求导法则(一)

§3.2 求导法则（一）教学内容1.函数的和、差、积、商的求导法则；2.反函数的求导法则；3.复合函数的求导法则. 教学重点与难点导数的运算法则及导数基本公式.简要复习上节内容 1.导数的定义；2.导数的定义的几种形式；3.可导的充要条件；4.函数可导与连续的关系；5.导数的几何意义、物理意义. 一、导数的四则运算法则设),(x u u =)(x v v =都在x 处可导，则有 ①v u v u '±'='±)(；②v u v u uv '+'=')(； u c cu '=')(；③2)(vv u u v v u '-'='. 我们现在只证明②. 证 设=)(x f )()(x v x u 则h x f h x f x f h )()(lim)(0-+='→=hx v x u h x v h x u h )()()()(lim 0-++→=hx v x u x v h x u x v h x u h x v h x u h )()()()()()()()(lim 0-+++-++→ =h x v h x v h x u h )()()(lim 0-++→+=-+→hx u h x u x v h )()()(lim 0=v u v u '+' 例1 2sincos 4)(3π-+=x x x f ，求)(x f '，)2(πf '.解 )(x f '=x x sin 432-， )2(πf '=4432-π.例2 求21log 3tan sin a y x x x x=++的导数.解 xxx a x x x x y a 222sin cos sec 3ln log 2-+++='.=22log 3sec csc cot ln a xx x x x x a++-. 二、反函数求导法法则： 若)(y x ϕ=单调、连续，在y 处可导.且.0)(≠'y ϕ则它的反函数)(x f y =在对应点x 处可导，单调.且=')(x f )(1y ϕ' 证 由单调性当0≠∆x 时，0≠∆y 从而yxx y ∆∆=∆∆1，又因为)(x f y =连续，当0→∆x ，0→∆y ，从而=')(x f )(1y ϕ'. 利用以上定理可以证明：211)(arcsin xx -='， 211)(arccos xx --='；21(arctan )1x x '=+， 21(cot )1arc x x '=-+. 三、复合函数求导法则法则：设))((x f y ϕ=是由)(),(x u u f y ϕ==复合而成.若)(x u ϕ=在x 处可导， 而)(u f y =在u 处可导.则))((x f y ϕ=在x 处可导且dxdudu dy dx dy =证 )(u f y =在u 处可导，则有=∆∆→∆u y u 0lim)(u f '， α+'=∆∆)(u f uy ，其中0→α. 可以推得u u u f y ∆+∆'=∆α)( ①用0≠∆x 除以①式有xux u u f x y ∆∆+∆∆'=∆∆α)(，所以x u x u u f dx dy x x ∆∆+∆∆'=→∆→∆α00lim )(lim =dxdudu dy . 这个法则相当重要，称为复合函数的链式法则.复合过程可推广到多个情形. 例3 求)(3'x e解 x e y 3=为x u e y u 3,==复合而成，所以dxdu du dy dx dy ==3⋅ue =x e 33. 例4 求(ln tan )y x '=解 ln tan y x =由ln ,tan y u u x ==复合而成，所以dx du du dy dx dy ==x u2sec 1x 2csc 2= 注：在熟练掌握的基础上，可不必写出复合过程，可直接写出结果. 例5 )1ln(2x x y ++= 解 )11(1122xx xx y ++++='=211x+.例6 xaa a x x f arccos )(22--=解 )(11)(22222x axaa a x x x f --+-='=222222a x x x a a x x -+-. 例7 n b ax f y ))((+=解 a b ax f b ax f n y n ⋅+'⋅+='-)())((1. 例8 ))(ln(b ax arctg y += 解 a bax b ax y +++='1)(ln 112.例9 已知)100()2)(1()(+⋅⋅⋅++=x x x x x f ，求)0(f '法1：)0(f '=0)0()(lim 0--→x f x f x =0lim →x 100)100()2)(1(=+⋅⋅⋅++xx x x x ！. 法2：++⋅⋅⋅++=')100()2)(1()(x x x x f ])100()2)(1[('+⋅⋅⋅++x x x x .=100！例10 设⎩⎨⎧=≠=0,1sin )(0,0)(x xx g x x f 且)0()0(g g '==0，证明：)0(f '=0证 )0(f '=0)0()(lim--→x f x f x =xx x g x 1sin)(lim 0→，又因)0(g '=xx g x g x g x x )(lim 0)0()(lim00→→=--=0，且11sin ≤x ， 故易知)0(f '=0.例11 设)(x f 在]1,1[-上有界，2sin )()(x x f x g =，求)0(g '解 )0(g '=0)(lim sin )(lim 0)0()(lim0200===--→→→x x f xx x f x g x g x x x .小结1.函数的和、差、积、商的求导法则；2.反函数的求导法则；3.复合函数的求导法则. 作业作业: p103 8奇数题， 15奇数题； 预习：§3.2 P80 –86§3.2 求导法则（二）教学内容1.隐函数的导数；2.由参数方程所确定的函数的导数； 教学目的1.熟练掌握隐函数与参数式所确定的函数的一阶、二阶导数的求法；2.掌握抽象形式的函数的一阶、二阶导数的求法；3.熟练掌握对数求导法；4.理解和会求相关变化率. 教学重点与难点掌握隐函数与参数式所确定的函数的二阶导数的求法，相关变化率的计算.复习上节内容1.函数的和、差、积、商的求导法则；2.反函数的求导法则；3.复合函数的求导法则. 一、隐函数的导数 1. 隐函数的定义：形如)(x f y =的函数为显函数.而由方程0),(=y x F 或),(),(y x g y x f = 所确定的函数为隐函数2. 隐函数求导法：将方程两端对x 求导（y 看成x 的函数），然后解出y ' 例1 已知0=-+e xy e y，求dydx. 解：0y e y xy y ''++= 从而yex yy +-='.例2 已知57230y y x x +--=，求x dy dx=.解：46521210y y y x ''+--= 则6421125x y y+'=+. 将0=x 代入原方程里得0=y 所以0=x dxdy 21=. 3. 对数求导法（多用于求幂指函数)()(x g x f 与多因式函数求导问题，两边取对数，变显函数为隐函数，再使用隐函数求导法求导） 例3 sin (tan )x y x =，求y ' 解：ln sin ln tan y x x =,211cos ln tan sin sec tan y x x x x y x'=+. 所以sin 21(tan )[cos ln tan sin sec ]tan x y x x x xx x'=+ 法2：sin ln tan x x y e =，所以sin ln tan 21[cos ln tan sin sec ]tan x y e x x xx x'=+. 例4 )4)(3()2)(1(----=x x x x y解：)]4ln()3ln()2ln()1[ln(21ln -----+-=x x x x y ,]41312111[211-----+-='x x x x y y 所以 ]41312111[21-----+-='x x x x y )4)(3()2)(1(----x x x x . 二、参数方程求导法设参数方程为(),().x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，βα≤≤t , 显然若)(t x ϕ=存在反函数)(1x t -=ϕ则)]([1x y -=ϕψ为x 的复合函数，若)(t x ϕ=，)(t y ψ=可导，且0)(≠'t ϕ，则由复合函数求导法则有：dtdx dt dydx dt dt dy dx dy ===)()(t t ϕψ''， 例6 已知椭圆参数方程为cos ,sin .x a t y b t =⎧⎨=⎩，求椭圆在4π=t 处的切线方程解： 先求4π=t 处所对应的椭圆上的点0M 的坐标为)22,22(b a ，在点0M 处切线的斜率abta tb dxdyk t t -=-====44sin cos ππ,所以所求的切线方程为 )22(22a x a b b y --=-. 例7 求三叶玫瑰线θ3sin a r =在3πθ=处的切线方程解：先将其化为参数方程sin 3cos ,sin 3sin .x a y a θθθθ=⎧⎨=⎩ 在3πθ=处对应点为)0,0(,3sin 3sin cos 3cos 3cos 3sin sin 3cos 333=-+====πθπθθθθθθθθθa a a a dxdyk所以所求的切线方程为x y 3=. 小结1.隐函数的求导法；2.对数求导法；3.由参数方程所确定的函数的导数的求法 作业作业: p104 24，25，26；§3.2 求导法则（三）高阶导数教学内容函数的高阶导数； 教学目的1. 会求函数的一阶二阶导数和简单函数的n 阶导数；2. 掌握抽象函数的一阶二阶导数的求法. 教学重点与难点抽象函数的一阶二阶导数的求法复习上节内容1.函数的和、差、积、商的求导法则；2.反函数的求导法则；3.复合函数的求导法则. 一、高阶导数的概念我们知道)(x f y =的导函数)(x f '仍为x 的函数，当然可以继续求导数.称)(x f y '='的导数))(()(''=''x f y 为)(x f y =的二阶导函数，记为y ''，或)(x f ''、22dx yd 类似的我们可以三阶、四阶……n 阶导数，记为y '''=)('''y ，)()1()('=-n n y y ， 由此可见高阶导数的求导法为反复求导法例1 b ax y +=，求y ''.解 a y ='，y ''=0.例2 证明22x x y -=，满足关系013=+''y y . 证 22222xx x y --='=221xx x --，y ''=22222222)1(2x x x x xx x x -------=23222)2(212x x x x x x --+-+-=31y-，则013=+''y y . 二、n 阶求导公式例3 求x e y =的各阶导数 解：x n e y =)(.例4 已知x y sin =，求)()(x y n . 解：)2sin(cos π+=='x x yy ''=)22sin(sin π⋅+=-x x………………………………)2sin()(π⋅+=n x y n 同理可以推得)2cos()(cos )(π⋅+=n x x n例5 )1ln(x y +=，求)()(x y n .解：,)1(111-+=+='x xy 2)1)(1(-+-=''x y ,3)1)(1)(2(-+--='''x y …… n n n x n y --+--=)1()!1()1(1)(在求n 阶导数的过程中.关键是找规律，最后归纳到一般. 例6 求u x y =的n 阶导数解：1-='u ux y ，2)1(--=''u x u u y ，3)2)(1(---='''u x u u u y ……，n u n x n u u u u y -+-⋅⋅⋅--=)1()2)(1()(.特别地，当n u =时，!)()(n x n n =. 下面我们来导出和、差、积的n 阶导数公式. 1. )()()()()()(n n n v u v u ±=±. 2. )()(n uv =)()2()1()(!2)1(n n n n uv v u n n v nu v u +⋅⋅⋅+''-+'+--. 其中，)()(n uv 有点特别.事实上，v u v u uv '+'=')( v u v u v u uv ''+''+''=''2)( v u v u v u v u uv '''+'''+'''+'''='''33)(……………)()(n uv =)()2()1()(!2)1(n n n n uv v u n n v nu v u +⋅⋅⋅+''-+'+-- 此公式称为莱布尼茨公式.例7 使用莱布尼茨公式计算x e x y 22=的20阶导数 解：令x e u x v 22,==，且x k k e u 2)(2=，所以∑=-=20)()20(20)20(22)(k k k k x v u C e x =)0()20(020v u C +v u C ')19(120+v u C '')18(220 =22202x e x +x e x 222219⋅+2221920218xe ⋅⨯ =)9520(22220++x x e x . 例8 试从dxdydy dx 1=中，求出22dy x d ，33dy x d 解：22dy x d =)()(12dx dy dy d dx dy -=dy dx dx dy dx d dxdy )()(12-=3)(y y '''- ，33dy xd =622)()()()(y y dy d y y dy d y ''''-'''-=623)(131)(y y y y y y y y '''''''-'''''-=52)()(3y y y y '''-''''-小结1 高阶导数的概念； 2.高阶导数的求法. 作业作业: p104 21，22，23。