【100所名校】2020届江苏省南京金陵中学高三第一学期期中考试数学试题(解析版)

2020届江苏省南京金陵中学 高三第一学期期中考试数学试题

数学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、填空题

1．设集合A ＝{x |log 2x <2 }，B ＝{﹣1，0，1，2，4}，则A ∩B ＝_____________． 2．已知复数z =(1+i )(1+3i )，其中i 是虚数单位，则|z |的值是_____________． 3．已知一组数据2，4，5，6，8，那么这组数据的方差是_____________．

4．从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等）作为代表，则这2名代表都是女同学的概率为_____________．

5．如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是_____________．

6．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2=2px

的焦点与椭圆x 2

4+y 23

=1的右焦点重合，则

实数p 的值为_____________．

7．已知sin(x +π

4)=3

5，则sin2x ＝_____________．

8．设a ＞0，若a n ＝6

3377n a n n a

n ≤⎧⎨⎩－（－）－，，，＞，

且数列{a n }是递增数列，则实数a 的范围是

__________．

9．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y =ax 2+b

x

(a ，b 为常数)过点P(2，﹣5)，且该曲线在点

P 处的切线与直线2x −7y +3=0垂直，则2a ＋3b 的值是_______．

10．若函数f(x)=−1

2x 2+4x −3lnx 在[t,t +1]上不单调，则t 的取值范围是____．

11．如下图，在ABC ∆中， 1

,2,,2

AB AC BC AD DC AE EB ====

．若1

2

BD AC ⋅=-

，则CE AB ⋅=__________．

12．已知函数f(x)={2x +1，x ≤0|lnx |，x >0

，则关于x 的方程f[f(x)]=3的解的个数为

_____________．

13．已知正数a ，b ，c 满足b 2+2(a +c)b −ac =0，则b

a+c 的最大值为_____________． 14．若存在正数x ，y ，使得(y −2ex)(lny −lnx)s +x =0，其中e 为自然对数的底数，则实数s 的取值范围是_____________．

二、解答题

15．如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．求证：

（1）PA ∥平面MDB ； （2）PD ⊥BC ．

此

卷只装订不密封

班级 姓名 准考证号 考场号 座位号

16．已知α∈(0，π

2)，β∈(π

2

，π)，cosβ=−1

3

，sin(α+β)=4−√2

6

．

（1）求tan2β的值；

（2）求α的值．

17．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt△FHE，H是直角项点)来处理污水．管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB＝20米，AD＝10√3米，记∠BHE＝θ．

（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；

（2）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度L．

18．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=4与坐标轴分别交于A1，A2，B1，B2(如图)．

（1）点Q是圆O上除A1，A2外的任意点(如图1)，直线A1Q，A2Q与直线y+3=0交于不同的两点M，N，求线段MN长的最小值；

（2）点P是圆O上除A1，A2，B1，B2外的任意点(如图2)，直线B2P交x轴于点F，直线

A1B2交A2P于点E．设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2m﹣k为定值．

（图1）（图2）

19．设函数f(x)=e x

x3

−3k

x

−klnx，其中x＞0，k为常数，e为自然对数的底数．（1）当k≤0时，求f(x)的单调区间；

（2）若函数f(x)在区间(1，3)上存在两个极值点，求实数k的取值范围；

（3）证明：对任意给定的实数k，存在x0(x0>0)，使得f(x)在区间(x0，+∞)上单调递增．20．若数列{a n}同时满足：①对于任意的正整数n，a n+1≥a n恒成立；②若对于给定的正整数k，a n−k+a n+k=2a n对于任意的正整数n(n＞k)恒成立，则称数列{a n}是“R(k)数列”．（1）已知a n={

2n−1，n为奇数

2n，n为偶数

，判断数列{a n}是否为“R(2)数列”，并说明理由；

（2）已知数列{b n}是“R(3)数列”，且存在整数p(p＞1)，使得b3p−3，b3p−1，b3p+1，b3p+3成等差数列，证明：{b n}是等差数列．

21．二阶矩阵M对应的变换将点(1，﹣1)与(﹣2，1)分别变换成点(﹣1，﹣1)与(0，﹣2)．（1）求矩阵M的逆矩阵M−1；

（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x−y=4，求l的方程．

22．在极坐标系中，设圆ρ=3上的点到直线ρ(cosθ+√3sinθ)=2的距离为d，求d的最大值．

23．如图，已知三棱锥O—ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝OC＝2，E 是OC的中点．

（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；

（2）求二面角A—BE—C的余弦值．

24．已知f n(x)=(1+√x)n，n∈N∗．

（1）若g(x)=f4(x)+2f5(x)+3f6(x)，求g(x)中含x2项的系数；

（2）若p n是f n(x)展开式中所有无理项的系数和，数列{a n}是由各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：p n(a1a2⋯a n+1)≥(1+a1)(1+a2)⋯(1+a n)．

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