1.菱形(基础)知识讲解+练习

15（ 2015 春 ?泰安校级期中）如图，在 △ABC 中，∠ ABC=90 °， BD 为 AC 的中线，过点 C 作 CE⊥ BD 于点 E，过点 A 作 BD 的平行线，交 CE 的延长线于点 F，在 AF 的延长线上截 取 FG=BD ，连接 BG 、 DF． （1）求证： BD=DF ； （2）求证：四边形 BDFG 为菱形； （3）若 AG=13 ， CF=6 ，求四边形 BDFG 的周长．
1、（ 2015?石景山区一模）如图，菱形 ABCD 中， E，F 分别为 AD ， AB 上的点，且 AE=AF ，连接 EF 并延长，交 CB 的延长线于点 G，连接 BD ． （1）求证：四边形 EGBD 是平行四边形； （2）连接 AG ，若∠ FGB=30 °， GB=AE=1 ，求 AG 的长．
BD 长之比为
.
cm，则对角线 AC 长和
9. 已知菱形 ABCD两对角线 AC ＝ 8 cm , BD ＝ 6 cm, 则菱形的高为 ________. 10. 如图， P 是菱形 ABCD对角线 BD上一点， PE⊥AB 于点 E，PE＝ 4 cm ，则点 P 到 BC的距离
是 ____ cm.
13＝ 169 个，面积相等的菱形一共有 196＋ 169＝ 365( 个 ) ．
【总结升华】 菱形可以看作是由直角三角形组成的， 因而铺满墙面后， 要计算空白菱形的个
数和阴影菱形的个数． 将相同的图形拼在一起， 在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，
不要忽略周围图形的拼接．
【巩固练习】
一. 选择题
1
× 2＝ 1.
2
2、如图所示，在△ ABC中， CD是∠ ACB的平分线， DE∥ AC， DF∥ BC，四边形 DECF是 菱形吗 ?试说明理由．
【思路点拨】 由菱形的定义去判定图形， 由 DE ∥AC ，DF ∥ BC 知四边形 DECF 是平行四边 形，再由∠ 1＝∠ 2＝∠ 3 得到邻边相等即可． 【答案与解析】 解：四边形 DECF是菱形，理由如下：
∵AF=AE ， ∴AC ⊥ EF， ∴EG∥ BD ． 又∵菱形 ABCD 中， ED∥ BG， ∴四边形 EGBD 是平行四边形．
（ 2）解：过点 A 作 AH ⊥ BC 于 H． ∵∠ FGB=30 °，
∴∠ DBC=30 °， ∴∠ ABH=2 ∠ DBC=60 °， ∵GB=AE=1 ，
∴AB=AD=2 ， 在 Rt△ ABH 中，∠ AHB=90 °， ∴AH= ， BH=1 ． ∴GH=2 ， 在 Rt△ AGH 中， 根据勾股定理得， AG= ． 【总结升华】 本题考查了菱形性质， 关键是根据菱形的性质和平行四边形的判定以及直角三
又∵ AE ＝ AG， ∴ 四边形 AEFG是菱形． 方法二：∵ CE 平分∠ ACB，∠ BAC＝ 90°， EF⊥ BC， ∴ AE ＝ EF，∠ 1＋∠ 3＝90°，∠ 4＋∠ 2＝90°． ∴ ∠3＝∠ 4． ∵ EF ⊥ BC， AD⊥ BC，∴ EF ∥ AD． ∴ ∠4＝∠ 5．∴ ∠ 3＝∠ 5．
，
∴△ BCO≌△ DCO （ SAS）， ∴∠ CBO= ∠ CDO=50 °．
【高清课堂 特殊的平行四边形（菱形） 例 1】
【变式 2】菱形 ABCD中，∠ A∶∠ B＝ 1∶ 5，若周长为 8，则此菱形的高等于 ( ) ．
1
A.
B.4
C.1
D.2
2
【答案】 C；
提示：由题意，∠ A＝ 30°，边长为 2，菱形的高等于 类型二、菱形的判定
∴ AE ＝ AG． 在△ AEG和△ FEG中， AE＝ EF，∠ 3＝∠ 4，EG＝ EG， ∴ △AEG≌△ FEG． ∴ AG ＝ FG． ∴ AE ＝ EF＝ FG＝ AG． ∴ 四边形 AEFG是菱形． 【总结升华】 判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．
举一反三：
1．（ 2015?潍坊模拟）下列说法中，错误的是（
）
A. 平行四边形的对角线互相平分
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边
C．菱形的对角线互相垂直
D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
2．顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是
()
A. 矩形
百度文库
B. 平行四边形
C．菱形
D. 任意四边形
3．如图，在菱形 ABCD中， E、F 分别是 AB、AC的中点，如果 EF＝ 2，那么菱形 ABCD的周长
3、如图所示，在△ ABC中，∠ BAC＝90°， AD⊥ BC于点 D， CE平分∠ ACD，交 AD于点 G，交 AB 于点 E， EF⊥ BC于点 F． 求证：四边形 AEFG是菱形．
【思路点拨】 由角平分线性质易知 AE ＝ EF，欲证四边形 AEFG 是菱形，只要再证四边形
AEFG 是平行四边形或 AG ＝GF＝ AE 即可． 【答案与解析】
证明：方法一：∵ CE 平分∠ ACB，∠ BAC＝ 90°， EF⊥BC， ∴ AE ＝ EF，∠ 1＋∠ 3＝90°，∠ 4＋∠ 2＝90°． ∵ ∠1＝∠ 2， ∴ ∠3＝∠ 4． ∵ EF ⊥ BC， AD⊥ BC，∴ EF ∥ AD．
∴ ∠4＝∠ 5．∴ ∠ 3＝∠ 5． ∴ AE ＝ AG．∴ EF AG． ∴ 四边形 AEFG是平行四边形．
11. 如图， 在菱形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 O，AB＝ 13，AC＝ 10，过点 D 作 DE∥AC 交 BC的延长线于点 E，则△ BDE 的周长为 _____.
12. 如图，在平面直角坐标系中， 菱形 OABC的顶点 B的坐标为（ 8，4），则 C点的坐标为 _______.
三. 解答题 13．如图，在菱形 ABCD中，∠ ABC＝ 120°， E 是 AB边的中点， P 是 AC边上一动点， PB＋ PE
的最小值是 3 ，求 AB 的值．
14．如图，在平行四边形 ABCD中，E、F 分别为边 AB，CD的中点， 连接 DE、BF、BD．若 AD⊥BD， 则四边形 BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
角形的性质解题． 举一反三： 【变式 1】（ 2015 ?温州模拟）如图，在菱形
ABCD 中，点 E 是 AB 上的一点，连接 DE 交
AC 于点 O，连接 BO ，且∠ AED=50 °，则∠ CBO=
度．
【答案】 50； 解：在菱形 ABCD 中， AB ∥ CD ，∴∠ CDO= ∠AED=50 °， CD=CB ，∠ BCO= ∠ DCO ， ∴在 △ BCO 和 △ DCO 中，
∴ DF ＝ 1 DC， BE＝ 1 AB
2
2
∴ DF ∥ BE． DF＝ BE
∴ 四边形 DEBF为平行四边形
∴ DE ∥ BF
(2) 证明：∵ AG ∥ BD
∴ ∠G＝∠ DBC＝ 90°
∴ △DBC为直角三角形
又∵ F 为边 CD的中点．
∴ BF ＝ 1 DC＝ DF 2
又∵ 四边形 DEBF为平行四边形
【变式】如图所示，在
ABCD中， E、F 分别为边 AB、CD的中点， BD是对角线，过 A 点作
AG∥ DB交 CB的延长线于点 G．
(1) 求证： DE∥ BF；
(2) 若∠ G＝ 90°，求证四边形 DEBF是菱形．
【答案】
证明： (1) ABCD中， AB∥CD， AB＝CD
∵ E 、 F 分别为 AB、 CD的中点
【答案】 解：四边形 AEDF是菱形，理由如下：
∵ EF 垂直平分 AD， ∴ △AOF与△ DOF关于直线 EF 成轴对称．
∴ ∠ODF＝∠ OAF， 又∵ AD 平分∠ BAC，即∠ OAF＝∠ OAE， ∴ ∠ODF＝∠ OAE．∴ AE ∥ DF， 同理可得： DE∥AF． ∴ 四边形 AEDF是平行四边形，∴ EO ＝OF 又∵ AEDF的对角线 AD、 EF 互相垂直平分． ∴ AEDF是菱形．
.
要点二、菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
1. 菱形的四条边都相等；
2. 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
.
3. 菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线）
，对称轴的交点就是对称
中心 .
要点诠释： （ 1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将
∵ DE ∥ AC， DF∥ BC ∴ 四边形 DECF是平行四边形． ∵ CD 平分∠ ACB，∴ ∠1＝∠ 2 ∵ DF ∥ BC， ∴ ∠2＝∠ 3， ∴ ∠1＝∠ 3． ∴ CF ＝ DF， ∴ 四边形 DECF是菱形． 【总结升华】 在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时， 首先判定这个四边形是平行四边形， 再由一对邻边相等来判定它是菱形． 举一反三： 【变式】如图所示， AD是△ ABC的角平分线， EF 垂直平分 AD，分别交 AB于 E，交 AC于 F， 则四边形 AEDF是菱形吗 ?请说明理由．
(1) 这面墙最少要贴这种瓷砖多少块 ?
(2) 全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形
?
【答案与解析】
解：墙壁长 4.2 m ，宽 2.8 m ，矩形瓷砖长 0.3 m ，宽 0.2 m ， 4.2 ÷ 0.3 ＝ 14， 2.8 ÷ 0.2
＝14，则可知矩形瓷砖横排 14 块，竖排 14 块可毫无空隙地贴满墙面．
是( )
A.4 C.12 4. 如图，在菱形
A． 20
B.8
D.16
ABCD中， AB=5，∠ BCD=12°0 ，则△ ABC 的周长等于（
）
B
． 15
C
． 10
D
．5
5. 如图，在菱形 ABCD中， AC、 BD是对角线，若∠ BAC＝50°，则∠ ABC 等于（
）
A． 40° B ．50° C ． 80° D ．100°
(1) 则至少需要这种瓷砖 14× 14＝196( 块 ) ．
(2) 每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有 196 个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积
的一半． 另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，
它的面积也等于瓷砖
面积的一半，有花纹的菱形横排有 13 个，竖排也有 13 个，则一共有淡黄色花纹菱形 13×
【思路点拨】 （ 1）连接 AC ，再根据菱形的性质得出 EG∥ BD ，根据对边分别平行证明是平 行四边形即可． （ 2）过点 A 作 AH ⊥ BC，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
【答案与解析】
（ 1）证明：连接 AC ，如图 1： ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC 平分∠ DAB ，且 AC ⊥ BD ，
题.
要点三、菱形的判定
菱形的判定方法有三种：
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 .
2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .
3. 四条边相等的四边形是菱形 .
要点诠释： 前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，
后一种方
法是在四边形的基础上加上四条边相等 .
【典型例题】
类型一、菱形的性质
菱形分成完全全等的两部分 . （ 2）菱形的面积有两种计算方法： 一种是平行四边形的面积公式： 底×高；
另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）
.
实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘 积的一半 .
（ 3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问
6．将矩形纸片 ABCD按如图所示的方式折叠， 得到菱形 AECF．若 AB＝ 3，则 BC的长为 ( )
A.1 B. 2 C.
2 D.
3
二. 填空题
7．已知菱形的周长为 40 cm ，两个相邻角度数之比为 1∶2，则较长对角线的长为 ______ cm ．
8．（ 2015?南充）如图，菱形 ABCD 的周长为 8cm，高 AE 长为
∴ 四边形 DEBF是菱形
类型三、菱形的应用
4、如图所示，是一种长 0.3 m ，宽 0.2 m 的矩形瓷砖， E、 F、 G、 H 分别为矩形四边
BC、 CD、 DA、 AB 的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长
4.2 m ，
宽 2.8 m 的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：
菱形（基础）
【学习目标】
1. 理解菱形的概念 . 2. 掌握菱形的性质定理及判定定理． 【要点梳理】 【高清课堂 特殊的平行四边形（菱形）
知识要点】
要点一、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 .
要点诠释： 菱形的定义的两个要素：①是平行四边形 . ②有一组邻边相等 . 即菱形是一
个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件