求导法则(一)

§3.2 求导法则（一）

教学内容

1.函数的和、差、积、商的求导法则；

2.反函数的求导法则；

3.复合函数的求导法则. 教学重点与难点

导数的运算法则及导数基本公式.

简要复习上节内容 1.导数的定义；

2.导数的定义的几种形式；

3.可导的充要条件；

4.函数可导与连续的关系；

5.导数的几何意义、物理意义. 一、导数的四则运算法则

设),(x u u =)(x v v =都在x 处可导，则有 ①v u v u '±'='±)(；

②v u v u uv '+'=')(； u c cu '=')(；

③2

)(v

v u u v v u '-'='. 我们现在只证明②. 证 设=)(x f )()(x v x u 则

h x f h x f x f h )()(lim

)(0-+='→=h

x v x u h x v h x u h )

()()()(lim 0-++→

=h

x v x u x v h x u x v h x u h x v h x u h )()()()()()()()(lim 0-+++-++→ =h x v h x v h x u h )()()(lim 0-++→+=-+→h

x u h x u x v h )

()()(lim 0=v u v u '+' 例1 2sin

cos 4)(3π-+=x x x f ，求)(x f '，)2(π

f '.

解 )(x f '=x x sin 432-， )2(πf '=443

2-π.

例2 求21

log 3tan sin a y x x x x

=++的导数.

解 x

x

x a x x x x y a 222sin cos sec 3ln log 2-+++='.

=22log 3sec csc cot ln a x

x x x x x a

+

+-. 二、反函数求导法

法则： 若)(y x ϕ=单调、连续，在y 处可导.且.0)(≠'y ϕ则它的反函数

)(x f y =在对应点x 处可导，单调.且=

')(x f )

(1

y ϕ' 证 由单调性当0≠∆x 时，0≠∆y 从而

y

x

x y ∆∆=∆∆1，又因为)(x f y =连续，当0→∆x ，0→∆y ，从而=

')(x f )

(1

y ϕ'. 利用以上定理可以证明：

2

11)(arcsin x

x -=

'， 2

11)(arccos x

x --

='；

21(arctan )1x x '=

+， 2

1

(cot )1arc x x '=-

+. 三、复合函数求导法则

法则：设))((x f y ϕ=是由

)(),(x u u f y ϕ==复合而成.若)(x u ϕ=在x 处

可导， 而)(u f y =在u 处可导.则))((x f y ϕ=在x 处可导且dx

du

du dy dx dy =

证 )(u f y =在u 处可导，则有=∆∆→∆u y u 0lim

)(u f '， α+'=∆∆)(u f u

y ，其中

0→α. 可以推得

u u u f y ∆+∆'=∆α)( ①

用0≠∆x 除以①式有x

u

x u u f x y ∆∆+∆∆'=∆∆α

)(，所以x u x u u f dx dy x x ∆∆+∆∆'=→∆→∆α

00lim )(lim =dx

du

du dy . 这个法则相当重要，称为复合函数的链式法则.复合过程可推广到多个情形. 例3 求)(3'x e

解 x e y 3=为x u e y u 3,==复合而成，所以dx

du du dy dx dy ==3⋅u

e =x e 33. 例4 求(ln tan )y x '=

解 ln tan y x =由ln ,tan y u u x ==复合而成，所以

dx du du dy dx dy =

=x u

2sec 1

x 2csc 2= 注：在熟练掌握的基础上，可不必写出复合过程，可直接写出结果. 例5 )1ln(2x x y ++= 解 )11(112

2

x

x x

x y ++

++=

'=

2

11x

+.

例6 x

a

a a x x f arccos )(22--=

解 )(11

)(22

222x a

x

a

a a x x x f --+-=

'=

222222a x x x a a x x -+-. 例7 n b ax f y ))((+=

解 a b ax f b ax f n y n ⋅+'⋅+='-)())((1. 例8 ))(ln(b ax arctg y += 解 a b

ax b ax y +++=

'1

)(ln 112.

例9 已知)100()2)(1()(+⋅⋅⋅++=x x x x x f ，求)0(f '

法1：)0(f '=0)0()(lim 0

--→x f x f x =0lim →x 100)

100()2)(1(=+⋅⋅⋅++x

x x x x ！. 法

2：

++⋅⋅⋅++=')100()2)(1()(x x x x f ])100()2)(1[('+⋅⋅⋅++x x x x .=100！

例10 设⎩⎨

⎧

=≠=0

,1

sin )(0

,0)(x x

x g x x f 且)0()0(g g '==0，证明：)0(f '=0

证 )0(f '=0

)

0()(lim

--→x f x f x =x

x x g x 1

sin

)(lim 0→，又因

)0(g '=x

x g x g x g x x )

(lim 0)0()(lim

00

→→=--=0，且11sin ≤x ， 故易知)0(f '=0.

例11 设)(x f 在]1,1[-上有界，2sin )()(x x f x g =，求)0(g '