复变函数总结完整版(2020年10月整理).pdf
(完整版)复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。
一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。
二、复数的运算高中知识,加减乘除,乘方开方等。
主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。
三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。
四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。
五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。
六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。
第二章:解析函数这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。
一、解析函数的概念介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。
所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。
而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。
二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念:调和函数。
就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。
而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。
而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。
三、初等函数和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。
第三章:复变函数的积分这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。
但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。
可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。
(完整版)复变函数知识点总结
(完整版)复变函数知识点总结复变函数知识点总结1. 复数与复变函数- 复数是实数和虚数的组合，可表示为a + bi的形式，其中a和b分别是实部和虚部。
- 复变函数是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)。
2. 复变函数的运算规则- 复变函数的加法和减法：对应实部和虚部进行分别运算。
- 复变函数的乘法：使用分配律进行计算。
- 复变函数的除法：使用共轭形式并应用分配律和除法规则。
3. 复变函数的解析表示- 复变函数可以用级数形式表示，即幂级数或洛朗级数。
- 幂级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n)，其中c_n是幂级数的系数，z_0是展开点。
- 洛朗级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n) + ∑(d_n * (z -z_0)^(-n))。
4. 复变函数的性质- 全纯性：如果一个函数在某个区域内都是解析的，则称其为全纯函数。
- 解析性：如果一个函数在某一点附近有解析表示，则称其为解析函数。
- 保角性：保持角度的变化，即函数对角度的保持。
- 映射性：函数之间的对应关系，实现从一个集合到另一个集合的映射。
5. 复变函数的应用- 物理学：用于描述电磁场、电路等问题。
- 工程学：用于信号处理、图像处理等领域。
- 统计学：用于数据分析、模型拟合等方面。
6. 复变函数的计算方法- 积分计算：使用路径积分或者柯西公式进行计算。
- 极限计算：使用洛朗级数展开或级数加和求解极限。
- 零点计算：使用代数方法或数值解法求解函数的零点。
以上是复变函数的知识点总结，希望对您有所帮助！。
复变函数总结完整版
第一章复数1 i 2=-1 i = ∙, -1 欧拉公式z=x+iy实部Re Z 虚部Im Z2运算① z1≡z2^ Rez1=Rez2Imz1=Imz2②(z1±z2)=Re(z1±z2)+lm(z1±z2)= (Rez1±Rez2)+(lm z1+ Im Z2)乙Z2③=χ1 iy1 χ2 iy2X1X2iχ1y2iχ2y1- y1y2=X1X2 -y』2 i χ1y2 χ2y1④z1 _ z1z2 一χ1 i y1 χ2 -iy2 _ χ1χ2 y1y2 i y1χ2 -χ1y22 2 2 2Z2 Z2Z2 χ2 iy2 χ2 -iy2 χ2 y2 χ2 y2⑤z = X - iy 共轭复数z z =(x+iy I x — iy )=χ2+ y2共轭技巧运算律P1页3代数，几何表示^X iy Z与平面点χ,y-------- 对应，与向量--- 对应辐角当z≠0时，向量Z和X轴正向之间的夹角θ ,记作θ =Arg z= V0■ 2k二k= ± 1 ± 2± 3…把位于-∏v二0≤∏的厲叫做Arg Z辐角主值记作^0= argz04如何寻找arg Zπ例：z=1-i4πz=i2πz=1+i4z=-1 π5 极坐标: X = r CoSr , y = r sin 二Z=Xiy = r COSr isin利用欧拉公式e i 71 =COS71 i Sin71例2 f Z = C 时有(C )=0可得到z=re°Z z2=r1e i J r2e i72=r1r2e iτe i72= r1r2e i 71'y^ 6高次幂及n次方n n in 「nZ Z Z Z ............ z=re r COS 1 Sin nv凡是满足方程国=Z的ω值称为Z的n次方根，记作CO =^Z☆当丄二f Z o时，连续例1 证明f Z =Z在每一点都连续证：f（Z f（Z o ）= Z - Z o = Z - Z o τ 0ZT Z o 所以f z = Z在每一点都连续3导数f Z o Jm fZ一f zoz-⅛z°Z-Z o,2n第二章解析函数1极限2函数极限①复变函数对于任一Z- D都有W FP与其对应川=f Z注：与实际情况相比，定义域，值域变化例f z = zZ—Z o 称f Z当Z-:Z o时以A为极限df(z lZ=Zo1例2 f Z = C 时有(C )=0根据C-R 条件可得2x =0,2y = 所以该函数在Z =O 处可导4解析若f z 在Z 00= X = 0,^0的一个邻域内都可导，此时称用C-R 条件必须明确u,v 四则运算 f 一 g =「- g rkf =kf f g = f g f gf Z 在Z 0处解析。
复变函数总结
n
复数数列收敛等价于 u 和 v 分别收敛 级数绝对收敛比值法 a=|zn+1/zn|,a<1 收 a>1 发 幂级数 收敛圆 Abel 第一定理
lim k ck 1 0 ck
(4)高阶导数公式
f (n) ( z) n! 2 i
(3)有界 Cauchy 积分公式
m 1
f ( k ) ( z0 ) 1 f ( )d s 是？ ck k! 2i s ( z0 )k 1
bk
1 f ( )d 2i ( z 0 ) k 1 s
(8)留数 res f(z0)
b1 1 2 i
(9)留数定理
s
f ( z )dz
(7) Laurent 级数 R1<|z-z0|<R2
f ( z)
k
唯一性
b (z z
k
0
)k
唯一性 s 是？
收敛半径 R 1/ (12)极点 res f(z0)
1 d ( z z0 )m f ( z ) z z0 (m 1)! dz m 1 lim
m
f ( x)eipx dx 2 i res[ f ( z )eipz ]z z k
k 1
0
m
(1) 由 CR 条件和 Green 公式推得。对于任意解析区域都适用。 另一种方法,由于围道内没有奇点, 所以(9)式的右边为 0。 z z 积分与路径无关：定积分 F ( z )z0 f ( )d cz0 f ( )d F ( z )F ( z0 ). (2)复连通区域可划成单连通区域, 即得 (3) l 可化为绕 z 的无穷小围道,这时 f(ζ )趋于常数 f(z),提到积分外, 剩下部分的积分部分正好为 2πi 另一种方法，将 f(ζ )在 z 附近 Taylor 展开，f(z)正好是－1 次 项系数，而积分后其他幂次项为 0. (4) 将(3)式两边对 z 求导即得 (5) (3)式在无穷远点留数为 0 即得 (6) 对(3)式的 1/(ζ -z)用幂级数展开,结合(4)即得 它是(7)的 f(z)在 R1 内不含奇点的情形 S 是圆域内绕逆时针 z0 一周的闭合围道. (7) 对(3)式的 1/(ζ -z)在 R2 用幂级数展开，得正幂次项部分,在 R1 展开对 k 做替换得负幂次项部分,最后对它们的系数用(2)归 纳便可得到该结论 S 是圆环域内绕逆时针 z0 一周的闭合围道. (8) 令(7)的 k= -1 得 (9) (8)和(2)结合即得 (10) 这是定义 (11) 将(9)代入(10)即得 (12) 把 f(z)的 Laurent 展开式写出经式中的运算,结果正好是 b-1 (13) 用 1/z 替换(10)中的 z, 然后求 z=0 的留数即可,
(完整版)复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
第六章留数理论及其应用§1.留数1.（定理6.1 柯西留数定理）：∫f(z)dz=2πi∑Res(f(z),a k)nk=1C2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点，f(z)=φ(z) (z−a)n,其中φ(z)在点a解析，φ(a)≠0，则Res(f(z),a)=φ(n−1)(a) (n−1)!3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点，φ(z)=(z−a)f(z),则Res(f(z),a)=φ(a) 4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点φ(z)=(z−a)2f(z)则Res(f(z),a)=φ′(a)5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6.无穷远点的留数：Res(f(z),∞)=12πi∫f(z)dzΓ−=−c−1即，Res(f(z),∞)等于f(z)在点∞的洛朗展式中1z这一项系数的反号7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1,a2,…,a n,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。
注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有Res(f(z),∞)=0，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则Res(f(z),∞)可以不为零。
8.计算留数的另一公式：Res (f (z ),∞)=−Res (f (1t )1t 2,0)§2.用留数定理计算实积分一.∫R (cosθ,sinθ)dθ2π0型积分 → 引入z =e iθ注：注意偶函数二.∫P(x)Q(x)dx +∞−∞型积分1.（引理6.1 大弧引理）：S R 上lim R→+∞zf (z )=λ则lim R→+∞∫f(z)dz S R=i(θ2−θ1)λ 2.（定理6.7）设f (z )=P (z )Q (z )为有理分式，其中P (z )=c 0z m +c 1z m−1+⋯+c m (c 0≠0)Q (z )=b 0z n +b 1z n−1+⋯+b n (b 0≠0)为互质多项式，且符合条件：（1）n-m ≥2;（2）Q(z)没有实零点于是有∫f (x )dx =2πi ∑Res(f (z ),a k )Ima k >0+∞−∞注：lim R→R+∞∫f(x)dx +R −R 可记为P.V.∫f(x)dx +∞−∞ 三. ∫P(x)Q(x)e imx dx +∞−∞型积分 3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周ΓR :z =Re iθ(0≤θ≤π，R 充分大)上连续，且lim R→+∞g (z )=0在ΓR 上一致成立。
复变函数课后习题答案(全)(2020年10月整理).pdf
10
3
10 10
（3） z = 1 − 3i = −i + 3 − 3i = 3 − 5i ，
i 1−i
2
2
因此， Re z = 3 , Im z = − 5 ，
3
2
z = 34 , arg z = −arctan 5 , z = 3 + 5i
2
3
2
（4） z = −i8 + 4i21 − i = −1+ 4i − i = −1+ 3i
+
i sin ) 12
，
z1 = 1 [cos( + ) + i sin( + )] = 1 (cos 5 + i sin 5 )
z2 2
46
4 6 2 12
12
5． 解下列方程：
（1） (z + i)5 = 1
（2） z4 + a4 = 0 (a 0)
解：（1） z + i = 5 1, 由此
（3） (1− 3i)(cos + i sin ) (1− i)(cos − i sin )
2[cos(− ) + i sin(− )](cos + i sin )
=
3
3
2[cos(− ) + i sin(− )][cos(− ) + i sin(− )]
4
4
= 2[cos(− ) + i sin(− )](cos 2 + i sin 2 )
3
z=
5
1
−i
=
2 k i
e5
−
i
，
(k = 0,1, 2,3, 4)
复变函数总结
若函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在点 z x yi 处 可导,则其导数公式:
定理2 函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在其定义 域 D内解析的充要条件是: u( x, y)与 v( x, y) 在 D内可微, 并且满足柯西－黎曼方程.
又
w1 z
1 x iy
x iy x2 y2
1 ( x iy), 9
于是 w u iv 1 x 1 iy u 1 x, v 1 y
99
9
9
u2 v2 1 ( x2 y2) 1 表示 w 平面上的圆.
81
9
26
(2) x 2. 解 因为 z x iy 2 iy
1 (1 2
3i ),
z2
sin
3
i
cos
, 3
求
z1
z2
和
z1 z2
.
解
因为
z1
cos
3
i sin
3
,
z2
cos
6
i
sin
6
,
所以
z1
z2
cos
3
6
i sin
3
6
i,
z1 z2
cos
3
6
i
sin
3
6
3 1i. 22
19
例 计算 3 1 i 的值.
解 因为 n 1 所以 1 2 n1 1 n 0. 1
8
例
设
z1
5 5i,
z2
3 4i,
求 z1 z2
与
z1 z2
(完整版)复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结[键入文档副标题]acer[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数： z=x+iy i²=-1 ，x,y 分别称为z 的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z =θ₁ θ₁称为主值 -π＜θ₁≤π ，Arg=argz+2k π 。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcos θ ，y=rsin θ,故z= rcos θ+i rsin θ；利用欧拉公式e i θ=cos θ+isin θ。
z=re i θ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点ξk 并作和式S n =∑f(ξk )n k−1(z k -z k-1)= ∑f(ξk )n k−1∆z k 记∆z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k≤n {∆S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即ξk 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为：∫f(z)dz c=lim δ 0∑f(ξk )nk−1∆z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f(z)dz c−.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f(z)dz c(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。
（1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c=0.∵f(z)=1 S n =∑f(ξk)n k−1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c=b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设ξk =z k-1,则∑1= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1) 有可设ξk =z k ，则∑2= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
复变函数知识点总结
复变函数知识点总结复变函数是数学中重要的概念，它在分析学、微分几何、数学物理等领域都有着广泛的应用。
本文将对复变函数的基本概念、性质和常见定理进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握复变函数的相关知识。
1. 复数与复变函数。
复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为z=x+iy，其中x为实部，y为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
复数可以用平面上的点来表示，称为复平面，实部x对应横坐标，虚部y对应纵坐标。
复变函数是定义在复平面上的函数，通常表示为f(z)，其中z为复数变量。
2. 复变函数的导数与解析函数。
与实变函数类似，复变函数也有导数的概念，称为复导数。
如果一个函数在某点处可导，并且在该点的邻域内处处可导，那么称该函数在该邻域内解析。
解析函数具有很多良好的性质，比如在其定义域内可以展开成幂级数。
3. 共轭与调和函数。
对于复数z=x+iy，其共轭复数定义为z的实部不变，虚部取相反数，记为z=x-iy。
对于复变函数f(z)，如果它满足柯西-黎曼方程，即满足一阶偏导数存在且连续，并且满足偏导数的连续性条件，那么称f(z)为调和函数。
4. 柯西-黎曼方程与全纯函数。
柯西-黎曼方程是复变函数理论中的重要定理，它建立了解析函数与调和函数之间的联系。
柯西-黎曼方程指出，如果复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在某点处可导，那么它满足柯西-黎曼方程，即u和v满足一阶偏导数的连续性条件。
满足柯西-黎曼方程的函数称为全纯函数，也称为解析函数。
5. 柯西积分定理与留数定理。
柯西积分定理是复变函数理论中的重要定理之一，它指出如果f(z)在闭合区域内解析，并且沿着闭合区域的边界进行积分，那么积分结果为0。
留数定理是计算闭合曲线积分的重要方法，它将积分结果与函数在奇点处的留数联系起来，从而简化了积分的计算。
6. 应用领域。
复变函数在物理学、工程学、经济学等领域都有着重要的应用，比如在电路分析中的传输线理论、振动理论中的阻尼比计算、流体力学中的势流与涡流等方面都需要用到复变函数的知识。
复变函数知识点总结pdf
复变函数知识点总结pdf复变函数知识点总结pdf是一份非常重要的文献，它涵盖了许多数学领域的知识点。
本文为大家详细说明了复变函数的一些重要知识点。
1.复变函数的基础知识在复变函数的学习中，首先要掌握的是复数和复平面的知识。
在笛卡尔平面中，复数可以表示为(x, y)，而在复平面中，复数可表示为z=x+yi，其中i为虚数单位，满足i²=-1。
2.复变函数的解析性复变函数一般表示为f(z)=u(x, y)+iv(x, y)，其中u和v是实函数。
在复平面中，如果一个函数在某一点处可导，则称该函数在该点处解析。
如果一函数在某一点处不可导，则称其不解析。
解析性是使用复变函数求解各种问题的基础，令它的应用广泛。
3.单值函数和多值函数在实数域中，正弦函数和余弦函数在一个周期内是单值函数。
然而在复变函数中，正弦函数和余弦函数在复平面中是多值函数。
为了解决这一问题，引入了复平面上的分支点、导入复平面上的割缝等进行处理。
4.共形映射共形映射是指一个复变函数在整个复平面上都是单射的，它将直线保持为直线，并保持所谓的角的大小不变。
由于它具有这些性质，所以它常常被应用于储存在一种几何意义下的问题的解法中。
5.复积分复变函数中的复积分与实变函数中的有许多相似之处，但它们之间还是存在很多不同。
例如，由于复变函数是二维的，因此涉及到复平面环境，所以复盘積分必须遵循平凡的或把握组成元素的库题结构。
总的来说，复变函数的知识点繁多，需要日积月累的学习和积累，随着时间的推移，掌握复变函数的技能和知识将越来越重要。
以上就是本文章对于“复变函数知识点总结pdf”的总结，希望能够帮到大家。
复变函数试题及标准答案(2020年10月整理).pdf
3 2 + 7 + ( − z)2
1d
4/7
学海无涯
由于 1+i 在| z |= 3 所围的圆域内, 故
f
(1 + i)
=
C
3 (
2
−
+(17+i)+)12 d
=
2i(3 2
+
7
+ 1) | =1+i
=
2 (−6 +13i)
分
-------8
六. (8 分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆
−
3
--------4 分
=
3
+
1
−3 5
1
= 4+ 8 + 8
(s +1)(s + 3)(s −1) (s + 3)(s −1) s +1 s −1 s + 3
故, y(t) = − 3 e−t + 5 et + 1 e−3t
4 88
留数做也可以)
---------8 分(用
复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)
1
) )
=
z
1 −2
+
(−1)n
n=0
1 (z − 2)n+2
--4
z−2
分
四.(8 分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且
在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故
+ −
x2
eix + 4x
+
dx 5
=
复变函数总结
复变函数总结在数学领域中，复变函数是一种特殊的函数，其定义域和值域都是复数集。
它有许多独特的性质和应用，深受数学家和物理学家的喜爱和重视。
在本文中，我们将对复变函数的几个重要概念和应用进行总结和讨论。
第一部分：复数和复平面复变函数的基础是复数的概念。
复数可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别是实数部分和虚数部分。
虚数单位i满足i^2=-1，使得复数集在数轴上获得了垂直的“第二个维度”。
复数还可以用极坐标形式r(cosθ+isinθ)表示，其中r是模长，θ是辐角。
复平面是将复数集映射到一个二维平面上的方法。
实部和虚部可以分别看作在坐标轴上的x轴和y轴坐标，使得复数的加减乘除运算可以在平面上直观地表示。
第二部分：复变函数的定义复数的加减乘除等运算都可以直接应用到复变函数中。
一般地，复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u和v是实函数，x 和y是复平面上的坐标。
如果f(z)满足柯西-黎曼方程u_x=v_y,u_y=-v_x，那么我们称这个函数为全纯函数。
全纯函数是复变函数的重要类别之一，有着许多重要的性质和应用。
第三部分：解析函数和调和函数解析函数是一个更严格的概念，它要求函数在其定义区域内处处可导。
而全纯函数只要求满足柯西-黎曼方程即可。
解析函数在数学和物理中有广泛的应用，如调和函数、特殊函数等。
调和函数是解析函数的一种特殊情况，它在某个区域内满足拉普拉斯方程△u=0。
调和函数在电势场、热传导等领域有着重要的物理意义。
第四部分：留数定理和复积分留数定理是复变函数理论中的一大亮点。
该定理通过计算函数在奇点处的留数，从而计算出复积分的值。
留数定理在数学分析和物理计算中有着重要的应用，如计算辐射场、傅里叶变换等。
复积分是沿着曲线路径对函数进行积分的一种方法，它在物理学和工程学中有着广泛的应用。
第五部分：解析延拓和边界值问题解析延拓是复变函数中的一个重要概念，它指的是将函数在某个已知区域的解析性质推广到更大区域的过程。
复变函数笔记.pdf
Theorem 2.3 (Cauchy-Riemann Equation). 设f (z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y), v(x, y) ∈ C∞都定 义在区域D上，则f (z)在区域D上解析的充要条件是
∂f (z)
=0
(1)
∂z∗
这个定理说明了如果f (z)在区域D上解析，则它的表达式一定与z∗无关，也就是不显含z∗。因此我们
♣ Proposition 5：K是一个紧集，连续函数f 定义在K上，那么f (K)也是紧集。即f 把紧集映为紧 集。 ♣ 最值定理：K是一个紧集，连续函数f 定义在K上，则f 有界，并且|f |在K上达到最大最小值。（因 为f (K)是紧集，也就是有限闭区域）
• Cauchy序列： C is R2 with extra structure of complex multiplication. Cauchy序列：如果一个实序 列{xi}对于任意的 > 0，存在一个N，使得于有 |xn − xm| < ，其中n N 同时 m N ，我们称这 个序列为Cauchy序列。在实数域R上，每个Cauchy序列必收敛，这等价于实数域的完备性。 普通的连续性是针对一个点的领域而言的，是一个局部性质。如果函数f 在点x0处连续，则f 在x0附 近肯定是有界的。即使f 处处连续，但无法保证f 在整个区间有界（当然在闭区间上连续函数肯定是 有界的）。所以我们要发明一个全局性的连续概念，我们叫它一致连续。 一致连续（uniformly continuous）：函数f : A → C一致连续，如果∀ > 0, ∃δ > 0, s.t. |f (s) − f (t)| < f or ∀s, t ∈ A, and |s − t| < δ.一致连续是一个δ对区域里所有位置都适用，所以把连续性 提升为全局性质。
复变函数知识点总结
复变函数知识点总结1. 复数及复平面- 复数由实部和虚部组成，形式为 `z = a + bi`，其中 `a` 为实部，`b` 为虚部，`i` 为虚数单位。
- 复平面将所有复数表示为二维平面上的点，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
- 复数可用极坐标和指数形式表示。
2. 复变函数的定义与性质- 复变函数是将复数域映射到复数域的函数。
- 复变函数的导数称为复导数，由极限定义及柯西—黎曼方程求得。
- 复变函数的连续性与分析性与实变函数类似。
3. 元素函数- 复指数函数：`exp(z) = e^z`，其中 `e` 为自然对数的底数。
- 复对数函数：`Log(z) = ln|z| + i(arg(z) + 2πn)`，其中 `arg(z)` 是复数 `z` 的辐角。
- 复正弦函数：`sin(z) = (e^(iz) - e^(-iz))/(2i)`。
- 复余弦函数：`cos(z) = (e^(iz) + e^(-iz))/2`。
4. 复变函数的级数展开- 柯西—黎曼方程可推导出复变函数的泰勒级数展开。
- 复变函数的泰勒级数展开在某一区域内收敛于该函数。
5. 复积分- 路径积分：沿曲线的积分，路径可用参数方程表示。
- 狭义路径积分与宽义路径积分分别对应于可积与不可积的情况。
- 围道积分：路径围成的图形内积分。
6. 复变函数的解析性- 柯西—黎曼方程刻画了函数在一个区域内的解析性。
- 解析函数满足柯西—黎曼方程，其导函数也是解析函数。
7. 复变函数的应用- 复变函数在电路分析、流体力学、量子力学等领域具有广泛应用。
以上是对复变函数的一些知识点的总结，希望能为您提供参考。
复变函数总结汇总
第一章复数与复变函数、复数几种表示(1)代数表示z =x • yi(2)几何表示：用复平面上点表示(复数z、点z、向量z视为同一概念)(3)三角式：z = r(cosv isi nr)(4)指数式：z = re iT1辐角Argz =arg z 2k 二|zh ,x2y2yarctan丄，x》0,xyarcta n丄+兀,x<0,y〉0xargz={ yarcta n± - x,x<0,yc0x兀/2, x = 0, y:>0-■: /2, x =0,y ： 0z - z2i、乘幕与方根(1)乘幕:(2)方根:re i-____ 2k n/t argz.R'z=n：|z|e n , k= 0,1,2，…n—1第二章解析函数一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数求导法则与一元实变函数类似注：（1）点解析=点可导，点可导推不出点解析（2）区域内解析与可导等价二、定理1 W = f （z）=u • iv在Z o可导二u,v在Z o可微，满足C-R方程定理2 w二f⑵二u • iv在区域D内解析（可导）二u,v在区域D内可微，满足C-R方程讨论1 u,v在区域D内4个偏导数存在且连续，满足C-R方程=w = f （z）二u iv在区域D内解析（可导）三、解析函数和调和函数的关系1、定义1调和函数：满足拉普拉斯方程，且有二阶连续偏导数的函数。
定义2设（x,y）^ （x, y）是区域D内调和函数，且满足C-R方程, xx，则称是「的共轭调和函数。
2、定理1解析函数的虚部与实部都是调和函数。
定理2函数在D内解析二虚部是实部的共轭调和函数。
3、问题：已知解析函数的实部（或虚部），求虚部（或实部）理论依据：（1）虚部、实部是调和函数。
（2）实部与虚部满足C-R方程。
求解方法：（例如已知v）（1）偏积分法：先求u x,u y，再求u = udx （y），得出（y）（2）利用曲线积分：求u x，u y,du，再u = u x dx u y dy c（x o,y o）（3）直接凑全微分：求u x,u y,du，再du四、初等函数1、 指数函数 w=e z =e x e iy =e x （cosy i sin y ）性质：（1） e z 是单值函数，（2） e z 除无穷远点外处处有定义（3） e z = 0（4） e z 处处解析，（e z ）'eZ（5） e z1 Z2 =e Zl e Z2（6） e z 是周期函数，周期是2k 「：i2、 对数函数w =Lnz =ln |z| i argz i2k 二 （多值函数）主值（枝）ln z=l n | z| iargz （单值函数）性质：（1）定义域是z = 0，（2） 多值函数（3） 除去原点和负实轴的平面内连续(5) Ln(wz 2) = Lnz j Lnz 2 Ln 三二 Ln^ - Lnz 2J3、幕函数w = z ，e-Lnz （z = 0「是复常数）（1） 为正整数，函数单值、处处解析，（2） 〉为负整数，函数单值、除去z = 0及其负实轴处处解析,4、三角函数欧拉公式 e i = c 0'S i s i n（4）除去原点和负实轴的平面内解析,1 1(Lnz) (In z): z ，z或 eJe 乂cos , s i n 二 2 2iiz _iz iz _iz定义: e +e . e -e cosz , sin z 二 2 2itan z=sin z/cosz, cot z = cosz/sin zsecz =1/cosz, cscz =1/sin z性质: 周期性、可导性、奇偶性、零点、等于实函数一样各种三角公式、求导公式照搬注： sin z, cosz 的有界性 保护成立。
复变函数-总结
z与x轴正向的夹角
记作Arg z= .
-p <0p 的0 称为Arg z的主值, 记作0=arg z .则
Arg z=0+2kp =arg z +2kp (k为任意整数)
2
2.三角形式与指数形式
利用直角坐标与极坐标的关系: x = r cos , y = r sin, 可以将z表示成三角表示式: z r (cos i sin ) 利用欧拉公式 e i = cos + i sin 得指数表示式: i
z z0 z z0 z z0
(2) lim f ( z ) g ( z ) lim f ( z ) lim g ( z )
z z0 z z0 z z0
f ( z) z z0 lim g ( z ) 0 (3) lim zz z z0 g ( z ) 0 lim g ( z ) 15
乘、除法的几何意义:
z1 r e 1
i1
,
z2 r2e
i2
,
z1 z2 r1r2e
i (1 2 )
,
z1 z2 r1r2 z1 z2 Argz1 z2 A rg z1 Argz2
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两 个复数乘积的幅角等于它们幅角的和.
称为复变函数.
函数 w=f (z) 在几何上可以看做是把 z平面上的一个点集 D(定义集合)变到 w平面上的一个点集G (函数值集合)的 映射(或变换). 如果 D 中的点 z 被映射 w=f (z) 映射成 G 中的点 w, 则 w 称为 z 的象(映象), 而 z 称为 w 的原象.
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根据 C-R 条件可得 2x = 0,2 y = 0 x = 0, y = 0 所以该函数在 z = 0 处可导
4 解析
若 f (z)在 z0 的一个邻域内都可导，此时称 f (z)在 z0 处解析。
用 C-R 条件必须明确 u,v
四则运算 ( f g ) = f g
( f (g(z))) = f (g) g(z)
辐角 当 z≠0 时，向量 z 和 x 轴正向之间的夹角θ，记作θ=Arg z=0 + 2k k=±1±2
±3…
把位于-π＜ 0 ≤π的 0 叫做 Arg z 辐角主值 记作 0 = arg z0
4 如何寻找 arg z
例：z=1-i
−
4
z=i
2
z=1+i
4
z=-1
π
5 极坐标： x = r cos ， y = r sin
所以在每一点都不可导
例5
f (z) = Re z
解： f (z) = Re z = x u(x, y) = x v(x, y) = 0
u = 1 v = 0
x
y
不满足 C-R 条件 所以在每一点都不可导
例 6：
f (z) = z 2
解： f (z) = z 2 = x2 + y 2 其中 u(x, y) = x2 + y 2 v(x, y) = 0
所以 (C)' = 0
解：令 = z − z0
f (z)− f (z0 ) = z − z0 = z − z0 = = x − iy
z − z0
z − z0 z − z0 x + iy
当 → 0时，不存在，所以不可导。
定理： f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 在 z = x + iy 处可导 u，v 在 (x, y)处可微，且满足 C-R
z = x + iy = r(cos + i sin )
利用欧拉公式 ei = cos + i sin
1
学海无涯
可得到
z = rei
z1 z2 = r1ei1 r2ei2 = r1r2ei1 ei2 = r1r2ei(1+2 )
6 高次幂及 n 次方
z n = z z z z = r nein = r n (cos n + i sin n )
凡是满足方程 n = z 的ω值称为 z 的 n 次方根，记作 = n z
z = rei( +2k ) = n
即r = n
+ 2k = n
第二章解析函数
1
=rn
= + 2k n
1 极限
2 函数极限
① 复变函数
对于任一 Z D 都有W 与其对应 = f (z)
注：与实际情况相比，定义域，值域变化
学海无涯
第一章 复数
1 i 2 =-1
i = −1 欧拉公式
实部 Re z
虚部
2 运算
① z1 z2 Re z1 = Re z2
z=x+iy Im z
Im z1 = Im z2
② (z1 z2 ) = Re(z1 z2 ) + Im(z1 z2 ) = (Re z1 Re z2 ) + (Im z1 + Im z2 )
则 u(x, y) = e x cos y v(x, y) = e x sin y
u = e x cos y = v = e x cos y
x
y
u = −e x sin y = − v = −e x sin y 任一点 z = x + iy 处满足 C-R 条件
y
x
所以 ez 处处解析
f (z) = u + i v = e x cos y + iex sin y = e z
3 导数
f
(z0
)
=
lim
z→z0
f (z)− f (z0 ) =
z − z0
df (z)
z z=z0
例 2 f (z) = C 时有 (C)' = 0
2
学海无涯
证：对 z 有 lim f (z + z) − f (z) = lim C − C = 0
z →0
z
z→0 z
例 3 证明 f (z) = z 不可导
条件 u = v u = − v 且 f (z) = u + i v
x y y x
x x
例 4 证明 f (z) = z 不可导
解： f (z) = z = x − iy 其中 u(x, y) = x v(x, y) = − y u,v 关于 x,y 可微
u = 1 v = −1
x
y
不满足 C-R 条件
( )( ) z2 z2 z2 x2 + iy2 x2 − iy2
x22
+
y
2 2
x22
+
y
2 2
⑤ z = x −iy
共轭复数
z z = (x + iy)(x − iy) = x2 + y2
运算律
P1 页
3 代数，几何表示
共轭技巧
z = x + iy
z 与平面点 (x, y)一一对应，与向量一一对应
x x
练习：求下列函数的导数
f (z) = z 2 z
( ) ( ) 解: f (z) = z 2 z = x2 + y 2 (x + iy) = x3 + ix2 y + xy2 + iy3 = x3 + xy2 + i x2 y + y3
u(x, y) = x3 + xy2
v(x, y) = x 2 y + y 3 所以 u = 3x2 + y 2
z1 z2
③ = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 )
= x1x2 + ix1 y2 + ix2 y1 − y1 y2
= (x1x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 )
( )( ) ④ z1 = z1 z2 = x1 + iy1 x2 − iy2 = x1x2 + y1 y2 + i y1x2 −x1y2
(kf ) = kf
( )z n = nz n−1
( f g ) = f g + f g
( ) ☆ e z = e z
3
学海无涯
f g
=
f g − f g2
g
( ) 例：证明 f (z) = e z e z = e z
解： f (z) = e z = e x cos y + iex sin y
例 f (z) = z
② lim f (z) = z→z0
z → z0
☆ 当 = f (z0 )时，连续
称 f (z)当 z → z0 时以 A 为极限
例1
证明 f (z) = z ) = z − z0 = z − z0 → 0 z → z0 所以 f (z) = z 在每一点都连续