厦门市2016—2017学年度第二学期高二下文科质检答案及评分标准(1)

厦门市2016—2017学年度第二学期高二年级质量检测
数学（文科）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1-6 BAADCC 7-12 DABCCB
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．01,2>+∈∀x R x 14. 5 15. 2≤b 16. ),3
38()52,4(+∞Y 三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17. 本题考查函数的极值及闭区间上函数的最值等基础知识，考查学生运算与分析问题能
力，考查化归与转化思想．
【解析】：由已知'2
()3f x x m =+............................................1分
因为()f x 在点2x =处取得极值，所以'(2)0f =, 即 120m +=解得12m =-.....3分
经检验12m =-符合题意...................................................4分
所以，3()124f x x x =-+ '2()3123(2)(2)f x x x x =-=+-,(3,3)x ∈-.................................5分
当'
()0f x >，得32x -<<-或23x <<；
当'()0f x <，得22x -<<.................................................6分
可知，()f x 在[)2,3--上单调递增，在(2,2)-上单调递减，在(]3,2上单调递增.....8分
所以()f x 极小值为(2)12f =-，又(3)13f -=，..............................9分
所以，12)(min -=x f .....................................................10分
18.本小题主要考查线性回归方程的应用知识;考查数学抽象、数学建模思想，考查运算求解
能力,实际应用能力．
【解析】：（1）由所给数据计算得： 1(123456) 3.56
x =+++++= .........................................1分 1(10.211.112.113.315.515.8)136
y =+++++= ............................2分 6
16294.227321.2i i
i x y x y =-=-=∑g
622169173.517.5i i x
x =-=-=∑.............................................3分
61
6221621.2ˆ 1.2117.5
6i i
i i i x y x y b x
x ==-==≈-∑∑g ..........................................4分 $13 1.21 3.58.77a
y bx =-=-⨯≈$ ..........................................6分 所求的回归方程为$1.218.77y x =+.........................................7分
(2)由（1）知回归方程为$1.218.77y x =+的相关指数
62
21621ˆ()0.761110.030.9726.4
()i i i i
i y y R y y ==-=-=-≈-=-∑∑.............................10分 因为0.970.86>，所以线性回归模型拟合效果更好...........................12分
19.本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系等知识；考查分类,化归与转化数学思
想；考查推理论证能力、运算求解能力.
【解析】：（1）由题意可得422
=+p ............................................2分 解得4=p ............................................................3分
所以抛物线方程为x y 82=....................................................4分
（2）方法一： 设),(11y x A ，),(22y x B ，),(00y x C AB 的中点
联立方程⎩⎨⎧=+=x
y kx y 812 整理得01)82(22=+-+x k x k ............................5分 (ⅰ) 当0=k 时，直线l 与抛物线只有一个交点，不符合题意....................6分
(ⅱ) 当0≠k 时，04)82(22>--=∆k k 解得2<k 02≠<∴k k 且..........7分 221042k
k x x x -=+=
.......................................................8分 k
k k k kx y 4141200=+-⋅=+=...............................................9分 又由),(00y x C AB 的中点在02=+y x 上
得
04282=+-k
k k .......................................................11分 4k =- 经检验，满足条件...................................................12分方法二： 设),(11y x A ，),(22y x B ，),(00y x C AB 的中点
联立方程⎩⎨⎧=+=x
y kx y 812 整理得01)82(22=+-+x k x k ............................5分 (ⅰ) 当0=k 时，直线l 与抛物线只有一个交点，不符合题意..................6分
(ⅱ)当0≠k 时，04)82(22>--=∆k k 解得2<k 02≠<∴k k 且.........7分
因为12
18x y = ① ，2228x y =② 由①-② 得：)(8))((212121x x y y y y -=-+ 又因为12120,0x x y y -≠+≠
所以k y y y 42210=+=
........................................9分 20041k
k k y x -=-= ........................................10分 又由),(00y x C AB 的中点在02=+y x 上
得
04282=+-k
k k .......................................................11分 4k =- 经检验，满足条件...................................................12分
20.本题考察函数与导数的知识；考察化归与转化、数学建模的思想；考察运算求解、应用导数知识解决实际问题的能力.
【解析】：（I ）点(144,120)H ，所以120=，得10a =.....................2分
又AM t =，所以(P t ，所以S 关于t 的函数关系式为
()(150(144)S t t t =⋅-+-⋅
15020(0144)t t t =-<< ........................5分
（II ）方法一： 3
1
22'()(15020)'(150201440)'S t t t t t t =-+=-+
1
1
2215030720150t t
-=-+=-............................7分
== ..........................8分 '()064S t t =⇒=；'()0064S t t >⇒<<；'()064144S t t <⇒<<
所以()S t 在区间(0,64)上单调递增，在区间(64,144)上单调递减................10分 所以当64t =时，()S t 取到最大值，为10880平方米. ’
答：S 的最大值为10880平方米. ............................................12分 方法二：
令m 23
150201440(012)S m m m m =-+<<，则 2'30060144060(3)(8)S m m m m =-+=-+-...........................8分 '08S m =⇒=；'008S m >⇒<<；'0812S m <⇒<<
所以S 在区间(0,8)上单调递增，在区间(8,12)上单调递减.....................10分 所以当8m =时，S 取到最大值，为10880平方米. ’
答：S 的最大值为10880平方米.............................................12分
21. 本题考查直线与椭圆的位置关系，直线过定点，椭圆标准方程等基础知识；考查推理论
证能力、运算求解能力和化归与转化等数学思想．
【解析】：(Ⅰ) 方法一：依题意得直线l 过定点(1,0)P ，..........................2分
P 在椭圆内部，
..............................................................3分 所以直线l 与椭圆的位置关系是相交 ...........................................4分
(Ⅱ) 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，因为11(,)A x y 关于x 轴对称点为111(,)A
x y - 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=134
122y x my x 得22(3m 4)y 6my 90++-= ........................5分
122634m y y m -+=+，122934y y m -=+......................................6分
因为直线1A B 的斜率2121
y y k x x +=-12()x x ≠ 所以直线1A B 的方程为211121
()y y y y x x x x ++=--..................................8分 令0y =得121212121212(1)(1)y x x y y my my y x y y y y ++++==++1212
21my y y y =++..............10分
2292.
3414634
m m m
m -+=+=-+ 所以直线1A B 与x 轴的交点坐标为定点(4,0)
..................................12分
解法二：联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=134
122y x my x 得22(3m 4)y 6my 90++-= .........................2分 222364(3m 4)(9)1441440m m ∆=-+-=+>..................................3分 所以直线l 与椭圆的位置关系是相交 ...........................................4分 (Ⅱ) 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，因为11(,)A x y 关于x 轴对称点为111(,)A
x y - 122634m y y m -+=+，122934
y y m -=+.....................................6分 因为直线1A B 的斜率2121
y y k x x +=-12()x x ≠ 所以直线1A B 的方程为211121
()y y y y x x x x ++=--..................................8分 令0y =得121212121212(1)(1)y x x y y my my y x y y y y ++++==++1212
21my y y y =++..............10分 2292.
3414634
m m m
m -+=+=-+ 所以直线1A B 与x 轴的交点坐标为定点(4,0)
..................................12分
22．本小题考查学生运用函数与导数的知识,研究函数的单调性、极值,和函数的图像,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类与整合思想；考查运算求解能力、推理论证能力．
【解析】：（Ⅰ）()()'()2ln 32f x x a x x a x a =-+--+()()2ln 1x a x =--........2分 因为02),,0(,0>-+∞∈≤a x x a 所以 , 令'()0f x =得x e =, 且()0,x e ∈时, '()0f x <,()f x 单调递减,
(),x e ∈+∞时, '()0f x >,()f x 单调递增,
所以()f x 的极小值为()212
f e ae e =-,无极大值...... ...........4分
（Ⅱ）方程()0f x =在()1,+∞上有两个不等实根,即函数()y f x =在()1,+∞上有两个零点, ①当0a ≤时,由（Ⅰ）可知, ()f x 在()1,e 单调递减, 在(),e +∞单调递增,
又因为()3102
f a =-<,不合题意, 舍去 ............................5分 ②当()0,2a e ∈时, ()0,,2a x e ⎛
⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭
时, '()0f x >, ,2a x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时,'()0f x <, ()f x 单调递增区间为0,
2a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭和(),e +∞，()f x 单调递减区间为,2a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 要使函数()y f x =在()1,+∞上有两个零点，必须()10,2f e e a e ⎛⎫=-
< ⎪⎝⎭ 得12
a e <，所以()f x 在()1,e 单调递减, 在(),e +∞单调递增, 所以()3120,2f a =->得34a >，又因为02
)(4
2>=e e f 所以342
e a << ...................................................8分 ③ 2a e =时，()
f x 在()1,+∞单调递增,不合题意；.....................9分 ④当()2,a e ∈+∞时, ()1,,2a x e ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭
时, '()0f x >, ,2a x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时 ,'()0f x <, ()f x 单调递增区间为()1,e 和,2a ⎛⎫+∞
⎪⎝⎭，()f x 单调递减区间为,2a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 因为()3120,2
f a =-> 要使函数()y f x =在()1,+∞上有两个零点， 则2152ln 0,282a a f a ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 得522a e >，又()20,2
a f a => 综上所述，523,2,42e a e ⎛⎫⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
................................12分。