向量组的极大无关组与秩的求法

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§3 向量组的秩与极大线性无关组

同的线性相关性。
A 1 , 2 ,
初等行变换 , n B 1 , 2 ,
, n
AX 0 与 BX 0 同解
定理
矩阵A的秩等于A的行(列)向量组的秩。
矩阵的秩的定义：存在 K 阶子式不为 0，对任意 K+1 阶子式均为 0，则 k 即为矩阵的秩。
km 0 时，k11 k2 2
km m 0 才
成立，或者说， k1 , k2 , , km 不全为零，那么 k11 k22 kmm 必不为零.）
定理向量组 1 , 2 , , m 线性相关
齐次线性方程组 1 , 2 ,
x1 x2 , m 0 有非零解 xm
线性无关组等价。
性质如果多数向量能用少数向量线性表示出，那么多数向量一定线性相关。
性质
1 , 2 , 如果向量组 A：
R(1 , 2 ,
, m 可由向量组 B： 1 , 2 ,
, n
线性表示，则向量组A的秩不超过向量组B的秩，即
, m ) R( 1 , 2 , , n )
例：设矩阵
2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7
2 4 4 9
求矩阵 A 的列向量组的一个极大线性无关组，并把不属于极
大线性组的列向量用极大无关组线性表示．
解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵． 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 r 1 1 2 1 4 0 1 1 1 0 ~ A 4 6 2 2 4 0 0 0 1 3 3 6 9 7 9 0 0 0 0 0 行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ．第二步找B的一个3阶非零子式．可取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、二、四列． 2 1 1 1 1 1 r 1 1 1 0 1 1 A0 (a1 , a2 , a4 ) ~ B0 4 6 2 0 0 1 3 6 7 0 0 0

3.3 向量组的极大无关组与秩

矩阵 C的列向量组能由 A的列向量组线性表示，
因此r ( C ) r ( A). 又因为 C T B T AT ,由上段证明知 r ( C T ) r ( B T ), 25 即r ( C ) r ( B).
练习
1.求下列向量组的秩:
T T (1) 1 (2, 1, 1) , 2 (5, 4, 2, ) , 3 (3, 6, 0) T T ( 3 , 1 , 0 , 2 ) ( 1 , 1 , 2 , 1 ) (2) 1 , , 2 3 (1, 3, 4, 4) T .
20
得
1 1 3 2 , 2 1 2 .
1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 1 2 2 3 1 1 2 2 , 0 0 0 0 0 0
2 0 1 1 而 ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 3 1 3 1
9
定理3.10
若向量组A可由向量组B线性表示，则
r(A) ≤ r(B)。推论若向量组A与向量组B等价，则 r(A) = r(B)。
10
回顾
α1 α2
αm
矩阵A既对应一个行向量组,又对应一个列向量组: 其中 i ( a i 1 , a i 2 , , a in ), i 1, , m a1 j 1 a2 j 2 j 1, 2, , n
28
23
则r 1 1 , 2 2 , , n n r t r ( A) r ( B) r ( A B) r ( A) r ( B)
r i 1 , i 2 , ir , j 1 , j 2 , jt

求向量组的秩与极大无关组

求向量组的秩与极大无关组对于具体给出的向量组,求秩与极大无关组的常用方法如下。

方法1 将向量组排成矩阵：（列向量组时）或(行向量组时) （*）并求的秩，则即是该向量组的秩；再在原矩阵中找非零的阶子式，则包含的个列（或行)向量即是的列(或行)向量组的一个极大无关组.方法2 将列(或行)向量组排成矩阵如（＊)式，并用初等行（或列）变换化为行（或列）阶梯形矩阵(或），则(或）中非零行（或列)的个数即等于向量组的秩，且是该向量组的一个极大无关组，其中是(或）中各非零行(或列)的第1个非零元素所在的列（或行）.方法3 当向量组中向量个数较少时，也可采用逐个选录法:即在向量组中任取一个非零向量作为，再取一个与的对应分量不成比例的向量作为，又取一个不能由和线性表出的向量作为,继续进行下去便可求得向量组的极大无关组。

对于抽象的向量组，求秩与极大无关组常利用一些有关的结论,如“若向量组(Ⅰ)可由向量组（Ⅱ)线性表示，则（Ⅰ)的秩不超过(Ⅱ）的秩"，“等价向量组有相同的秩”，“秩为的向量组中任意个线性无关的向量都是该向量组的极大无关组"等.例1 求向量组，，,，的秩与一个极大无关组。

解法1，所以向量组的秩为3；又中位于1，2，4行及1,2,4列的3阶子式故是向量组的一个极大无关组(可知；均可作为极大无关组）。

法2由于的第1,2，4个行向量构成的向量组线性无关，故是向量组的一个极大无关组.例2 求向量组，,，的秩和一个极大无关组。

解（1）当且时，，故向量组的秩为3,且是一个极大无关组；（2）当时，，故向量组的秩为3，且是一个极大无关组；(3) 当时，若，则，此时向量组的秩为2,且是一个极大无关组。

若，则，此时向量组的秩为3，且是一个极大无关组.例3 设向量组的秩为.又设，，求向量组的秩.解法1 由于，且所以故向量组与等价，从而的秩为.法2 将看做列向量,则有其中可求得，即可逆,从而可由线性表示，故这两个向量组等价，即它们有相同的秩。

4.3 向量组的秩和最大无关组

设1, 2, …, n为Rn的一组基，则
Rn = L(1, 2, …, n)
返回
又，
Rn = L(ε1, ε2, …, εn)
Rn 的标准基
Rn, 1, 2, …, n为一组基， = x11+ x22+ …+ xnn 在基1, 2, …, n下的坐标一个向量在确定基下的坐标是唯一的(坐标的唯一性).
矩阵A的列秩：A的列向量组的秩；
矩阵A的行秩：A的行向量组的秩.
返回
定理2 矩阵的行秩 = 列秩 = 矩阵的秩.
证设 R(A) = r,
A 行初等变换 B(行阶梯形矩阵),
B有 r 个非零行，B的r 个非零行的非零首元素所在的r 个列向量线性无关，为什么？为B的列向量组的最大无关组. 为什么？
1, 2, …, r 可由1, 2 , …, s线性表出,有
R(B)=R(B, A) 则R( A) ≤ R(B) ≤ s
1, 2, …, r 线性无关，则 R(A)=r
r≤ s
返回
两向量组秩的关系：若向量组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出，则组(Ⅰ)的秩 r1≤ 组(Ⅱ)的秩 r2. 证设 1 ,..., r1 为(Ⅰ) 的最大无关组， 1 ,..., r2 为(Ⅱ) 的最大无关组. 组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出,所以
4.3
向量组的秩与最大无关组
一、向量组的秩与最大无关组的概念
二、Rn 的基、维数与坐标
返回
一、向量组的秩与最大无关组的概念
例1 1 =(1,0,1), 2 =(1,-1,1), 3 =(2,0,2) 。
1, 2, 3 线性相关. 1, 2 线性无关； 2 ，3 线性无关，

极大无关组与向量组的秩

提示: 极大无关组不唯一，但是所含向量的个数都相等
线性代数
16
例3 设矩阵 2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7 2 4 4 9
求矩阵A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示 .
0 1 0
即得
a 3 a1 a 2 , a5 4a1 3a 2 3a4
线性代数
20
练习：义1 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V 非空，且集合V对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合 V 为向量空间．
说明 1．集合V 对于加法及数乘两种运算封闭指
知R(a1 , a2 , a4 ) 3，故a1 , a2 , a4线性无关
要把a3 , a5用a1 , a2 , a4线性表示，必须将 A再变成行最简形矩阵.
线性代数
19
A
初等行变换
~
1 0 0 0
4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
验证a1 , a 2 , a 3 , 是R 3的一个基，并把 b1 , b2用这个基线性表示.
线性代数
27
解要证a1 , a2 , a3是R 的一个基，只要证 a1 , a2 , a3 线性无关，即只要证 A ~ E.
设
即 x11 (b1 , b2 ) (a1 , a 2 , a 3 ) x 21 x 31 记作B AX .
k1 k n 0时, 才有 k1 1 k 2 2 k n n 0 成立 .
线性代数
8
2. 对于任一向量组, 不是线性无关就是线性相关 .

矩阵的秩及向量组的极大无关组求法

位于k行k列交叉位置上的k2个元素，按原有的次序组成的k阶行列
式，称为A的k阶子式. 如矩阵
1 A 1
1 1
0 2
2 1
0 0 3 2
第1,3行及第2,4列交叉位置上的元素组成的一个二阶子式为
12
三阶子式共有4个
02
1 10
1 12
102 1 02
1 1 2 1 1 1
1 2 1 1 2 1
0 4 4
0 4 4
3 0 6
0 3 3
3 21 2 3 2 1 2
《线性代数》
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矩阵A2
矩阵A3
矩阵B
1 0
1 4
1 (1/ 4)r2 1
4
0
1 1
1 1
r3 3r2
1 0
1 1
1 1
r1 r2 1
0
0 1
2 1
0 3 3
0 3 3
0 0 0
0 0 0
二、单选题
１．设A是n阶方阵且|A|＝0，则（）． 1) A中必有两行（列）元素对应成比例． 2) A中至少有一行（列）的元素全为0 ． 3) A中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合． 4) A中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合．
《线性代数》
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结束
2．设n阶矩阵A的秩为r，则结论（）成立. ①|A| ≠0; ② |A| ＝0; ③ r>n; ④ r≤n.
00
c1n
c2n
crn
0
0
结论：行阶梯形矩阵Br的非零行的个数，即为矩阵A的秩.
《线性代数》
返回

3.3 向量组的秩与极大线性无关组

2014年9月23日7时13分
11
解：令A=（a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5）
对其施行初等行变换变为行阶梯形矩阵
2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7 2 4 4 9
1 初等行变换 0 ~ 0 0 1 2 1 4 1 1 1 0 ， 0 0 1 3 0 0 0 0
A
初等行变换
~
即得
a 3 a1 a 2 a 5 4a1 3a 2 3a 4
2014年9月23日7时13分 13
例4: 证明：R( A, B) R( A) R( B)
证：设a1, a2, …,ar是矩阵A的列向量组的极大线性无关组，β1, β2, …, βt是矩阵B的列向量组的极大线性无关组则 (A,B)的列向量组可由a1, a2, …,ar,β1, β2, …, βt
2014年9月23日7时13分 10
例3: 求向量组a 1 =(2,1, 4, 3)T , a 2 =(-1,1,-6,6)T , a 3 =
(-1,-2,2,-9) , a 4 =(1,1,-2,7) , a 5 =(2,4,4,9) 的秩
T T T
和一个极大线性无关组，并把不属极大线性无关组的列向量用极大线性无关组线性表示.
2014年9月23日7时13分
9
注：求极大线性无关组和秩的方法： ⑴先将所给向量写成矩阵A的列向量
⑵再对矩阵A作初等行变换化为行阶梯形
则在行阶梯形中：
①非零行的行数即为向量组的秩
②在每个非零行取一个非零元素所在的列即构成向量组
的一个极大线性无关组（通常取第一个非零元所在的列） ⑶继续将矩阵作初等行变换化为行最简形，则利用行最简形，可将其余向量由极大线性无关组线性表示

4[1].3向量组的秩和极大线性无关组

第二节向量组的极大无关组与秩
引子: 线性相关组中含有线性无关的部分向量组. 一、等价向量组
定义（等价）：定义（等价）：
如果向量组 α 1 , α 2 ,..., α t中的每个向量都可以由向量组
β 1 , β 2 ,..., β s 线性表出，则称向量组 {α 1 , α 2 ,..., α t }可以由向量组 { β 1 , β 2 ,..., β s }线性表出。
0 2 2 1 1 1 2 5 0 2 1 3 1 1 3 3
～
1 0 0 0
5 1 1 0 9 = ( β1 , β 2 , β 3 , β 4 , β 5 ) 0 0 1 −2 0 0 0 0 0 2 0
2 1 0 1 0 1 = 2 + 1 ; 0 0 0 0 0 0
14
三、思考题
1、求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组：求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组：
α1 = (1,0, 3,1),α 2 = ( −1, 3,0, −1),α 3 = (2,1,7, 2), α 4 = (4, 2,14,0).
2、一个向量组的秩是否确定？其极大无关组是一个向量组的秩是否确定？否唯一？否唯一？
13
推论9(结论要记住) 推论9(结论要记住) 9(结论要记住设 C m × n = A m × s B s × n ，则 R ( C ) ≤ R ( A ), R ( C ) ≤ R ( B ). 证设矩阵 C和A用其列向量表示为
C = (c1 ,L, c n ), A = (a1 ,L, a s ).
1 0 A= 1 0 0 2 2 1 1 1 2 5 0 2 1 3 1 1 3 3

3-2 向量组的秩和最大无关组

R( A, B ) r R( A)
充分性: 若 R( A, B ) R( A) r , 则 a1,…, ar 为(A, B)的一个最大无关组, 当然向量组 B 可由 a1,…, ar 线性表示, 从而向量组 B 可由向量组 A 线性表示.
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定理3 向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充要条件是
向量组的秩设 A 为一向量组, A 中线性无关向量组所含向量个数的最大值 r, 称为向量组 A 的秩, 记为 R(A).
规定{0}的秩为 0. 提示: 当 s n 时, n 维向量组 a1,…, as 线性相关. 这是因为 R ( a 1 , , a s ) n s
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§3.2 向量组的秩和最大无关组
一、向量组的秩和最大无关组二、等价向量组
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一、向量组的秩和最大无关组
设 A 为一 n 维向量组( A {0}), A 中任一线性无关向量组所含向量个数不多于 n 个. A 中线性无关向量组所含向量个数存在最大值: 存在正整数 r, 使得 A 中有 r 个向量线性无关, 而 A 中任意多于 r 个向量(若存在的话)线性相关.
T T T T T 若 x 满足 (A A)x 0, 则有 x (A A)x 0, (Ax) (Ax) 0, T
从而 Ax 0. 综上可知 Ax 0 与 (A A)x 0 同解, 设其解集为 S,
T
x 为 n 元未知量, 则有
R( A A) R( A) n - R(S )
证明向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价. 证明记 A (a1, a2), B (b1, b2, b3),

向量组的极大无关组与秩的定义

复习
向量组的等价
1.定义1: 设有两个 n 维向量组 (I ) : 1,2 ,,r (II ) : 1, 2 ,, s
若向量组（I ）中每个向量都可由向量组（II）线性
表示，则称向量组（I ）可由向量组（II）线性表示；
若向量组（I ）与向量组（II）可以互相线性表示，
则称向量组（I ）与向量组（II）等价。
向量组的极大无关组定义1：设向量组T 的部分向量组1,2 ,,r 满足
(i) 1,2,,r线性无关 (ii) T 中向量均可由1,2,,r线性表示。
或T 中任一向量. ,1,2 ,,r线性相关。则称1,2 ,,r是向量组T 的一个极大线性
无关组，简称极大无关组。
极大无关组的含义有两层：1无关性; 2.极大性。
as1
a12 a22
as2
a1s 1 a2s 2
ass s
a11
K
a21
as1
a12 a22
as2
a1s a2s
ass
证明: 若r(K) s，则1, 2 ,, s线性无关。
r(K) s K可逆 1,2,,s可由1, 2,, s表示 1,2,,s与1, 2,, s等价。
1
2
C
s
12
s
O
O
.
r
O
r r(A) r(C) s.
推论1：若向量组1,2 ,,r可由向量组 1, 2 ,, s 线
性表示，且r >s,则向量组1,2,,r线性相关。
推论2：任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相等。
定理2：一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相等。
若向量组(I )线性无关，且可由向量组(II )线性表

1-3 向量组的极大无关组及向量组的秩

11
α1 = (1, 2,0, 1) α2 = (3,1, 5, 7) 例4 求向量组 α3 = (5, 3,7,9) α = (2,1, 3, 3) 4 α5 = (1, 4, 2, 7)
的秩及向量组的一极大无关组, 的秩及向量组的一极大无关组,并求其余向量由这极大无关组的线性表达式. 组的线性表达式. 极大无关组为: 极大无关组为: α1 ,α2 ,α4 或者 α1 ,α3 ,α4
4 7 α3 = 5α1 5 α2 为极大无关组为例: 以α1 ,α2 ,α4 为极大无关组为例: α = 9α + 8α 2α 4 5 5 1 5 2 12
或者 α1 ,α2 ,α5 或者 α1 ,α3 ,α5
小结
1.介绍基本概念:极大无关组,秩. 介绍基本概念:极大无关组, 介绍基本概念 2. 向量组的初等变换,行阶梯形矩阵. 向量组的初等变换,行阶梯形矩阵. 3. 重点:定理1.3.3. 重点:定理1 4 .必须会求向量组的秩,极大无关组. 必须会求向量组的秩, 必须会求向量组的秩极大无关组.
§1.3 向量组的极大无关组及向量组的秩一,极大无关组,秩极大无关组, 二,向量组的初等变换
1
一,极大无关组,秩极大无关组, 定义1.3.1 定义1.3.1
α1 ,α2 ,,αr 是向量组的一部分向量组,如果满足是向量组T 的一部分向量组,
线性无关; (1)α1 ,α2 ,,αr 线性无关; (2)α ∈T, 总有 α1 ,α2 ,,αr,α 线性相关. 线性相关. 则称 α1 ,α2 ,,αr 是向量组的一个极大线性无关组, 是向量组T 简称极大无关组.
若写成矩阵形式 ,可以看到有阶梯出现
α1 1 α2 = 0 α3 0 α 0 4

线性代数解题技巧及典型题解析01-向量组的秩及极大线性无关组的求法_12

行变换
0
0
10
4
2
,
0 0 0 3 9 3
0 0 0 1 3 1
0
0
0
0
0
0
0
0
00
0
0
2 = 1 ,5 71 43 34 ,6 1 23 4 .
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5 设 A为 m s 矩阵，B 为 s n 矩阵. 证明 r(AB) min{r(A), r(B)}.
此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来解决矩阵的问题.
r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
极大无关组. 由题设 j1,, js 可由i1,,is 线性表示，设表示式为
j1
a11
a1s
i1
,
js
a s1
a ss
is
1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一定的条件后可以等价. 因此，一定要注意：向量组的等价仅由秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨论对象.
极大无关组表示出来。
1
A
1
2
3
4
5
6
=
2 3
1 2 3
1 1 1
0 2 4
3 4 5
21
行变换
1 B= 0
3
0
1 0 0
1 1 0
0 2 3

§3.4 向量组的最大无关组与秩

2 1 1 1 2
A
(a1
,
a2
,
a3
,
a4
,
a5
)
1 4
1 6
2 2
1 2
4
4
3
6 9
7 9
思考：如何把 a3, a5 表示成a1, a2, a4 的线性组合？
思路1：利用P.83 定理1 的结论
向量 b 能由向量组 A 线性表示
线性方程组 Ax = b 有解
令 A0 = (a1, a2, a4) 求解 A0x = a3
注: 1. 只含零向量的向量组没有最大无关组. 规定它的秩为0.
2. 向量组{1,,m } 线性无关 R(1,,m ) = m . 3. 向量组{1,,m } 线性相关 R(1,,m ) < m .
例：全体 n 维向量构成的向量组记作 Rn，求 Rn 的一个最大无关组及 Rn 的秩．
1 0 L
列向量组的最大无关组具体求法: 将矩阵 A 用
初等行变换化为行阶梯形矩阵 B, 即可找出 B 的最高阶非零子式所在的列, 其对应于A 所在的列向量就是A的列向量组的一个最大无关组.
三、向量组秩的一些结论
§3.2的定理3.6中矩阵的秩均可改为向量组的秩.
定理3.14 向量组 1, 2, , s 能由向量组 1, 2, , m 线性表示的充分必要条件是 R(1, 2, , m ) =R(1, 2, , m, 1, 2, , s) .
0
00
0
于是 Ax = 0 与 Bx = 0 ，即 x1a1 + x2a2 + x3a3 + x4a4 + x5a5 = 0
x1b1 + x2b2 + x3b3 + x4b4 + x5b5 = 0

4.3 向量组的极大无关组与向量组的秩

1 1 2 一次行 B = 2 A= ① r r ③ kr ② k r i j i m m
则显然有
1, 2 ,, m 1 , 2 ,, m
行秩(A)=行秩(B)。
所以，初等行变换不改变矩阵的行秩与列秩。类似有：定理2.12 初等列变换不改变矩阵的行秩与列秩。
定理4 初等列变换不改变矩阵的行秩与列秩。定理5 初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。定理6
① 将向量组以列向量构成矩阵
② 对矩阵A 施以初等行变换化为行最简形矩阵;
A = (1, 2 ,, s ) ;
行

A = (1, 2 ,, s ) B = ( 1, 2 ,, s )
③ 所得矩阵的列向量组中基本单位向量对应位置的向量即为所求极大无关组，即
1, 2 ,, s 的极大无关组对应
2 n ) 则称向量组 1, 2 ,, m 为矩阵A的行向量组；
则称向量组 1, 2 ,, n 为矩阵A的列向量组。
1．矩阵的行秩与列秩定义2 矩阵A的行向量组的秩，称为A的行秩，记为行秩A); 矩阵A的列向量组的秩，称为A的列秩，记为列秩A)。例如，矩阵
r ( A) = 2 ,
推论3 向量组中任两个极大无关组等价。【由等价的传递性】推论4 向量组的极大线性无关组所含向量的个数唯一。【上节定理5？】【称这个唯一的数为向量组的秩】
【称这个唯一的数为向量组的秩】 3. 向量组的秩（1）秩的概念定义2 向量组 1, 2 ,, s 的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩, 记为
1 0 1 1 A= 0 1 3 2
行秩A)＝2，列秩A)＝2

向量组的最大无关组与秩

Dr 0. 由 Dr 0 知其所在的 r 列线性无关；又由A中所有r 1阶子式均为零, 知A中任意r 1 个列向量都线性相关. 因此Dr 所在的r列是A的列向量的一个最大无关组, 故列向量组的秩等于r .
类似可证A的行向量组的秩也等于R( A).
即: 利用矩阵的秩可以求向量组的秩.
故向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组.
定理3.16 向量组 A和它的最大无关组 A0 是等价的. 证明因为向量组 A0 是组A的一个部分组 ,
故 A0组总能由A组线性表示, 由最大无关组定义可知: 对于A 中任一向量 , r+1个向量 , 1, 2, , r 线性相关, 而 1, 2, , r 线性无关, 可知能由1, 2, , r 线性表示,
则向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组.
证明设 1, 2, , r+1 是组A中任意r+1个向量, 由(2)可知这r+1个向量能由向量组 A0线性表示, 从而有: R( 1, 2, , r+1) R(1, 2, , r ) =r 所以 r+1个向量1, 2, , r+1 线性相关,
且 1,2,3 为向量组的一个最大无关组. 说明: 向量组的最大无关组一般不是唯一的.
3 3 1 1 1 1 3 7 1 3 , 例2 设矩阵 A 3 1 1 15 3 1 5 9 12 1 求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组, 并把不属
则RB RA .
推论若向量组 B 与向量组 A 等价, 则RA=RB . 例3 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示, 且RA =RB , 证明向量组A 与向量组 B 等价.
m 线性表示的充分必要条件是

向量组的极大无关组与向量组的秩

一个向量。
若
k 11 2 2 r r
0 ( k 1 1 ) 1 ( k 2 2 ) 2 ( k r r ) r
因 a1,a2,,ar线性无关，
3

k1 k2 k3
1 0 1
所以
4 13
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同理可求得
5123
□
一个向量由它所在的向量组中的极大无关组线性表示,其线性表达式是否唯一呢?我们有下面的命题.
命题12.12 一个向量由它所在向量组中极大无关组线性表示,其表达式唯一.
证设 a1,a2, ,ar是向量组T中的一个极大无关组, 是向量组T中任意
则必有
k 1 1 k 2 2 k r r 0
即
k 11 ,k 22 , ,k rr
所以，由 a1,a2, ,ar线性表示的表达式唯一.
am1x1 am2x2 amnn 0
上面的齐次线性方程组可写成 1 ,2 , ,n X 0 , ( 这 X x 1 , x 2 里 , x n ')
现设
1 , 2 , , n 经过初 1 ,等 2 , 行 , n变换
由命题12.1知
1 ,2 , ,n X 0 与 1 ,2 ,n X 0
同解.所以向量组 a 1 ,a 2 , ,a n 与 1 , 2 , , n的线性相关性相同.
□
由此我们知道,矩阵A的秩就是列向量组T中极大线性无关组所含向量的个数.
又会命题11.11显然下面的命题成立.
11234
00 0 0 0
由命题12.11知,向量组的秩等于3,且 1,2,3 就是一个极大无关组.下面球4 ,5

3-2 向量组的秩和最大无关组

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例3 设 ξ1,…, ξn−r [r = R(A)]为 n 元齐次线性方程组 … − 为 Ax = 0 的一个基础解系 S 为方程组 Ax = 0 的解集的一个基础解系基础解系, 解集, 则有
S = {x = k1ξ1 +⋯+ kn−rξn−r | k1,⋯ kn−r ∈R} ,
等价. 证明向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价证明记 A = (a1, a2), B = (b1, b2, b3),
1 3 2 1 3 1 3 2 1 3 r ( A, B ) = −1 1 0 1 −1 0 2 1 1 1 → 1 1 1 0 2 0 0 0 0 0
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1 3 2 1 3 例2 设 a1 = −1 , a2 = 1 , b1 = 0 , b2 = 1 , b3 = −1 1 1 1 0 2
定理4 定理初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系线性关系. 初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系 • 行最简形矩阵的秩等于它的列向量组的秩行最简形矩阵的秩等于它的列向量组的秩. 定理5 定理矩阵的秩等于它的(行列向量组的秩列向量组的秩. 矩阵的秩等于它的行)列向量组的秩证明由定理知, 矩阵的列向量组的秩等于它的行最由定理4 简形的列向量组的秩, 从而等于它的行最简形的秩. 简形的列向量组的秩从而等于它的行最简形的秩而矩阵的秩等于它的行最简形的秩. 因此, 矩阵的秩等于它的行最简形的秩因此矩阵的秩等于它的列向量组的秩. 它的列向量组的秩考虑转置即知, 矩阵的秩等于它的行向量组的秩. 考虑转置即知矩阵的秩等于它的行向量组的秩

矩阵的秩及向量组的极大无关组求法ppt课件

定理3 矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.
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求向量组的秩的方法
①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A； ②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； ③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩．
例4. 求下列向量组
１=(1, 2, 3, 4)，2 =( 2, 3, 4, 5)，3 =(3, 4, 5, 6)的秩. 解1：以１,２,３为列向量作成矩阵A，用初等变换将A化为
5．设向量组１，２，３，线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（） .
① １+２，２+３，３-１ ② １+２，２+３，１+2２+３ ③ １+2２，2２+3３，3３+１ ④ １+２+３，2１-3２+2３，3１+5２-5３
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作业： 77页 13
14
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0 1 2 2 3 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1
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定理2 任何一个秩为r 的矩阵A=(aij) m╳n都可以通过初等行变换化为行阶梯形矩阵Br，且Br的非零行数为r. 即
b1 * L
0
b2
L
* c1 r1 * c2 r1
M M O M M
A 初等行变换 Br
0 3
0 2
2 2
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解：对矩阵作初等行变换，将其化成行阶梯形矩阵
1 1 0 0 2 r2 2r1 1 1 0 0 2

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4
2 3 5 0 0 0 0
4时，r( A) 3 4, 1,2 ,3,4线性相关。
r(1,2 ,3 ) 3,1,2,3是一个极大无关组。
但，行摆行变换不行！
反例： 1 (1,0,0),2 (1,1,0),3 (1,1,0).
A
12
1 1
3
1
0 1 1
0 0
0 0
BT sn
AT ms
=CT
,
r(C) r(CT ) r(BT AT ) r(BT ) r(B).
r( Ams Bsn ) minr(A), r(B)
设有n两个维向量组1,2,,s与 1, 2 ,, s , 若
1,2 ,,s线性无关且
1
2
a11
a21
a12
a22
a1s 1
,
1 1
B
2
,C
2
.
am1
am2
ams
s
m
1
a11 a12 a1s 1
2
C
AB
a21
a22
a2s
2
m
a m1
am2
ams
s
r(C) r(1,2,,m ) r(1, 2,, s ) r(B).
Ams Bsn=C, r(C) r(AB) r(A).
r1 r3
1 1
1 1 1
0 0
0 0
r2r 1
1 1
1 0 1
0
0
0
0 1 0 0 0 0
r3r2
1 0
0 1
0 0
r1 r3
1 0
0 1
0
0
2 ,3是一个极大无关组。
矛盾
例3：a取何值时向量组线性相关，并求秩及极大无关组。
1 (1,0,0,3),2 (1,1,1,2),3 (1,2, a 3,a),4 (0,1,a, 2).
2
1
3 0 7
1
1
2
2
r2 r1 00
03
33 11
1
1 0
4 2 14 0 0 2 2 4
1 0 3 1 1 0 3 1 1 0 3 1
0 0
1 3
1 3
0 1
0 0
1 0
1 0
0 1
0 0
1 0
1 0
0 1
0 2 2 4 0 0 0 4 0 0 0 0
s
)
b11 b21
b12
b22
b1n
b2n
,
b s1
bs 2
bsn
{1, 2,, n}可由{1,2,,s}线性表示，故有
r(C) r(1, 2,, n ) r(1,2,,s ) r( A).
Ams Bsn=C,
a11
A
a21
a12
a22
a1s
a2s
r( Ams Bsn ) minr(A), r(B)
重要的关于秩的不等式！
Ams Bsn=C, A (1,2,,s ),C (1, 2,, n ),
b11 b12 b1n
B
b 21
b 22
b 2n
.
b s1
b s2
( , ,, )
12
n
C
b sn
AB
( , ,, 12
练习
为何值时，向量组1 （1，1，1，1，2）,2（2，1，3，2，3） 3 （2，3，2，2，5）,4 （1，3，1，1，）线性相关？并
求秩及一个极大无关组。
1 2 2 1 1 2 2 1
1
1
3
3
0
11Biblioteka 2A(1,2
,3
,4
)
1 1
32 22
1 0
1
行变换0
0 0
1 0 .
0
1 1
1
0
1 1
1
0
A
(1,2
,3,4
)
0 0
1 1
2 a3
1 a
0 0
1 0
2 1 a 1 a 1
3 2 a 2 0 1 a 3 2
1 1 1
00
1 0
2 a 1
0 0 a 1
a
2,
A
1 0
1 1
a2 0 0
0
0
0 1 a 1
1
1 00
0
1 1 0 0
1 2 a 1 0
向量组的秩的求法
行秩：矩阵行向量组的秩；列秩：矩阵列向量组的秩。定理4 ：矩阵的行秩与列秩相等，为矩阵的秩。
推论：向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等。
这实际上给出了一个求向量组秩的方法：先将向量组构成一个矩阵，然后求矩阵的秩，这个秩就是向量组的秩。
例1：求向量组的秩。
1 (1,1,2, 4),2 (0,3,1, 2),3 (3,0, 7,14),4 (1,2, 2, 0).
a2s
2
,
a11
K
a21
a12
a22
a1s
a2
s
.
s
as1
as 2
ass
s
a s1
a s2
a ss
则1, 2 ,, s线性无关 r(K) s.
则1, 2 ,, s线性相关 r(K) s.
1, 2,, s线性无关 r(K) s :
B KA, s r(B) r(KA) r(K) s, r(K) s.
1 0
0 1
0 2 2 4 0 0 0 4 0 0 0 0
极大无关组的求法
列摆行变换法。（记录法与逐个考察法就不介绍了。）
例2：求向量组的秩及极大无关组。
1 (1,1,2, 4),2 (0,3,1, 2),3 (3,0,7,14),4 (1,2, 2,0).
1 0
A (1,2,3,4 ) 1 3
0 1
1 0
1 a1 0
a
2
0
1 1 0 0
1 2 0 0
00 1111,,
03
1 0
r(1,2 ,3,4 ) 3,
2 3
1
1
,
r(1,2
,3
,4
)
3,
1,2 ,4为极大无关组。
0
0
1
,
2
,
为极大无关组。
3
我们已经看到：用矩阵可以解决向量组的问题，实际上，用向量组
也可以解决矩阵的问题。一个最典型的例子是：这是一个非常
r( Ams Bsn ) minr(A), r(B)
练习
设AnmBmn En，证明：B的列向量组线性无关
解：
A
21 34
1
0
3 1
1 3 0 2
2 1 7 2
4
124
1
0
0
0 0
1 3 3 1
2 1 1 0
4
2
2
4
1 1 2 4 1 1 2 4 1 1 2 4
0 0
3 3
1 1
2 2
0 0
1 3
0 1
24
0 0
1 0
0 1
4 10
0 1 0 4 0 3 1 2 0 0 0 0
r(1,2,3,4 ) r( A) 3
1
A
(1,2 ,3,4
)
1 2
0
3 1
3
0 7
1
2 2
1
0 0
0
3 1
3
3 1
1
1 0
4 2 14 0 0 2 2 4
1 0 3
1
1 0 3
1
1 0 3
1
0 0
1 3
1 3
01
0 0
1 0
1 0
0 1
0 0
1 0
r(1,2 ,3,4 ) r( A) 3, 1,2 ,4是一个极大无关组
列摆行变换将矩阵化为梯形阵后，秩即求出来了。这时，只要在
每一高度上取一个向量，相同高度取左，即可得到极大无关组。
如上例，
1 0 3 1
A
( , , , ) 1234
0
0
1 0
1 0
0 1
0 0 0 0
1,3,4也是一个极大无关组。