画法几何课件第4章+投影变换

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《画法几何-投影变换》课件

H1
b
V
a1(b1)
B
a
b
X
A
b
H
a
a
X
换H面
正平线
“铅垂线”
a
b
换V面
水平线
“正垂线”
a1(b1)
将一般位置面变为投影面垂直面
a
X
取水平线
一般位置面
“正垂面”（α）
换V面
a
取正平线
一般位置面
“铅垂面”（β）
换H面
b d c
b d c
b1 a1(d1)
c1
X1
将投影面垂直面变为投影面平行面
c
a
X
换H面
换V面
一般位置线
“水平线”（实长，β）
“铅垂线” “正垂线”
把一般位置面变为投影面平行面
b
a
b1
c
a1
X
b c1
X1
X2
a
c
取水平线
一般位置面
“正垂面”（α）
换V面
换H面
b2
a2
c2
实形
“水平面”（实形）
把一般位置面变为投影面平行面
取水平线
一般位置面
“正垂面”（α）
换V面
换H面
“水平面”（实形）
例已知平行二直线AB、CD之间的距离为15，完成CD的水平投影。
a1
b1 c1
a
c
d1
b d
c a
d
b
a 2(b 2) c 2(d 2)
例：等腰三角形ABC，底边AB，平面的α角为30°，高的实长为L，补全其投影。有几解？
c
a

画法几何课件第四章平面的投影及投影变换应用

§4-3 平面内的直线和点
一、直线在平面内的几何条件二、平面内的一般位置直线
三、平面内的投影面平行线
四、平面内对投影面的最大斜度线五、平面内的点
§4-1 平面的表示法
一、直线在平面内的几何条件
通过一平面上的两个点；
通过平面上一点同时又平行该平面上另一直线。
M N
平行
§4-1 平面的表示法
Z
V
Z
X
O
PW
YW
P
X o
PW
Y
PH
YH
PH
§4-1 平面的表示法
二、投影面平行面
3.侧平面投影特点： W 投影反映实形；
H 投影和 V 投影积聚为直线；积聚投影垂直于OX 轴。
V
Z
实形
Z
X
o Y
X
O
YW
YH
§4-1 平面的表示法
二、投影面平R RV
X
Z
RV
O
X
o
a‟ c‟
迹线表示平面
a‟ 30° x o
b‟ x
d‟
30°
RV
o
d b a c
§4-1 平面的表示法
RH
a
一、投影面垂直面
例2 包含AB（ab，a‟b‟ ）作铅垂面。
b‟
a‟
X
c‟ b c O
a
§4-1 平面的表示法
一、投影面垂直面
例3 完成侧垂面的水平投影。
1„ 2„ Z 1“ 2“ 3„ 6„ 1 2 4 3
投影分析：
侧垂面注意：
4„
X 5„
4“ 3“
5“ 6“ YW
V、H 投影的

画法几何点、直线与平面的投影PPT课件

详细描述
在工程制图中，我们需要一种能够真实反映物体形状和大小的投影方法。由于正投影不改变点的形状、大小和方向，只是改变点的可见性，因此它成为工程制图中常用的投影方法。通过正投影，我们可以准确地绘制出物体的三视图，从而为后续的施工和制造提供准确的依据。
点的斜投影
总结词
点的斜投影是指光线倾斜于投影面时，点的投影。
详细描述
当光线倾斜于投影面时，点的投影是一个线段，该线段的长度等于点到投影面的垂直距离，方向与光线方向一致。斜投影会改变点的形状和大小，但不会改变点的方向。在某些情况下，斜投影可以用来表示物体的轮廓或表面纹理。
点的斜投影
总结词
斜投影可以用于表示物体的轮廓或表面纹理。
详细描述
由于斜投影会改变点的形状和大小，但不会改变点的方向，因此它可以用来表示物体的轮廓或表面纹理。在绘制建筑物的外观或机械零件的表面细节时，斜投影可以提供更丰富的视觉效果和更准确的表达方式。通过调整光线的角度和距离，我们可以更好地展示物体的形态和质感。
点的中心投影
总结词
点的中心投影是指光线通过一个固定点投射到投影面上时，点的投影。
详细描述
当光线通过一个固定点投射到投影面上时，点的投影是一个圆或椭圆，其形状取决于点与投影面的距离以及光线的角度。中心投影可以用来绘制圆形或多边形的物体，例如球体或圆柱体。它也可以用于绘制具有复杂曲面的物体，如人物或动物的面孔。
点的中心投影
要点一
总结词
中心投影可以用于绘制圆形或多边形的物体以及具有复杂曲面的物体。
要点二
详细描述
中心投影是一种特殊的投影方法，它通过将光线通过一个固定点投射到投影面上来形成点的投影。由于其特殊的性质，中心投影可以用来绘制圆形或多边形的物体，如球体或圆柱体等。同时，它也可以用于绘制具有复杂曲面的物体，如人物或动物的面孔等。通过调整光线角度和距离，我们可以准确地绘制出物体的三维形态和细节特征。

4投影变换全版.ppt

X1
变投影面的位置使其有利于解题。
..........
a'
c'
O a(c)
O1
c1'
b1' V1
a1'
7
§4－2 换面法
二、基本条件
建立新投影面的条件：
（1）新投影面要垂直原有的一个投影面。
（2）新投影面要处于最有利于解题的位置。
a' A
V
c' C b'
a
实形 a1'
V c1'
b1' B
X
..........
1223
基本作图 1、把一般位置直线变换成投影面的平行线
b a
X
b1 V1
O O1
B
a1
bA
X1
aH
a
V X
H
a
b
一次
O b
b1
a1
实长
.......... 13
基本作图 2.把投影面的平行线变换成投影面的垂直线
V1
V b a A
O B a1 (b1) O1
a
V X
H a
a X
第四章投影变换
§4－1 投影变换的目的和方法 §4－2 变换投影面法（换面法） §4－3 旋转法 §4－5 度量问题和定位问题举例
.......... 1
§4－1投影变换的目的和方法
特殊位置的直线：可直接反映实长、倾角问题
a
b
a(b)
X
a
实长
b
水平线
O
X
b
实长
..........

画法几何投影变换法换面

四、解题时一般要注意下面几个问题：
⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体与原投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几何元素（点、线、面等）。
⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择正确的解题思路与方法。
⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变换前后的关系，既要在新投影体系中正确无误地求得结果，又能将结果返回到原投影体系中去。
垂直面。
思考：
X
若变换H面，需在面
内取什么位置直线？
正平线！
d b
A
a
c
D B
d b H
P1 C c1
a1 d1
c
b1
X1
例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。
b
a
d
作图过程：
★ 在平面内取一条水平
c
XV H
线AD。
a
b
★ 将AD变换成新投影
d.
面的垂直线。
c
H
●α
●
●
反映平面对哪
X1 P1 c1 a1 d1 b1 个投影面的夹角？
15 b2
a2 e2
e1
d2
c2
e d
ed
小结
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 ——换面法。
一、换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。
二、换面法的关键是要注意新投影面的选择条件，即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系，同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规律继续有效。
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。

画法几何与工程制图平面的投影课件

04
投影变换
换面法
换面法是一种通过改变投影面来获取新视图的方法。
换面法是通过选择一个新的投影面来替代原有的投影面，从而改变投影方向和投影方式，以获得更直观、更清晰的视图。在工程制图中，换面法常用于解决复杂的三维空间问题，帮助工程师更好地理解和分析物体的结构和形状。
旋转法
旋转法是通过旋转物体或投影面来获取新视图的方法。
05
曲线和曲面
曲线
平面曲线
在二维平面上生成的曲线，如圆、椭圆、抛物
线等。
立体曲线
在三维空间中生成的曲线，如圆柱螺旋线、圆
锥螺旋线等。
参数曲线
通过参数方程定义的曲线，如正弦曲线、余弦
曲线等。
பைடு நூலகம்
极坐标曲线
通过极坐标系定义的曲线，如极坐标方程下的
圆、椭圆等。
曲面
01
02
03
04
二维曲面
由二维图形生成的表面，如球面、椭球面等。
平面与拉伸曲面相交
拉伸曲面是由一个二维图形沿某一方向拉伸形成的，当平面与拉伸曲面的法线方向垂直时，可以得到直线或点；当平面与拉伸曲面的法线方向平行时，可以得到抛物线或双曲线。
06
立体的投影
平面立体的投影
棱柱体的投影
棱柱体由两个平行的多边形底面和若干个直棱柱组成，其投影为两个多边形的投影及若干个直线的投影。
维和创新能力。
课程内容涵盖了画法几何、投影理论、制图标准、工程实例等多
个方面。
投影法分类
正投影法
中心投影法
将物体放在投影面上，通过光源将物体的轮廓投影到投影面上，具有真实反映物体的形状和大小的特点。
将物体放置在投影中心，通过光源将物体的轮廓投影到投影面上，具有表现物体立体感的特点。

画法几何与工程制图第四章直线的投影

[例2]已知侧平线CD上一点E的正面投影e′,求e。
第五节两直线的相对位置
一、平行两直线二、相交两直线三、交叉两直线
[例4-5] [例4-6] [例4-7]
一、平行两直线
如果空间两直线互相平行，则此两直线的各同面投影必互相平行。若两直线的各同面投影互相平行，则此两直线在空间一定互相平行。
第四章直线的投影
第一节直线的投影
第二节直线与投影面的相对位置
第三节线段的实长及其对投影面的倾角第四节直线上的点第五节两直线的相对位置直线的投影
第六节垂直两直线的投影
第一节直线的投影
一、直线的投影一般仍为直线二、直线的投影可由直线上两点的同面投投影确定
一.直线的投影一般仍为直线

W
H
三、投影面垂直线
铅垂线正垂线
侧垂线

垂直于W 面的线

小结：
⑴.

投影面垂直线的投影面上的投影集聚成一点；
W
⑵ .投影面垂直线在其它两个投影面上的投影分别垂直于
相应的投影轴，且反映该直线段的实长。
H
第三节
线段的实长及对投影面的倾角
一、线段的实长及其对H面的倾角α
二、线段的实长及其V面的倾角
C
D
c( d )
直线的投影一般仍为直线
特殊情况下积聚为一点
二.直线的投影可由直线上两点的同面投影确定

第二节直线与投影面的相对位置
一、一般位置直线二、投影面平行线三、投影面垂直线
平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）投影面垂直线侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）

画法几何-直线的投影ppt课件

（3）侧面投影积聚成一点。
可编辑课件PPT
15
投影面垂直线的投影特性归纳为：
（a）铅垂线
（b）正垂线
（c）侧垂线
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。
② 另外两个投影，反映线段实长；且同时平行于一
个投影轴或分别垂直于相应的投影轴。
可编辑课件PPT
16
判断下列直线是什么直线？
a’
X a
b’ 0 X
Z
a′
c′
b′
b〞 c〞
a〞
c0 10
b0
O
可编辑课件PPT
25
【例题】如图，三棱锥的棱线点K和M的正面投影，求其余投影。
已知
s’
s”
s’
s”
k’ m’
b’
(m”)
k” b”
k’ m’
b’
m
s
s
k
k
b
b
方法一，利用从属性
方法二，利用定比性
可编辑课件PPT
b”
26
【例题】已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。
可编辑课件PPT
b
38
【例题】已知直线AB的V投影，且β=30° 求AB的H投影。
△YAB
a′
β
b′
a
量取△YAB
b
可编辑课件PPT
39
【例题】已知直线AB的V投影，且α=30°，求AB的H投影。
b′
直线AB真长
60°
ΔzAB
a′
α
a
直线的H投影长
以直线的H投影长
b
为半径，作圆弧
可编辑课件PPT
b a
水平线

《画法几何》课件——4平面及其表示方法

单选题 2分 1、正垂面的正面投影积聚为直线。
B 正确 A 错误
提交
单选题 2分 2、如图所示，已知平面的水平投影和侧面投影，则平面为：
A 水平面 B 侧平面 C 正垂面 D 侧垂面
提交
投影面平行面
主讲人
平面的投影
平面对投影面的各种相对位置
平面倾角：是指平面与某一投影面所成的二面角，分别用
C
B
K A L
F N
两一般位置平面相交求交线的方法示意图
• 求两平面的交线
c′
k
1
m
m
k
1
c
b′ PV n 2 l
QV e
a′
b2
e a l
两一般位置平面相交，求交线步骤：
1．用求直线与平面交点的方法，作出两平面的
两个共有点K、E。
2．连接两个共有点，
画出交线KE。
注意：交线为粗实线。
• 两平面相交，判别可见性
❖ 水平投影积聚成一条直线 abc
❖ V和Ｗ投影都是类似的三角形△abc, △abc ❖ 反映倾角、γ角的真实大小
侧垂面的投影特性
❖ 侧面投影积聚成一条直线abc ❖ V和H投影都是类似的三角形△abc, △abc ❖ 反映倾角α 、角的真实大小
α
❖ 平面在与其所垂直的投影面上的投影积聚成倾斜于投影轴的直线,并反映该平面对其他两个投影面的倾角 ❖ 平面的其他两个投影都是面积小于原平面图形的类似形
●b
a● ●c
c
●
● b′ ●b
●c
直线及线外一点
两平行直线
两平行相交
平面图形
9
用迹线表示平面 V
X
Z

04基本体的投影

(1)圆柱面的形成圆柱面由直线AA1绕与其平行的轴线回转而成。
(2)投影当圆柱的轴线垂直于H面时,圆柱的顶面、底面是水平面,所以水平投影反映圆的实形,其正面投影和侧面投影积聚为直线,直线的长度等于圆的直径;由于圆柱的轴线垂直于水平面,圆柱面的所有素线都是铅垂线,故其水平投影积聚为圆,与上下底面圆的投影重合;在圆柱的正面投影中,前后两半圆柱面的投影重合为一矩形,矩形的左右两边分别是圆柱面最左、最右素线的投影,这
4.2.2.2 圆锥
圆锥(cone)由圆锥面和底面所围成,如图4-11(a)所示。
(1)圆锥面的形成圆锥面由直线SA绕与它相交的轴线回转而成, 其上所有素线均交于锥顶S点,且面上任一点与顶点的连线均为属于圆锥表面的直线。
(2)投影当圆锥的轴线垂直于H面时,底面为水平面,水平投影反映实形,其正面投影、侧面投影均积聚成直线;圆锥面在水平面上的投影为圆内区域,与底面的水平投影重影,另两个投影为等腰三角形,三角形两腰为锥面的转向轮廓线的投影;最左和最右素线
通常把棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆球、圆环等简单立体称为基本几何体,简称基本体(elementary soild)。
4.2.1 平面立体及其表面上的点和线
平面立体的表面都是平面,平面由直线围成,所以绘制平面立体的投影可归结为绘制各种直线、平面及它们之间相对位置的投影,再判别可见性,将可见轮廓线的投影画成粗实线,不可见轮廓线的投影画成细虚线,当粗实线和细虚线重合时画粗实线,当轮廓线与细点画线重合时画轮廓线。
[例4-2] 已知图4-7所示棱锥外表面上K点的正面投影k'(可见),试作K点的其他投影。
【作图】
方法一:如图4-7(a)所示。
① 过锥顶S点和K点作一辅助线SD,即在视图上作s'k'延长交b'c'于点d'。

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2'1
d'1
d2 a2b2 ⅠⅡ∥H2 ⅠⅡ CD
1'1
12 22 c2 d2
1.将一般位置平面变换为投影面的垂直面
b
a
d
b1
c
V
D
X
d1H1 H
a1
a
b d
c1
c
d
c
一次换面即可
[例题5] 求点S到平面ABC的距离
k1
s1
距离
[例题6]已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。
e
d e
4.2.2 点的换面
1.点的一次换面
V/H V1/H
V1 a1
X1
V
a
V1 a1
A
X
a
a H
a1
X
V H
a
变换V面时点的投影作图
点的投影变换规律
（1）点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。（2）点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。
点在V/H1体系中的投影 V/H 体系变为V/H1 体系
➢第四章投影变换
基本要求 §4-1 概述 §4-2 换面法
基本要求
（1）掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。（2）掌握用换面法求线段实长、平面图形实形及其对投影面的倾角基本作图方法。（3）掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题。
4.1 基本概念
当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与投影面的倾角，当它们处于垂直位置时，其中有一投影具有积聚性。
e1
c2
e d
有两解
ed
[例题8] 已知K 点到直线AB的距离为20，求点K 的正面投影。 b’
a’ k’
X
k
a
X1
k1’
a1’
O
b
O1 20mm O2
k2 b1’ a2b2
X2
a1
a1
V/H1 体系称为新投影体系；V/H 体系为旧投影体系。 X1称为新投影轴；X称为旧投影轴。 H1称为新投影面； H称为旧投影面；V称为不变投影面。
2.点的两次换面
第一次变换时的旧、不变、新投影
旧轴新轴
a2 a2
旧投影不变投影新投影
V/H V1/H V1/H2
值得提醒的是:
在多次变换中，必须遵照交替换面的原则。如:
d
N
有两解
5. 将投影面垂直面变换为投影面的平行面
V
c
c1
V1
a1 b1
A
C a b
X B b
X1
a
H
一次换面即可
c1 b1
a1
6.将一般位置平面变换为投影面的平行面
a2
b2
实形
d2 c2
d
d
需要二次换面
[例题7] 已知E 点在平面ABC上，距离A、B 为15，求点E 的投影。
15 b2
a2 e2
k
[例题3] 求两平行直线AB与CD间的距离
b
b
a
提示
a
d
c
XV
H
XV H
d
b
b
a
c
a2 b2
a
作图
b
a
d
c
XV H
d
b c a
c1
距离
d1
c2 d2 a2 b2
[例题4] 求交叉两直线AB与CD的公垂线
b 1
DA
Ⅱ
2
C
Ⅰ
c2 22
d2
B
12 H2
1 2
c2
AB H2
22
12 ⅠⅡ AB
c'1
4.2.1 基本概念 4.2.2 点的换面 4.2.3 基本作图 4.2.4 换面法应用举例
4.2.1 基本概念
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。
1. 新投影体系的建立
V1
a1
c1 b1
当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影就不具备上述的特性。
投影变换就是将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以简便地解决它们的定位和度量问题。
b a
a
b
两点之间距离
c b
a
a
c
b
三角形实形
c a
b
d dc
a
b
两平面夹角
c
d a
b
b
a
d
c
直线与平面的交点
4. 2 换面法
a1 b1
b
a1 b1
b 一次换面即可
3.将一般位置直线变换为投影面的垂直线
X2
a2 b2
b1
V1
a1
X1 需要二次换面
a2 b2 一般位置直线变换为投影面垂直线的作图
[例题2] 求点C 到直线AB 的距离
空间分析
作图
c1 k1∥ X2
a1 c1
k1 b1
k'
b'2 k'2
a'2
c'2
距离
V/H V1/H V1/H2 V3/H2 V/H V/H1 V2/H1 V2/H3
4.2.3 基本作图
1.将一般位置直线变换为投影面的平行线
b1
a1
b1
a1
一次换面即可
将一般位置直线变换为V1面的平行线
[例题1] 将一般位置直线变换为H1面的平行线
a1
b1
2.将投影面平行线变换为投影面的垂直线
c
c1
a
b1
b
X
a1
bc
X1
X1
a
V/H 体系变为V1/H 体系 V1/H 体系称为新投影体系；V/H 体系为旧投影体系。 V1称为新投影面；V称为旧投影面；H称为不变投影面。 X1称为新投影轴；X称为旧投影轴。
2. 新投影面的选择原则
V1∥AB VC1 H
新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： (1) 新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。 (2) 新投影面必须垂直于于原投影体系中的一个不变投影面。