有限元分析第2章1节直梁的有限元分析
有限元分析基础-PPT资料194页
为了建立结构的平衡条件，对结构进行整体分析， 尚需要建立一个对每个单元都适用的统一坐标系，即结
构坐标系或称之为整体坐标系、总体坐标系。
图3-3 坐标系示意图
29
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.1.3 向量表示
在有限单元法中力学向量的规定为：当线位移及相 应力与坐标轴方向一致时为正，反之为负；转角位移和 力矩，按右手法则定出的矢量方向若与坐标轴正向相一 致时为正。对于任意方向的力学向量，应分解为沿坐标 轴方向的分量。
时的单元内的轴向位移状态，故称为轴向位移形函数。
33
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.2.2 梁单元平面弯曲的移分 i ， i ， j ， j ，由材料力学知,各截面的转角:
v x
故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个
待定系数 1， 2， 3 ， 4 的多项式 v (x )12 x3 x 24 x 3
12
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性
结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的 应变，在其受到任意载荷作用时其形状和位置没有发 生刚体位移时，称之为几何不变结构或几何稳定结构， 反之则称为几何可变结构或几何不稳定结构。几何可 变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何构造分 析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。
单元结点位移条件
当 x0 时
性质方程。 (2) 变分法
直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极植问 题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算 方法。 (3) 加权余量法
直接从控制方程中得到有限单元方程，是一种近似 解法。
5
第一章 概述
第二章 有限元分析基本理论
第二章 有限元分析基本理论有限元法的基本思路是将一个连续求解区域分割成有限个不重叠且按一定方式相互连接在一起的子域(单元)，利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。
单元内的场函数通常由未知场函数或其导数在单元各个节点的数值和其插值函数来近似表示。
这样，未知场函数或其导数在各个节点上的数值即成为未知量(自由度)。
根据单元在边界处相互之间的连续性，将各单元的关系式集合成方程组，求出这些未知量，并通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到全求解域上的近似解。
有限元将一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题进行求解。
如果将区域划分成很细的网格，也即单元的尺寸变得越来越小，或随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断被改进。
如果单元是满足收敛要求的，近似解最后可收敛于精确解。
2.1 有限元分析的基本概念和计算步骤首先以求解连续梁为例，引出结构有限元分析的一些基本概念和计算步骤。
如图2-1，连续梁承受集中力矩作用。
将结构离散为三个节点，两个单元。
结构中的节点编号为1、2、32.1.1单元分析在有限元分析过程中，第一步是进行结构离散，并对离散单元进行分析，分析的目的是得到单元节点的力与位移的关系。
单元分析的方法有直接法和能量法，本节采用直接法。
从连续梁中取出一个典型单元e ，左边为节点i ，右边为节点j 。
将节点选择在支承点处，单元两端只产生转角位移e i θ、ej θ，顺时针转动为正。
独立的单元杆端内力为弯矩i m 、j m ，顺时针为正。
记：{}e j i eu ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=θθ为单元e 的节点位移向量；{}ej i em m f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=为单元e 的杆端力向量。
根据结构力学位移法可得如下平衡方程：⎪⎭⎪⎬⎫+=+=e j e e i e e j ej e e i e e i k k m k k m θθθθ22211211 (2-1)式中：ee e e ee i k k i k k 2412212211====，lEIi e =，EI 、l 分别为单元e 的抗弯刚度和长度。
有限元分析实例
有限元模态分析题目一：有一直梁尺寸如图1所示，材料为黄铜，要求用命令流求出该梁的第一、二阶自由伸缩模态，划分网格时要求每个单元格为1mm（六面体，长方体）。
图1梁有限元分析图：直梁一阶自由伸缩模态f=21560Hz直梁二阶自由伸缩模态f=43090Hz注：模态图中白色网格部分是原始静止位置***** INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE *****SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE1 16324. 1 1 12 18484. 1 2 23 21560. 1 3 34 23131. 1 4 45 25635. 1 5 56 26811. 1 6 67 34727. 1 7 78 36216. 1 8 89 36252. 1 9 910 43090. 1 10 10直梁命令流：finish/clear/PREP7et,1,solid45mp,dens,1,8400 !材料密度mp,ex,1,1.0e11 !输入弹性模量mp,ey,1,1.0e11mp,ez,1,1.0e11mp,PRXY,1,0.3 !泊松比mm=0.001block,0,80*mm,0,4*mm,0,6*mmvsel,all/Replotnummrg,kp,1.0e-6vsel,allmshkey,1 ! key: 0 自由网格划分 1 映射网格划分 2 如果可能的话使用映射，否则自由mshape,0 ! key: 0 四边形（2D），六面体（3D） 1 三角形(2D), 四面体(3D)esize,0.001vmesh,all/Replotfinish!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!/soluanty,modalmodopt,LANB,10,15000mxpa,10allselsolveFINISH/post1!set,list,2!set,1,1pldisp,2 !/dscale,1,0.00045/replot题目二：有一圆环尺寸如图2所示，材料为黄铜，要求用命令流求出该梁的第二、三、四阶面内弯曲模态，划分网格时要求每个单元格为1mm（六面体，长方体）。
直梁的有限元分析ppt课件
26
K 为结构的整体刚度矩阵，也称总刚度矩阵
12 6l 12 6l
0
0 0 0
6l
4l 2
6l
2l 2
0
0
0
0
12 6l 12 12 6l 6l 12 6l 0 0
K
2EI l3
6l 0
2l2 6l 6l 4l2 4l2 0 12 6l
1
1
2
单元编号 1 节点：1，2
2
2
3
单元编号 2 节点：2，3
3
3
4
单元编号 3
节点：3，4
7
划分单元的原则（设置节点的原则）
M
1
2
1
2
3
4
3
• 几何形状发生改变处 • 外载荷规律发生改变处（含约束） • 边界点 • 计算关心的位置 • 单元尺寸要均匀
8
二、单元分析
M
1
2
1
2
3
4
3
截面法：
qi i
6l 2l 2 6l 3l 4l 2 2l 2 3l l2
0 0 6 3l 6 3l
0 0 3l l2 3l 2l 2
f
f2 2 f3 3 4 4
0
Z
24 0 12 6l 0 f2
m0
0
2EI l3
0
12
6l
8l 2 6l 2l 2
4l 2
6l
2l 2
0
0
0 0 f1 0
0
0
0
1
0
MZZ223
Z M 0
M3
有限元-梁系结构的有限元法
4x l
3x 2 l2
) i
x l
(3x l
2)
j
容易验证 ： x 0： u ui v vi i x l： u u j v v j j
(3-1a)，(3-1b)或(3-2a)，(3-2b)称为平面梁单元的位移插值 函数
二、建立节点位移与节点力关系
1、 轴向节点力
E Fx A
拉压杆问题的回顾
1、杆的基本概念：
杆--轴线为直线的细长构件，沿轴线承受 拉（压）载荷； 杆模型--平面假设将杆简化为一维问题， 可由杆轴线代表； 杆变形特点--只与轴向位移相关；
拉压杆问题的回顾
2、杆有限元的基本概念
节点位移—轴向位移，每节点1个自由度； 节点力—轴力； 结构离散：轴线划分为若干直线段； 单元分析：建立节点力与节点位移关系； 节点平衡：对每一节点，建立相关节点力与 外力的平衡关系，得到一线性方程组； 约束处理：引入已知节点位移，使方程组可解
梁系结构实例
2、平面梁系
1、节点力平衡的需求--单元节点力（在 局部坐标系中）向整体坐标系的变换； 2、单元分析的需求--节点位移（在整体 坐标系中）向局部坐标系的变换； 3、结构对称性的利用（练习，作业3）。
l2 2EI
l
0
Vi
i
u
j
（3-4）
6EI l2
4EI
V
j j
l
（3－4）式是用矩阵表示的梁节点力与节点位移的关系
式（3-4）还可写成：
F
e
K e
e
（3-5）
e
F
——称为局部坐标下的节点力列向量
e ——称为局部坐标下的节点位移列向量
e
K
有限元分析 第二章 平面问题的有限元方法
A：
梁结构的离散：取一段梁为一单元 单元类型：简单直线段 离散原则：几何上真实模拟原结构及其变形
平板的离散：取一小面积板为一单元 单元类型：由最基本的平面图形构成 三角形、四边形（如正方形、长方形、梯形） 而五边形、圆、扇形不宜作为单元。 离散原则：几何上真实模拟原结构（无缺陷、重叠） 模拟变形状态
(2.3)
对于平面问题：
u x x v y y u v xy y x
(2.4)
x x y 0 z y
0 u y v x
简记，
u H ( x, y)a v
u H a v
（2.14）
e e Ⅱ、单元节点位移 与 a 之关系
u l 1 xl v 0 0 l u m 1 x m v m 0 0 u n 1 x n vn 0 0
第2章 平面问题的有限元方法
2.1 弹性理论基础
Ⅰ、基本假设： • 连续性－物质连续。相应的应力应变，位移等连续变量可 以用坐标的连续函数表示； • 均质各向同性——物体内部各点，各方向上物理性质相同， 材料常数（弹性模量，泊松比）不随坐标方向而变； • 完全弹性——材料服从Hooke定律； • 小变形（几何假设）——略去二阶小量，所有微分方程为 线性的； • 无初应力——加载前物体内无初应力。
yl 0 ym 0 yn 0
0 1
0 xl
0 0 1 xm 0 1 0 xn
0 a1 a yl 2 0 a3 y m a 4 0 a 5 yn a 6
第二章-杆和梁结构的有限元法案例
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
注意： 上述弹簧系统的分析求解原理和过程就是有限元 法求解连续体力学问题时对离散后系统的分析求 解原理和过程。
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
例题1：弹簧系统
已知条件：
求：（a） 系统总刚度矩阵 （b） 节点2，3的位移
单元特性
系统平衡方程
第二章 杆和梁结构的有限元法
KD F
2）单元方程扩大相加法 单元特性
F1 f11
相加
F2 f 21 f12 F3 f 22
系统节点 平衡条件
引入系统节点平衡条件
KD F
系统节点平衡方程
第二章 杆和梁结构的有限元法
2.2 杆单元和平面桁架
杆单元
2.2.1 一维等截面 杆单元
fi k f j k
第二章
k ui k u j
f kd
杆和梁结构的有限元法
2、弹簧系统的集成 1）列节点平衡方程法
F1 f11 F2 f 21 f12 F3 f 22
系统节点 平衡条件
F1 k1u1 k1u2 F2 k1u1 ( k1 k2 )u2 k2u3 F3 k2u2 k2u3
第二章 杆和梁结构的有限元法
k k k
k k
fi k f j k
k ui k u j
kii k k ji
kij k jj
§2.1.2 弹簧系统分析
求解一个弹簧系统：
1）各单元的特性分别为：
第二章 杆和梁结构的有限元法
有限元分析第二章__直梁弯曲
铸铁轴承架两种安置方式的比较
月牙槽的加工改进
1－工件
2－顶尖
3－月牙铣刀 4－万能铣床
工程中金属梁的成形截面：
工字形
槽形
箱形
空心预制板
根据材料的特性选择截面：
（1）塑性材料（如钢）的抗拉强度与抗压强度相同， 故通常采用关于中性轴对称的截面，如工字形、箱形等。 （2）对于抗拉强度小于抗压强度的材料（如铸铁）， 应使中性轴偏于拉应力一侧，即采用如T字形、槽形等截面。
三、采用等强度梁
3．确定许可载荷
【例8－5】割刀在切割工件时，受到F=800N的切削力作用。
割刀尺寸如图示，许用应力[σ]=200 MPa，试校核割刀的强度。
解题步骤
【例8－6】圆轴的受力简图如图示，已知许用应力[σ] =125
MPa，试设计轴的直径d。
解题步骤
§8－5 提高抗弯强度的主要措施
一、降低最大弯矩值
工程中常见梁截面图形惯性矩和抗弯截面系数计算公式
截面图形
惯性矩
bh 3 Iz 12 b3h Iy 12
抗弯截面系数
bh 2 Wz 6 b2h Wy 6
bh3 b1h13 Wz 6h b3 h b13 h1 Wy 6b
bh3 b1h13 Iz 12 b3 h b13h1 Iy 12
直梁弯曲
平面弯曲的力学模型 弯曲内力——剪力和弯矩 弯曲正应力 梁的抗弯强度条件及其应用 提高抗弯强度的主要措施 *知识拓展
平面弯曲的力学模型
1．弯曲变形的定义
弯曲变形——直杆受到垂直于轴线的外力或
在杆轴线平面内的力偶作用时，其轴线将由直线
变成曲线。
2．梁的定义
梁——发生弯曲变形或以弯曲变形为主的 杆件。
有限元分析第二章
——图2.3(b)所示 q i 单独作用所产生的位移； ——图2.3（b)所示 单独作用所产生的位
mi
移。 fi i
qi l 3 qi l 2 mi l 2 mi l f i , i , f i , i 3EI 2 EI 2 EI EI
qi l 3 mi l 2 1 3EI 2 EI 2 q l i mi l 0 2 EI EI (2 15)
qi a11 a12 a13 a14 1 a11 m a a a a a i 21 21 22 23 24 0 q a31 a a a a 32 33 34 0 j 31 m j a41 a42 a43 a44 0 a41
如图所示直梁，已知
E, I , Z , M , AB BC CD l, I AC 2I , I CD I .
图2.1 直梁
2.1.1 划分单元
两个节点之间的杆件构成一个单元，杆件结构的节点可以按 以下原则选取： （1）杆件的交点一定要取为节点； （2）阶梯型杆截面变化处一定要取为节点； （3）支撑点和自由端要取为节点； （4）集中载荷作用处要取为节点； （5）欲求位移的点要取为节点；
EI 1 2 Z q q (12 f1 6l1 12 f 2 6l 2 ) 2 2 3 2 l EI 3 (12 f 2 6l 2 12 f 3 6l 3 ) l M m1 m 2 EI (6lf 2l 2 6lf 4l 2 ) 2 2 1 1 2 2 2 l3 EI 3 (6lf 2 4l 2 2 6lf 3 2l 2 3 ) l
第2章有限元分析基础
第2章有限元法基础第1节有限单法的形成一、有限元法的形成在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。
其中的第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。
例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。
我们把这类问题，称为离散系统。
尽管离散系统是可解的，但是求解这类复杂的离散系统，要依靠计算机技术；第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。
例如弹性力学问题、热传导问题和电磁场问题等。
由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为连续系统。
尽管已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确解答。
对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答。
为解决这个困难，工程师们和数学家们提出了许多近似方法。
在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。
有限元法的形成可以追溯到二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。
从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。
1956年M.J.Turner，R.W.Clough，H.C.Martin，L.J.Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。
他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。
1954—1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。
1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（finite element）这一术语。
数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法、变分原理和加权余量法。
有限元分析-模态分析
观察结果
观察振型 （接上页）：
振型可以制作动画： Utility Menu > PlotCtrls > Animate > Mode Shape...
观察结果的典型命令
○ 在后处理中观察振型； ○ 计算单元应力； ○ 进行后继的频谱分析。
选择分析类型和选项
模态扩展 （接上页）： 建议： 扩展的模态数目应当与
提取的模态数目相等，这样做 的代价最小。
选择分析 类型和选 项
其它分析选项：
○ 集中质量矩阵： ● 主要用于细长梁或薄壳，或者波传播问题； ● 对 PowerDynamics 法，自动选择集中质量矩阵。
典型命令:
/POST1
SET，LIST
观察结果
列出自然频率：
在通用后处理器菜单中选择 “Results Summary”；
注意，每一个模态都保存在单独的子步中。
观察结果
观察振型：
首先采用“ First Set”、“ Next Set” 或“By Load Step” 然后绘制模态变形图： shape： General Postproc > Plot
• 2.3工程实例 • 有限元法基本思想节点位移与节点载荷 • 单元刚度矩阵 • 单元刚度矩阵的坐标变换 • 总的刚度矩阵叠加 • 位移
01
模态分析的定义和目 的
03
模态提取方 法的讨 论
05
做几个模态分析的练 习
07
学会如何在模态分析 中利用循环对称性
02
对模态分析有关的概 念、术语以及
梁的有限元分析原理
Advantages of 2D Storage 1)Space-saving; 2)Easy to be computerized Disadvantages of 2D Storage Enormous storage is required when local bandwidth is large.
输入基本数据 计算单元刚度矩阵 形成总体刚度矩阵 形成结点荷载向量
3、系统分析
（1）整体刚度矩阵[K]的组装； （2）整体载荷列阵{P}的形成；
引入约束条件 求解方程组，输出结点位移 计算单元应力，输出结果
[K]的存储；约束引入；求解
结束
40
总刚存贮
全矩阵存贮法：不利于节省计算机的存贮 空间，很少采用。K[i,j] 对称三角存贮法：存贮上三角或下三角元 素。 半带宽存贮法 ：存贮上三角形（或下三角 形）半带宽以内的元素 。 一维压缩存贮法 ：半带宽存贮中仍包含了 许多零元素。存贮每一行的第一个非零元 素到主对角线元素。
有限元程序设计
——梁单元，静力问题
谷 音 福州大学土木工程学院
2012
1
§1. 介绍. 框架结构，例如桁架、桥梁 轴力构件 axial elements 杆 受弯构件 flexural elements 梁 平面梁单元 plane beam element
2
§2. 经典梁单元 (Bernoulli-Euler) Beam ： 梁在纯弯曲时的 平面假设 平面－梁－假设 Plane-beam-assumption 梁的各个横截面在变形后仍保持为平
除非ψ是常数（没有弯曲变形），否则， dw/dx-ψ不会为零。这种现象称为剪切闭锁。 shear-locking
17
第2章_有限元法的直接刚度法_平面刚架
0 0 1 0 0
0 0 0 cos 0
0 0 0 sin cos 0
0 sin
0 ui 0 vi 0 i u 0 j 0 v j 1 j
i 0 i 分块形式为 0 j j
{
单元：6个 节点：4个
结构自由度
{ 4 3 12
的矩阵。
每个节点3个自由度
个自由度
结构的整体刚度矩阵是一个
12 12
二、单元刚度矩阵 1、单元的节点力、节点位移 任取一个单元，设单元号为 e，两个节点分别为i、j。 局部坐标：局部坐标只对 该单元有效，每一个单元 有一个局部坐标。以下对 该单元所进行的分析都在 这个局部坐标系下进行。 在局部坐标系下，两个 节点的节点位移为：
6 EI l 2 f 2 EI i l i 6 EI f j 2 l j 4 EI l
(3)刚架单元的节点力和节点位移之间的关系——单元刚度矩阵 刚架单元的所有节点力和节点位移之间的关系为：
EA 0 l 12EI Ti 0 q l3 i 6 EI 0 2 mi l EA T j 0 qj l 12EI 0 m j l3 6 EI 0 l2 0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l EA l 0 0 EA l 0 0 0 12EI l3 6 EI 2 l 0 12EI l3 6 EI 2 l 6 EI i 2 l f 2 EI i i l j 0 f j 6 EI 2 l j 4 EI l 0
有限元分析课件
物理模拟方法简介
（1）缝隙法 为了定性地了解接触面压力分布，可在模具的相应部分留有垂直于模
面的窄缝或小孔，根据流入窄缝或小孔的模拟材料外形或高度，定性地判定 接触面正压力分布。
物理模拟方法简介
（2）硬度法 冷变形时，变形程度越大硬化越强，硬度越高，因此可根据硬度
的分布，判别变形不均匀的程度。根据下图能判断出，圆柱体镦粗时变 形可分为三个区，中心区是大变形区，侧面鼓形是中等变形区，上下接 触面是小变形区。
物理模拟方法简介
（4）叠层法 叠层法是利用易变形材料(铅和塑性泥等)制成薄
片，然后叠成试样进行模拟实验的方法。 为了研究挤压时的变形流动情况，可以用颜色
不同的塑性泥层制成试样进行挤压，然后沿子午面切 开，由不同颜色的各层位置变化来观察变形区的情况， 此外，用铅制成薄片重叠成圆柱体进行镦粗，不仅可 观察变形流动，还可以把变形后的铅层分开，通过测 量各层不同部位的尺寸变化，计算出变形体内的应变 分布。
形状、尺寸精度和组织性能的产品的加工方法，称为金属塑性成形，也称为金 属塑性加工或金属压力加工。
如果不考虑切头、去尾、火耗等损失，那么金属材料的体积、质量在塑 性成形前后可看做没有发生变化，因此塑性成形是无屑或少屑的金属加工方法。
塑性成形方法与分类
1、根据加工时工件受力和变形方式的不同，金属塑 性成形方法可分为锻造、挤压、轧制、拉拔、冲压 等。 2、根据金属变形特征的不同，又可将金属塑性成形 分为：体积成形（或称块料成形）和板料成形（冲 压）两大类。 3、金属塑性成形按照加工时工件的温度又可分为热 塑性成形、冷塑性成形和温塑性成形。
物理模拟方法简介
（5）坐标网格法(Coordinate Grid Method) 是研究金属塑性变形分布应用最广泛的一种方法，
机械零件的有限元分析.ppt
如图所示，为一简单平面纯弯曲梁单元（只考虑弯曲，不考虑轴向变形）
位移边界条件（挠度、转角）：
当 x xi时 v vi
当
x
x
时
j
v vj
dv dx
i
dv dx
j
定义位移函数：
v a1 a2 x a3 x 2 a4 x3
将边界条件代入可得：
vi a1 a2 xi a3 xi2 a4 xi3
梁单元在局部坐标系统中有：
xi0 x j L
形函数可变为：
Nvi
(x L)2 (L 2x) L3
1
3x2 L2
2x3 L3
Ni
x(x L)2 L2
x(1 2 x L
x2 L2 )
Nvj
x2 (2x 3L) L3
3x2 L2
2x3 L3
x2 (x L) x3 x2
12 6L 12 6L
K2
EI L3
6L
12
4L2 6L
6L 12
2L2
6L
6L
2L2
6L
4L2
整体有限元方程为：
12 6L 12 6L
0
0
0
4L2 6L 2L2
0
24 0
12
0 6L
0 0
v1
1
单元刚度方程为：
EA
L
0
0
EA L
第二章 有限元法的直接刚度法-1梁单元
2l
2
l 3 12 6l 12 6l
6l
2l 2
6l
4l
2
2.1直梁的有限元分析
从式（2-22）可以看出，单元刚度矩阵 K e是一个对称矩阵，
即 aij a ji 。
将单元刚度矩阵K e的公式，即式（2-22），应用于三个实际的梁
单元，如图2.5所示，得到每个单元的节点力和节点位移的关系分别
。 见式（2-23）、（2-24）和（2-25）
图2.5 三个单元的受力图
2.1直梁的有限元分析
q11
12 6l 12 6l f1
mq2111
m21
2EI l3
6l
12
6l
4l 2 6l 2l 2
6l 12 6l
2l 2 6l 4l 2
f122
mqq322222 m32
知识点： 直梁和平面刚架的直接刚度法
重点： 梁单元杆和刚架单元的自由度 单元的坐标变换
难点：直接刚度法的计算过程与物理意义
Ⅰ. 关于梁和弯曲的概念
受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的 横向外力或外力偶作用。 变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。 梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
f ii
f
' i
f
" i
1
' i
" i
0
（2-13）
其中，f i'
移， fi 、
i、 为图i' 为2.3图（2b.3）（所b）示所m示i单独qi作单用独所作产用生所的产位生移的。位
图2.3 (b) 节点i的节点力
2.1直梁的有限元分析
教材有误
梁单元有限元分析
梁单元-有限元分析一、有限元法介绍有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个节点相互连接，然后根据变形协调条件综合求解。
由于单元的数目是有限的，节点的数目也是有限的，所以称为有限元法(FEM，Finite Element Method)。
是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。
有限元法是最重要的工程分析技术之一。
它广泛应用于弹塑性力学、断裂力学、流体力学、热传导等领域。
有限元法是60年代以来发展起来的新的数值计算方法，是计算机时代的产物。
虽然有限元的概念早在40年代就有人提出，但由于当时计算机尚未出现，它并未受到人们的重视。
随着计算机技术的发展，有限元法在各个工程领域中不断得到深入应用，现已遍及宇航工业、核工业、机电、化工、建筑、海洋等工业，是机械产品动、静、热特性分析的重要手段。
早在70年代初期就有人给出结论：有限元法在产品结构设计中的应用，使机电产品设计产生革命性的变化，理论设计代替了经验类比设计。
目前，有限元法仍在不断发展，理论上不断完善，各种有限元分析程序包的功能越来越强大，使用越来越方便。
二．梁单元的分类所谓梁杆结构是指其长度比横截面尺寸大很多的梁和杆件、以及由它们组成的系统，这一类结构的应力、应变和位移都是一个坐标的函数，所以属于一维单元问题。
1．平面桁架特点：杆件位于一个平面内，杆件间用铰节点连接，作用力也在该平面内。
单元特性：只承受拉力或压力。
单元划分：常采用自然单元划分。
即以两个铰接点之间的杆件作为一个单元。
为使桁架杆件只产生轴力，桁架的计算常作以下假定：①桁架中每根杆件的两端由理想铰联结；②每根杆件的轴线必须是直线；③所有杆件的轴线都只交于所联理想铰的几何中心。
④荷载均只作用于理想铰的几何中心。
在此条件下所算得的各种应力称为主应力。
实际上各种桁架结构不可能完全满足上述各假定，因而杆件将产生弯曲，由这种弯曲而在杆件中所引起的轴向应力称为次应力。
有限元分析梁单元内力计算
迭代法
迭代法
通过迭代的方式逐步逼近梁 单元的内力。这种方法适用 于大型有限元模型，计算量 较小，但计算精度较低。
适用范围
适用于大型有限元模型，计 算量较小。
优点பைடு நூலகம்
计算量较小，适用于大型有 限元模型。
缺点
计算精度较低，不适用于对 精度要求较高的梁单元。
快速法
快速法
结合直接法和迭代法的优点，通过快速求解线性方程组来 得到梁单元的内力。这种方法适用于大型有限元模型，计 算精度较高，计算量相对较小。
有限元分析广泛应用于工程领域，如 结构力学、流体力学、电磁场等领域 ，用于解决复杂的问题和优化设计。
有限元分析的基本步骤
建立单元刚度矩阵
根据单元的物理特性和边界条 件，建立单元刚度矩阵。
施加外力
将外力施加到整体结构的节点 上。
离散化
将连续的结构或系统离散化为 有限个简单单元。
集成总刚度矩阵
将所有单元的刚度矩阵集成得 到整体结构的总刚度矩阵。
通过梁单元内力计算，可以发现潜在 的危险区域和薄弱环节，为改进设计 提供依据。
内力计算的结果还可以用于评估结构 的疲劳寿命和可靠性，为工程实际应 用提供重要的参考依据。
02
有限元分析基础
有限元分析概述
有限元分析是一种数值分析方法，通 过将复杂的结构或系统离散化为有限 个简单单元，利用数学近似方法对复 杂问题进行模拟和分析。
有限元分析梁单元内力计 算
• 引言 • 有限元分析基础 • 梁单元内力计算方法 • 梁单元内力计算的实例 • 结论
01
引言
目的和背景
有限元分析（FEA）是一种数值分析方法，用于解决复杂的工程问题，如结构强度、 刚度、稳定性等。
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2
有限元分析2-1
内容
Chp.2 有限元法的直接刚度法
2.1 直梁的有限元分析
要求 作业
了解：单元、节点的概念 理解：梁单元节点内力、节点载荷的概念
梁单元刚度矩阵的概念 掌握：梁单元刚度矩阵的建立办法
利用节点平衡组装整体刚度 超静定悬臂梁的有限元分析
上节回顾
M
1
2
1
2
3
4
3
• 几何形状发生改变处 • 外载荷规律发生改变处（含约束） • 边界点 • 计算关心的位置 • 单元尺寸要均匀
二、单元分析
M
1
2
1
2
3
4
3
截面法：
qi i
mi
qj
e
j
mj
单元节点内力向量：
二、单元分析
单元变形 ：
fi
fj
i
e
j
单元节点位移向量：
二、单元分析
单元受力 ：
qi mi
qj
e
j
mj
单元变形
fi
fj
i
e
j
：
力与变形的关系：由小变形、线弹性假设，得
线性函数：
二、单元分析
线性函数： 矩阵表达：
梁单元刚度矩阵Ke
二、单元分析
单元刚度方程 ：
符号名称：
：单元节点内力向量 ：单元节点位移向量 ：单元刚度矩阵
二、单元分析: 刚度矩阵元素的力学含义
考察a11 , a21, a31, a41的含义，令
三、单元组装
利用单元分析技术，对各单元有：
q11
单元1： 1
m11
q21
1
2
m21
q22
单元2： 2
m22
q32
2
3
m32
q33
单元3： 3
m33
q43
3
4
m43
三、单元组装
组装原理 ：
位移协调条件 节点平衡条件
位移协调条件：各单元共享节点位移相等
三、单元组装
节点平衡条件：各节点满足平衡条件
M
1
2
1
2
3
4
3
Z1
M1 m11 q11
节点1
Z2
m21 q21
M2 m22
q22
节点2
Z3
m32 q32
M3 m33
q33
节点3
Z4
M4 m43 q43
节点4
节点1平衡方程：
Z1
M1 m11 q11
节点1
节点2平衡方程：
Z2
m21 q21
M2 m22
q22
同理，可列出节点3、4平衡方程。
Z3
m32 q32
位移边界条件
四、总体刚度方程的求解
对称，稀疏，非奇异，主对角元恒正
五、回代求解未知载荷求解
节点位移向量
得解
将节点位移代入各节点平衡方程，求得未知外载荷。
本节课小结
有限元法求直梁基本过程
第一步，对直梁进行离散化，划分为有限个单元。 第二步，对各结点和单元进行编码。 第三步，进行单元分析，形成单元刚度矩阵。 第四步，进行整体分析，形成整体刚度矩阵。 第五步，引入边界条件。边界条件的引入可以使问题 具有解的唯一性。 第六步，求解方程组，计算结构的整体结点位移。 第七步，求单元内力，未知外载荷。
M3 m33
q33
节点3
Z4
M4 m43 q43
节点4
整体刚度方程
将节点1、2、3、4的平衡方程整合为一个矩阵方程
结构整体刚度方程
其中， 为整个结构的节点载荷向量（外载、约束力 ）
为整个结构的节点位移向量
为结构的整体刚度矩阵，也称总刚度矩阵
对称，稀疏，奇异，主对角元恒正
四、总体刚度方程的求解
力的边界条件
有限元分析的基本思想
复杂工程结构
整体
如何离散？
离散
标准单元分析
分析什么？
单元
组装
如何组装？
整体求解
求解什么？
复杂结构离散化途 经
自然离散
逼近离散
上节回顾
单元
本节提要
直梁的离散化 直梁的单元分析 直梁的整体组装
一个例题 ：
已知E、I、Z、M, AB=BC=CD=L, IAC = 2I, ICD=I
qi
mi
i
j
由材料力学知识对悬臂梁分析，可得
二、单元分析: 刚度矩阵元素的力学含义
考察a12 , a22, a32, a42的含义，令 ：
a12：固定j节点，使i节点发生转角为1，挠度为0的节点内力qi大小
i
j
a22，a32，a42?
二、单元分析: 刚度矩阵元素的力学含义
a12 a22 a32 a42的计算：
Z
AM
B
C
D
求: (1) A、D端约束反力； (2) C处的挠度和转角。
一、 直梁的有限元模型
M
1
1
ZZ
2
2பைடு நூலகம்
3
3
节点(node): 1, 2, 3, 4 4 单元(element): 1, 2, 3
1
1
2
2
2
3
3
3
4
单元编号 1 单元编号 2 单元编号 3
节点：1，2 节点：2，3 节点：3，4
划分单元的原则（设置节点的原则）
作业
1、自学教材P17，例2-1。
2、已知E、I、Z、M, AB=BC=L
Z M
A
C
B
有限元法求: (1) A、B端约束反力；
(2) C处的挠度和转角。
a11：固定j节点，使i节点发生挠度为1，转角为0的节点内力qi大小
i
j
a21，a31，a41?
二、单元分析: 刚度矩阵元素的力学含义
a11 a21 a31 a41的计算：
a11：固定j节点，使i节点发生挠度为1，转角为0的节点内力qi大小 a21：固定j节点，使i节点发生挠度为1，转角为0的节点内力mi大小
a12：固定j节点，使i节点发生转角为1，挠度为0的节点内力qi大小 a22：固定j节点，使i节点发生转角为1，挠度为0的节点内力mi大小
qi
mi
i
j
由材料力学知识对悬臂梁分析，可得
二、单元分析
单元刚度矩阵的具体表达
对称矩阵
二、单元分析
单元分析小结：
单元变形分析
单元内力分析
单元刚度方程
单元分析的任务：单元内力用单元变形表达