对矩阵的秩的有关理解及其在线性代数中的应用
矩阵的秩在线性代数中的应用及其教学方法的探讨
矩阵的秩在线性代数中的应用及其教学方法的探讨江蓉;王守中【期刊名称】《西南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(037)008【摘要】With the rapid development of modern science and technology, the theory of economics is gettingrnincreasingly connected with mathematics. Especially, with the widely use of computer, linear algebra isrnbecoming more and more important in the social practice. In order to research linear equations, it forms anrnimportant definition-matrix. The rank of matrix plays a great role in linear algebra. The applications ofrnrank of matrix in linear algebra and the teaching methods about rank of matrix have been discussed in thernpaper.%现代科学技术的迅猛发展,经济学理论与数学结合的日益紧密,尤其是计算机的广泛使用,使得线性代数在人们的社会实践中扮演了越来越重要的角色.为了研究线性方程组,产生了一个重要的概念——矩阵.矩阵的秩在线性代数中扮演了重要角色.文章讨论了矩阵的秩在线性代数中的应用,也探讨了关于这个知识点的教学方法.【总页数】6页(P175-180)【作者】江蓉;王守中【作者单位】广东石油化工学院理学院,广东茂名525000;广东石油化工学院理学院,广东茂名525000【正文语种】中文【中图分类】O151.21;G420【相关文献】1.线性代数中矩阵的秩的应用探讨 [J], 王桂英;2.初等变换求矩阵的秩在线性代数中的应用 [J], 张丽丽3.探讨矩阵的秩在线性代数中的应用 [J], 巴桑卓玛4.矩阵的秩在线性代数中的应用 [J], 苏芳;徐湛;成礼智5.探讨矩阵的秩在线性代数中的应用 [J], 巴桑卓玛因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
矩阵的秩计算
矩阵的秩计算矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它可以用来描述矩阵的线性相关性和线性无关性。
在计算机科学、工程学和物理学等领域中，矩阵的秩也有着广泛的应用。
本文将从基本概念、计算方法和应用三个方面介绍矩阵的秩。
一、基本概念矩阵的秩指的是矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
具体来说，对于一个m行n列的矩阵A，如果它的秩为r，那么就意味着存在r 个线性无关的行或列，且没有更多的线性无关行或列。
同时，矩阵的秩也等于它的列空间或行空间的维度。
二、计算方法对于一个矩阵A，可以通过进行初等行变换或初等列变换来求解其秩。
初等行变换包括交换两行、某行乘以一个非零常数、某行加上另一行的k倍。
初等列变换与之类似。
通过这些变换，可以将矩阵A转化为行简化阶梯形或列简化阶梯形，从而求得其秩。
可以通过矩阵的特征值来计算矩阵的秩。
具体来说，对于一个n阶矩阵A，如果它有n个非零的特征值，那么它的秩为n。
反之，如果它只有k个非零特征值，那么它的秩就是n-k。
三、应用1. 线性方程组的解：对于一个m行n列的矩阵A和n行1列的矩阵X，可以通过求解AX=0来得到线性方程组的解。
如果矩阵A的秩等于n，那么线性方程组有唯一解；如果矩阵A的秩小于n，那么线性方程组有无穷多解；如果矩阵A的秩小于m，那么线性方程组无解。
2. 矩阵的相似性：矩阵的秩还可以用于判断两个矩阵是否相似。
如果两个矩阵A和B相似，那么它们的秩相等。
3. 矩阵的逆：对于一个n阶矩阵A，如果它的秩等于n，那么它是可逆的，即存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
反之，如果矩阵A的秩小于n，那么它是不可逆的。
4. 图像处理：在图像处理中，可以使用矩阵的秩来判断图像的信息量。
如果一个图像的秩较高，那么它包含了更多的信息；反之，如果一个图像的秩较低，那么它的信息量较少。
总结起来，矩阵的秩是描述矩阵线性相关性和线性无关性的重要指标。
它可以通过初等行变换、初等列变换或特征值来计算。
【方案】矩阵的秩及其应用.doc
山西师范大学本科毕业论文(设计) 矩阵的秩及其应用姓名杨敏娜院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级11510102学号1151010240指导教师王栋答辩日期成绩矩阵的秩及其应用内容摘要矩阵在高等代数的研究中占有极其重要的地位，矩阵的秩更是研究矩阵的一个重要纽带。
通过对矩阵的秩的分析，对判断向量组的线性相关性，求其次线性方程组的基础解系，求解非其次线性方程组等等都有一定的意义和作用。
论文第一部分介绍矩阵的概念,一般性质及秩的求法，这对之后介绍秩的应用有重要的铺垫作用。
第二部分再利用这些性质及定理解决向量组和线性方程组的有关问题。
第三部分研究矩阵的秩在解析几何应用中，着重用于判断空间两直线的位置关系。
在与特征值间的关系主要是计算一些复杂矩阵的值。
最后将矩阵的秩推广到特征值和其他与向量组有关的向量空间的应用。
本文主要对矩阵的秩相关定义定理进行总结和证明，并将其运用到一些具体事例中。
【关键词】矩阵的秩向量组线性方程组特征值解析几何The Rank of Matrix and the Application of the Rank ofMatrixAbstractThe matrix plays a very important role in the research on advanced algebra. The rank of matrix is an important link of matrix. The analysis of the rank of matrix determines the linear relation of vector group. And there are certain significance and role to solve some linear equations and non linear equations.First, the article introduces the concept of matrix, general nature and method for the rank of matrix, it plays an important role for the application of the rank. Second, use the properties and theorems of vector group to solve the problem of linear equations. Third, analysis the rank of matrix in geometry application, it focuses on the judgment of space position relationship of two lines. In the characteristics of value, it mainly calculates some complex matrix. Finally, the application of the rank of matrix is extended to Eigen value and other related vectors in vector space.This paper mainly summarizes the matrix rank and its related theorem, and applies it to some specific examples.【Key Words】rank of matrix vector group linear equations characteristic value Analytic geometry目录一、引言 (01)二、矩阵的秩 (01)(一)矩阵的秩的定义 (01)(二)矩阵的秩的一般性质及求法 (01)（三）求抽象矩阵的秩 (02)三、矩阵的秩的应用 (03)(一)矩阵的秩在判定向量组的线性相关性方面的应用 (03)(二)矩阵的秩在线性方程组方面的应用 (04)(三)矩阵的秩在解析几何方面的应用 (07)(四)矩阵的秩在特征值方面的应用 (07)(五)矩阵的秩在其他方面的应用 (08)四、小结 (09)参考文献 (10)致谢 (11)矩阵的秩及其应用学生姓名：杨敏娜 指导老师：王栋一、引言矩阵概念在代数的学习中是一个关键的分支，是研究线性代数的基石,矩阵的秩作为矩阵的核心内容，更是研究它的一个纽带。
矩阵的秩的定义
矩阵的秩的定义矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它描述了矩阵中线性无关的行或列的个数。
矩阵秩的定义可以通过矩阵的行阶梯形式来描述，即将矩阵化简为上三角形式时，非零行的个数就是矩阵的秩。
矩阵的秩在很多应用中都扮演着重要的角色。
首先，在线性方程组的求解中，矩阵的秩可以用来判断方程组的解的情况。
当矩阵的秩等于方程组的未知数个数时，方程组有唯一解；当矩阵的秩小于方程组的未知数个数时，方程组有无穷多解；当矩阵的秩小于方程组的未知数个数时，方程组无解。
在线性映射和线性变换中，矩阵的秩也起着重要的作用。
对于一个线性映射或线性变换，矩阵的秩等于其定义域的维数和值域的维数中的较小值。
这个结论可以用来判断线性映射或线性变换是否是一一对应的。
在求解矩阵的逆和矩阵的特征值等问题中，矩阵的秩也是一个重要的参考指标。
矩阵的逆存在的充分必要条件是矩阵的秩等于其行（或列）的个数；而矩阵的特征值的个数等于矩阵的秩。
矩阵的秩还与矩阵的行列式有密切的关系。
对于一个n阶矩阵，它的秩r等于其非零行列式的最高次数。
这个结论可以用来求解矩阵的秩，特别是对于较大的矩阵，可以利用行列式的性质来简化计算。
总结来说，矩阵的秩是一个非常重要的概念，它在线性代数中有着广泛的应用。
通过矩阵的秩，我们可以判断线性方程组的解的情况，判断线性映射或线性变换是否是一一对应的，求解矩阵的逆和矩阵的特征值等等。
了解和掌握矩阵的秩的定义和性质，对于深入理解线性代数的基本概念和方法是非常重要的。
希望通过这篇文章的阐述，读者能够对矩阵的秩有一个清晰的认识，并在实际问题中能够灵活运用矩阵的秩来解决各种线性代数相关的问题。
通过深入理解矩阵的秩的定义和性质，读者可以更好地理解线性代数的基本概念和方法，从而提高数学思维能力和问题解决能力。
秩知识点总结
秩知识点总结本文将就秩知识点进行总结，从不同角度来解释秩的概念、性质、应用及其相关定理。
秩是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵的研究中有着重要的作用。
秩的概念和性质是线性代数的基础知识，对于理解线性代数的其他内容具有重要意义。
一、秩的定义1.1 矩阵的行秩和列秩在矩阵的行空间中，秩的定义是行空间的维数。
同样，在矩阵的列空间中，秩的定义是列空间的维数。
行秩和列秩都是矩阵的秩。
矩阵的秩是行秩和列秩中的较小者。
1.2 符号表示矩阵A的秩记作r(A)。
在文中，通常会简单地称呼为矩阵A的秩。
1.3 矩阵A的秩等于行秩和列秩行空间和列空间是等价的。
因此，矩阵A的行秩和列秩是相等的，即秩。
这个定理是线性代数中的重要定理。
二、秩的性质2.1 零矩阵的秩为0对于任意大小的零矩阵，其秩都是0。
这是秩的一个重要性质。
2.2 矩阵的秩不会超过其行数和列数中的较小者对于一个m×n的矩阵A，其秩r(A)不会大于m和n中的较小者。
2.3 等价矩阵的秩相等对于等价矩阵A和B，它们的秩是相等的。
2.4 矩阵的秩与矩阵的变换无关对于一个矩阵A，将其进行线性变换后得到的新矩阵B，矩阵A和B的秩是相等的。
秩只与原矩阵A有关，与其变换无关。
2.5 矩阵的秩与初等行变换有关通过初等行变换，矩阵的行秩是它所对应的行阶梯形矩阵的行秩。
这个性质对于计算矩阵的秩非常重要。
三、秩的应用3.1 矩阵的秩与方程组的解的个数有关当矩阵A的秩与矩阵的增广形式的秩相等时，方程组有唯一解；当矩阵A的秩小于矩阵的增广形式的秩时，方程组有无穷解；当矩阵A的秩小于矩阵的增广形式的秩时，方程组无解。
3.2 矩阵的秩与矩阵的逆的存在性有关当矩阵A是一个n×n的方阵，并且其秩等于n时，矩阵A存在逆矩阵。
3.3 矩阵的秩与矩阵的特征值有关关于特征值和特征向量的理论可以用秩来进一步分析特征值和特征向量的性质。
3.4 矩阵的秩与矩阵的奇异性有关当矩阵A的秩小于n时，矩阵A被称为奇异矩阵。
矩阵的秩求解方法
矩阵的秩求解方法作者：***来源：《文理导航》2019年第32期【摘要】矩阵的秩是線性代数中一类重要的问题。
以一道有关线性代数的数三考研题为例，对问题不同的看法所用到的求秩的方法不一样，但知识点之间都是相呼应的，本文从矩阵秩的定义、矩阵初等变换、分块矩阵、线性方程组等多个方面探讨求秩的方法。
【关键词】线性代数;矩阵的秩;求秩方法线性代数是一门比较抽象的学科，在线性代数的学习中，矩阵占据了十分重要的地位，对矩阵概念的理解是学习线性代数的重要基础任务。
J.Sylvester在1861年提出矩阵的秩的概念。
它是矩阵最重要的数字特征之一，也是《线性代数》教学中的一个难点，因此对于矩阵的秩的研究也是线性代数学习中的重要部分。
四、总结矩阵的秩是线性代数中一个非常重要的概念，对于矩阵秩的求解及其应用更是重中之重。
矩阵的秩是它的最高阶非零子式的阶数，这个概念是一个非常有力的工具，特别是对于后续线性方程组解的情况的判定、方阵的可逆性、向量的线性关系等问题有非常好的应用。
本文通过几种求解秩的方法，将线性代数中非常重要的几个知识点联系在一起，融会贯通，具有理论意义。
【参考文献】[1]黄廷祝，成孝予.线性代数与空间解析几何（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2015[2]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2003[3]吴华安.矩阵多项式的逆矩阵的求法[J].大学数学，2004（20）：89-91[4]陈梅香.矩阵多项式与可逆矩阵的确定[J].北华大学学报：自然科学版，2013（14）：153-155[5]赵云河.线性代数：第2版[M].北京：科学出版社，2017：35-139。
线性代数课件第三章矩阵的秩课件
VS
矩阵的秩可以用于判断两个矩阵是否相似。如果两个矩阵相似，则它们的秩相同。
特征值和特征向量
矩阵的秩还可以用于确定矩阵的特征值和特征向量的个数。对于给定的矩阵，其秩等于其非零特征值的个数。
矩阵相似
矩阵的秩可以用于矩阵分解，如奇异值分解（SVD）和QR分解等。这些分解方法将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，有助于简化计算和解决问题。
1 2 3 | 0 0 -3
7 8 9 | 0 0 0`
```
由于非零行的行数为2，所以矩阵B的秩为2。
题目3
求矩阵C=[1 -2 3; -4 5 -6; 7 -8 9]的秩。
解答
首先，将矩阵C进行初等行变换，得到行阶梯矩阵
```
继续进行初等行变换，得到
1 -2 3 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0
矩阵秩的应用
03
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有唯一解；否则，方程组无解或有无数多个解。
最小二乘法
矩阵的秩还可以用于最小二乘法，通过最小化误差平方和来求解线性方程组。最小二乘法的解就是使残差矩阵的秩等于其行数或列数的最小二乘解。
矩阵的秩与线性无关性质
矩阵的秩与线性无关性质在线性代数中，矩阵的秩是一个重要的概念。
它与矩阵的线性无关性质密切相关。
本文将介绍矩阵的秩的概念及其与线性无关性质的关系。
一、矩阵的秩的定义矩阵的秩是指矩阵中非零行的最高阶非零子式的阶数。
换句话说，矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
用数学符号表示，矩阵A的秩记作rank(A)。
二、线性无关性质的定义给定一个向量组，如果存在不全为零的系数，使得它们的线性组合等于零向量，那么我们称这个向量组是线性相关的；反之，如果只有零系数能使它们的线性组合等于零向量，我们称这个向量组是线性无关的。
三、矩阵的秩与线性无关性质的关系1. 若一个矩阵的秩等于它的行数或列数，那么该矩阵的行向量（或列向量）就是线性无关的。
证明：假设矩阵A的秩等于它的行数r，那么矩阵A的最高阶非零子式的阶数也等于r。
由于最高阶非零子式是由矩阵的行向量组成的，所以矩阵A的行向量线性无关。
2. 若一个矩阵的秩小于它的行数或列数，那么该矩阵的行向量（或列向量）就是线性相关的。
证明：假设矩阵A的秩等于r（r < 行数），那么矩阵A的最高阶非零子式的阶数为r。
由于最高阶非零子式是由矩阵的行向量组成的，所以矩阵A的行向量线性相关。
综上所述，矩阵的秩与矩阵的行向量（或列向量）的线性无关性质密切相关。
秩等于矩阵的行数或列数意味着行向量（或列向量）的线性无关性质，而秩小于矩阵的行数或列数意味着行向量（或列向量）的线性相关性质。
四、矩阵的秩与线性无关性质的应用矩阵的秩在很多数学和工程应用中都有重要的作用。
例如：1. 线性方程组的解个数与矩阵的秩有关。
对于一个包含n个变量和m个方程的线性方程组，当方程组的系数矩阵的秩等于方程组的增广矩阵的秩时，可以得到方程组的解。
若秩小于增广矩阵的秩，则方程组无解；若秩等于增广矩阵的秩且小于n，则方程组有无穷多解。
2. 矩阵的秩与矩阵的可逆性有关。
一个n阶方阵A是可逆的当且仅当其秩等于n。
矩阵及秩的应用论文
矩阵及秩的应用论文矩阵及秩是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个学科领域。
在本文中，我将介绍几篇应用矩阵及秩的论文，并讨论它们在不同领域中的应用。
第一篇论文是《基于矩阵分解的推荐系统》。
推荐系统是现代互联网应用中的重要组成部分，用于给用户推荐个性化的内容。
该论文通过应用矩阵分解的方法，将用户-物品评分矩阵分解为两个低秩矩阵，从而实现对用户兴趣和物品特征的建模。
矩阵的秩较低意味着模型具有较好的泛化能力，能够在数据稀疏的情况下有效地进行预测，提高推荐准确度。
第二篇论文是《利用秩约束的图像修复方法》。
图像修复在计算机视觉领域中具有重要意义，用于修复受损的图像。
该论文利用矩阵的秩约束，将问题转化为一个低秩矩阵恢复问题。
通过求解最小秩恢复问题，可以在保持图像结构信息的前提下，还原受损的图像内容。
实验结果表明，该方法在图像修复任务中具有较好的效果。
第三篇论文是《基于矩阵分析的脑电信号分类方法》。
脑电信号是在脑部神经元活动产生的电流作用下测得的电生理信号，用于研究脑部功能和神经相关性。
该论文应用矩阵分析方法，将脑电信号分解为若干个矩阵成分，并利用矩阵的秩特性提取脑电信号的特征。
基于这些特征，可以实现对脑电信号的分类和识别，辅助脑部疾病的诊断和治疗。
第四篇论文是《基于大规模矩阵分解的社交网络分析方法》。
社交网络是人们之间相互联系和交互的网络结构，具有复杂的拓扑结构和丰富的节点属性。
该论文利用矩阵分解方法，将社交网络转化为低秩矩阵的表示，从而揭示其隐藏的结构和关系。
通过矩阵的秩特性，可以实现社交网络的社区发现、节点分类和链接预测等任务，为社交网络分析提供了有力的工具。
以上这些论文只是矩阵及秩应用的冰山一角，实际上，矩阵及秩在数据挖掘、图像处理、模式识别等许多领域都有重要应用。
矩阵的秩在这些应用中起到了关键的作用，它能够帮助我们理解和描述数据的结构、关系和特征，从而实现对数据的分析和处理。
随着技术的不断发展和研究的深入，矩阵及秩的应用还将不断扩展和拓展，为各个学科领域的研究和应用带来新的突破和进展。
矩阵的秩小结
矩阵的秩小结
矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和解决一些实际问题。
本文将对矩阵的秩进行总结，包括定义、计算方法以及应用。
矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，或者说矩阵中不可被其他行线性表示的行的个数。
换句话说，矩阵的秩是指矩阵所包含的最大线性无关行的个数。
矩阵的秩可以通过多种方式进行计算，其中常见的有高斯消元法。
高斯消元法通过进行初等行变换将矩阵转化为行最简形，然后数非零行的个数即为矩阵的秩。
另一种常见的方法是使用特征值和特征向量来计算矩阵的秩。
具体而言，矩阵的秩等于其非零特征值的个数。
矩阵的秩在实际应用中有很多重要的作用。
首先，矩阵的秩可以帮助我们判断一个线性方程组是否有解以及解的唯一性。
如果线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，那么该线性方程组有解；如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，那么线性方程组无解。
其次，矩阵的秩可以用于判断矩阵是否可逆。
如果矩阵的秩等于其阶数，那么矩阵是可逆的；如果矩阵的秩小于其阶数，那么矩阵不可逆。
此外，矩阵的秩还可以用于判断线性相关性。
如果矩阵的秩小于列数，那么矩阵的列向量线性相关；如果矩阵的秩等于列数，那么矩阵的列向量线性无关。
总结起来，矩阵的秩是一个重要的概念，在线性代数中具有广泛的应用。
我们可以通过高斯消元法或者特征值和特征向量来
计算矩阵的秩。
矩阵的秩可以帮助我们判断线性方程组的解的情况、矩阵是否可逆以及向量的线性相关性。
矩阵秩的研究与应用
矩阵秩的研究与应用.doc矩阵秩是线性代数中的重要概念，它描述了矩阵所代表的线性方程组中线性无关的方程个数，也可以理解为矩阵列向量的线性无关个数。
在实际应用中，矩阵秩有着广泛的应用，例如解线性方程组、求解线性变换的性质、压缩数据、识别图像等方面。
1. 解线性方程组线性方程组的求解是矩阵秩应用最为广泛的领域之一。
一个m×n的矩阵A表示一个有m个方程、n个未知数的线性方程组，如果这个矩阵的秩rank(A)等于n，则方程组有唯一解；如果rank(A)<n，方程组有无穷多解；如果rank(A)<m，方程组无解。
例如线性方程组2x + 3y + z = -1x - y + 2z = 73x - y + kz = 0其增广矩阵为$$\begin{bmatrix}2 &3 & 1 & -1 \\1 & -1 &2 & 7 \\3 & -1 & k & 0 \\\end{bmatrix}$$对其进行行变换，得到$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 7-k \\0 & 1 & 0 & -4 \\0 & 0 & 1 & 3k-3 \\\end{bmatrix}$$可以看出，当k≠1时，方程组有唯一解；当k=1时，方程组有无穷多解。
2. 求解线性变换的性质线性变换是线性代数中的重要概念，它描述了一个向量空间中任意两个向量之间的关系。
对于一个n维向量空间V，由线性变换T所产生的变换矩阵A是一个n×n的矩阵，可以用矩阵乘法的形式计算。
矩阵A的秩可以用来判断T的性质。
例如，如果矩阵A的秩为n，则T是一个满秩线性变换，它将V映射为一个n维的向量空间，保留了V的所有维度；如果矩阵A的秩小于n，则T 是一个非满秩线性变换，它将V映射到低维向量空间中。
矩阵的秩及其应用
矩阵的秩及其应用摘要：本文主要介绍了矩阵的秩的概念及其应用。
首先是在解线性方程组中的应用，当矩阵的秩为1时求特征值；其次是在多项式中的应用，最后是关于矩阵的秩在解析几何中的应用。
对于每一点应用，本文都给出了相应的具体的实例，通过例题来加深对这部分知识的理解。
关键词：矩阵的秩； 线性方程组； 特征值； 多项式引言：阵矩的秩是线性代数中的一个概念，它描述了矩阵的一个数值特征。
它是矩阵 的一个重要性质。
在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值，在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。
由于矩阵的秩的重要作用和地位，需要我们认真学习。
1．矩阵的秩及其求法1.1矩阵的秩的定义定义1.1.1[1] 矩阵A 的行（列）向量组的秩称为矩阵A 的行（列）秩。
定义1.1.2[2] 矩阵的列向量组（或行向量组）的任一极大线性无关组所含向量的个数称为矩阵的秩。
定义1.1.3[1] 设在矩阵A 中有一个不等于零的r 阶子式，且所有的1r +子式（如果存在的话）全等于零，则称矩阵A 的秩为r ，记为()r A r =或秩()A r =。
零矩阵的秩规定为零。
注：由定义可以看出(1)若A 为n m ⨯矩阵，则()r A m ≤，也()r A n ≤，即()min{,}r A m n =(2) ()()T r A r A = ,()()r kA r A = ,k 为非零数 1.2 矩阵的秩的求法定义法和初等变换法是我们常用的求矩阵的秩的两种方法，下面就来比较一 下这两种方法。
方法1 按定义例1.2.1 求矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--41311221222832的秩 解 按定义3解答，容易算出二阶子式12232-0≠，而矩阵的所有三阶子式1312122832--=0，43112122232-=0，41312212283--=0，4111222282-=0 所以()2r A =方法2 初等变换法引理1.2.1[1] 初等变换不改变矩阵的秩。
线性代数中的秩与矩阵变换解读
线性代数中的秩与矩阵变换解读在线性代数中，秩是一个非常重要的概念。
它可以帮助我们理解矩阵的性质和变换的本质。
本文将探讨线性代数中的秩与矩阵变换的关系，并解读其背后的数学原理和几何意义。
一、秩的定义与性质在线性代数中，矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行（或列）向量的最大个数。
我们用r(A)表示矩阵A的秩。
秩的定义可以通过高斯消元法得到，即将矩阵A进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵，秩就是矩阵中非零行的个数。
秩具有以下性质：1. 对于任意矩阵A，秩满足0 ≤ r(A) ≤ min(m, n)，其中m和n分别是矩阵A的行数和列数。
2. 对于任意矩阵A，其秩与其转置矩阵的秩相等，即r(A) = r(A^T)。
3. 对于任意矩阵A和B，r(AB) ≤ min(r(A), r(B))。
当r(A) = r(B) = n时，r(AB) = r(A) = r(B) = n。
二、秩与矩阵变换的关系矩阵变换是线性代数中的一个重要概念，它描述了一个向量空间中的向量在某种变换下的映射关系。
而秩则是描述矩阵的性质的一个指标。
秩与矩阵变换之间有着密切的联系。
1. 矩阵变换的线性性质矩阵变换必须满足线性性质，即对于任意向量x和y以及标量c，有T(x + y) = T(x) + T(y)和T(cx) = cT(x)。
线性性质保证了矩阵变换的可加性和标量倍乘性。
2. 矩阵变换的表示对于一个线性变换T，我们可以用一个矩阵A来表示它。
具体而言，对于任意向量x，有T(x) = Ax。
其中，A是一个m×n的矩阵，m是变换后向量的维度，n是变换前向量的维度。
3. 矩阵变换与秩的关系矩阵变换与秩的关系可以通过矩阵的列空间和零空间来解释。
对于一个m×n的矩阵A，其列空间是所有由A的列向量线性组合而成的向量的集合，记作Col(A)；其零空间是所有满足Ax = 0的向量x的集合，记作Nul(A)。
根据秩的定义，我们可以得到以下结论：- 矩阵A的列空间的维度等于A的秩，即dim(Col(A)) = r(A)。
矩阵的秩理解
矩阵的秩理解矩阵是线性代数中最具有代表性的概念之一。
矩阵的秩是矩阵中线性无关的行或列的数目，它在解决线性方程组、逆矩阵、特征值、正交化等问题中都有重要应用。
矩阵秩的定义比较简单，如果一个矩阵中存在线性无关的行或列，则这些行或列的数目就是矩阵的秩。
举个例子，对于一个3×3的矩阵A，如果存在两个线性无关的行或列，则A的秩就是2。
如果A中所有的行或列都线性无关，则A的秩就是3。
如果矩阵中没有线性无关的行或列则矩阵的秩为0。
矩阵秩的意义主要体现在以下几个方面。
第一个方面是线性方程组的解的判定。
考虑一个由n个未知数和m 个方程组成的线性方程组Ax=b，其中A表示系数矩阵，b表示右侧的常数项向量。
如果A的秩r等于n，则方程组有唯一解。
如果r<n，则有无数个解。
如果r<n并且存在0≠c∈Rn使得Ac=0，则无解。
因此，矩阵秩可以判断线性方程组的解的情况。
第二个方面是逆矩阵的存在性。
对于一个非零的n×n矩阵A，如果它的秩等于n，则其逆矩阵A−1存在。
这是因为如果A的秩等于n，则它的每一行和每一列都是线性无关的。
因此，通过高斯消元法可以将A化为阶梯矩阵，然后通过反演阶梯矩阵即可求得A的逆矩阵。
如果A的秩小于n，则A的逆矩阵不存在。
第三个方面是特征值和特征向量的求解。
在一些应用中，我们需要求出一个矩阵A的特征值和特征向量。
如果A的一个特征向量对应着一个特征值λ，则我们有(A−λI)x=0。
这里I是单位矩阵，x是特征向量。
我们可以将(A−λI)化为阶梯矩阵，然后通过高斯消元法求解。
如果(A−λI)的秩小于n−1，则λ不是A的特征值。
通过对所有可能的λ重复这个过程，我们最终可以求得所有的特征值和特征向量。
第四个方面是正交化。
在一些应用中，我们需要将一个矩阵的列向量正交化。
这可以通过对列向量进行高斯消元，然后将列向量化为阶梯形式进行操作。
如果矩阵的秩为r，则通过消元后得到的前r个列向量就是正交的。
矩阵的秩与线性相关性
矩阵的秩与线性相关性矩阵是线性代数中的基础概念之一，而矩阵的秩与线性相关性是研究矩阵性质的重要方面。
本文将探讨矩阵的秩的概念、计算方法以及与线性相关性之间的关系。
一、矩阵的秩的概念在线性代数中，一个m × n的矩阵A可以视为由m个行向量和n个列向量组成的矩阵。
矩阵的秩是指矩阵中的线性无关向量组的极大数目。
具体来说，如果一个矩阵A的某一组向量可以通过线性组合得到另一组向量，那么这两组向量是线性相关的，反之则是线性无关的。
矩阵的秩就是这个线性无关向量组的向量个数。
二、矩阵秩的计算方法在实际计算矩阵的秩时，可以通过高斯消元法或者矩阵的特征值分解等方法来得到矩阵的秩。
1. 高斯消元法高斯消元法是一种常用的计算矩阵秩的方法。
该方法通过行变换将矩阵转化为行阶梯形或者行最简形，然后通过矩阵中非零行的个数来确定矩阵的秩。
2. 特征值分解特征值分解是一种通过矩阵的特征值和特征向量来计算矩阵秩的方法。
根据特征值的个数以及零特征值的个数，可以确定矩阵的秩。
三、矩阵的秩与线性相关性的关系矩阵的秩与线性相关性有着密切的联系。
线性相关的向量组可以被表示为矩阵的列向量，而线性无关的向量组可以被表示为矩阵的行向量。
具体来说，对于一个m × n的矩阵A，如果其秩为r，那么矩阵A 的列向量组即为n个线性相关的向量，其中r个向量是线性无关的。
同样地，矩阵A的行向量组即为m个线性相关的向量，其中m - r个向量是线性无关的。
线性相关的向量组会导致矩阵的秩下降，这是因为线性相关的向量组包含有冗余信息，可以通过其他向量来表示。
而线性无关的向量组则不会出现这种问题，每个向量都是不可替代的。
四、矩阵的秩与解的存在性矩阵的秩与线性方程组的解的存在性也有关联。
对于一个m × n的矩阵A，如果其秩为r，则可以将其转化为行阶梯形或者行最简形。
如果方程组的个数n大于矩阵的秩r，则方程组有无穷多个解；如果n等于r，则方程组有唯一解；如果n小于r，则方程组无解。
矩阵秩的概念
矩阵秩的概念引言矩阵是线性代数中非常重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。
矩阵秩是矩阵理论中的一个重要概念，它衡量了矩阵的线性无关性和维度。
在本文中，我们将深入探讨矩阵秩的概念、性质及其应用。
首先，我们将介绍矩阵的定义和基本概念，然后详细解释矩阵秩的定义和计算方法。
接下来，我们将探讨矩阵秩的一些重要性质，并说明如何利用这些性质来计算矩阵秩。
最后，我们将探讨一些应用场景，展示矩阵秩在科学和工程中的重要性。
矩阵的定义和基本概念矩阵是一个由数个元素（称为矩阵的元）排成的矩形阵列。
一个m×n的矩阵可以表示为：A=[a11a12⋯a1n a21a22⋯a2n ⋮⋮⋱⋮a m1a m2⋯a mn]其中，a ij表示矩阵A中第i行、第j列位置上的元素。
矩阵中的元素可以是实数、复数或其他可结合的代数结构。
我们可以对矩阵进行加法、减法、标量乘法和矩阵乘法等运算。
对于两个矩阵A和B，如果它们的维度相同，即满足m A=m B和n A=n B，则可以进行加法和减法运算。
矩阵乘法则需要满足矩阵A的列数等于矩阵B的行数，即满足n A=m B。
矩阵秩的定义矩阵秩是衡量矩阵线性无关性和维度的一个指标。
一个矩阵的秩定义如下：定义1：设A是一个m×n的矩阵，如果存在一个r×r的子矩阵B，使得B的行列式不等于零且A的其余元素都为零，则称矩阵A的秩为r。
矩阵秩的定义告诉我们，矩阵的秩等于它所包含的线性无关的行或列的最大数量。
可以通过寻找矩阵中的非零子矩阵来确定矩阵的秩。
计算矩阵秩的方法在实际计算中，我们可以使用多种方法来计算矩阵的秩。
下面介绍两种常用的计算方法：高斯消元法和SVD分解法。
高斯消元法计算矩阵秩高斯消元法是一种基于矩阵行变换的方法，用于求解线性方程组和计算矩阵的秩。
以下是高斯消元法计算矩阵秩的步骤：1.将矩阵化为行阶梯形。
2.统计行阶梯形中非零行的数量，即为矩阵的秩。
通过高斯消元法计算矩阵秩的优势在于简单易理解，但它可能会过程中引入舍入误差。
矩阵秩的不等式及其应用
矩阵秩的不等式及其应用在线性代数中，矩阵秩是一个基本而重要的概念。
它不仅与线性方程组的解的存在性和唯一性有关，还在很多应用领域中起着关键作用。
本文将介绍矩阵秩的不等式及其在实际问题中的应用。
让我们回顾一下矩阵秩的定义。
给定一个m×n的矩阵A，它的秩记作rank(A)。
矩阵的秩是指矩阵所包含的线性无关的行或列的最大个数。
具体来说，矩阵A的秩等于它的行最简形式中非零行的个数，也等于它的列最简形式中非零列的个数。
接下来，我们来看一下矩阵秩的不等式。
对于任意的m×n矩阵A，有以下两个重要的不等式成立：1. rank(A) ≤ min(m, n)2. rank(A) + nullity(A) = n第一个不等式告诉我们，矩阵A的秩不能超过它的行数和列数中的较小值。
这是因为一个m×n的矩阵最多只能有m个线性无关的行和n个线性无关的列。
这个不等式在解决线性方程组的问题时非常有用，因为它告诉我们方程组的解的个数不会超过方程的个数。
第二个不等式则是矩阵秩与零空间维数之间的关系。
nullity(A)表示矩阵A的零空间的维数，也就是方程Ax=0的解的个数。
这个不等式告诉我们，矩阵A的秩和它的零空间维数的和等于它的列数。
这个不等式在求解线性方程组的特解时非常有用，因为它告诉我们特解的个数等于方程的变量个数减去矩阵的秩。
矩阵秩的不等式在很多实际问题中都有重要应用。
例如，在图像处理中，我们经常需要对图像进行降维压缩。
矩阵秩的不等式告诉我们，一个m×n的图像矩阵的秩不会超过m和n中的较小值。
这意味着我们可以通过保留图像矩阵的秩个奇异值来实现图像的压缩，从而减少存储空间和传输带宽。
另一个应用是在机器学习中的特征选择。
在特征选择问题中，我们希望从给定的特征集合中选择出最具有代表性的特征子集。
矩阵秩的不等式告诉我们，一个包含n个特征的数据矩阵的秩不会超过n。
这意味着我们可以通过计算数据矩阵的秩来评估每个特征的重要性，进而进行特征选择。
初等变换求矩阵的秩在线性代数中的应用
摘 要 分 析 了初 等 变 换 方 法 求 矩 阵 的秩 、 利 用 初 等 变 换 求 矩 阵 的秩 与 高 斯 消 元 法 解 线 性 方 程 组 ， 向 量 组 的 线性 表 示． 向量 组 的 线 性相 关 性 的 相 通 性 原 理 ， 将初 等变换求秩 应 用 在 以上 方 面 ， 既解 决 了三个 问题 的 求解 ｆ － ０ 断， 更将知识 融 会 贯 通 ． 紧 密 联 系在 一起 ， 为 以后 相 关 知 识 的 学 习奠 定 基
关 应 用
Ａｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｃａ ｌ ｃ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｎ ｇ Ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ Ｒａ ｎ ｋ ｗｉ ｔ ｈ Ｅｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ａ ｒ ｙ
Ｔｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｉ ｔ ｏ ｎ ｉ ｎ Ｌｉ ｎ ｅ ａ ｒ Ａｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ／ ／Ｚ ｈ ａ ｎ ｇ Ｌ ｉ ｌ ｉ
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｚ ｅ ｓ ｔ ｈ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｏ ｆ ｃ ａ ｌ ｃ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｎ ｇ ｍａ ｔ ｉ ｒ ｘ ｒ ａ ｎ ｋ ｗｉ ｔ ｈ ｅ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ａ ｒ ｙ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ，ｕ ｔ ｉ ｌ ｉ ｚ ｅ ｓ ｔ ｈ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ａ ｎ ｄ Ｇａ ｕ ｓ ｓ ｅ ｌ ｉ ｍｉ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｏ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ， ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｚ ｅ ｓ ｔ ｈ ｅ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｒ ｅ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｖ ｅ ｃ ｔ ｏ ｒ ｇ ｒ ｏ ｕ ｐ ，ｔ ｈ ｅ ｓ ｉ ｍｉ ｌ ａ ｉ ｒ ｔ ｙ ｐ ｉ ｒ ｎ ｃ ｉ ｐ ｌ ｅ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ
矩阵的秩及其在线性代数中的应用
矩阵的秩及其在线性代数中的应用
矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列向量的最大个数，用
r(A)表示。
具体来说，如果一个矩阵有m行、n列，那么矩阵的秩不大于m、n中的较小值，即r(A) ≤ min(m,n)。
在线性代数中，矩阵的秩是一个非常重要的概念。
以下列举了一些矩阵秩的应用：
1. 判断矩阵的行或列是否线性无关：如果矩阵A的秩r(A)等于行或列的个数，那么A的行或列就是线性无关的。
这个性质在求解方程组或者解析几何中非常有用。
2. 判断矩阵是否可逆：如果一个矩阵A可逆，那么其行或列向量线性无关，即r(A)等于矩阵A的行或列数。
因此，判断一个矩阵是否可逆就可以通过计算它的秩来实现。
3. 求解线性方程组：如果一个m×n的矩阵A的秩满足r(A) = m，那么它的行向量线性无关，从而可以求出增广矩阵[A|b]的解。
如果r(A) < m，那么方程组有无穷多解。
如果r(A) ≤ n，那么方程组要么没有解，要么有唯一解。
4. 求解最小二乘法问题：在拟合数据时，如果数据点不在同一平面上，就需要使用最小二乘法来拟合数据。
矩阵的秩可以用来判断数据点是否在同一平面上，从而决定是否可以使用最小二乘法。
总之，矩阵的秩在线性代数中有着非常重要的应用，是求解各种问题的基础。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
对矩阵的秩的有关理解及其在线性代数中的应用摘 要：本文叙述了矩阵秩的几个等价定义，并且给出了几个相关秩的解法.通过例子来验证和探讨了矩阵秩在线性代数中的应用，这些知识对我们理解矩阵的本质,灵活运用矩阵的秩去分析相关问题有一定的意义和作用.关键词：矩阵的秩；秩的解法；秩的应用 On the Rank of Matrix relating to the understanding Extremelyin the Application of Linear AlgebraAbstract : This article describes several equivalent definitions of matrix rank, and gives the solution of some rank. Through example to verify that the discussion and application of matrix in linear algebra, this knowledge to our understanding of the nature of the matrix, flexible use of matrix rank to have a certain meaning and analysis of related problems. Key words : rank of matrix; rank method; the application of rank0 前言矩阵的理论是线性代数的理论基础。
而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本的理论概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，他在初等变换下是一个不变量.它是反应矩阵固有特性的一个重要概念.矩阵作为线性代数的重要工具，已渗透到各章内容之中,并成为行列式、线性代数方程组、线性空间、欧氏空间和二次型的纽带,它把线性代数各章节贯串成为一个整体.而矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始终，是矩阵一个重要的、本质的属性,在求方阵的逆、判断线性方程组是否有解以及有多少个解、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面,矩阵的秩都有着广泛的应用. 1 矩阵秩的概念首先给出矩阵秩的几个等价定义定义1 设s ，矩阵中不为0子式的最高阶数，即A 有r 阶子式不为0，任何1r +阶子式（如果存在的话）全为0，称r 为矩阵A 的秩。
记做()R A r =.从本质上说，矩阵的秩就是矩阵中不等于0的姿势的最高阶数。
这个不为0的子式的最高阶数r 反映了矩阵A 内在的重要特征，在矩阵的理论与应用中都有重要意义.定义2 矩阵()ij n n A a ⨯=,行（列）向量组的极大无关组的个数称为该矩阵的秩.定义3 矩阵A 的行向量组的秩称为A 的行秩；矩阵A 的列向量组的秩称为矩阵A 的列秩.定理1 任何矩阵经过矩阵初等变换后其秩不变既A 初等变换B 时，()()r A r B =，由于求矩阵的秩与求行向量组的秩都是用矩阵的初等行变换来实现的，矩阵的行秩等于矩阵的秩是显然的，由矩阵的秩的定义，可得定理2 对于对于任意一个矩阵A ，A 的秩，A 的行秩和A 的列秩三者都相等. 因此，也可以用矩阵的行秩或列秩作为矩阵秩的定义.例题1 用消元法求下列向量组组的极大线性无关组和秩：()()()()3101722169414320121146431，，，，，，，，，，，，，，＝，，，，，２-=--=--=αααα解 作初等变换：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3224211631092114047116 → ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------3408012550092114080755110 → ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----200012550092114080755110 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----2000125500921140805510 → ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--20002400010101390005510 所以4321αααα，，，的秩为3，而且可以知道432ααα，，是极大线性无关组. 2 矩阵的秩的求法(1)定义法,利用定义寻找矩阵中非零子式的最高阶数;(2)初等变换法,对矩阵实施初等行变换,将其变成为行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩;(3)标准形法,求矩阵的标准形,1的个数即为矩阵的秩.例题2 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=41461351021632305023A 的秩解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=41461351021632305023A → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------1281216011791201134041461→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1281216011791201134041461 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------84000840001134041461 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----00000840001134041461所以3)(=A r3 矩阵秩的作用和意义3.1 秩与线性方程组的解定理2 设n 元线性方程组b AX =，其中A 和A ~分别为n m ⨯阶系数矩()1+⨯n m 阶增广矩阵，则有：（1） 方程组b AX =无解当且仅当)~()(A r A r <（2） 方程组b AX =有唯一解当且仅当n A r A r ==)~()(（3） 方程组b AX =有无穷多解当且仅当n A r A r <=)~()(例题3 讨论下列各方程组的解的情况⎩⎨⎧-=+=+23122121x x x x ⎩⎨⎧=--=++0463232121x x x x ⎩⎨⎧-=-+-=+6463232121x x x x()a ()b ()c以上三个不同的线性方程组的增广矩阵分别为：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211321b A ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=034623b A ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=634623b A对上述3个矩阵进行行的初等变换后分别得到下列三个矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111001 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000321 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0100321这时易读出上述矩阵的秩和对应的系数矩阵的秩，我们应用定理来分析和总结上述三个方程组的解如下表：事实上，用初等变换把矩阵化为阶梯形，其阶梯形矩阵中非零行的个数的秩就是矩阵的秩.齐次线性方程组，如果用0=X 代入齐方程组0=AX 中，可看出任何齐次方程组都至少有一个解，即0=X .那么齐次方程组0=AX 还有其他解吗？定理3 设A 为n m ⨯阶矩阵，如果一个齐次线性方程组0=AX 有唯一解当且仅当()n A r =,如果m n >(未知量的个数大于方程的个数)，那么方程组有无穷多个解.3.2 秩与向量组的相关性定义 一组向量s a a a ,,,21 ()1≥S 是线性无关的，如果没有不全为零的数s k k k ,,,21 使02211=+++s s a k a k a k ，否则称这组向量是线性相关的.向量组的秩既该向量组极大线性无关组所含向量的个数，而向量组本身所含向量的个数与秩相等，则该向量组线性无关，所含向量个数大于秩，则该向量组线性相关，用求向量组秩的方法判断向量组是否线性相关是判断相关性的常用方法。
推论 一组列向量s a a a ,,,21 线性无关当且仅当矩阵{}s a a a A ,,,21 =的秩()s a r =.例题4 判断向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12111a ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11122a ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11103a 的线性相关性 解 列向量321,,a a a 写成矩阵的形式，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111112111021A 对矩阵A 进行行的初等变换，使之变成阶梯形矩阵，既⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111112111021A → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----130130130021 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000003110021 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000031103201 由此可以看出，矩阵A 的秩为()32<=A R ,因此向量组321,,a a a 是线性相关的. 用初等变换把一个线性方程组化成阶梯型，最后留下来的方程的个数与变幻的过程无关，因为它就等于增广矩阵的秩.3.3 矩阵的秩在讨论方阵的问题中的作用对于一个方阵n n R A ⨯∈,如何判断它是否可逆,除了根据它的行列式是否为零,还可以根据方阵秩的大小来判断。
方阵A 可逆的充要条件是()n A r =,我们又知道方阵A 可逆的充要条件是0≠A ,这与秩为非零子式的最高阶数是吻合的.由初等变换不改变矩阵的秩可得：定理4 A 是一个n s ⨯矩阵，如果P 是s s ⨯可逆矩阵，Q 是n n ⨯可逆矩阵，那么()()()AQ r PA r A r ==例题5 设A,B 均为n 阶方阵，则下列选项正确的是（）A 若A 与B 均可逆，则B A +可逆B 若A 与B 均不可逆，则B A +必不可逆C 若B A ⨯可逆，则B A ,均可逆D 若B A ⨯不可逆，则B A ,均不可逆解析 首先回顾教材中的定理：设A,B 是数域P 上的两个n n ⨯矩阵，那么|AB|=|A||B|,既矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积.由于B A ⨯可逆，所以()n B A r =⨯，即0≠⨯B A ，因此 0≠A 且0≠B ，所以B A ,均可逆，正确答案为C .3.4 矩阵的秩在二次型问题中的作用二次型的秩定义为其矩阵的秩,任意二次型总可以经非退化线性变换X=CY 化为标准形,而且,还可以经过不同的非退化线性变换化为不同的标准形,但这些标准形中所含平方项的个数是相同的,所含平方项的个数就等于二次型的秩。
对于正定二次型,其对称矩阵的顺序主子式全为正数,特征值也全为正数,二次型的正惯性指数等于n 。
此时,对称矩阵的行列式大于零,显然有r(A)=n 。
反之,若r(A)=n,不能推出二次型为正定二次型,这是因为可能有负特征值出现.定义 设),,,(21n x x x f 是一实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 如果都有0),,,(21≥n c c c f ，那么),,,(21n x x x f 称为半正定的。
例题6 证明：二次型),,,(21n x x x f 是半正定的充要条件是它的正惯性指数与秩相等.证 必要性：采用反证法.若正惯性指数≠p 秩r ，则r p <.即()2212222121,,,r p p n y y y y y x x x f ---+++=+ 若令1,0121=======+r p p y y y y y则可得非零解()n x x x ,,,21 使()0,,,21<n x x x f 。