第2章 光的衍射

(1)由中央亮条纹的中心到第一级暗纹的 角距离为多少? (2)单缝的宽度是多少?
• •
2.4 夫琅和费圆孔衍射
一. 实验装置
圆孔 透镜 L B S f1 观察屏
透镜 L
P
b
d C A f2
O
夫朗禾费圆孔衍射光强分布
衍射圆孔
透镜
屏
I0/I

0 sin
圆孔孔径
D
f’
爱里斑
夫朗禾费圆孔衍射照片

2 d sin

1)单缝衍射最小位置
sin u 0 u
2
b sin k (k 1, 2,)
2）多光束干涉主最大位置


d sin ຫໍສະໝຸດ Baidu 2 j
d sin j ( j 0, 1, 2,)
光栅衍射主最大光强： 3） 多光束干涉最小
sin 2 u I P N 2 A02 u 2 sin 1 ( j / d )
四个假设 :
① 波面S上各点发出的次波都有相同的初相位（令0 = 0) ② 次波是球面波: dE ~ 1 / r ③ 振幅与面元和倾角的关系:
dSA(Q) dE K ( ) r
④ 相位:
光程： nr
相位差：
2


2

nr
dS在P点激发的振动：
K ( ) A(Q )dS 2 dE C cos(t nr ) r K ( ) A(Q)dS C cos(kr t ) r 2 n 2 其中,波矢k=

2 d sin

P点的总光强为:
sin u I P I0 u
2
sin N / 2 sin / 2
2
单缝衍射因子
多光束干涉因子
I0= A02为只有一条缝存在时单缝衍射中央主最大光强 单缝衍射因子对干涉主极大起调制作用
u
b sin


R

R

R
三、艾里斑 中央亮斑的光强占整个入射光束光强的83.78%，这 个中央亮斑称为爱里斑。
爱里斑的半角宽度：
1 sin 1 0.61

R
1.22

D
爱里斑的线半径:
l tg1 f f ' 1 1.22

D
f'
夫朗禾费圆孔衍射光强分布
例2.2 如图,经准直的光束垂直投射到一光 屏上, 屏上开有两个直径均为d, 中心间距为D 的圆孔,且 满足D>d, 试分析夫琅禾费圆孔衍 • 射图样.
第二章 光的衍射 Chap.2 Diffraction of Light
2.1 惠更斯—菲涅耳原理
一．光的衍射现象 1. 衍射: 波通过障碍物时偏离直线传播而绕射的现象.
图2-1
光的单缝衍射波面
各种衍射物产生的衍射花样
衍射现象的特点：
（1）衍射光波不仅能绕过障碍物，使物体的几何阴影 失去了清晰的轮廓，屏上的明亮区域要比根据光的直线传 播所估计的大得多，而且还在边缘附近出现了明暗不均匀 分布现象。
二. 光强分布
J12 (2m) I P I0 m2
一阶贝塞尔函数 : J1 (2m)
级数形式 :
2 2 2 1 1 m 2 1 m3 1 m 4 2 2 I P A0 1 m 3 2! 4 3! 5 4! 2 2
障碍物到光源和观察点到光源的距离都是 无限的.
2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射
一、菲涅耳半波带
二．合振幅的计算
k愈大，K()愈小，所以ak随k值的增大而缓慢减小， 其相位逐个相反。
a1 ak Ak 2 2
k为偶数时负号， k为奇数时取正号。
三、圆孔的菲涅耳衍射 1、半波带数的确定
1 1 k ( ) r0 R
（2）光在衍射屏上的什么地方受到限制，在观察屏上 就在该方向扩展，限制愈严，扩展愈厉害，衍射效应愈明 显。 （3）当障碍物的线度接近光波波长时，衍射现象更加 明显。 2. 衍射现象明显的的条件 障碍物的线度接近光波波长。
3. 衍射与直线传播的关系
二、惠更斯原理
1.波面：波射线 2.惠更斯原理： 任何时刻波面 上的每一点都可作 为次波的波源，各自发出球面次波；在以后的 任何时刻，所有这些次波面的包络面形成整个 波在该时刻的新波面——“次波”假设。
1 2 3 4
sinθ sinθ sinθ
10 20
30
sinθ
k0
=±1.43 ≈± =±2.46 ≈±5 /2 ) ≈± 7 =±3.47 ( b 2 b …… 1 =± (k ) 2 b (k0 = 1,2, )
3 2 b
0
( ) b ( ) b
3 2 b
1.谱线的半角宽度:


Nd cos
半角宽度与乘积Nd成反比， Nd愈大， 愈小，谱 线愈窄，锐度愈好。
2、谱线的光强
IP N 2
五、谱线的缺级
干涉条纹主极大的强度受到衍射的调制
d sin j，j 0, 1, 2,
bsinθ =kλ，k=±1,±2,±3,
d sin j ' / N
（j’等于整数，不等于0和N的整数倍）
4）次最大: 两个相邻主最大值之间分布着(N-2)个次最大
例N 4
, d 4b
I0单
I单
单缝衍射光强曲线
-2
-1
0 N2
1
sin 2 ( N / 2) sin 2 ( / 2)
2
sin
(/b)
多光束干涉光强曲线
*七 菲涅耳直边衍射
半平面障碍物
2.3 夫朗禾费单缝衍射
一. 实验装置
二、衍射光强计算
1.强度的计算
A0 dx dE0 cos t b
三、衍射光强的分布
d sin 2 u 2sin u (u cos u sin u ) 0 2 3 du u u
sin u 0 tgu u
(5)缝宽对衍射花样的影响



b

b
b 0
几何光学
1.限制和扩展 －衍射反比率 2.光学变换放大
中央主极大值的半角宽度与缝宽b成反比
例:
• 波长为=632.8nm的He-Ne激光垂直地 投射到一单缝上。现有一焦距=50cm的凸 透镜置于单缝后面，在观察屏上测得中央 亮条纹的线宽度为L=3cm，试求：
七. 干涉和衍射的区别和联系
干涉和衍射两者的本质都是波的相干叠加的结 果，都满足惠更斯-菲涅耳原理. • 区别:1)参与相干叠加的对象不同。干涉是有限几 束光的叠加，而衍射则是无穷多次波的相干叠加， 前者是粗略的，后者是精细的叠加。
-8 光栅衍射 光强曲线
-4
0 I N2I
0单
4 单缝衍射 轮廓线
8
sin
(/d)
-8
-4
0
4
8 sin
(/d)
光栅衍射光强分布
三、光栅方程 1、平行光垂直入射到光栅
d sin j ( j 0, 1, 2,)
2、平行光倾斜入射到光栅 光栅方程 : d (sin sin 0 ) j
d (sin sin 0 ) j ( j 0, 1, 2,)
例:
用一个每毫米500条缝的衍射光栅观察
钠光谱线(589nm),问平行光(1)垂直入射
和(2)以 30o 角入射时,最多能观察到第几级
谱线? 在不考虑衍射缺级时最多能看到多
少条谱线?
四、谱线的半角宽度与亮度
夫琅禾费双圆孔衍射图样
2.5 平面衍射光栅
• 光栅: 任何具有空间或光学性质（如折射率、透射
率等）周期性的衍射屏都叫做光栅。 • 透射光栅: 在一块透明的屏板上刻有大量相互平行、 等宽等间距的刻痕，这样一块屏板就是一种透射 光栅，其中刻痕被认为是不透光部分。 • 反射光栅: 在一块光洁度很高的金属平面上刻出一 系列的等间距平行槽纹，就是一种反射光栅。
能解释：直线传播、反射 、折射、晶 体的双折射等； 不能解释：波的干涉现象（未涉及波长 等）； 而且由惠更斯原理还会导致有倒退波的 存在，而实际上倒退波是不存在的。
三、惠更斯-菲涅耳原理
改进：根据“次波”假设 ，补充了振幅相 位的定量表示式，增加了“次波相干叠加”。
1. 惠更斯－菲涅耳原理
• 波面 S 上每个面积元 dS 都可以看成新的波 源，它们均发出次波。波面前方空间某一点 P 的振动可以由 S 面上所有面积元所发出的 次波在该点叠加后的合振幅来表示。
3、菲涅耳波带片的功用
面积大、轻便、可折叠，加工简单；长焦距的波带片不 难制作；波带片的焦距随波长的增加而缩短，正好与玻璃透 镜的焦距色差相反，两者配合使用，有利于消除光学系统的 色差。
六、直线传播和衍射的联系
光的传播总是按照惠更斯—菲涅耳原理的方式进行。 衍射现象是光的波动特性最基本的表现。光的直线传播不 过是衍射现象的极限表现而已，在适当条件(光束截面积足 够大)下，可以不考虑衍射花样。
( j 0, 1, 2,)
式中0表示入射光方向与光栅平面法线间的夹角，其角度 均取正值。与0在法线同侧时[图 (a)]，上式左边括号中取 加号；在异侧时取减号[图 (b)]。
(a)
(b)
若规定入射线或衍射线在光栅法线上方时角度为正，入射
线或衍射线在光栅法线下方时角度为负，则光栅方程可写 成：
m
R sin
1）中央主最大值的位置 0=0
sin 1 0.610

R
( 第一最小)
2）最小值的位置
sin 2 1.116
sin 3 1.619

R

R

其它最大值的位置:
sin 10 0.819
sin 20 1.333
sin 30 1.847
(1)中央主最大的位置: 由sinu=0，即sin0=0,
0 0
(2)单缝衍射最小值的位置: b sin k k , 由sinu=0， uk
b sin k k
(k=1，2，3，…)
（3）单缝衍射次最大值的位置：
yu u u u u u „„ y tgu 0 1.43 2.46 3.4 4.48
单 缝 衍 射 次 最 大 值 的 位 置
四.夫氏单缝衍射图样的特点
(1) 各最大值光强不等,中央主最大光强最强, I0=A02, 各级次 最大依次减弱. 最亮的次最大光强还不到主最大光强的5%. (2) 角宽度和条纹线宽. (3)暗纹等间距，次最大不是等间距. （4）白光作光源：中央白，边缘为彩色.
当

d j 时, b k
,出现缺级.
缺级的亮纹级次
d j k b
衍射缺级(N=6，d=3b )
六、双缝衍射 双缝衍射是光栅衍射N=2的情况，是夫琅禾费衍射。
sin 2 u sin 2 sin 2 u I P A02 2 2 [4 A02 cos 2 ( / 2)] 2 u sin ( / 2) u
ak 1 a ak 1 A 2 2 2
菲涅耳圆屏衍射
圆 屏 几 何 影 子 的 中 心 永 远 是 亮 的
五. 波带片
1、波带片的原理
2、波带片的焦距 1 1 1 2 r0 R Rhk k
R f r0 k
2 hk
1 1 1 r0 R f

n
和n分别为真空和介质中的波长.
波面S在P点激发的合振动：
K ( ) A(Q) E C cos(kr t )dS r S
——菲涅耳衍射积分
四. 衍射的分类
1) 菲涅耳衍射－近场衍射：障碍物到光源和 观察点到光源的距离都是有限的,或其中之 一是有限的. 2) 夫琅禾费衍射－远场衍射：
Rh
2
菲涅耳圆孔衍射
2、分析
能观察到衍射花样的条件：光源的线度应小 到使光源上某些点所产生的亮条纹不致于落到
另外一些点所产生的暗条纹上去。
• 例: 点光源s发出波长为550nm的光照到直
径为4.2mm的小孔上, 孔距光源6m, 屏距孔
5m. 试问屏上看到中央点的光强比无障碍物
时大还是小?
四.圆屏的菲涅耳衍射
透射光栅
反射光栅
一、实验装置和定性分析
二.光栅衍射的光强分布
在观察点P处的合振动:
E dE
0
b
d b
d
dE
( N 1) d b
( N 1) d
dE
合振动的振幅：
sin u sin( N / 2) AP A0 u sin( / 2)
b sin u