对矩阵的秩的有关理解及其在线性代数中的应用

对矩阵的秩的有关理解及其在线性代数中的应用

摘 要：本文叙述了矩阵秩的几个等价定义，并且给出了几个相关秩的解法.通过例子来验证和探讨了矩阵秩在线性代数中的应用，这些知识对我们理解矩阵的本质,灵活运用矩阵的秩去分析相关问题有一定的意义和作用.

关键词：矩阵的秩；秩的解法；秩的应用 On the Rank of Matrix relating to the understanding Extremely

in the Application of Linear Algebra

Abstract : This article describes several equivalent definitions of matrix rank, and gives the solution of some rank. Through example to verify that the discussion and application of matrix in linear algebra, this knowledge to our understanding of the nature of the matrix, flexible use of matrix rank to have a certain meaning and analysis of related problems. Key words : rank of matrix; rank method; the application of rank

0 前言

矩阵的理论是线性代数的理论基础。而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本的理论概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，他在初等变换下是一个不变量.它是反应矩阵固有特性的一个重要概念.矩阵作为线性代数的重要工具，已渗透到各章内容之中,并成为行列式、线性代数方程组、线性空间、欧氏空间和二次型的纽带,它把线性代数各章节贯串成为一个整体.而矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始终，是矩阵一个重要的、本质的属性,在求方阵的逆、判断线性方程组是否有解以及有多少个解、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面,矩阵的秩都有着广泛的应用. 1 矩阵秩的概念

首先给出矩阵秩的几个等价定义

定义1 设s ，矩阵中不为0子式的最高阶数，即A 有r 阶子式不为0，任何1r +阶子式（如果存在的话）全为0，称r 为矩阵A 的秩。记做()R A r =.

从本质上说，矩阵的秩就是矩阵中不等于0的姿势的最高阶数。这个不为0的子

式的最高阶数r 反映了矩阵A 内在的重要特征，在矩阵的理论与应用中都有重要意义.

定义2 矩阵()ij n n A a ⨯=,行（列）向量组的极大无关组的个数称为该矩阵的秩.

定义3 矩阵A 的行向量组的秩称为A 的行秩；矩阵A 的列向量组的秩称为矩阵A 的列秩.

定理1 任何矩阵经过矩阵初等变换后其秩不变

既A 初等变换B 时，()()r A r B =，由于求矩阵的秩与求行向量组的秩都是用矩阵的初等行变换来实现的，矩阵的行秩等于矩阵的秩是显然的，由矩阵的秩的定义，可得定理2 对于对于任意一个矩阵A ，A 的秩，A 的行秩和A 的列秩三者都相等. 因此，也可以用矩阵的行秩或列秩作为矩阵秩的定义.

例题1 用消元法求下列向量组组的极大线性无关组和秩：

()()()()3101722169414320121146431，，，，，，，，，，，，，，＝，，，，，２-=--=--=αααα

解 作初等变换：

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3224211631092114047116 → ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------3408012550092114080755110 → ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----200012550092114080755110 →

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----2000125500921140805510 → ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--20002400

010101390005510 所以4321αααα，，，的秩为3，而且可以知道432ααα，，是极大线性无关组. 2 矩阵的秩的求法

(1)定义法,利用定义寻找矩阵中非零子式的最高阶数;(2)初等变换法,对矩阵实施初等行变换,将其变成为行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩;(3)标准形法,求矩阵的标准形,1的个数即为矩阵的秩.

例题2 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-----=41461351021632305023A 的秩

解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=41461351021632305023A → ⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛--------1281216011791201134041461

→

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1281216011791201134041461 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------840008400011340414

61 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-----00

000840001134041461

所以3)(=A r

3 矩阵秩的作用和意义

3.1 秩与线性方程组的解

定理2 设n 元线性方程组b AX =，其中A 和A ~分别为n m ⨯阶系数矩

()1+⨯n m 阶增广矩阵，则有：

（1） 方程组b AX =无解当且仅当)~()(A r A r <

（2） 方程组b AX =有唯一解当且仅当n A r A r ==)~()(

（3） 方程组b AX =有无穷多解当且仅当n A r A r <=)~()(

例题3 讨论下列各方程组的解的情况

⎩⎨⎧-=+=+23122121x x x x ⎩⎨⎧=--=++0463232121x x x x ⎩⎨⎧-=-+-=+6

463

232121x x x x

()a ()b ()c