上海市格致中学2021届高三月考数学试卷(2020.09)

格致中学高三月考数学试卷

2020.09

一. 填空题

1. 已知集合2{,}A a a =，若1A ∈，则实数a 的值为

2. 若复数z 满足(12i)34i z -=+（i 为虚数单位），则||z =

3. 函数2()1f x x =-，(,0]x ∈-∞的反函数1()f x -=

4. 已知(2,1)a =-，(,2)b λ=-，若a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是

5. 已知空间两点A B 、到平面α的距离分别3cm 为和5cm ，则线段AB 中点到平面α的距离为 cm

6. 计算1221

43lim 29n n

n

n n ++→∞-=+ 7. 关于x 的不等式21

126003

x x --≤的解集为

8. 在三角形ABC 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若()()a b c b c a bc +++-=， 则角A =

9. 为抗击“新型冠状病毒”，全国各地群策群力，捐款捐物，某企业出资购买了两种不同 型号的新型呼吸机各两台（同种型号呼吸机不加区分），将这4台呼吸机捐给疫情最重区域 的三所医院，每所医院至少一台，且同型号呼吸机不给同一医院，则不同分配方案有 种

10. 已知数列{}()n a n ∈*

N 是递增的正项等比数列，数列{}n b 满足12

log n n b a =，若

12b b ++36b =-，12310b b b ⋅⋅=，则数列{}n a 的通项公式n a =

11. 已知直线l 与抛物线22y x =交于两点A B 、，其中点A B 、位于x 轴两侧，O 为坐标原 点，若3OA OB ⋅=，则点O 到直线l 距离最大值为

12. 若函数()|1|||1f x mx x x =--+恰有三个零点，则实数m 的取值范围是

二. 选择题

13. 若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. 222a b ab +>

B. a b +≥

C.

11a b +> D. 2a b b a +≥ 14. 在二项式(1)n

x +的展开式中，含有x 的偶次幂的项之和为p ，含有x 的奇次幂的项之和为q ，则(1)n x -的值为（ ）

A. p q +

B. p q -

C. q p -

D. p q --

15. 如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，O 为CD 的中点，EO ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（ ）

A. BM EN =，且直线BM 、EN 是相交直线

B. BM EN ≠，且直线BM 、EN 是相交直线

C. BM EN =，且直线BM 、EN 是异面直线

D. BM EN ≠，且直线BM 、EN 是异面直线 16. 设函数()y f x =的定义域是R ，对于下列四个命题： （1）若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数； （2）若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数；

（3）若()y f x =是(,)-∞+∞上的单调递减函数，则(())y f f x =也是(,)-∞+∞上单调递减函数；

（4）若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数

()y f x x =-也有零点；

其中正确的命题共有（ ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

三. 解答题

17. 已知复数1i z =-. （1）设25

341

z z ω=

+-+，求ω的值； （2）求满足不等式3

2

a ≥+的实数a 的取值范围.

18. 空间四边形ABCD 中，AB CD =，点M N 、分别为对角线BD AC 、的中点. （1）若直线AB 与MN 所成角为60°，求直线AB 与CD 所成角的大小； （2）若直线AB 与CD 所成角为θ，求直线AB 与MN 所成角的大小.

19. 经过考察，某公司打算对两个项目A B 、进行投资，经测算，投资A 项目x （百万元） 与产生的经济效益1()f x 之间满足：211

()3114

f x x x =-++（百万元），投资项目B 与产生 的项目经济效益2()f x 之间满足：221()423

f x x x =-++（百万元）.

（1）公司现有1200万资金可供投资，应如何分配资金使得投资收益总额最大；

（2）若投资x 百万元的某项目产生的经济效益为()f x 百万元，设投资该项目的边际效应函数为()(1)()F x f x f x =+-，其边际效应值小于0时，不建议投资该项目，那么对项目A 与

B 应如何投资，才能使得经济效益最好？

20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22

2:1(0)3

x y a a Γ+=>的左、右焦点分别为12F F 、，

点A 在椭圆Γ上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆Γ相交于另一点B ，△

12AF F 的周长为6.

（1）求椭圆Γ的方程；

（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与直线2x a =相交于点Q ，求OP PQ ⋅的最大值； （3）设点M 在椭圆Γ上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为1S 、2S ，且21=S S λ，若满足条件的点M 恰有3个，求实数λ的值.