数值分析-插值

对称式：
y
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
a0 a1x0 y0 a0 a1x1 y1
N1 ( x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
L1(x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
令
l0 (x)
x x1 x0 x1
l1 ( x)
x x0 x1 x0
解：
x 30 45 60
已知
sin x 12 ２２ ２３
一次插值 1. 30,45 为节点：
L1 ( x)
x 45 30 45
百度文库
(
1) 2
x 30 45 30
(
2) 2
L1(50) 0.776
2. 45,60 为节点：
~ L1 (
x)
x 60 ( 45 60
2 ) x 45 ( 2 60 45
(1) 2
(x (45
30)(x 60) 30)(45 60)
(
2) 2
(x 30)(x 45) ( 3 ) (60 30)(60 45) 2
L2 (50) 0.7543
考虑误差：已知sin500=0.76604
| sin 50 L1(50) | 0.01010 ~
结论： 1.n越大，误差越小。 2.节点之间的距离越小，误差越大。
逐步线性插值（埃特金插值）
引进专用符号 I0,1, ,k (x) 表示以 x0 , x1, xk 为节点的k次拉格朗日插值公式
如：
I0,1(x)
f (x0 )
f
(
x1 ) x1
f( x0
x0
)
(
x
x0
)
I0,2 (x)
f (x0 )
Ln (x) 是满足插值条件 Ln (x j ) y j , ( j 0,1, , n) 的插值多项式，则对任意
x (a,b) 插值余项
Rn (x)
f (x) Ln (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x)
其中 n1(x) (x x0 )( x x1) (x xn ), (a,b) 且依赖于x的位置。
又由范德蒙行列式可知
1 x0 x02 x0n 1 x1 x12 x1n
1 xn xn2 xnn
(xi x j ) 0 0 jin
∴满足条件（1.1）的多项式是存在且唯一的。
拉格朗日插值多项式
1.
x x0 x1 y y0 y1
点斜式：
y
y0
y1 y0 x x0
(x
x0 )
| sin 50 ~L1(50) | 0.00596 | sin 50 L1(50) | 0.02202
| sin 50 L2 (50) | 0.00061
由此可见：
1.高次插值比低次插值误差小。 2.内插比外推误差小。 3.节点之间距离越小，误差越小。
讨论误差：
设 f (n) (x)在[a,b]上连续，f (n1) (x)在（a,b)内存在，节点 a x0 xn b
o x0x1
Xn-1xn
x
显然插值函数可以很多，其中最简单的是代数多项式，
这种插值函数叫做插值多项式。
于是问题变成：
已知
x x0 x1 xn y y0 y1 yn
求一个多项式 p(x) a0 a1x1 an xn
使 p(xi ) yi (i 0,1,2 n)
这样的插值函数存在唯一性
第四章 插值法
一、问题的提出
在实践中常出现这样的问题，由实验或测量得到一组数据，即
x x0 x1 xn y y0 y1 yn 要求出其近似的函数表达式，也就是寻找一个简单函数 p(x) ，使 p(xi ) y（i i 0,1,2 n) ，这类问题称为插值法。
二、基本概念
设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义，且已知在点a x0 x1 xn b 上的值为 y0 , y1 yn ，若存在一个简单的函数 p(x)使
L1(x) l0 (x) y0 l1(x) y1
2. x x0 x1 x2 y y0 y1 y2
L2 (x) l0 (x) y0 l1(x) y1 l2 (x) y2
3. x x0 x1 xn y y0 y1 yn
Ln (x) l0 (x) y0 l1(x) y1 ln (x) yn
p(x j ) y j ( j 0,1, n) (1.1) 成立，则称 p(x) 为 f (x) 的插值函数，点 x0 , x1, x2 xn 称为插值节点， 区间[a,b]称为插值区间，求 p(x) 的方法称为插值法，条件（1.1）称为
插值条件。 图1.1
y y=p(x) y=f(x)
f
(
x2 ) x2
f( x0
x0
)
(
x
x0
)
过 (x1, I0,1(x) ) 和 (x2 , I0,2 (x) ) 两“点”作线性插值。
I0,1,2 (x)
I 0,1 ( x)
I0,2 (x) x2
I 0,1 ( x) x1
(x
x0 )
两个k-1次插值多项式，把它们看作两点 以此“两点”作线性插值，推出I(X)
其中
li (x)
(x x0 ) (x (xi x0 ) (xi
xi1)( x xi1) (x xn ) xi1)( xi xi1) (xi xn )
例
例1：已知特殊角 30,45,60
的正弦函数值为
1 2
,
2, 2
3 2
用一次插值，
二次插值多项式近似sinx，并用此近似式求sin500的值。
∵ p(xi ) yi 可写成
a0 a1x0 an x0n y0 a0 a1x1 an x1n y1
a0 a1xn an xnn yn
由线性代数的知识知道
1 x0 x02 x0n
系数行列式 1 x1 x12 x1n
1 xn xn2 xnn
≠0 方程有唯一解
3) 2
3. 30,60 为节点：
~~
x 60 1 x 30 3
L1(x)
( )
(
30 60 2 60 30
2
)
~ L1(50) 0.76008 ~~ L1(50) 0.7440226
二次插值 30,45,60 为节点：
L2
(x)
(x (30
45)(x 60) 45)(30 60)
(xk1，I0，1， k （1 x）） (xk，I0，1， k 2，（k x））
I ( x)
I0,1, ,k 1( x)
I 0,1,