x 2 y 因为 x sin cos 2 sin 4 所以 x 2, 2 因此，与参数方程等价的普通方程是
例1. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
解:设M的坐标为(x,y),
y
由中点坐标公式得: 点P的坐标为(2x-12,2y)
∵点P在圆x2+y2=16上
O
P
M A x
∴(2x-12)2+(2y)2=16 即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4 ∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。
x r cos (3) y r sin
x r cos t (4) y r sin t
例1.
已知曲线C 的参数方程是 x 3t y 2t 2 1 ( t 为参数)
(1) 判断点M 1 (0,1)，M 2 (5,4)与曲线C 的位置关系；
将曲线的参数方程化为普通方程，有利 于识别曲线的类型。 曲线的参数方程和普通方程是曲线 方程的不同形式。一般地，可以通过消 去参数而从参数方程得到普通方程。如 果知道变数x,y中的一个与参数t的关系， 例如 t x f，把它代入普通方程，求 y g t 出另一个变数与参数的关系
3. 圆的参数方程概念
圆周运动是生活中常见的.当物体绕 定轴作匀速转动时，物体中各个点都作 匀速圆周运动.那么，怎样刻画运动中点 的位置呢？ y
r
M

o
M0
x
讲授新课
如果在时刻t，点M转过的角度是， 坐标是M(x,y)，那么＝t.设|OM|＝r， 那么由三角函数定义有 x y y cos t , sin t , r r M 即
y 2 sin
（1） x2+y2 = (3+cosθ)2+(2+sinθ)2
=14+4 sinθ +6cosθ=14+2 sin(θ +ψ). 13
∴ x2+y2 的最大值为14+2 13 ，最小值为14- 2
13 。
(2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+
sin 2 （θ+
x f t 那么 y g t
就是曲线的参数方程。
例2、把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？
x= t 1 (1) (t为参数) y 1 2 t
x= sin cos (2) ( 为参数). y 1 sin 2
x t 且以 2 y t
代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值 范围保持一致。否则，互化就是不等价的.
小
引入参数 普通方程 消去参数
结
参数方程
3. 圆的参数方程概念
圆周运动是生活中常见的.当物体绕 定轴作匀速转动时，物体中各个点都作 匀速圆周运动.那么，怎样刻画运动中点 的位置呢？
2 (4,0) ，半径为______. 的圆心为_________
参数方程的应用
(1)参数法求轨迹方程
例1. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么? y 解:设M的坐标为(x,y), P 圆x2+y2=16 M x =4cosθ O A x 的参数方程为 y =4sinθ ∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ) x =6+2cosθ 由中点公式得:点M的轨迹方程为 y =2sinθ ∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。
v=100m/s
OA
-500
x
问题探究
如图，一架救援飞机在离灾地面 500m高处以100 m/s的速度作水平直线 飞行.为使投放的救援物资准确落于灾 区指定的底面(不计空气阻力)，飞行员 应如何确定投放时机呢？ y
v=100m/s
OA
-500
x
M
1. 参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如 果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个 变数t的函数 x f ( t ), y g( t ),
1. 参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如 果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个 变数t的函数 x f ( t ), y g( t ), 并且对于t的每一个允许值，由方程 组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上， 那么方程就叫做这条曲线的参数方程， 联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称 参数.相对于参数方程而言，直接给出点 的坐标间关系的方程叫做普通方程.
分析: 在y=x2中，x∈R, y≥0， 在A、B、C中，x,y的范围都
发生了变化，因而与 y=x2不等价； 而在Ｄ中，
x sin t B、 2 y sin t
x t C、 y t
x t D、 2 y t
x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，
练习.
(1)(x－1)2＋y2＝4上的点可以表示为 ( D ) A.(－1＋cos, sin) B.(1＋sin, cos) C.(－1＋2cos, 2sin) D.(1＋ 2cos, 2sin)
练习.
x 4 2 cos ( 2) (为参数) y 2 sin
5
O1
P(x,y)
x a r cos y b r sin
v(a,b)
-5
o
P 1 ( x1 , y1 )
5
-5
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个与物理意义 或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数.
练习：指出下列参数方程中的参数
x t 1， x sin cos ， (1) (2) y 1 sin 2 . y 1 2 t；
( 2) 已知点M 3 (6, a )在曲线C上，求 a 的值.
2、参数方程和普通方程的互化
x cos 3, 由参数方程 ( 为参数)直接判断点M 的轨迹的 y sin 曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通 方程，则比较简单。
由参数方程得： cos x 3 2 2 2 2 ,sin cos ( x 3) y 1 sin y 所以点M 的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。
1 （D）抛物线的一部分，这部分过（–1，） 2
分析 一般思路是：化参数方程为普通方程 求出范围、判断。 解 ∵x2= (cos sin ) 2 =1+sin=2y，
2 2
∵
普通方程是x2=2y，为抛物线。 ，又0<<2，
x | cos 2 sin | 2 sin( ) 2 2 4
x r cos t ( t为参数) y r sin t
r
o

M0
x
讲授新课
x r cos t ( t为参数) y r sin t 这就是圆心在原点O，半径为r的圆 的参数方程.其中参数t y 有明确的物理意义(质点 M 作匀速圆周运动的时刻).
r
o

2 2 2 y 4 1 cos 4 sin y 2 sin 于是


y 2sin
x 3cos 因此椭圆的参数方程为 , （ 为参数） y 2sin
（2）把 y 2t 代入椭圆方程，得
x 2 4t 2 1 x 2 9 1 t 2 , x 3 1 t 2 9 4


因此椭圆的参数方程为
2 x 3 1 t , y 2t 2 x 3 1 t （t为参数） y 2t
和
思考：为什么（2）中的两个参数方 程合起来才是椭圆的参数方程？
练一练
曲线y=x2的一种参数方程是（ ）.
2 x t A、 4 y t
（2）. 参数法求最值
例2.已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0 上动点，求（1） x2+y2 的最值，（2）x+y的最 值，（3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1， 用参数方程表示为 x 3 cos 由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ），
0<x 2 ，故应选（B） 说明 这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法 是最好的方法。
x y 例3 求椭圆 1的参数方程。 9 4
2
2
(1)设x=3cos，为参数；
(2)设y=2t，t为参数.
解（1）把 x 3cos 带入椭圆方程，得到 由参数 的任意性，可取
9cos2 y 2 1 9 4
2.求参数方程
x | cos sin |, 2 2 (0 2 ) 表示 （ y 1 (1 sin ) 2
）
1 （A）双曲线的一支，这支过点（1， ）： 2 1
（B）抛物线的一部分，这部分过（ 1， ）；
1 2 （C）双曲线的一支，这支过点（–1， ）； 2
M0
x
讲授新课
考虑到＝t，也可以取为参数，于 是有 x r cos y r sin (为参数) y 这也是圆心在原点 O，半径为r的圆的参数 方程.其中参数的几何 意义是OM0绕点O旋转 到OM的位置时， OM0 转过的角度.
r
M

o
M0
x
圆心是(a,b),半径是r的圆的参数方 程是什么呢？
第二讲 参数方程
一 曲线的参数方程
问题探究
如图，一架救援飞机在离灾地面 500m高处以100Fra Baidu bibliotekm/s的速度作水平直线 飞行.为使投放的救援物资准确落于灾 区指定的底面(不计空气阻力)，飞行员 应如何确定投放时机呢？
v=100m/s
A
问题探究
如图，一架救援飞机在离灾地面 500m高处以100 m/s的速度作水平直线 飞行.为使投放的救援物资准确落于灾 区指定的底面(不计空气阻力)，飞行员 应如何确定投放时机呢？ y