上海市复旦大学附属中学2019届高三下学期期末考试数学试题.docx

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上海市复旦大学附属中学20182019学年高二下学期期末考试数学试题.docx

复旦大学附属中学2018学年第二学期高二年级数学期终考试试卷符号说明：i 虚数单位一、填空题1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U A B =I ð______.2.=______.3.从集合{}1,1,2,3-随机取一个为m ，从集合{}2,1,1,2--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=可以表示______个不同的双曲线.4.在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第4项的二项式系数是______（用数字作答）。

5.已知,αβ表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“,αβ构成直二面角”是“m β⊥”的______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“或”“既不充分也不必要”）.6.若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =______.7.复数1121101i 10i 9i1⨯+⨯++⨯L 的虚部是______.8.已知经停某站的高铁列车有100个车次，随机从中选取了40个车次进行统计，统计结果为：10个车次的正点率为0.97，20个车次的正点率为0.98，10个车次的正点率为0.99，则经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为______（精确到0.001）.9.设A ，B 是实数集R 的两个子集，对于x ∈R ，定义：0,,1,,x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩ 0,,1,,x B n x B ∉⎧=⎨∈⎩若对任意x ∈R ，1m n +=，则A ，B ，R 满足的关系式为______.10.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是______.11.6月12日，上海市发布了《上海市生活垃圾分类投放指南》，将人们生活中产生的大部分垃圾分为七大类。

某幢楼前有四个垃圾桶，分别标有“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”，小明同学要将鸡骨头（湿垃圾）、贝壳（干垃圾）、指甲油（有害垃圾）、报纸（可回收物）全部投入到这四个桶中，若每种垃圾投放到每个桶中都是等可能的，那么随机事件“4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中”的概率是______.12.对于无理数x，用x 表示与x 最接近的整数，如3=，2=.设n *∈N ，对于区间11,22n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的无理数x ，定义x xm m C C =，我们知道，若m *∈N ，()n m n *∈≤N 和()r r n *∈≤N ，则有以下两个恒等式成立：①m n mn m C C -=；②11r r r m m m C C C -+=+，那么对于正整数n 和两个无理数()0,m n ∈，()1,r n ∈，以下两个等式依然成立的序号是______；①m n mn m C C -=；②11r r r m m m C C C -+=+.二、选择题13.已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的一个焦点为()0,2F，则该双曲线的方程为（）A.2213x y -= B.2213y x -= C.2213y x -= D.2213x y -= 14.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =11A D 与1DB 所成角的余弦值为（） A.15D.215.高考改革方案出台后，某地某校实行选科走班制度，冯同学选择物理、生物、政治三科，且物理在等级班，生物在合格班。

2019届上海市复旦大学附属中学高三高考4月模拟试题数学试题(解析版)讲解学习

2019届上海市复旦大学附属中学高三高考4月模拟试题数学试题(解析版)2019届上海市复旦大学附属中学高三高考4月模拟试题数学试题一、单选题1．一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A．5800 B．6000 C．6200 D．6400【答案】D【解析】解：∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴当另外两名员工的工资都小于5300时,中位数为(5300+5500)÷2=5400，当另外两名员工的工资都大于5300时,中位数为(6100+6500)÷2=6300，∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400,6300]，∴8位员工月工资的中位数不可能是6400.本题选择D选项.2．下列不等式中，与不等式同解的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将不等式进行等价变形进行对比即可．【详解】不等式等价为，即，故选：D.【点睛】本题主要考查分式不等式的求解和变形，比较基础．3．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，以下结论正确的是（）A．若，，m，n是异面直线，则，相交B．若，，，则C．若，，m，n共面于，则D．若，，，，不平行，则m，n为异面直线【答案】C【解析】解：正方体中，取为棱，平面为，满足选项中的条件，但是，选项错误；取为棱，平面为，满足选项中的条件，但是，选项错误；取为棱，平面为，满足选项中的条件，但是，选项错误；本题选择C选项.二、填空题4．方程的解为________________．【答案】【解析】或（舍）即，解得即答案为 2. 5．已知复数满足，则_____________．【答案】【解析】分析：设，代入，由复数相等的条件列式求得的值得答案．详解：由，得，设，由得，即，解得，所以，则．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力． 6．已知互异的复数a,b 满足ab≠0，集合{a,b}={2a ,2b },则a b += . 【答案】1-【解析】由题意22{ a a b b ==或22{ a b b a ==，因为a b ≠， 0ab ≠， 132{1322a b i =-=--132{1322b a =-+=--或，因此1a b +=-．【考点】集合的相等，解复数方程．7．袋中装有5只大小相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是_____（结果用最简分数表示）.【答案】【解析】从5只球中随机取出3只，共种情况，而取出的3只球的编号之和为奇数，有2偶1奇和3只全为奇数两种情况，由此能求出取出的球的编号之和为奇数的概率．【详解】从5只球中随机取出3只，共种情况，而取出的3只球的编号之和为奇数，有2偶1奇和3只全为奇数两种情况，若取出3只球中有2只偶数1只是奇数，则有种情况，若取出的3只球中有3只是奇数则有种情况，所以取出的球的编号之和为奇数的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．8．已知数列是共有k个项的有限数列，且满足，若，，，则_.【答案】【解析】由题数列是共有个项的有限数列，且满足，则，则……以上各式子同向相加，将代入可得（舍）.故答案为50.9．_____【答案】2【解析】10．△ABC所在平面上一点P满足（，m为常数），若△ABP的面积为6，则△ABC的面积为_____.【答案】12【解析】由已知中P是△ABC所在平面内一点，且满足，我们根据向量加法的三角形法则可得m2，C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，故S△ABC ＝2S△ABP，结合已知中△ABP的面积为6，即可得到答案．【详解】取AC的中点O，则（，m为常数），，到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，故S△ABC=2S△ABP=12.故答案为：12.【点睛】本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义，其中根据m2，得到S△ABC＝2S△ABP，是解答本题的关键．11．若对任意，不等式恒成立，则m的取值范围是_____.【答案】【解析】问题转化为m＞对任意x∈R恒成立，只需由三角函数求出求y＝的最大值即可．【详解】不等式，即.由于的最大值为，，故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的最值，涉及恒成立问题和三角函数公式的应用，属基础题．12．设，为的展开式的各项系数之和，，，（表示不超过实数x的最大整数），则的最小值为_____【答案】【解析】利用赋值法，令可得：，，利用数学归纳法证明：，当时，成立，假设当时不等式成立，即，当时：据此可知命题成立，则，，，故，的几何意义为点到点的距离，如图所示，最小值即到的距离，由点到直线距离公式可得的最小值为.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。

上海市复旦大学附属中学2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)

是符合题目要求的.
13.对于函数 f(x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是( )
A. f(x)在（，）上是递增的
42 C. f(x)的最小正周期为 2
【答案】B
B. f(x)的图象关于原点对称 D. f(x)的最大值为 2
【解析】
【详解】解:
,是周期为的奇函数,
对于 A,
在
上是递减的,错误;
【解析】
【分析】
先将 x 的表示形式求解出来，然后根据范围求出 x 的可取值.
【详解】因为 cos(x ) 1 ，所以 x 2k , k Z ，又因为 x [0, ] ，所以 k 0 ，
32
33
此时
x
0或
2 3
，则可得集合：{0, 2 } . 3
【点睛】本题考查根据三角函数值求解给定区间中变量的值，难度较易.
考点：函数
的对称性、周期性，属于中档题.
11.由正整数组成的数列an ，bn 分别为递增的等差数列、等比数列， a1 b1 1 ，记
cn an bn ，若存在正整数 k （ k 2 ）满足 ck1 100 ， ck1 1000 ，则 ck __________．
【答案】262
【解析】
上海市复旦大学附属中学 2018-2019 学年高一数学下学期期末考试试
题（含解析）
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，将答案填在答题纸上）
1.计算 lim 2n 3 __________． n 3n 1 2
【答案】
3
【解析】
【分析】
采用分离常数法对所给极限式变形，可得到极限值.
解得 d
k 0 不符，当
q
3 9 时，解得 d

上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题

复旦大学附属中学2018-2019学年第一学期高二年级数学期末考试试卷 2019.01 时间：120分钟；满分：100分一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1．抛物线24x y =的准线方程是．2．若方程22171x y m m +=--表示椭圆，则实数m 的取值范围是．3．若直线1:2100l ax y +-=与直线()2:2350l x a y +++=平行，则1l 与2l 之间的距离为． 4．过点()3,3作圆()()22211x y -++=的切线，则切线所在直线的方程为．5．若一条双曲线与2218x y -=有共同渐近线，且与椭圆221202x y +=有相同的焦点，则此双曲线的方程为．6．已知三角形A BC 的顶点()3,0A -、()3,0B ，若顶点C 在抛物线26y x =上移动，则三角形A BC 的重心的轨迹方程为．7．设P 、Q 分别为直线1,82x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数，t ∈R ）和曲线1,:2x C y θθ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数，θ∈R ）上的点，则PQ 的取值范围是．8．已知直线:4380l x y -+=，若P 是抛物线24y x =上的动点，则点P 到直线l 和它到y 轴的距离之和的最小值为．9．如果M 为椭圆221:1259x y C +=上的动点，N 为椭圆222:1925x y C +=上的动点，那么OM ON ⋅的最大值为．10．若关于x x a a =--有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是． 11．已知直线:0l ax by +=与椭圆2219y x +=交于A 、B 两点，若()5,5C ，则CA CB ⋅的取值范围是．12．在平面直角坐标系中，已知圆222:C x y r +=与曲线x =交于两点M 、N （M 在第一象限），与y 轴正半轴交于P 点．若()0OT mOM m =>，点()7,2Q -，则当m 和r 变化时，T P N Q +的最小值为．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．方程223820x xy y -+=所表示的曲线的对称性是（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于y x =轴对称D ．关于原点对称 14．若点(),a b 是圆222x y r +=外一点，则直线2ax by r +=与圆的位置关系是（） A ．相离 B ．相切 C ．相交且不过圆心 D ．相交且过圆心15．已知R θ∈，由所有直线()():2cos 1sin 1L x y θθ-+-=组成的集合记为M ，则下列命题中的假命题是（）A ．存在一个圆与所有直线相交B ．存在一个圆与所有直线不相交C ．存在一个圆与所有直线相切D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等16．双曲线221x y -=的左右焦点分别为1F 、2F ，若P 是双曲线左支上的一个动点，则12PF F △的内切圆的圆心可能是（）A ．()1,2- B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()2,1-三、解答题（本大题共5题，共76分）17．（本题14分）已知圆C 的圆心在直线80x y +-=上，并且圆C 与直线1:221l y x =-和2:211l y x =-都相切．（1）求圆C 的方程；（2）若直线:2614l x ay a ax ++=+与圆C 有两个不同的交点M 、N ，求弦M N 长的最小值．18．（本题14分）在平面直角坐标系x Oy 中，动圆M 经过点()1,0F 并且与直线1x =-相切，设动圆M 圆心的轨迹为曲线C ．（1）如果直线l 过点()0,4，且和曲线C 只有一个公共点，求直线l 的方程；（2）已知不经过原点的直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，判断命题“如果90A OB ∠=︒，那么直线l 经过点()4,0T ”是真命题还是假命题，并说明理由．19．（本题14分）轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向．现有A 、B 、C 三个无线电发射台，其中A 在陆地上，B 在海上，C 在某国海岸线上，（该国这段海岸线可以近似地看作直线的一部分），如下图．已知A 、B 两点距离10千米，C 是A B 的中点，海岸线与直线A B 的夹角为45︒．为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收到A 点的信号比接收到B 点的信号晚137500秒．（注：无线电信号每秒传播5310⨯千米）．在某时刻，测得轮船距离C 点距离为4千米．（1）以点C 为原点，直线A B 为x 轴建立平面直角坐标系（如图），求出该时刻轮船的位置；（2）根据经验，船只在距离海岸线1.5千米以内的海域航行时，有搁浅的风险．如果轮船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险?20．（本题16分）已知椭圆C 的两个焦点分别为()1,0F c -、()()2,00F c c >，短轴的两个端点分别为1B 、2B ，且112F B B △为等边三角形．（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆C 的方程；（2）如果在椭圆C 上存在不同的两点P 、Q 关于直线112y x =+对称，求实数c 的取值范围；（3）已知点()0,1M ，椭圆C 上两点A 、B 满足2A M M B =，求点B 横坐标的取值范围．21．（本题18分）已知点1F 、2F 为双曲线()222:10y C x b b-=>的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230M F F ∠=︒．（1）求双曲线C 的两条渐近线的夹角θ；（2）过点2F 的直线l 和双曲线C 的右支交于A 、B 两点，求1A F B △的面积的最小值；（3）过双曲线C 上任意一点Q 分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于1Q 、2Q 两点，求平行四边形12OQ QQ 的面积．复旦大学附属中学2018-2019学年第一学期高二年级数学期末考试试卷 2019.01参考答案一、填空题1．1y =- 2．()()1,44,7 3． 4．3x =或158210x y --= 5．221162x y -=6．()220y x y =≠ 7．)+∞ 8．75 9．15 10．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．[]41,49 12．7【第8题解析】()()127111155F l PA PB PH PB PF PB d →+=-+=+--=-=≥【第9题解析】参数方程：设()5cos ,3sin M αα、()3cos ,5sin N ββ，则()[]15cos cos 15sin sin 15cos 15,15OM ON αβαβαβ⋅=+=-∈-．【第10题解析】转化为y y x a a =--的图像有两个不同的交点，如图，当0a ≥时，要满足条件，则21a ≤，∴102a ≤≤；类似，当0a <时，102a -≤≤；综上，实数a 的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【第11题解析】直线:0l ax by +=过原点，结合椭圆图形的对称性可知A 、B 两点关于原点对称，方法一：设()00,A x y 、()00,B x y --，则()()()220000005,55,550CA CB x y x y x y ⋅=--⋅----=-+，[],OA b a[]1,3，∴[]41,49CA CB ⋅∈．方法二：利用参数方程，设()cos ,3sin A θθ、()cos ,3sin B θθ--，则[]22250cos 9sin 498sin 41,49CA CB θθθ⋅=--=-∈．【第12题解析】易得60POT N OT ∠=∠=︒，从而可证POT N OT △≌△，∴T P T N =，点Q关于:ON l y =的对称点为Q '⎝⎭，记:0l x =，则7Q l d '→=，∴7Q l T P N Q T N N Q d '→'+=+=≥．二、选择题13．D 14．C 15．D 16．B 【第14题解析】由题意，得222a b r +>，从而圆心()0,0到直线的距离为()20,d r =，∴选D ．【第15题解析】L 表示圆()()22211x y -+-=的所有切线，符合选项A 、B 、C 的圆依次为()()22212x y -+-=、()()221212x y -+-=、()()22211x y -+-=，对于选项D ，存在如右图的两种大小不相等的正三角形，∴D 错误，选D ．【第16题解析】设内切圆圆心为I ，内切圆与12F F 、2P F 、1PF 的切点分别为A 、B 、C ，则由切线长定理，知11A F CF =、22A F BF =、PB PC =， ∴()()21212121A F A F BF CF BF PB CF PC PF PF -=-=+-+=-， ∴A 为双曲线的左顶点()1,0-且IA x ⊥轴，设PI 所在直线与12F F 的交点为D ，由角平分线定理，知1212PF PF F D F D=，由于12PF PF <，∴点D 一定位于1F O 上，因此，若内心I 在第二象限，则其一定位于渐近线的下方，在第三象限，则其一定位于渐近线的上方，即I 的坐标一定为()1,y -，其中()()1,00,1y ∈-，∴选B ．三、解答题17．（1）圆心C 为216y x =-与80x y +-=的交点，解得()8,0C ，圆的直径为两平行线1l 与2l间的距离，可求出半径r =∴圆C 的方程为()2285x y -+=；（2）直线l 过定点()7,1D ，由垂径定理知，当CD 为直线l 的法向量时，弦心距最长，弦最短，∴minM N ==18．（1）①直线l 的斜率不存在，即l 的方程为0x =，符合题意，②直线l 的斜率不存在，设:4l y kx =+，与抛物线方程联立得24160ky y -+=，（ⅰ）0k =，符合题意，此时l 的方程为4y =，（ⅱ）0k ≠，则0∆=，解得14k =，此时l 的方程为4160x y -+=，综上，符合题意的直线l 的方程为0x =、4y =、4160x y -+=；（2）由图形的对称性，若直线l 过定点，则该定点必定落在x 轴上，设定点坐标为()(),00t t ≠、:l x my t =+、()11,A x y 、()22,B x y ， 224404x my t y my t y x =+⎧⇒--=⎨=⎩，则121244y y m y y t+=⎧⎨=-⎩， ∵90A OB ∠=︒，∴12120OA OB x x y y ⋅=+=，即221212044y y y y ⋅+=，解得4t =或0t =（舍），∴命题为真命题．19．（1）设轮船在点(),P x y 处，则由题意，得51310837500PA PB A B -=⨯⨯=<， ∴P 为以A 、B 为焦点，实轴长为8，焦距为10的双曲线右支上的点，其方程为()2214169x y x -=≥，又4PC =，解得()4,0P ；（2）海岸线所在直线的方程为y x =，与其平行，且距离为1.5的直线的方程为y x =±考虑y x =±()2214169x y x -=≥是否有交点，22217482216014400169x y x x y x ⎧-=⎪⇒+=⇒∆=-<⎨⎪=±⎩，∴y x =±()2214169x y x -=≥没有交点，即轮船保持目前的航路不变，没有搁浅风险．20．（1）由题意，得242a a =⇒=，12a b ==，∴椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）“点差法”设椭圆C 的方程为22221433x y c c +=，即2223124x y c +=，设()11,P x y 、()22,Q x y 、P Q 中点()00,R x y ，则()()()()222122222110121212222121202233124323122121223124x x x y c x y y x x y y x x y y y x y c ⎧++=⋅-⎪⇒-=--⇒-==-=-⎨-+⋅+=⎪⎩，得008x y =，又00112y x =+，解得81,33R ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，显然R 在椭圆内，∴22281312433c ⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2173c >，又0c >，∴c ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭；（3）设椭圆方程()2222114x y b b b+=>，即22244x y b +=，方法一：（常规解法）①过A 、B 的直线斜率不存在，即直线方程为0x =时，()0,A b -、()0,B b ，由2A M M B =，得()1213b b b +=-⇒=，②过A 、B 的直线斜率存在，设直线方程为1y kx =+、()11,A x y 、()22,B x y ，由2A M M B =，得122x x -=，()()222222441484401x y b k x kx b y kx ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩，则()()22212222222221222264414440881414441282441414k k b k k x x x x k k b k x x x b k k ⎧∆=-+->⎪⎪⎪+=-=-⇒=⎨++⎪⎪--==-⇒-=⎪⎩++，由0∆>，可得0k ≠， ∴[)(]22882,00,21144k x k k k==∈-++，综上，点B 横坐标的取值范围是[]2,2-．方法二：设(),1B m n +，则()2,12A m n --，()()[]222222224141311,34444124m n bb b n n b b m n b⎧++=-+⎪⇒=⇒+=⇒∈⎨+-=⎪⎩≤，又1b >，∴(]21,9b ∈，∴()[]224225161090,444b b b m --+-+-==∈，∴[]2,2m ∈-，即点B 横坐标的取值范围是[]2,2-．21．（1）由题意，得122F F c =，122a M F M F c=-=⇒==∴2222b c a=-=，∴双曲线C的方程为y=，∴1cos3θ==，∴1arccos3θ=；（2）【注：若设点斜式，需补上斜率不存在的情况】设:l x my=()11,A x y、()22,B x y，将直线l的方程代入双曲线方程，消去x，得()222140m y-++=，则()22121224816210421m my yy ym⎧∆=-->⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=<⎪⎩-，得212m<≤，112121122A F BS F F y y=⋅⋅-=⋅=△令21t m=+，31,2t⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1A F BS==△其中9412tt+-在31,2t⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递减，∴1A F BS=△在31,2t⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，∴当1t=时，1AF BS△取得最小值，此时0m=，l的方程为x=（3）设()00,Q x y，其中220022x y-=方法一：设)100:QQl y x xy-+，与y=联立，可求出1Q⎝⎭，由三阶行列式表示的三角形面积公式可得12100121201OQ QQ OQQyyS S+==△==．方法二：如图，12Q QQ πθ∠=-，12OQ Q OQ Q θ∠=∠= 设Q到y =和y =的距离为1d 、2d ，则11sin d QQ θ=，22sin d QQ θ==， ∴()121222001222sin 3sin OQ QQ Q QQ x y S S QQ QQ πθθ-==⋅⋅-===△。

上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含解析

抛物线【答案】轴上以及【详解】因为抛物线的标准方程为所以：，所以所以准线方程为：故答案是：若方程表示椭圆，则实数【答案】可知方程表示椭圆的条件是：，所以实数的取值范围是故答案是：若直线与直线平行，与【答案】利用直线平行可求得，解得，，整理得，故答案是：【点睛】该题考查的是有关两条平行线间的距离问题，涉及到的知识点有两条直线平行的条过点的切线，则切线所在直线的方程为【答案】或利用圆心到直线的距离等于半径求得【详解】过点，直线斜率不存在时方程为，到直线的距离为，切线斜率存在时，直线设为，到直线的距离为，整理解得；切线方程为或，故答案是：或.若一条双曲线与且与椭圆【答案】【解析】由椭圆方程求出椭圆及双曲线的半焦距，设出与双曲线，化为标准方程，结合双曲线中的隐含条件求得【详解】由得，所以，得，即椭圆的半焦距为，有相同渐近线的双曲线方程为因为所求双曲线的焦点在轴上，则双曲线方程化为根据椭圆和双曲线共焦点，所以有，解得所以所求双曲线的方程为：故答案是：【点睛】该题考查的是有关共渐近线的双曲线的方程的求解问题，涉及到的知识点有已知椭的顶点、若顶点在抛物线则三角形【答案】【解析】三角形的三个顶点不共线，去掉相应的点，即可得到结果【详解】设的重心，，即因为点C在曲线所以有，即因为三角形的三个顶点不能共线，所以的重心的轨迹方程为：，故答案是：【点睛】该题考查的是有关动点的轨迹方程的求解问题，涉及到的知识点有三角形重心坐标、分别为直线（为参数，）和曲线（为参数，）上的点，则的取值范围是______【答案】的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，从而得到相应的范围【详解】由，（为参数）可得曲线的普通方程为因为点P、Q分别为直线和圆上的动点，，可以无穷远，的取值范围是，故答案是：已知直线，若是抛物线上的动点，则点到直线和它到【答案】从而将其转化为求抛物线的焦点到直线【详解】故答案是：.【点睛】该题考查的是有关抛物线上的点到两条定直线的距离之和的最小值问题，涉及到的如果为椭圆上的动点，为椭圆那么【详解】利用椭圆的参数方程：设若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数【答案】首先将关于的方程（上半个单位圆）与的图像有两个不同的交点，画出图形，分类讨论，最后求得结果【详解】转化为（上半个单位圆）与当时，要满足条件，则；类似，当时，综上，实数的取值范围是．【点睛】该题考查的是有关根据方程解的个数求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有已知直线与椭圆交于、两点，若，则的取值范围是【答案】、，利用向量的运算法则以及向量数量积坐标运算公式，求得后结合【详解】直线过原点，结合椭圆图形的对称性可知方法一：设、，，即，∴方法二：利用参数方程，设【点睛】该题考查的是有关一个点与椭圆上两个关于原点对称的点所构成的向量的数量积的已知圆与曲线交于两点、（轴正半轴交于点．若，则当和变化时，的最小，可得从而可证，∴关于的对称点为，则，∴【点睛】该题考查的是有关线段和的最值的问题，在解题的过程中，注意利用对称将问题转方程关于轴对称关于关于轴对称将方程中的分别换为，以及将换成方程中的，比较所得方程与原方程是否相同，最后得到结果将方程中的，方程变为故关于将方程中的换为，方程变为，与原方程相同，故关于将方程中的换为，与原方程不同，故不关于直线对称；可知曲线既关于轴对称，又关于轴对称，从而得到其关于原点对称；若点是圆外一点，则直线，从而圆心到直线，由此能判断出直线【详解】由题意，得从而圆心到直线的距离为已知，由所有直线组成的集合记为首先能够确定直线是表示的圆径的大小，得到与直线相交，相离和相切，从而确定出【详解】根据点的距离为，表示圆的所有切线，符合选项A、B、C的圆依次为对于选项D，存在如下图的两种大小不相等的正三角形，∴D【点睛】该题考查的是有关定圆的切线系方程，利用点到直线的距离可以确定直线系圆的切线系，之后对选项逐项分析，找到对应的结果，从而得到答案16.双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线左支上的一个动点，的内切圆的圆心可能是（C. D.横坐标为【详解】设内切圆圆心为，内切圆与、、的切点分别为、则由切线长定理，知、、，为双曲线的左顶点且轴，的交点为，由角平分线定理，知，∴点一定位于因此，若内心在第二象限，则其一定位于渐近线的下方，在第三象限，的坐标一定为，已知圆上，并且圆与直线和都相切．）求圆）若直线与圆有两个不同的交点，求弦（）的交点，解方程组求得，由两平行线间的距离求得圆的半径，从而得到圆的）由直线的方程可以断定直线过定点，根据垂径定理，得到最小值求得结果）圆心与的交点，解得圆的直径为两平行线间的距离，可求出半径的方程为）直线过定点，由垂径定理知，为直线的法向量时，弦心距最长，弦最短，在平面直角坐标系中，动圆经过点相切，设动圆迹为曲线过点（，且和曲线只有一个公共点，求直线）已知不经过原点的直线与曲线、两点，判断命题“如果经过点）直线的方程为、、的方程为①直线的斜率不存在，即的方程为，符合题意，②直线的斜率存在，设与抛物线方程联立得（ⅰ），符合题意，此时的方程为，（ⅱ），则，解得，此时的方程为的方程为、）由图形的对称性，若直线过定点，则该定点必定落在、、、，则∵，∴，即或轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向．现有、三个无线电发射台，其中在陆地上，在海上，，如下图．已知、千米，是的夹角为接收到点的信号比接收到秒．（注：无线电信号每秒传播千米）．在某时刻，测得轮船距离千米．（1）以点为原点，直线为（2）根据经验，船只在距离海岸线持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险【答案】（1）见解析；（【解析】【分析】）设轮船在点处，则由题意，得为以、的双曲线右支上的点，其方程为，又，解得；（2）海岸线所在直线的方程为，与其平行，且距离为1.5的直线的方程为，考虑与是否有交点，∴与没有交点，即轮船保持目前的航路不变，没有搁浅风险．已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、，且（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆（2）如果在椭圆上存在不同的两点、关于直线（3）已知点，椭圆上两点满足，求点（（）可得，得从而求得椭圆的方程；）由题意，得，，∴椭圆的方程为的方程为，即，、中点，，又，解得，在椭圆内，∴，得，∴）设椭圆方程，即，（常规解法）、的直线斜率不存在，即直线方程为时，、，得、的直线斜率存在，设直线方程为、，得，，由，可得，，综上，点横坐标的取值范围是．方法二：设，则，又，∴，，即点横坐标的取值范围是．已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在于点，且．（1）求双曲线的两条渐近线的夹角（2）过点的直线和双曲线的右支交于、两点，求的面积的最小值；（3）过双曲线上任意一点分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于、两点，求平行四边形【答案】（1））【解析】【分析】求得）由题意，得，∴，∴双曲线的方程为，∴2）【注：若设点斜式，需补上斜率不存在的情况】，、将直线的方程代入双曲线方程，消去，得，得，令，，则在上单调递减，在上单调递增，∴当时，取得最小值，此时，的方程为；）设，其中方法一：设，与联立，可求出由三阶行列式表示的三角形面积公式．方法二：如图，到和的距离为、【点睛】该题考查的是有关双曲线与直线的综合题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线的夹角，双曲线中三角形的面积，四边形的面积，属于较难题目.。

上海复旦大学附中2019年高三数学二轮练习单元练习：不等式

上海复旦大学附中2019年高三数学二轮练习单元练习：不等式本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分．总分值150分．考试时间120分钟．第一卷(选择题共60分)【一】选择题(本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．设M ＝2a(a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，那么有( ) A 、M ＞N B 、M≥N C 、M ＜ND 、M≤N【答案】B$2．不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于R x ∈恒成立，那么a 的取值范围是( )A 、)2,2(-B 、]2,2(-C 、]2,(-∞D 、)2,(--∞【答案】B3．今有甲、乙、丙、丁四人通过〝拔河〞进行〝体力〞较量。

当甲、乙两人为一方，丙、丁两人为另一方时，双方势均力敌；当甲与丙对调以后，甲、丁一方轻而易举地战胜了乙、丙一方；而乙凭其一人之力便战胜了甲、丙两人的组合。

那么，甲、乙、丙、丁四人的〝体力〞由强到弱的顺序是( )A 、丁、乙、甲、丙B 、乙、丁、甲、丙C 、丁、乙、丙、甲D 、乙、丁、丙、甲【答案】A4．不等式222xy ax y ≤+，假设对任意[]1,2x ∈及[]2,3y ∈，该不等式恒成立，那么实数a 的范围是( )》A 、3519a -≤≤- B 、31a -≤≤- C 、3a ≥- D 、1a ≥-【答案】D5．0,0>>b a ，以下三个结论：①22b a b a ab +≤+，②，2222b a b a +≤+ ③b a baab+≥+22，其中正确的个数是( )A 、0B 、1C 、2D 、3【答案】D6．设函数)0(112)(<-+=x xx x f ，那么)(x f ( ) A 、有最大值B 、有最小值C 、是增函数D 、是减函数；【答案】A7．实数,a b 满足01a b <<<，那么以下不等式正确的选项是( ) A 、b a a b < B 、b b a b --< C 、a b a b --< D 、b b b a < 【答案】A8．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费用为9万元，这种生产设备的维护费用：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年递增，那么这套生产设备最多使用( )年报废最划算。

上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题(教师版)

复旦大学附属中学2019学年第二学期高一年级数学期末考试试卷时间：120分钟满分：150分 2020.07.06一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．1. 1-和4-的等比中项为__________．【答案】2± 【解析】【分析】根据等比中项定义直接求解.【详解】1-和4-的等比中项为2=± 故答案为：2±【点睛】本题考查等比中项，考查基本分析求解能力，属基础题.2. 化简求值：1tan arccos 3⎛⎫= ⎪⎝⎭________．【答案】【解析】【分析】设1arccos3α=，求出α的正弦值、余弦值，利用商数关系可得到答案．【详解】由反余弦函数定义得1arccos (0,)32π∈，11cos(arccos )33=，∴1sin(arccos )33===，1sin(arcsin )13tan(arccos )13cos(arccos )3==故答案为：【点睛】本题考查反余弦函数定义，考查平方关系，属于基础题. 3. 若函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的局部图像如下图，则ω=_______．【答案】4 【解析】【分析】根据图象确定周期，解得ω. 【详解】由图得0022()442T x x Tπππω=+-=∴== 故答案为：4【点睛】本题考查函数周期，考查数形结合思想方法，属基础题.4. 若三角式等式2cos 2cos cos x a b x c x =++（,,a b c 为常数），对于任意x ∈R 都成立，则a b c -+=______．【答案】1 【解析】【分析】利用特值法，分别取2x π=，x π=，0x =，代入三角等式即可得到答案.【详解】因为三角式等式2cos 2cos cos x a b x c x =++（,,a b c 为常数），对于任意x ∈R 都成立，所以当2x π=时，2cos coscos 22πππ=++a b c ，解得：1a =-.当x π=时，2cos 2cos cos πππ=++a b c ，即：1=-+a b c .当0x =时，2cos0cos0cos 0=++a b c ，即：1a b c =++.所以1111b c b c =--+⎧⎨=-++⎩，解得02b c =⎧⎨=⎩. 所以1021-+=-++=a b c . 故答案为：1【点睛】本题主要考查特殊三角函数值得用法，特值法为解决本题的关键，属于简单题.5. lim 1nn r r →∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭存在，则实数r 的取值范围是________．【答案】12r >- 【解析】【分析】根据数列极限存在的条件求解.，【详解】因为lim 1nn r r →∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭存在，所以011<<+rr ，解得12r >-故答案为：12r >-【点睛】本题主要考查数列极限的定义和性质，属于基础题.6. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则2020S =_________．【答案】1010 【解析】【分析】先证明当A 、C 、B 共线且OB mOA nOC =+，则1m n +=，根据题意可求得12020a a +的值，然后利用等差数列求和公式可求得2020S 的值.【详解】当A 、C 、B 共线时，则AB 、AC 共线，可设AB AC λ=，所以，()OB OA OC OA λ-=-，()1OB OA OC λλ∴=-+，又OB mOA nOC =+，则()11m n λλ+=-+=，由于12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则120201a a +=，由等差数列的求和公式可得()120202020202020201101022a a S +⨯===.故答案为：1010.【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了三点共线结论的应用，考查计算能力，属于中等题. 7.123PP P 是边长为1的正三角形，则12(,1,2,3,)i j PP PP i j i j ⋅=≠取值集合为__________．【答案】111,,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】根据数量积的定义，分别求2112PP PP ⋅、1122PP P P ⋅、1213PP PP ⋅、1132PP P P ⋅、3122PP P P ⋅、2132PP P P ⋅，即可得12(,1,2,3,)i j PP PP i j i j ⋅=≠取值集合. 【详解】如图：由向量数量积的定义得：11212122cos01111PP PP PP PP ⋅==⨯⨯=； ()12122121cos1801111PP P P PP P P ⋅==⨯⨯-=-； 1212131311cos601122PP PP PP PP ⋅==⨯⨯=； 3112123111cos1201122PP P P PP P P ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 2312122311cos1201122PP P P PP P P ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 1212323211cos601122PP P P PP P P ⋅==⨯⨯=. 故构成的集合为：111,,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义，属于基础题.8. 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ=___________.【答案】4 【解析】【详解】以向量a ，b 的交点为原点，建立直角坐标系，则a =(-1,1)， b =(6,2)， c = (-1,-3)，由c =λa ＋μb ，得()()()1,31,16,2λμ--=-+，即61,{23,λμλμ-+=-+=-解得12,2λμ=-=-，4λμ=.【考点定位】本小题考查了平面向量的线性运算、坐标运算和平面向量基本定理.9. 已知{}n a 是等差数列, 11a =,公差0d ≠,n S 为其前n 项和,若1a ,2a ,5a 成等比数列,则8S =_____. 【答案】64 【解析】【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．【详解】解：因为{}n a 为等差数列,且1a ,2a ,5a 成等比数列,所以()()21114a a d a d +=+,解得122d a ==,所以()()818818818826422S a d ⨯-⨯-=+=+⨯=.故答案为：64【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10. 如图是由6个宽、高分别为1b，1a；2b，2a；3b，3a；…；6b，6a，的矩形在第一象限紧挨拼成()123456a a a a a a>>>>>>．显然6个矩形面积之和为6112266S a b a b a b=+++．若记12i iT b b b=+++，1,2,,6i=，则上述面积又可以写成()()()6121232565S a a T a a T a a T X=-+-++-+形式，其中代数式X=________．（用题目中元素ia，ib，iT的最简形式表达）【答案】66a T【解析】【分析】根据题中条件，找出规律，进而可得出结果.【详解】由题意，()()611226*********S a b a b a b a T a T T a T T=+++=+-++-()()()12123256566a a T a a T a a T a T=-+-++-+故66X a T=.故答案为：66a T.【点睛】本题主要考查合情推理的简单应用，属于基础题型.11. 已知()f x为偶函数，当0x≥时，1cos,[0,]2()121,(,)2x xf xx xπ⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x-≤的解集为__________．【答案】4712{|}3443x x x ≤≤≤≤或【解析】当102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，由()1 2f x =，即1 2cos x π= 则 3x ππ=，即1 3x =当12x >时，由()1 2f x =，得121?2x -=，解得3 4x = 则当0x ≥时，不等式()12f x ≤的解为1334x ≤≤则由()f x 为偶函数∴当0x <时，不等式()12f x ≤的解为3143x -≤≤- 即不等式()12f x ≤的解为1334x ≤≤或3143x -≤≤-则由13134x ≤-≤或31143x -≤-≤-解得：4734x ≤≤或1243x ≤≤即不等式()112f x -≤的解集为4712{|}3443x x x ≤≤≤≤或点睛：本题是一道关于分段函数的应用的题目，考查了不等式的求解以及函数的图象问题．先求出当0x ≥时，不等式()12f x ≤的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域()12f x ≤的解，即可得到结论． 12. 三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点O 在ABC 内部，用A B C S S S 、、分别代表OBC 、OCA 、OAB 的面积，则有0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．现在假设锐角三角形顶点,,A B C 所对的边长分别为,,,a b c H 为其垂心，,,HA HB HC 的单位向量分别为123,,e e e ，则123ae be ce ++=_________．【答案】0 【解析】【分析】由0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=可得112a HD HA e ⋅+212b HE HB e ⋅+3102c HF HC e ⋅=，根据相似三角形可得HD HA HE HB =，HF HC HE HB =，即HD HA HE HB =HF HC =，即可得1230ae be ce ++=【详解】由0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=可得1231110222a HD HA e bHE HB e c HF HC e ⋅+⋅+⋅= 根据BHD AHE ∽可得HD HA HE HB =，同理可得HF HC HE HB =，所以HD HA HE HB =HF HC =，所以1230ae be ce ++= 故答案为：0【点睛】本题以三角形中的结论为载体，考查了垂心的性质，涉及三角形面积公式、相似三角形的性质，属于难题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 对二元一次方程组1223x y c x y c -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵A 经过一系列的初等行变换，得：103~011A ⎛⎫⎪-⎝⎭，则列向量12c c ⎛⎫⎪⎝⎭为（）A. 58⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 31⎛⎫⎪-⎝⎭C. 57⎛⎫⎪-⎝⎭D. 51⎛⎫⎪-⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】首先根据题意得到3x =，1y =-，再代入方程组即可得到答案.【详解】二元一次方程组1223x y c x y c -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵A 经过一系列的初等行变换，得：103~011A ⎛⎫⎪-⎝⎭，所以3x =，1y =-，所以1232331c c +=⎧⎨⨯-=⎩，即1258c c =⎧⎨=⎩. 列向量12c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭为58⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】本题主要考查方程组的增广矩阵，属于简单题. 14. 已知2sin 23α=，则2sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A.16B.12C.13D.56【答案】D 【解析】【分析】利用二倍角降幂公式和诱导公式可求得2sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【详解】由二倍角的降幂公式可得221cos 211sin 2523sin 42226παπαα⎛⎫-++⎪+⎛⎫⎝⎭+==== ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查利用二倍角降幂公式和诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题. 15. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（） A. 0d < B. 0d > C. 10a d < D. 10a d >【答案】C 【解析】试题分析：因为{}n a 是等差数列，则2111(1)1(1)22n a a a a n dn a a n d +-=+-∴=，又由于{}12na a 为递减数列，所以1111-01221202nn a a a d a a a d +=>=∴<，故选C.考点：1.等差数列的概念；2.递减数列.16. 根据下面一组等式：11s =， 2235s =+=，345615s =++=， 47891034s =+++=， 5111213141565s =++++=， 6161718192021111s =+++++=，……可得21n S -=（） A. 324641n n n -+- B. 1413n - C. 2184023n n -+D. (1)12n n -+【答案】A 【解析】【分析】求出第()1n -行最后一项，可得第n 行为第一项，求出第n 行最后一项，根据第n 是等差数列求出n S ，即可求出21n S -.【详解】易得第()1n -行最后一项为[]21(1)(1)22n n n n +---=，则第n 行第一项为212n n-+，第n 行最后一项为2(1)22n n n n++=，故第n 行为第一项212n n -+，最后一项为22n n+，项数为n 的等差数列，故22312222n n n n n n n n S ⎛⎫-+++ ⎪+⎝⎭==，所以32214641n S n n n -=-+-.故选：A.【点睛】本题考查对数列的理解，以及等差数列的前n 项和的求法，属于中档题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写岀必要的步骤．17. 已知(cos ,sin ),(cos 3sin ,3cos sin),()a x xb x x x x f x a b ==+-=⋅（1）求()f x 的解析式及其最小正周期；（2）求()f x 的单调增区间．【答案】（1）()2sin 2,6f x x T ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标表示，将()f x a b =⋅表示出来，再利用二倍角公式、辅助角公式即可化简()f x ，由周期公式即可得周期. （2）令222262k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈，解得x 的范围即为()f x 的单调增区间.【详解】（1）())()cos cos sin sin f x a b x x x xx x =⋅=++-22cos sin cos cos 22x x x x x x =-+= 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭最小正周期22T ππ== （2）令222262k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈解得：36k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈所以()f x 的单调增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈【点睛】本题主要考查了三角公式的二倍角公式、辅助角公式，考查了求解三角函数的周期和单调区间，涉及了向量数量积的坐标表示，属于中档题.18. 在斜三角形ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、且()222sin cos cos()ba c A A ac A C --=+，（1）求角A 大小；（2）若sin cos BC>，求角C 的取值范围．【答案】（1）4π；（2）,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简条件，解得角A ；（2）将B 化为C ，再根据两角和正弦公式化简，最后根据正切函数性质解不等式得结果. 【详解】（1）()222sin cos cos()ba c A A ac A C --=+()2cos sin cos cos()ac B A A ac B π∴-=- ()2cos sin cos cos ac B A A ac B ∴-=-因为斜三角形ABC 中cos 0,B ≠2sin cos 1sin 212,24A A A A A ππ∴=∴=∴==；（2）sin()sin 4cos cos CB C Cπ+>>22tan 1(,)cos 42C CC C C ππ∴>>∴∈ 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角和正弦公式、正切函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.19. 某水泥厂计划用一台小型卡车从厂区库房运送20根水泥电线杆，到一条公路沿着路侧架设，已知库房到该公路入口处500米，从库房出发卡车进入公路后继续行驶，直到离入口50米处时放下第一根电线杆，然后沿着该公路同一侧边每隔50米逐一放下余下电线杆，放完折返库房重新装运剩余电线杆．已知卡车每趟从库房最多只能运送3根水泥杆．问：卡车运送完这批水泥杆，并最终返回库房，至少运送几趟？最少行驶多少米？【答案】至少运送7趟，最少行驶14700米.【解析】【分析】根据每趟从库房最多只能运送3根水泥杆确定运送趟数，再根据等差数列求和公式计算行驶路程. 【详解】因为每趟从库房最多只能运送3根水泥杆，20362=⨯+，所以至少运送7趟，第一趟运送2根，后6趟每次运送3根时行驶路程最少，后6趟行驶路程构成以为(500505)2+⨯⨯首项，(5032)⨯⨯为公差的等差数列，最少行驶16(500505)2(5032)65(500502)2147002+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯=米【点睛】本题考查数列在实际问题中应用、等差数列求和公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 20. 设数列{}n x 各项均为正数，且满足()22221222,n x x x n n n N ++++=+∈，（1）求数列{}n x 的通项公式n x ；（2）已知122311113n n xx x x x x ++++=+++，求n ；（3）试用数学归纳法证明：2122312(1)1n n x x x x x x n +⎡⎤+++<+-⎣⎦．【答案】（1）*n x n N =∈；（2）48；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据和项与通项关系求得2n x ，解得n x ；（2）利用裂项相消法化简条件，解得结果；（3）先证明1n =成立，再根据n k =成立推导1n k =+成立即可.【详解】（1）当2n ≥时222222221212122,2(1)2(1),n n x x x n n x x x n n -+++=++++=-+-所以222222(1)2(1)4n n n n n x n =+----=当1n =时221224,40n n n x x nx x =+=∴=>∴=（2）1112n n x x +==+所以122311111111(21)(32)(1)(1)32222n n n n n x x x x x x ++++=-+-+++-=+=+++解得48n =；（3）①当1n =时, 212222232[(11)1]x x =⨯<⨯=+-，即1n =时,结论成立； ②假设当,(1,)n k k k Z =≥∈时,结论成立，即2122312(1)1k k x x x x x x k +⎡⎤+++<+-⎣⎦当1n k =+时, 21212122312(1)1k k k k k k x x x x x x x x x k x ++++++⎡⎤+++<+⎣⎦+-因为21224122(2(1)12(212)3)k k x k x k k k k ++⎡⎤⎡⎤+-+-+=++⎣-⎦++⎣⎦22222(41282(2)12(2)14129)k k k k k k =+++-+⎡⎤⎡⎤+-+-+⎣<⎦⎣⎦即当1n k =+时, 结论成立；由①②得，2122312(1)1n n x x x x x x n +⎡⎤+++<+-⎣⎦【点睛】本题考查根据和项求通项、裂项相消法求和、数学归纳法证明不等式，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.21. 借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图象的旋转问题．试解答下列问题．（1）在直角坐标系中，点133,122A ⎫-⎪⎪⎭，将点A 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转6π到点B ，如果终边经过点A 的角记为α，那么终边经过点B 的角记为6πα+．试用三角比知识，求点B 的坐标；（2）如图，设向量(),AB h k =，把向量AB 按逆时针方向旋转θ角得向量AC ，试用h 、k 、θ表示向量AC 的坐标；（3）设(),Aa a 、(),B m n 为不重合的两定点，将点B 绕点A 按逆时针方向旋转θ角得点C ，判断C 是否能够落在直线y x =上，若能，试用a 、m 、n 表示相应θ的值，若不能，说明理由．【答案】（1）()2,1；（2）()cos sin ,cos sin AC h k k h θθθθ=-+；（3）能，()(),22arctan ,22k k Z m n a m n k k Z m n am n a ππθπ⎧+∈+=⎪⎪=⎨-⎪+∈+≠⎪+-⎩.【解析】【分析】（1）计算出OA 以及sin α、cos α的值，利用两角和的正弦和余弦公式可求得cos 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭和sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而可得点B 的坐标；（2）记AB r =，cos h r β=，sin krβ=，可得出()()()cos ,sin AC r r βθβθ=++，利用两角和的正、余弦公式可求得向量AC 的坐标；（3）求得点C 的坐标，由点C 在直线y x =上可得出()()2sin cos m n a m n θθ+-=-，分20m n a +-=与20m n a +-≠两种情况讨论，结合反三角函数可得出角θ.【详解】（1）由于点112A ⎫-⎪⎪⎭，则OA ==根据三角函数的定义可得1cos10α==，1sin α-==所以，1cos cos cos sin sin 6661021025πππααα⎛⎫+=-=-=⎪⎝⎭，1sin sin cos cos sin 6662πππααα⎛⎫+=+==⎪⎝⎭由旋转可知，OB OA ==，所以，点B 的横坐标为cos 26B x OB θα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，纵坐标为sin 16B y OB πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因此，点B 的坐标为()2,1；（2）记AB r =，cos h r β=，sin krβ=，则()()()cos ,sin AC r r βθβθ=++，其中()cos cos cos sin sin cos sin r r r h k βθβθβθθθ+=-=-，()sin sin cos cos sin cos sin r r r k h βθβθβθθθ+=+=+，因此，()cos sin ,cos sin AC h k k h θθθθ=-+；（3）(),AB m a n a =--，由（2）可知()()()()()cos sin ,cos sin AC m a n a n a m a θθθθ=----+-，()()()()()cos sin ,cos sin O a m a n a C OA A b n a m a C θθθθ=+---++=+--，即点()()()()()cos sin ,cos sin C a m a n a a n a m a θθθθ+---+-+-，由于点C 在直线y x =上，可得()()()()cos sin cos sin a m a n a a n a m a θθθθ+---=+-+-，整理得()()2sin cos m n a m n θθ+-=-.①当20m n a +-=时，即当2m n a +=时，cos 0θ=，此时()2k k Z πθπ=+∈；②当20m n a +-≠时，即当2m n a +≠时，可得tan 2m nm n aθ-=+-，此时，()arctan2m nk k Z m n aθπ-=+∈+-.综上所述，()(),22arctan ,22k k Z m n a m n k k Z m n am n a ππθπ⎧+∈+=⎪⎪=⎨-⎪+∈+≠⎪+-⎩. 【点睛】本题考查三角恒等变换与平面向量的综合问题，考查了两角和的正弦、余弦公式以及反三角函数的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题.。

上海复旦大学附中2019年高三数学二轮练习单元练习：集合与逻辑

上海复旦大学附中2019年高三数学二轮练习单元练习：集合与逻辑本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分．总分值150分．考试时间120分钟．第一卷(选择题共60分)【一】选择题(本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．在以下四个结论中，正确的有( ) (1〕8432-<>x x 是的必要非充分条件；(2〕ABC ∆中，A>B 是sinA>sinB 的充要条件； (3〕213≠≠≠+y x y x 或是的充分非必要条件；"(4〕0cot tan sin <>x x x 是的充要条件.A .(1)(2)(4)B 、(1)(3)(4)C 、(2)(3)(4)D 、(1)(2)(3)(4) 【答案】D[来源:]2．设集合A ＝{1,2,3,4}， B ＝{3,4,5}，全集U ＝A ∪B ，那么集合∁U(A ∩B)的元素个数为 ( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个【答案】C3．设a ∈R ，那么a ＞1是1a<1的( ) A 、充分但不必要条件;B 、必要但不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【答案】A4．以下命题中的假命题是( ) A 、,lg 0x R x ∃∈=B 、,tan 1x R x ∃∈=C 、3,0x R x ∀∈>—D 、,20x x R ∀∈> 【答案】C5．集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,假设{}0,1,2,4,16A B =,那么a 的值为( )[来源:学。

科。

网]A ．1B 、2C 、3D 、4 【答案】D6．p ：存在x ∈R ，mx2＋1≤0；q ：对任意x ∈R ，x2＋mx ＋1>0，假设p 或q 为假，那么实数m 的取值范围为( )A 、m ≤－2B 、m ≥2C 、m ≥2或m ≤－2D 、－2≤m ≤2》【答案】B7．对于集合A ，B ，〝A ∩B=A ∪B 〞是〝A=B 〞的( )A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件[来源:学,科,网Z,X,X,K]C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件[来源:学_科_网Z_X_X_K]【答案】C8．命题:p []0,1,x x a e ∀∈≥，命题:q 2,40x R x x a ∃∈-+=，假设命题,p q 均是真命题，那么实数a 的取值范围是( )A 、[4,)+∞B 、[1,4]C 、[,4]eD 、(,1]-∞ 【答案】C…9．给出以下个两个命题：命题1p ：[])1)(1(ln x x y +-=为偶函数；命题2p ：函数xx y +-=11ln 是奇函数，那么以下命题是假命题的是( )A 、21p p ∧B 、21p p ⌝∨C 、21p p ∨D 、21p p ⌝∧【答案】D10．命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，那么( ) A 、1sin ,:≥∈∃⌝x R x p B 、 1sin ,:≥∈∀⌝x R x p C 、1sin ,:>∈∃⌝x R x p D 、 1sin ,:>∈∀⌝x R x p 【答案】C11．给出两个命题：p ：|x|=x 的充要条件是x 为正实数；q ：存在反函数的函数一定是单调递增的函数.那么以下复合命题中的真命题是( )》A 、p 且qB 、p 或qC 、非p 且qD 、非p 或q【答案】B12．集合}0),{(=-=x y y x A ，}1x ),{(22=+=y y x B ，C=B A ，那么C中元素的个数是( )A 、 1个B 、 2个C 、 3个D 、 4个【答案】A第二卷(非选择题共90分)【二】填空题(本大题共4个小题，每题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．命题〝对任何,R x ∈342>-+-x x 〞的否定是>【答案】14．以下四个命题，是真命题的有 (把你认为是真命题的序号都填上).①假设p ：f(x)＝lnx －2＋x 在区间(1,2)上有一个零点； q ：e0.2＞e0.3，那么p ∧q 为假命题；②当x ＞1时，f(x)＝x2，g(x)＝12x ，h(x)＝x －2的大小关系是h(x)＜g(x)＜f(x)；③假设f ′(x0)＝0，那么f(x)在x ＝x0处取得极值；④假设不等式2－3x －2x2＞0的解集为P ，函数y ＝x ＋2＋1－2x 的定义域为Q ，那么〝x ∈P 〞是〝x ∈Q 〞的充分不必要条件.【答案】①②④（15．集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,假设{}0,1,2,4,16A B =,那么a 的值为 .【答案】416．集合{}|25A x R x =∈-≤中最小整数位 . 【答案】3-【三】解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)[来源:学&科&网]17．命题p ：方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：双曲线1522=-mx y 的离心率)2,1(∈e ，假设p 、q 有且只有一个为真，求m 的取值范围。

上海复旦大学附中2019学年第二学期高三期末考试数学试卷7页.doc

上海复旦大学附中2018-2019 学年第二学期高三期末考试数学试卷一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）只要求直接填写结果，第 1-6 题每题填对得 4 分，第 7-12 题每天填对得 5 分，否则一律得零分 .11.不等式 x3的解集为 ________2. 一个单位共有职工 200 人，其中不超过 45 岁的有 120 人，超过 45 岁的有 80 人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的样本，应抽取超过 45 岁的职工 ________________人．n 1 n10002n 3.(n N ) ，则lim nan ________已知 a n1 n 1 n1000n4. 一个等差数列前 4 项之和是 40，最后 4 项之和是 80，所有项之和是 210，则项数 n________5. 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为________6. 若 2sin cos cos 20 ，则 coty 27. 已知变量x, y满足约束条件 { x y 4 ，则 z 3xy的最大值为．x y 1uuur uuuruuur uuur8. 已知点 O 为 ABC 的外心，且AC4,AB2，则AO ·BC ．9. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为 b，且a,b { n | 0 n 9, n N * }，若 | a b | 1，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为 ________10. 在 ABC 中，点 D 在 BC 上，且 DC2BD , AB : AD : AC 3: k :1 ，则实数 k 的取值范围是 __________．11. 已知函数 f ( x) xsin x是 R 上的单调增函数，则关于 x的方程x2xsin 2x 1 1 cos4x 的实根为 ________8 812. 已知 a 1, a 2 , , an是1,2,, n 满足下列性质 T 的一个排列（ n 2 ， n N ），性质 T ：排列a 1,a 2, ,an有且只有一个 a i a i 1 （ i{1,2,,n 1}），则满足性质 T 的所有数列的个数 f (n)________二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题都给出代号 A 、 B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5 分，否则一律得零分 .13. “2 ”是圆锥曲线 y 2x 2）51的焦距与实数无关的（2A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件m 与双曲线x 2214. 直线 ykx 2y 21 （ a 0 ， b 0 ）的交点个数最多为（）abA. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个15. 若对任意 x R ，都有，那么R 上（）A. 一定单调递增B. 一定没有单调减区间C. 可能没有单调增区间D. 一定没有单调增区间16. 在数列 {a n }中，对任意 n N*an 2a n1k（k 为常数），则称 {a n }为“等，都有a n 1a n差比数列 ”. 下面对 “等差比数列 ”的判断： ①k 不可能为 0 ；②等差数列一定是等差比数列； ③等比数列一定是等差比数列； ④通项公式为ana ·b n c(a 0, b0, 1)的数列一定是等差比数列，其中正确的判断为（）A. ①②B.②③C.③④D.①④三、解答题（本大题满分76 分）17.如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为1 米，圆环的圆心O距离地面的高度为 1.5 米，蚂蚁爬行一圈需要 4 分钟，且蚂蚁的起始位置在最低点P0处.（1）试写出蚂蚁距离地面的高度h（米）关于时刻t（分钟）的函数关系式h(t)；（2）在蚂蚁绕圆环爬行一圈的时间内，有多长时间蚂蚁距离地面超过 1 米？18. 如图，已知圆锥的侧面积为15，底面半径OA和OB互相垂直，且OA3，P是母线 BS 的中点.，1）求圆锥的体积；，2）求异面直线SO与 PA 所成角大小.（结果用反三角函数值表示）的19. 设常数a R，若函数f ( x) (ax) | x 1| 存在反函数f1( x).（1）求证：a 1，并求出反函数 f 1 ( x) ；（2）若关于 x不等式 f 1 ( x 2m)f 1 ( mx)2 对一切 x [2,3] 恒成立，求实数 m的取值范围 .的20. 已知 A、 B是双曲线C1： x 2y 2 1 （ a 0 ， b 0 ）的两个顶点，点 P 是双曲a 2b 2线上异于 A 、 B 的一点， O 为坐标原点，射线 OP 交椭圆 C 2 ：x2 22y2 1于点Q，ab设直线 PA 、 PB 、 QA 、QB的斜率分别为 k 1 、 k 2 、 k 3 、 k 4 .（1）若双曲线 C 1 的渐近线方程是 y1 x ，且过点 ( 5, 1) ，求 C 1 的方程；2 2（2）在（ 1）的条件下，如果 k 1 k 215，求△ ABQ 的面积；8（3）试问：k1k2k3k4是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由 .21. 定义：若数列{ a n}满足，存在实数M，对任意n N ，都有anM，则称数列{ a n}有上界， M 是数列{ a n}的一个上界，已知定理：单调递增有上界的数列收敛（即极限存在） .（1）数列{cos(sin n)}是否存在上界？若存在，试求其所有上界中的最小值；若2不存在，请说明理由；（2）若非负数列{ a n } 满足a1 0 a n2 1 a n 1 1 a n2 n N ），求证：是非负数列{ a n }1一个上界，且数列{ an}的极限存在，并求其极限；（3）若正项递增数列{ an}无上界，证明：存在k Ν ，当nk时，恒有a1 a2 an 1n 2019 .a2 a3 a n 的。

2019届上海市复旦大学附属中学高三下学期期末考试数学试题(解析版)

2019届上海市复旦大学附属中学高三下学期期末考试数学试题一、单选题1．“2λ>”是圆锥曲线22152y x λλ-=+-的焦距与实数λ无关的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】将曲线分为椭圆或双曲线两类，利用椭圆或双曲线的性质列不等式，由此求得λ的取值范围，进而判断出充分、必要条件.【详解】若圆锥曲线22152y x λλ-=+-，即22152y x λλ+=+-为椭圆，则()2527c λλ=+--=，即焦距与λ无关.此时502052λλλλ+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得2λ>.若圆锥曲线22152y x λλ-=+-为双曲线，则()2527c λλ=++-=，与λ无关.此时()()520λλ+->，解得52λ-<<.所以当()()5,22,λ∈-⋃+∞时，圆锥曲线22152y x λλ-=+-的焦距与实数λ无关.所以“2λ>”是圆锥曲线22152y x λλ-=+-的焦距与实数λ无关的充分不必要条件.故选：A. 【点睛】本小题主要考查椭圆和双曲线的几何性质，考查分类讨论的数学思想方法，考查充分、必要条件的判断，属于中档题.2．直线y kx m =+与双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的交点个数最多为（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】将直线和双曲线联立方程，得到二次方程，最多两个解. 【详解】2222222222222222222()()201y kx m b x a kx m a b b a k x a kmx a m a b x y ab =+⎧⎪⇒-+=⇒----=⎨-=⎪⎩2220b a k -=时：方程有一个解或者无解。

2220b a k -≠时：二次方程最多有两个解，即交点最多两个故答案选B 【点睛】本题考查了直线和双曲线的位置关系，也可以通过直线和双曲线的渐近线的关系讨论得到答案.3．若对任意x R ∈，都有，那么在R 上………………（）A ．一定单调递增B ．一定没有单调减区间C ．可能没有单调增区间D ．一定没有单调增区间【答案】C【解析】试题分析：()[]f x x =对任意x R ∈，都有，但在R 上不单调递增，且没有单调增区间，()f x x =对任意x R ∈，都有，且有单调增区间，()2,[,1),f x n x x n n n Z =-∈+∈对任意x R ∈，都有，且有单调减区间，选C 【考点】函数单调性4．在数列{a n }中，对任意*n N ∈，都有211n n n na a k a a +++-=-（k 为常数），则称{a n }为“等差比数列”. 下面对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为·(0,0,1)nn a a b c a b =+≠≠的数列一定是等差比数列，其中正确的判断为（） A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④【答案】D【解析】由分母不能为0，可判断出①②③；把④通项公式代入题设中，满足条件，进而推断④正确. 【详解】对于①，若k ＝0，则分母必为0，故k ≠0，故①正确；当等差数列为常数列时,分母为0,不满足题设的条件，故②不正确；当等比数列为常数列时，不满足题设，故③不正确；对于④，把a n ＝a •b n+c 代入211n n n na a a a +++--结果为b ，为常数，故④正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查了数列的递推式，考查新定义，考查了学生综合分析问题的能力．属于基础题.二、填空题5．不等式13x >的解集为________ 【答案】1(0,)3【解析】将常数移到左边，通分得到答案. 【详解】11133113300003x x x x x x x -->⇒->⇒>⇒<⇒<< 故答案为1(0,)3【点睛】本题考查了分式不等式的解法，属于基础题型.6．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．【答案】10【解析】试题分析：因为超过岁的职工为人，占比例为，所以抽取的人中超过岁的职工为人.【考点】分层抽样的方法与运算.7．已知110002111000n n n n a n n n+⎧≥⎪⎪=⎨-⎪≤<⎪⎩()n *∈N ，则lim n n a →∞=________ 【答案】12【解析】直接利用数列极限法则得到答案. 【详解】110002111000n n n n a n n n+⎧≥⎪⎪=⎨-⎪≤<⎪⎩1111lim lim lim222n n n n n n a n →∞→∞→∞+⇒==+= 故答案为12【点睛】本题考查了分段数列的极限，属于简单题型.8．一个等差数列的前4项之和是40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则项数n =________【答案】14【解析】根据等差数列性质得到130n a a +=，再利用公式1()2n n a a nS +=得到答案. 【详解】123440a a a a +++= 12380n n n n a a a a ---+++=两式相加：12132431()()()()4()120n n n n n a a a a a a a a a a ---+++++++=+= 130n a a +=1()15210142n n a a nS n n +===⇒= 故答案为14 【点睛】本题考查了数列的前n 项和，通过数列性质进行计算较为简单，如果采用其他方法则计算量较大.9．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为________【答案】【解析】直接利用三棱柱体积公式得到答案. 【详解】底面积142S =⨯=2V Sh ===【点睛】本题考查了三视图，三棱柱的体积公式，属于基础题型. 10．若22sin cos cos 0ααα⋅-=，则cot α=________ 【答案】0或2【解析】方程变形为(2sin cos )cos 0ααα-⋅=，分为两种情况得到答案. 【详解】22sin cos cos 0(2sin cos )cos 0cos 0ααααααα⋅-=⇒-⋅=⇒=或2sin cos 0αα-=当cos 0α=时：cot 0α=当2sin cos 0αα-=时：cot 2α= 故答案为0或2 【点睛】本题考查了三角函数运算，意在考查学生的计算能力.11．已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．【答案】11【解析】试题分析：由题意得，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由3z x y =+，得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，则由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时，直线3y x z =-+的截距最大，此时z 有最大值，由2{1y x y =-=，解得(3,2)A ，此时33211z =⨯+=．【考点】简单的线性规划．12．已知点O 为ABC ∆的外心，且4,2AC AB ==，则·AO BC = ．【答案】6【解析】试题分析：由题点O 为ABC ∆的外心，且4,2AC AB ==，则()cos ,cos ,AO BC AO AC AB AO AC AO AB AO AC AO AC AO AB AO AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=⋅〈〉-⋅〈〉()11144226222AC AC AB AB =⋅⋅-⋅⋅=⨯-⨯=【考点】平面向量数量积的运算13．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为b ，且*,{|09,}ab n n n ∈≤≤∈N ，若||1a b -≤，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________ 【答案】725【解析】试验发生的所有事件是从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数中任取两个数由分步计数原理知共有10×10种不同的结果，而满足条件的|a ﹣b |≤2的情况通过列举得到共28种情况，代入公式得到结果．【详解】试验发生的所有事件是从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数中任取两个共有10×10种不同的结果，则|a ﹣b |≤1的情况有0，0；1，1；2，2；3，3；4，4；5，5；6，6；7，7；8，8；9，9；0，1；1，0；1，2；2，1；2，3；3，2；3，4；4，3；4，5；5，4；5，6；6，5；6，7；7，6；7，8；8，7；8，9；9，8共28种情况，甲乙出现的结果共有10×10＝100， ∴他们”心有灵犀”的概率为P 10028257==．故答案为：725【点睛】本题主要考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题． 14．在ABC ∆中，点D 在BC 上，且2,::3::1DC BD AB AD AC k ==，则实数k的取值范围是__________．【答案】57,33⎛⎫⎪⎝⎭【解析】不妨设3AB =，1AC =，AD k =，∵2DC AB =，从而2BD DC =，即()2AC AD AD AB -=-，从而2133AD AB AC =+，2224199AD AB AC =+49AB AC +⋅，21124cos 99k θ=++，又1c o s θ1-<<，从而2254999k <<，即5733k <<，故答案为57,33⎛⎫ ⎪⎝⎭. 15．已知函数()sin f x x x =-是R 上的单调增函数，则关于x 的方程211sin 2cos488x x x x -+=的实根为________ 【答案】0【解析】化简211sin 2cos488x x x x -+=，得到1sin 202x x -=再利用题目中函数()sin f x x x =-是R 上的单调增函数，得到答案.【详解】22221111sin 2cos4sin 2sin 20(sin 2)08842x x x x x x x x x x -+=⇒-+=⇒-= 1sin 202sin 202x x x x -=⇒-=验证知：0x =是方程的解.函数()sin f x x x =-是R 上的单调增函数，(2)f x 单调递增，最多有一个零点. 故0x =是方程的唯一解故答案为0【点睛】本题考查了方程的解，三角恒等变换，函数的单调性，函数零点，综合性强，需要灵活掌握各个知识点，综合运用.16．已知12,,,n a a a ⋅⋅⋅是1,2,,n ⋅⋅⋅满足下列性质T 的一个排列（2n ≥，n *∈N ），性质T ：排列12,,,n a a a ⋅⋅⋅有且只有一个1i i a a +>（{1,2,,1}i n ∈⋅⋅⋅-），则满足性质T 的所有数列的个数()f n =________ 【答案】21n n --【解析】先根据题意得到()f n 和(1)f n -之间的关系：()2(1)1f n f n n =-+-，再计算()f n 【详解】考虑()f n 和(1)f n -之间的关系，为此考虑两种情况下的()f n ：第一种为1到1n -符合性质T 排列，不妨设1i i a a +>，此时n 要么放在末尾要么放在i a 和1i a +之间，这一共有2(1)f n - 种情况；第二种为1到1n -不符合性质T 排列，此时若想插入数n 使得序列满足性质T ，则前1n -个数只能递增排列，然后插入n ，有1n -种情况；故()2(1)1f n f n n =-+-()2(1)1()12[(1)]f n f n n f n n f n n =-+-⇒++=-+设1()12n n n a f n n a a -=++⇒=易知22(2)14422n n n f a a -=⇒=⇒=⨯=1())2(2n n f n n --≥=故答案为：21n n -- 【点睛】本题考查了数列的递推公式得到数列的通项公式，找到递推公式是解题的关键，本题还可以计算前面几项，归纳出通项公式，再利用数学归纳法得到答案.三、解答题17．如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为1米，圆环的圆心O 距离地面的高度为1.5米，蚂蚁爬行一圈需要4分钟，且蚂蚁的起始位置在最低点0P 处.（1）试写出蚂蚁距离地面的高度h （米）关于时刻t （分钟）的函数关系式()h t ；（2）在蚂蚁绕圆环爬行一圈的时间内，有多长时间蚂蚁距离地面超过1米？【答案】（1） 1.5cos()2h t π=-；（2）83分钟.【解析】（1）先计算圆心角，再通过三角形边角关系得到答案. （2）计算 1.5cos()12h t π=->，计算得到答案.【详解】（1）如图所示：蚂蚁爬行一圈需要4分钟⇒在时刻t 所转过的圆心角为：242t t ππ= cos() 1.5cos()22OB t h t ππ=⇒=-（2）152101.5cos()1cos()22232333h t t t t πππππ=->⇒<⇒<<⇒<< 持续时间为：1028333-= 【点睛】本题考查了三角函数的应用，通过边角关系建立函数关系式是解题的关键，意在考查学生的应用能力.18．如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线BS 的中点.（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO 与PA 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）【答案】（1）12π.（2）arctan4.【解析】试题分析：（1）根据圆锥的侧面积求出5BS =，从而求出4SO =，由此能求出圆锥的体积；（2）取OB 中点H ，连结PH AH 、，由P 是SB 的中点知PH ∥SO ，则APH ∠（或其补角）就是异面直线SO 与PA 所成角，由此能求出异面直线SO 与PA 所成角的大小．试题解析：（1）由题意，15OA SB ππ⋅⋅=得5BS =，故4SO == ，从而体积2211341233V OA SO πππ=⋅⋅=⨯⨯=.（2）如图，取OB 中点H ，连结PH AH 、. 由P 是SB 的中点知PH ∥SO ，则APH ∠（或其补角）就是异面直线SO 与PA 所成角.由SO ⊥平面OAB ⇒ PH ⊥平面OAB ⇒ PH AH ⊥.在OAH ∆中，由OA OB ⊥得2AH ==；在Rt APH ∆中，90AHP O ∠=，122PH SB ==，AH =则tan AH APH PH ∠==，∴异面直线SO 与PA所成角的大小arctan4. 19．设常数a ∈R ，若函数()()|1|f x a x x =--存在反函数1()f x -. （1）求证：1a =，并求出反函数1()f x -；（2）若关于x 的不等式121()()2f x m f mx ---+<对一切[2,3]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析，110()10x f x x -⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩；（2）4m >-.【解析】（1）分别讨论1, 1.1a a a ><=三种情况得到答案.（2）反函数1()f x -单调递减，关于(0,1)中心对称. 将121()()2f x m f mx ---+<转化为20x m mx -+>,利用恒成立问题解得答案. 【详解】（1）()(1),1()()1()(1),1a x x x f x a x x a x x x --≥⎧=--=⎨--<⎩当1a >时，函数图像如下：函数没有反函数.同理可得1a <，函数没有反函数. 当1a =时，有反函数，22(1),1()()1(1),1x x f x a x x x x ⎧--≥=--=⎨-<⎩反函数为：110()10x f x x -⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩ （2）由（1）知，原函数单调递减，故反函数1()f x -单调递减，且关于(0,1)中心对称.21212()()201x f x m f mx x m mx m x ---+<⇒-+>⇒>-- 设1([1,2])x t t -=∈22(1)1(2)1x t m t x t t+>-=-=-++-恒成立即求1(2)t t -++的最大值1(2)(22)4t t-++≤-+≤-1t =时等号成立. 4m >-【点睛】本题考查了函数的反函数，恒成立问题，根据函数的中心对称将121()()2f x m f mx ---+<转化为20x m mx -+>恒成立是解题的关键.20．已知A 、B 是双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的两个顶点，点P 是双曲线上异于A 、B 的一点，O 为坐标原点，射线OP 交椭圆2C ：22221x y a b+=于点Q ，设直线PA 、PB 、QA 、QB 的斜率分别为1k 、2k 、3k 、4k .（1）若双曲线1C 的渐近线方程是12y x =±，且过点1)2，求1C 的方程；（2）在（1）的条件下，如果12158k k +=，求△ABQ 的面积；（3）试问：1234k k k k +++是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y -=；（2）1617；（3）定值为0. 【解析】（1）设双曲线方程为224x y λ-=，将点1)2代入方程，得到答案.（2）设00(,)P x y ，根据12158k k +=得到00415x y =，，Q 在OP 上，则11415x y =代入方程解得1817y =，利用面积公式得到答案. （3）设00(,)P x y ，11(,)Q x y ，20112342012()x x b k k k k a y y +++=-，,,O P Q 三点共线20011201012()0y x y x b x x a y y ⇒=⇒-=，得到答案.【详解】（1）双曲线1C 的渐近线方程是12y x =±设双曲线方程为224x y λ-=，将点1)2代入方程，解得1λ=1C 的方程为2214x y -=.（2）设00(,)P x y00001220002152248y y x y k k x x x +=+==+-- 220014x y -= 化简得到：00415x y =根据对称性不妨设11(,)Q x y 在第一象限，Q 在OP 上，则11415x y =代入方程2214x y +=得到1817y =1816421717ABQ S ∆=⨯⨯=（3）设00(,)P x y ，11(,)Q x y000011111234222200110122y y x y y y x yk k k k x a x a x a x a x a x a+++=+++=++-+--- 2200221x y a b -= 2211221x y a b += 22200001111222222201010122222()x y b x x x y b x x b x a x a a y a y a y y +=-=---,,O P Q 三点共线20011201012()0y x y x b x x a y y ⇒=⇒-=12340k k k k +++=【点睛】本题考查了双曲线和椭圆的知识，计算量大，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.21．定义：若数列{}n a 满足，存在实数M ，对任意n *∈N ，都有n a M ≤，则称数列{}n a 有上界，M 是数列{}n a 的一个上界，已知定理：单调递增有上界的数列收敛（即极限存在）.（1）数列{cos(sin )}2n π是否存在上界？若存在，试求其所有上界中的最小值；若不存在，请说明理由；（2）若非负数列{}n a 满足10a =，22111n n n a a a +++-=（n *∈N ），求证：1是非负数列{}n a 的一个上界，且数列{}n a 的极限存在，并求其极限；（3）若正项递增数列{}n a 无上界，证明：存在k *∈Ν，当n k >时，恒有112232019n na a a n a a a -++⋅⋅⋅+<-. 【答案】（1）存在，1；（2）见解析，极限1；（3）见解析. 【解析】（1）确定{}sin 0,1,12n π∈-，{}{}cos(sin )cos0,cos11,cos12n π∈=得到上界的最小值.（2）用数学归纳法证明1n a <，再证明数列单调递增，得到极限存在，最后计算极限.（3）假设结论不成立，取2nn a =，4039k =，推出矛盾，得到证明.【详解】（1）易知：{}sin 0,1,12n π∈-，{}{}cos(sin )cos0,cos11,cos12n π∈=数列{cos(sin)}2n π存在上界，上界中的最小值为1 （2）非负数列{}n a ，先证明1n a < 当1n =时：10a =成立. 假设当n k =时成立，即1k a <当1n k =+时：22211111112001k k k k k k a a a a a a ++++++-=<⇒+-<⇒<<即1n k =+也成立所以1n a <恒成立，1是非负数列{}n a 的一个上界，得证.22221111111110()()0n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++++-=⇒-=->⇒+->⇒>数列单调递增故数列{}n a 的极限存在设lim n n a m →+∞= 222211111n n n a a a m m m m +++-=⇒+-=⇒=lim 1n n a →+∞=（3）证明：假设k *∀∈Ν，当n k >时，恒有112232019n na a a n a a a -++⋅⋅⋅+≥-. 取2nn a =满足正项递增数列无上界.1122312n n a a a n a a a --++⋅⋅⋅+=取4039k =，当4039n >时，11223120192n n a a a n n a a a --++⋅⋅⋅+=<- 这与题设112232019n na a a n a a a -++⋅⋅⋅+≥-矛盾假设不成立故存在k *∈Ν，当n k >时，恒有112232019n na a a n a a a -++⋅⋅⋅+<-. 【点睛】本题考查了三角函数的值，数列的递推公式，数列的单调性，数学归纳法，反证法，综合性强，技巧高，需要学生灵活应用各个知识和方法，意在考查学生的阅读理解能力，解决问题的能力.。

2019-2020学年上海市复旦大学附属中学高一下学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年上海市复旦大学附属中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．对二元一次方程组1223x y c x y c -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵A 经过一系列的初等行变换，得：103~011A ⎛⎫⎪-⎝⎭，则列向量12c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭为（）A ．58⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．31⎛⎫ ⎪-⎝⎭C ．57⎛⎫ ⎪-⎝⎭D ．51⎛⎫ ⎪-⎝⎭【答案】A【解析】首先根据题意得到3x =，1y =-，再代入方程组即可得到答案. 【详解】二元一次方程组1223x y c x y c -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵A 经过一系列的初等行变换，得：103~011A ⎛⎫⎪-⎝⎭，所以3x =，1y =-，所以1232331c c +=⎧⎨⨯-=⎩，即1258c c =⎧⎨=⎩. 列向量12c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭为58⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本题主要考查方程组的增广矩阵，属于简单题. 2．已知2sin 23α=，则2sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．16B ．12C ．13D ．56【答案】D【解析】利用二倍角降幂公式和诱导公式可求得2sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】由二倍角的降幂公式可得221cos 211sin 2523sin 42226παπαα⎛⎫-++⎪+⎛⎫⎝⎭+==== ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查利用二倍角降幂公式和诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题. 3．设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >【答案】C【解析】试题分析：因为{}n a 是等差数列，则2111(1)1(1)22n a a a a n dn a a n d +-=+-∴=，又由于{}12na a 为递减数列，所以1111-01221202nn a a a d a a a d +=>=∴<，故选C.【考点】1.等差数列的概念；2.递减数列.4．根据下面一组等式：11s =， 2235s =+=，345615s =++=， 47891034s =+++=， 5111213141565s =++++=， 6161718192021111s =+++++=，……可得21n S -=（）A ．324641n n n -+-B ．1413n -C ．2184023n n -+D ．(1)12n n -+【答案】A【解析】求出第()1n -行最后一项，可得第n 行为第一项，求出第n 行最后一项，根据第n 是等差数列求出n S ，即可求出21n S -. 【详解】易得第()1n -行最后一项为[]21(1)(1)22n n n n +---=，则第n 行第一项为212n n-+，第n 行最后一项为2(1)22n n n n++=，故第n 行为第一项212n n -+，最后一项为22n n+，项数为n 的等差数列，故22312222n n n n n n n n S ⎛⎫-+++ ⎪+⎝⎭==，所以32214641n S n n n -=-+-.故选：A. 【点睛】本题考查对数列的理解，以及等差数列的前n 项和的求法，属于中档题.二、填空题5．1-和4-的等比中项为__________．【答案】2±【解析】根据等比中项定义直接求解. 【详解】1-和4-的等比中项为2=±故答案为：2± 【点睛】本题考查等比中项，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．化简求值：1tan arccos 3⎛⎫= ⎪⎝⎭________．【答案】【解析】设1arccos3α=，求出α的正弦值、余弦值，利用商数关系可得到答案．【详解】由反余弦函数定义得1 arccos(0,)32π∈，11cos(arccos)33=，∴2211122sin(arccos)1cos(arccos)1()3333=-=-=，1sin(arcsin)13tan(arccos)2213cos(arccos)3==故答案为：22．【点睛】本题考查反余弦函数的定义，考查平方关系，属于基础题.7．若函数()sin()(0)f x xωϕω=+>的局部图像如下图，则ω=_______．【答案】4【解析】根据图象确定周期，解得ω.【详解】由图得0022()442T x xTπππω=+-=∴==故答案为：4【点睛】本题考查函数周期，考查数形结合思想方法，属基础题.8．若三角式等式2cos2cos cosx a b x c x=++（,,a b c为常数），对于任意x∈R都成立，则a b c-+=______．【答案】1【解析】利用特值法，分别取2xπ=，xπ=，0x=，代入三角等式即可得到答案. 【详解】因为三角式等式2cos2cos cosx a b x c x=++（,,a b c为常数），对于任意x ∈R 都成立，所以当2x π=时，2cos coscos 22πππ=++a b c ，解得：1a =-.当x π=时，2cos 2cos cos πππ=++a b c ，即：1=-+a b c .当0x =时，2cos0cos0cos 0=++a b c ，即：1a b c =++.所以1111b c b c =--+⎧⎨=-++⎩，解得02b c =⎧⎨=⎩. 所以1021-+=-++=a b c . 故答案为：1 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值得用法，特值法为解决本题的关键，属于简单题.9．lim 1nn r r →∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭存在，则实数r 的取值范围是________．【答案】12r >-【解析】根据数列极限存在的条件求解.，【详解】因为lim 1nn r r →∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭存在，所以011<<+rr ，解得12r >-故答案为：12r >- 【点睛】本题主要考查数列极限的定义和性质，属于基础题.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则2020S =_________．【答案】1010【解析】先证明当A 、C 、B 共线且OB mOA nOC =+，则1m n +=，根据题意可求得12020a a +的值，然后利用等差数列求和公式可求得2020S 的值. 【详解】当A 、C 、B 共线时，则AB 、AC 共线，可设AB AC λ=，所以，()OB OA OC OA λ-=-，()1OB OA OC λλ∴=-+，又OB mOA nOC =+，则()11m n λλ+=-+=，由于12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则120201a a +=，由等差数列的求和公式可得()120202020202020201101022a a S +⨯===.故答案为：1010. 【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了三点共线结论的应用，考查计算能力，属于中等题.11．123PP P 是边长为1的正三角形，则12(,1,2,3,)i j PP PP i j i j ⋅=≠取值集合为__________．【答案】111,,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【解析】根据数量积的定义，分别求2112PP PP ⋅、1122PP P P ⋅、1213PP PP ⋅、1132PP P P ⋅、3122PP P P ⋅、2132PP P P ⋅，即可得12(,1,2,3,)i j PP PP i j i j ⋅=≠取值集合. 【详解】如图：由向量数量积的定义得：11212122cos01111PP PP PP PP ⋅==⨯⨯=；()12122121cos1801111PP P P PP P P ⋅==⨯⨯-=-； 1212131311cos601122PP PP PP PP ⋅==⨯⨯=； 3112123111cos1201122PP P P PP P P ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 2312122311cos1201122PP P P PP P P ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 1212323211cos601122PP P P PP P P ⋅==⨯⨯=. 故构成的集合为：111,,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ 【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义，属于基础题.12．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ=___________.【答案】4 【解析】【详解】以向量a ，b 的交点为原点，建立直角坐标系，则a =(-1,1)， b =(6,2)， c = (-1,-3)，由c =λa ＋μb ，得()()()1,31,16,2λμ--=-+，即61,{23,λμλμ-+=-+=-解得12,2λμ=-=-，4λμ=.【考点定位】本小题考查了平面向量的线性运算、坐标运算和平面向量基本定理.13．已知{}n a 是等差数列, 11a =,公差0d ≠,n S 为其前n 项和,若1a ,2a ,5a 成等比数列,则8S =_____. 【答案】64【解析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．【详解】解：因为{}n a 为等差数列,且1a ,2a ,5a 成等比数列,所以()()21114a a d a d +=+,解得122d a ==,所以()()818818818826422S a d ⨯-⨯-=+=+⨯=. 故答案为：64 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 14．如图是由6个宽、高分别为1b ，1a ；2b ，2a ；3b ，3a ；…；6b ，6a ，的矩形在第一象限紧挨拼成()1234560a a a a a a >>>>>>．显然6个矩形面积之和为6112266S a b a b a b =+++．若记12i i T b b b =+++，1,2,,6i =，则上述面积又可以写成()()()6121232565S a a T a a T a a T X =-+-++-+形式，其中代数式X =________．（用题目中元素i a ，i b ，i T 的最简形式表达）【答案】66a T【解析】根据题中条件，找出规律，进而可得出结果. 【详解】由题意，()()611226*********S a b a b a b a T a T T a T T =+++=+-++-()()()12123256566a a T a a T a a T a T =-+-++-+故66X a T =. 故答案为：66a T . 【点睛】本题主要考查合情推理的简单应用，属于基础题型.15．已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为__________．【答案】4712{|}3443x x x ≤≤≤≤或【解析】当102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，由()1 2f x =，即1 2cos x π= 则 3x ππ=，即13x =当12x >时，由()1 2f x =，得121?2x -=，解得3 4x =则当0x ≥时，不等式()12f x ≤的解为1334x ≤≤ 则由()f x 为偶函数∴当0x <时，不等式()12f x ≤的解为3143x -≤≤- 即不等式()12f x ≤的解为1334x ≤≤或3143x -≤≤-则由13134x ≤-≤或31143x -≤-≤-解得：4734x ≤≤或1243x ≤≤即不等式()112f x -≤的解集为4712{|}3443x x x ≤≤≤≤或点睛：本题是一道关于分段函数的应用的题目，考查了不等式的求解以及函数的图象问题．先求出当0x ≥时，不等式()12f x ≤的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域()12f x ≤的解，即可得到结论． 16．三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点O 在ABC 内部，用A B C S S S 、、分别代表OBC 、OCA 、OAB 的面积，则有0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．现在假设锐角三角形顶点,,A B C 所对的边长分别为,,,a b c H 为其垂心，,,HA HB HC 的单位向量分别为123,,e e e ，则123ae be ce ++=_________．【答案】0【解析】由0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=可得112a HD HA e ⋅+212b HE HB e ⋅+3102c HF HC e ⋅=，根据相似三角形可得HD HA HE HB =，HF HC HE HB =，即HD HA HE HB =HF HC =，即可得1230ae be ce ++= 【详解】由0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=可得1231110222a HD HA eb HE HB ec HF HC e ⋅+⋅+⋅= 根据BHD AHE ∽可得HD HA HE HB =，同理可得HF HC HE HB =，所以HD HA HE HB =HF HC =，所以1230ae be ce ++= 故答案为：0 【点睛】本题以三角形中的结论为载体，考查了垂心的性质，涉及三角形面积公式、相似三角形的性质，属于难题.三、解答题17．已知(cos ,sin ),(cos 3sin ,3cos sin ),()a x x b x x x x f x a b ==+-=⋅（1）求()f x 的解析式及其最小正周期；（2）求()f x 的单调增区间．【答案】（1）()2sin 2,6f x x T ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）利用数量积的坐标表示，将()f x a b =⋅表示出来，再利用二倍角公式、辅助角公式即可化简()f x ，由周期公式即可得周期. （2）令222262k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈，解得x 的范围即为()f x 的单调增区间. 【详解】（1）())()cos cos sin sin f x a b x x x xx x =⋅=+-22cos sin cos cos 22x x x x x x =-+=+ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭最小正周期22T ππ== （2）令222262k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈解得：36k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈所以()f x 的单调增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈【点睛】本题主要考查了三角公式的二倍角公式、辅助角公式，考查了求解三角函数的周期和单调区间，涉及了向量数量积的坐标表示，属于中档题.18．在斜三角形ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、且()222sin cos cos()ba c A A ac A C --=+，（1）求角A 大小；（2）若sin cos BC>，求角C 的取值范围．【答案】（1）4π；（2）,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简条件，解得角A ；（2）将B 化为C ，再根据两角和正弦公式化简，最后根据正切函数性质解不等式得结果. 【详解】（1）()222sin cos cos()ba c A A ac A C --=+()2cos sin cos cos()ac B A A ac B π∴-=- ()2cos sin cos cos ac B A A ac B ∴-=-因为斜三角形ABC 中cos 0,B ≠2sin cos 1sin 212,24A A A A A ππ∴=∴=∴==；（2）sin()sin 4cos cosC B C Cπ+>>cos 22tan 1(,)cos 42C CC C C ππ+∴>>∴∈ 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角和正弦公式、正切函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.19．某水泥厂计划用一台小型卡车从厂区库房运送20根水泥电线杆，到一条公路沿着路侧架设，已知库房到该公路入口处500米，从库房出发卡车进入公路后继续行驶，直到离入口50米处时放下第一根电线杆，然后沿着该公路同一侧边每隔50米逐一放下余下电线杆，放完折返库房重新装运剩余电线杆．已知卡车每趟从库房最多只能运送3根水泥杆．问：卡车运送完这批水泥杆，并最终返回库房，至少运送几趟？最少行驶多少米？【答案】至少运送7趟，最少行驶14700米.【解析】根据每趟从库房最多只能运送3根水泥杆确定运送趟数，再根据等差数列求和公式计算行驶路程. 【详解】因为每趟从库房最多只能运送3根水泥杆，20362=⨯+，所以至少运送7趟，第一趟运送2根，后6趟每次运送3根时行驶路程最少，后6趟行驶路程构成以为(500505)2+⨯⨯首项，(5032)⨯⨯为公差的等差数列，最少行驶16(500505)2(5032)65(500502)2147002+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯=米【点睛】本题考查数列在实际问题中应用、等差数列求和公式，考查基本分析求解能力，属中档题.20．设数列{}n x 各项均为正数，且满足()22221222,n x x x n n n N ++++=+∈，（1）求数列{}n x 的通项公式n x ；（2）已知122311113n n x x x x x x ++++=+++，求n ；（3）试用数学归纳法证明：2122312(1)1n n x x x x x x n +⎡⎤+++<+-⎣⎦．【答案】（1）*n x n N =∈；（2）48；（3）证明见解析．【解析】（1）先根据和项与通项关系求得2n x ，解得n x ；（2）利用裂项相消法化简条件，解得结果；（3）先证明1n =成立，再根据n k =成立推导1n k =+成立即可. 【详解】（1）当2n ≥时222222221212122,2(1)2(1),n n x x x n n x x x n n -+++=++++=-+-所以222222(1)2(1)4n n n n n xn =+----=当1n =时221224,40n n n x x nx x =+=∴=>∴=（2）111(1)2221n n n n x x n n +==+-+++所以122311111111(21)(32)(1)(11)32222n n n n n x x x x x x ++++=-+-+++-=+=+++解得48n =；（3）①当1n =时, 212222232[(11)1]x x =⨯<⨯=+-，即1n =时,结论成立； ②假设当,(1,)n k k k Z =≥∈时,结论成立，即2122312(1)1k k x x x x x x k +⎡⎤+++<+-⎣⎦当1n k =+时, 21212122312(1)1k k k k k k x x x x x x x x x k x ++++++⎡⎤+++<+⎣⎦+-因为21224122(2(1)12(212)3)k k x k x k k k k ++⎡⎤⎡⎤+-+-+=++⎣-⎦++⎣⎦22222(41282(2)12(2)14129)k k k k k k =+++-+⎡⎤⎡⎤+-+-+⎣<⎦⎣⎦即当1n k =+时, 结论成立；由①②得，2122312(1)1n n x x x x x x n +⎡⎤+++<+-⎣⎦【点睛】本题考查根据和项求通项、裂项相消法求和、数学归纳法证明不等式，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.21．借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图象的旋转问题．试解答下列问题．（1）在直角坐标系中，点133,122A ⎫-⎪⎪⎭，将点A 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转6π到点B ，如果终边经过点A 的角记为α，那么终边经过点B 的角记为6πα+．试用三角比知识，求点B 的坐标；（2）如图，设向量(),AB h k =，把向量AB 按逆时针方向旋转θ角得向量AC ，试用h 、k 、θ表示向量AC 的坐标；（3）设(),Aa a 、(),B m n 为不重合的两定点，将点B 绕点A 按逆时针方向旋转θ角得点C ，判断C 是否能够落在直线y x =上，若能，试用a 、m 、n 表示相应θ的值，若不能，说明理由．【答案】（1）()2,1；（2）()cos sin ,cos sin AC h k k h θθθθ=-+；（3）能，()(),22arctan ,22k k Z m n a m n k k Z m n am n a ππθπ⎧+∈+=⎪⎪=⎨-⎪+∈+≠⎪+-⎩.【解析】（1）计算出OA 以及sin α、cos α的值，利用两角和的正弦和余弦公式可求得cos 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭和sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而可得点B 的坐标；（2）记AB r =，cos h r β=，sin krβ=，可得出()()()cos ,sin AC r r βθβθ=++，利用两角和的正、余弦公式可求得向量AC 的坐标；（3）求得点C 的坐标，由点C 在直线y x =上可得出()()2sin cos m n a m n θθ+-=-，分20m n a +-=与20m n a +-≠两种情况讨论，结合反三角函数可得出角θ. 【详解】（1）由于点1,122A ⎫-⎪⎪⎭，则OA ==根据三角函数的定义可得1cos 10α==，1sin α-==所以，1cos cos cos sin sin 6661021025πππααα⎛⎫+=-=-⨯=⎪⎝⎭，1sin sin cos cos sin 6661021025πππααα⎛⎫+=+=+⨯=⎪⎝⎭，由旋转可知，OB OA == 所以，点B 的横坐标为cos 26B x OB θα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，纵坐标为sin 16B y OB πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因此，点B 的坐标为()2,1；（2）记AB r =，cos h r β=，sin krβ=，则()()()cos ,sin AC r r βθβθ=++，其中()cos cos cos sin sin cos sin r r r h k βθβθβθθθ+=-=-，()sin sin cos cos sin cos sin r r r k h βθβθβθθθ+=+=+，因此，()cos sin ,cos sin AC h k k h θθθθ=-+；（3）(),AB m a n a =--，由（2）可知()()()()()cos sin ,cos sin AC m a n a n a m a θθθθ=----+-，()()()()()cos sin ,cos sin O a m a n a C OA A b n a m a C θθθθ=+---++=+--，即点()()()()()cos sin ,cos sin C a m a n a a n a m a θθθθ+---+-+-，由于点C 在直线y x =上，可得()()()()cos sin cos sin a m a n a a n a m a θθθθ+---=+-+-，整理得()()2sin cos m n a m n θθ+-=-.①当20m n a +-=时，即当2m n a +=时，cos 0θ=，此时()2k k Z πθπ=+∈；②当20m n a +-≠时，即当2m n a +≠时，可得tan 2m nm n aθ-=+-，此时，()arctan2m nk k Z m n aθπ-=+∈+-.综上所述，()(),22arctan ,22k k Z m n a m n k k Z m n am n a ππθπ⎧+∈+=⎪⎪=⎨-⎪+∈+≠⎪+-⎩. 【点睛】本题考查三角恒等变换与平面向量的综合问题，考查了两角和的正弦、余弦公式以及反三角函数的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题.。

上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题+Word版含解析

复旦大学附属中学2018-2019学年第一学期高二年级数学期末考试试卷 2019.01一、填空题（本大题共12题）1.抛物线的准线方程是_______【答案】【解析】【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程. 【详解】因为抛物线的标准方程为，焦点在y轴上，所以：，即，所以，所以准线方程为：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目.2.若方程表示椭圆，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】根据题意，可得关于m的不等式组，解之即可得到实数m的取值范围.【详解】根据椭圆的标准方程的形式，可知方程表示椭圆的条件是：，解得，所以实数的取值范围是，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关方程表示椭圆的条件，明确椭圆的标准方程的形式，即可得到其对应的不等式组，求解即可.3.若直线与直线平行，则与之间的距离为______ ．【答案】【解析】【分析】利用直线平行可求得，代入距离公式即可得出结果.【详解】根据两直线平行，可得，解得，所以两直线的方程为：，整理得，根据平行线间的距离公式可得，两平行线间的距离，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关两条平行线间的距离问题，涉及到的知识点有两条直线平行的条件，平行线间的距离公式，属于简单题目.4.过点作圆的切线，则切线所在直线的方程为______ ．【答案】或【解析】【分析】首先考虑斜率不存在的时候直线与圆的位置关系，再考虑直线斜率存在时，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得的值，综合到一起，得出切线的方程.【详解】过点，直线斜率不存在时方程为，圆心到直线的距离为1，等于半径，所以是圆的切线；过点，切线斜率存在时，直线设为，即，圆心到直线的距离为，整理解得；切线方程为或，故答案是：或.【点睛】该题考查的是有关过圆外一点的圆的切线的方程，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，直线方程的点斜式，点到直线的距离公式，注意考虑斜率不存在的情况.5.若一条双曲线与有共同渐近线，且与椭圆有相同的焦点，则此双曲线的方程为______．【答案】【解析】【分析】由椭圆方程求出椭圆及双曲线的半焦距，设出与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，化为标准方程，结合双曲线中的隐含条件求得值，求得结果.【详解】由得，所以，得，即椭圆的半焦距为，设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，因为所求双曲线的焦点在轴上，则，双曲线方程化为，根据椭圆和双曲线共焦点，所以有，解得，所以所求双曲线的方程为：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关共渐近线的双曲线的方程的求解问题，涉及到的知识点有已知椭圆的方程求椭圆的焦点坐标，与某双曲线共渐近线的双曲线方程的设法，注意平时对有关结论的理解.6.已知三角形的顶点、，若顶点在抛物线上移动，则三角形的重心的轨迹方程为______【答案】【解析】【分析】首先设出三角形的重心和三角形的顶点C的坐标，利用三角形的重心坐标公式，将两点坐标之间的关系建立，结合点C在曲线上，利用相关点法求得对应曲线的方程，之后利用三角形的三个顶点不共线，去掉相应的点，即可得到结果.【详解】设的重心，，则有，即，因为点C在曲线上，所以有，即，因为三角形的三个顶点不能共线，所以，所以的重心的轨迹方程为：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关动点的轨迹方程的求解问题，涉及到的知识点有三角形重心坐标公式，用相关点法求动点的轨迹方程，注意对不满足条件的点要去掉.7.设、分别为直线（为参数，）和曲线（为参数，）上的点，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】首先将直线和曲线的参数方程化为普通方程，结合点P、Q分别为直线和圆上的动点，从而得到的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，从而得到相应的范围.【详解】由（t为参数）可得直线的普通方程为，由（为参数）可得曲线的普通方程为，因为点P、Q分别为直线和圆上的动点，所以，可以无穷远，所以的取值范围是，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关直线与圆上的点的距离的范围问题，涉及到的知识点有曲线的参数方程向普通方程的转化，圆上的点到直线的距离的最小值，认真审题是正确解题的关键.8.已知直线，若是抛物线上的动点，则点到直线和它到轴的距离之和的最小值为______【答案】【分析】首先利用抛物线的定义，将抛物线上的点到y轴的距离转化为其到抛物线的焦点的距离减1，从而将其转化为求抛物线的焦点到直线的距离减1，从而求得结果.【详解】，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关抛物线上的点到两条定直线的距离之和的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，利用抛物线的定义将距离转化为抛物线上的点到焦点的距离和到定直线的距离之和的最小值问题，属于简单题目.9.如果为椭圆上的动点，为椭圆上的动点，那么的最大值为______．【答案】15【解析】【分析】首先利用椭圆的参数方程，设出点M、N的坐标，之和应用向量的数量积坐标公式，结合余弦差角公式将其化简，结合余弦函数的值域求得结果.【详解】利用椭圆的参数方程：设、，则,所以最大值是:15.【点睛】该题考查的是有关向量数量积的取值范围的问题，涉及到的知识点有椭圆的参数方程，向量的数量积坐标公式，余弦的差角公式，余弦函数的值域，属于中档题目.10.若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是____ ．【答案】【分析】首先将关于的方程有两个不相等的实数根，转化为曲线（上半个单位圆）与的图像有两个不同的交点，画出图形，分类讨论，最后求得结果. 【详解】转化为（上半个单位圆）与的图像有两个不同的交点，如图，当时，要满足条件，则，∴；类似，当时，；综上，实数的取值范围是．【点睛】该题考查的是有关根据方程解的个数求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有将方程的解转化Wie曲线的交点，数形结合，分类讨论求得结果.11.已知直线与椭圆交于、两点，若，则的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】根据直线过坐标原点，结合椭圆的对称性，可知点A、B关于原点对称，设出两个点的坐标、，利用向量的运算法则以及向量数量积坐标运算公式，求得，之后结合，求得结果，也可以应用参数方程来解决.【详解】直线过原点，结合椭圆图形的对称性可知、两点关于原点对称，方法一：设、，则，，即，∴．方法二：利用参数方程，设、，则．【点睛】该题考查的是有关一个点与椭圆上两个关于原点对称的点所构成的向量的数量积的取值范围的问题，在解题的过程中，注意两点关于原点对称这个条件非常关键，也可以应用参数方程来设点的坐标.12.在平面直角坐标系中，已知圆与曲线交于两点、（在第一象限），与轴正半轴交于点．若，点，则当和变化时，的最小值为______．【答案】7【解析】【分析】首先根据题意画出相应的图形，根据曲线，可得，对m与1的大小关系进行分类讨论，最后结合图形，得出结果.【详解】易得，从而可证，∴，点关于的对称点为，记，则，∴．【点睛】该题考查的是有关线段和的最值的问题，在解题的过程中，注意利用对称将问题转化，从而求得结果，注意对m与1的大小关系进行分类讨论.二、选择题（本大题共4题）13.方程所表示的曲线的对称性是（）A. 关于轴对称B. 关于轴对称C. 关于轴对称D. 关于原点对称【答案】D【解析】【分析】将方程中的分别换为，以及将换成，比较所得方程与原方程，看相同与否，再将方程中的换为，比较所得方程与原方程是否相同，最后得到结果.【详解】将方程中的换为，方程变为，与原方程相同，故关于轴对称；将方程中的换为，方程变为，与原方程相同，故关于轴对称；将方程中的换为，方程变为，与原方程不同，故不关于直线对称；可知曲线既关于轴对称，又关于轴对称，从而得到其关于原点对称；故选D.【点睛】该题考查的是利用方程判断曲线的对称性，属于简单题目.14.若点是圆外一点，则直线与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交且不过圆心D. 相交且过圆心【答案】C【解析】【分析】由已知条件推导出，从而圆心到直线的距离，由此能判断出直线与该圆的位置关系，从而求得结果.【详解】由题意，得，从而圆心到直线的距离为，∴选C．【点睛】该题考查的是有关判断直线与圆的位置关系的问题，涉及到的知识点有点与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离与半径比较大小得到直线与圆的位置关系，属于简单题目.15.已知，由所有直线组成的集合记为，则下列命题中的假命题是（）A. 存在一个圆与所有直线相交B. 存在一个圆与所有直线不相交C. 存在一个圆与所有直线相切D. M中的直线所能围成的正三角形面积都相等【答案】D【解析】【分析】首先能够确定直线是表示的圆的所有切线，所以可以将圆心定住，改变半径的大小，得到与直线相交，相离和相切，从而确定出A,B,C三项都是正确的，对于D项，已经找到两种大小不相等的正三角形，从而得到结果.【详解】根据点到L的距离为，表示圆的所有切线，符合选项A、B、C的圆依次为、、，对于选项D，存在如下图的两种大小不相等的正三角形，∴D错误，故选D．【点睛】该题考查的是有关定圆的切线系方程，利用点到直线的距离可以确定直线系L是定圆的切线系，之后对选项逐项分析，找到对应的结果，从而得到答案.16.双曲线的左右焦点分别为、，若是双曲线左支上的一个动点，则的内切圆的圆心可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据题意，结合切线的性质以及双曲线的定义，可以判断出其三角形的内切圆的圆心的横坐标为，并且根据题意判断出其落在渐近线的下方，从而得到正确的结果.【详解】设内切圆圆心为，内切圆与、、的切点分别为、、，则由切线长定理，知、、，∴，∴为双曲线的左顶点且轴，设所在直线与的交点为，由角平分线定理，知，由于，∴点一定位于上，因此，若内心在第二象限，则其一定位于渐近线的下方，在第三象限，则其一定位于渐近线的上方，即的坐标一定为，其中，∴选B．【点睛】该题考查的是双曲线的焦点三角形的内心的位置，涉及到的知识点有双曲线的定义，圆的切线的性质，属于中档题目.三、解答题（本大题共5题）17.已知圆的圆心在直线上，并且圆与直线和都相切．（1）求圆的方程；（2）若直线与圆有两个不同的交点、，求弦长的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据两条直线和是平行的，从而断定圆心是与的交点，解方程组求得，由两平行线间的距离求得圆的半径，从而得到圆的方程；（2）由直线的方程可以断定直线过定点，根据垂径定理，得到最小值求得结果.【详解】（1）圆心为与的交点，解得，圆的直径为两平行线与间的距离，可求出半径，∴圆的方程为；（2）直线过定点，由垂径定理知，当为直线的法向量时，弦心距最长，弦最短，∴．【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有圆的方程的求解，直线与圆的位置关系，直线过定点，根据垂径定理求圆的最短弦长，属于中档题目.18.在平面直角坐标系中，动圆经过点并且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线．（1）如果直线过点（0，4），且和曲线只有一个公共点，求直线的方程；（2）已知不经过原点的直线与曲线相交于、两点，判断命题“如果，那么直线经过点”是真命题还是假命题，并说明理由．【答案】（1）直线的方程为、、；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，求得曲线C的方程，之后分直线的斜率存在与不存在两种情况，根据直线与抛物线有一个公共点，得出结果；（2）根据图形的对称性，得出对应的定点在x轴上，设出直线的方程，利用韦达定理，根据向量垂直向量的数量积等于零，求得对应的结果.【详解】（1）根据题意，可知曲线C的方程为，①直线的斜率不存在，即的方程为，符合题意，②直线的斜率存在，设，与抛物线方程联立得，（ⅰ），符合题意，此时的方程为，（ⅱ），则，解得，此时的方程为，综上，符合题意的直线的方程为、、；（2）由图形的对称性，若直线过定点，则该定点必定落在轴上，设定点坐标为、、、，，则，∵，∴，即，解得或（舍），∴命题为真命题．【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线的综合题，涉及到的知识点有根据抛物线的定义求抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题目.19.轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向．现有、、三个无线电发射台，其中在陆地上，在海上，在某国海岸线上，（该国这段海岸线可以近似地看作直线的一部分），如下图．已知、两点距离10千米，是的中点，海岸线与直线的夹角为．为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收到点的信号比接收到点的信号晚秒．（注：无线电信号每秒传播千米）．在某时刻，测得轮船距离点距离为4千米．（1）以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如图），求出该时刻轮船的位置；（2）根据经验，船只在距离海岸线1.5千米以内的海域航行时，有搁浅的风险．如果轮船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险?【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意，设出点P的坐标，根据题意得出点P的轨迹是双曲线的一支，根据对应的量，从而求得点P的坐标，得到结果；（2）根据题意，找出对应的关系，从而求得结果，得到结论.【详解】（1）设轮船在点处，则由题意，得，∴为以、为焦点，实轴长为8，焦距为10的双曲线右支上的点，其方程为，又，解得；（2）海岸线所在直线的方程为，与其平行，且距离为1.5的直线的方程为，考虑与是否有交点，，∴与没有交点，即轮船保持目前的航路不变，没有搁浅风险．【点睛】该题考查的是应用所学知识解决实际问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有应用定义得出曲线的方程，利用直线与曲线的位置关系得到相应的结果，属于中档题目. 20.已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、，且为等边三角形．（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆的方程；（2）如果在椭圆上存在不同的两点、关于直线对称，求实数的取值范围；（3）已知点，椭圆上两点、满足，求点横坐标的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据为等边三角形，可得，结合椭圆长轴的长为4，即，得，从而求得椭圆的方程；（2）根据等边三角形，得出a,b,c之间的关系，从而设出椭圆的方程，根据椭圆中中点弦所在直线的斜率所满足的条件，结合对称的条件，求得弦的中点坐标，保证点在椭圆内，得到相应的不等关系，得到结果；（3）利用向量的关系，得到点的坐标之间的关系，结合隐含条件，得到相应的范围，求得结果【详解】（1）由题意，得，，∴椭圆的方程为；（2）“点差法”设椭圆的方程为，即，设、、中点，则，得，又，解得，显然在椭圆内，∴，得，又，∴；（3）设椭圆方程，即，方法一：（常规解法）①过、的直线斜率不存在，即直线方程为时，、，由，得，②过、的直线斜率存在，设直线方程为、、，由，得，，则，由，可得，∴，综上，点横坐标的取值范围是．方法二：设，则，，又，∴，∴，∴，即点横坐标的取值范围是．【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的综合问题，涉及到的知识点有椭圆中a,b,c三者之间的关系，正三角形的特征，点关于直线的对称点的特征，椭圆中中点弦所在直线的斜率的条件，向量之间的关系，属于较难题目.21.已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且．（1）求双曲线的两条渐近线的夹角；（2）过点的直线和双曲线的右支交于、两点，求的面积的最小值；（3）过双曲线上任意一点分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于、两点，求平行四边形的面积．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）首先根据双曲线的定义，结合题中所给的角的大小，求得，从而求得b的值，进而得到双曲线的渐近线方程，利用直线的方向向量所成的角，求得两条渐近线的夹角余弦值，利用反余弦求出结果；（2）设出直线的方程，与双曲线的方程联立，利用三角形的面积公式，结合函数的单调性，求得最值，得到结果；（3）根据所学的知识将四边形的面积表示出来，进而求得结果.【详解】（1）由题意，得，，∴，∴双曲线的方程为，∴，∴；（2）【注：若设点斜式，需补上斜率不存在的情况】设，、，将直线的方程代入双曲线方程，消去，得，则，得，，令，，则，其中在上单调递减，∴在上单调递增，∴当时，取得最小值，此时，的方程为；（3）设，其中方法一：设，与联立，可求出，由三阶行列式表示的三角形面积公式可得．方法二：如图，，设到和的距离为、，则，，∴【点睛】该题考查的是有关双曲线与直线的综合题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线的夹角，双曲线中三角形的面积，四边形的面积，属于较难题目.。