高中数学必修二-第四章-圆的方程-全套PPT
合集下载
高中数学必修二圆的标准方程-课件.ppt

三、知识应用与解题研究
例1:(1)写出圆心在坐标原点,半径长为 的3 圆的方程。 (2)写出圆心为 A(2,,3半) 径长等于5的圆的方程,并判
断点
M1,(5,7) M2( 5,1) 是否在这个圆上。
y
例1 (1) x2 y2 3
O
3x
例 1(2) 写出圆心为 A(2,,3)半径长等于5的圆的方程,并判断点 M1(5,7) M2是(否5,在1)这个圆上。
二、探索研究:
探讨圆心在C(a,b),半径长为r的圆的方程。
解:设M(c, y)是圆上任意一点, 根据圆的定义|MC|=r 由两点间距离公式,得
xa2yb2 r ①
把①式两边平方,得
y
M
.r
C
O
x
(x-a)2(y-b)2r2 ②
(xa)2(yb)2r2(r0) ②
我们把方程②称为圆心是C (a, b), 半径是 r
把点 M2( 5,1) 的坐标代入上方程,
y
左右两边不相等,点 M 2 的坐标 不适合圆的方程, 所以点 M 2 不在这个圆上.
O
x
M2
A
那么 M 2 到底在圆内还是圆外呢?
AM2 r
M1
点 M0(x0在,y0圆) (xa)2 外(y 的 条b)件2是r 什2么?
在圆上呢?在圆内呢?
设点 M0(x0, y0)到圆心 C ( a , b ) 的距离为d, d>r 点M0在圆外 (x0a)2(y0b)2r2
(3)方法:①根据题设条件列出关于a , b , r 的方程组,解方程组得圆的标准方程。 ②根据题设条件直接求出圆心坐 标和半径长,然后再写出圆的标准方程。
P124 A组 2, 3
2.4.2圆的一般方程课件共18张PPT

2
2
(2) 当D2+E 2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有实
数解x= - , y=− ,它表示一个点(- , -) .
(3) 当D2+E 2-4F<0时, 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有没
有实数解,它不表示任何图形.
因此,当 D2+E2-4F>0 时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表
•
所在的直线l 上.
(3)圆心C到l 的距离等于圆的半径.
O
• B(-3,-3)
x
答案: l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
示一个圆,我们把它叫做圆的一般方程.
练习: 将下列各圆方程化为标准方程,并求圆的半径
和圆心坐标.
2
2
(1) x + y + 6 x = 0,
2
2
(2) x + y - 2by = 0,
2
2
2
(3) x + y - 2ax + 2 3ay + 3a = 0
(1)圆心(-3,0),半径3.
(2)圆心(0,b),半径|b|.
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
1.根据题意, 选择标准方程或一般方程.
2
(2) 当D2+E 2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有实
数解x= - , y=− ,它表示一个点(- , -) .
(3) 当D2+E 2-4F<0时, 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有没
有实数解,它不表示任何图形.
因此,当 D2+E2-4F>0 时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表
•
所在的直线l 上.
(3)圆心C到l 的距离等于圆的半径.
O
• B(-3,-3)
x
答案: l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
示一个圆,我们把它叫做圆的一般方程.
练习: 将下列各圆方程化为标准方程,并求圆的半径
和圆心坐标.
2
2
(1) x + y + 6 x = 0,
2
2
(2) x + y - 2by = 0,
2
2
2
(3) x + y - 2ax + 2 3ay + 3a = 0
(1)圆心(-3,0),半径3.
(2)圆心(0,b),半径|b|.
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
1.根据题意, 选择标准方程或一般方程.
人教A版高中数学必修二 4-1-1 圆的标准方程 课件 (共24张PPT)

B.x2+(y+3)2=4
D.(x-3)2+y2=2
【解析】选B.圆的圆心是(0,-3),半径是r=
1 2
|-5-(-1)|=2.故圆的方程为x2+(y+3)2=4.
3. 已知圆M过两点A(1,-1),B(-1,1)且圆心M在x+y2=0上,求圆M的方程. 【解】设圆M的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
M(x,y)是圆上动点, C是圆心, r是半径.
如图,在直角坐标系中,圆心C的位置用坐标 (a,b) 表示,半径r的大小等于圆上任意点M(x, y) 与圆心C(a,b) 的距离. 则 |MC|=r. 圆上所有点的集合 P = {M||MC|=r}.
O x y r C
M
由两点间的距离公式,点M适合的条件可表示为:
所以圆心C的坐标是 (3, 2), 圆心为C的圆的半径长r | AC | (1 3) 2 (1 2) 2 5. 所以,圆心为C的圆的标准方程是
( x 3)2 ( y 2)2 25.
比较例2和例3,你能归纳求任意△ABC外接圆的
方程的两种方法吗?
两种方法:待定系数法;
1- a 2 + -1- b 2 = r2 , 2 2 2 根据题意得: -1a + 1b = r , a + b - 2 = 0,
解得:a=b=1,r=2, 故所求圆M的方程为:(x-1)2+(y-1)2=4.
数形结合法.
1.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部, 则实数a的取值范围是 A.-1<a<1 ( A ) B.0<a<1
C.a>1或a<-1
D.a=±1
《圆的标准方程教学》人教版高中数学必修二PPT课件(第4.411课时)

2、圆的特征是什么?
✓ 圆上每个点到圆心的距离为半径
✓ 到圆心的距离为半径的点在圆上
新知探究
解析几何的基本思想
圆在坐标系下有什么样的方程?
新知探究
已知圆的圆心c(a,b)及圆的半径R,在直角坐标系下如何确定圆的方程?
y
M
R
P={M||MC|=R}
C(a,b)
O
x
新知探究
圆的标准方程
设C(a,b)、半径r,且设圆上任一点M坐标为(x,y).
若圆心在X轴上,则方程为:( − )2 + 2 = 2
若圆心在Y轴上,则方程为: 2 + ( − )2 = 2
可见,圆心用来定位
若半径r=1,就成了单位圆。可见半径用来定形。
C
O
x
新知探究
圆的方程情势有什么特点?
特点:
这是二元二次方程,括号内变数x,y的系数都是1.点(a,b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径.
讲授人:XXX 时间:202X.6.1
P P T
新知探究
例1:根据下列条件,求圆的方程:
⑴圆心在点C(-2,1),并过点(2,-2)的圆。
⑵圆心在点C(1,3),并与直线3 − 4 − 6 = 0 相切的圆的方程。
⑶过点(0,1)和点(2,1),半径为 5 。
新知探究
⑴圆心在点C(-2,1),并过点(2,-2)的圆。
解:(1)∵点(2,-2)在圆上,∴所求圆的半径为
(5 −
于是൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ⇒
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
=2
ቐ = −3
=5
所求圆的方程为:( − 2)2 +( + 3)2 = 25
✓ 圆上每个点到圆心的距离为半径
✓ 到圆心的距离为半径的点在圆上
新知探究
解析几何的基本思想
圆在坐标系下有什么样的方程?
新知探究
已知圆的圆心c(a,b)及圆的半径R,在直角坐标系下如何确定圆的方程?
y
M
R
P={M||MC|=R}
C(a,b)
O
x
新知探究
圆的标准方程
设C(a,b)、半径r,且设圆上任一点M坐标为(x,y).
若圆心在X轴上,则方程为:( − )2 + 2 = 2
若圆心在Y轴上,则方程为: 2 + ( − )2 = 2
可见,圆心用来定位
若半径r=1,就成了单位圆。可见半径用来定形。
C
O
x
新知探究
圆的方程情势有什么特点?
特点:
这是二元二次方程,括号内变数x,y的系数都是1.点(a,b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径.
讲授人:XXX 时间:202X.6.1
P P T
新知探究
例1:根据下列条件,求圆的方程:
⑴圆心在点C(-2,1),并过点(2,-2)的圆。
⑵圆心在点C(1,3),并与直线3 − 4 − 6 = 0 相切的圆的方程。
⑶过点(0,1)和点(2,1),半径为 5 。
新知探究
⑴圆心在点C(-2,1),并过点(2,-2)的圆。
解:(1)∵点(2,-2)在圆上,∴所求圆的半径为
(5 −
于是൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ⇒
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
=2
ቐ = −3
=5
所求圆的方程为:( − 2)2 +( + 3)2 = 25
人教A版高中数学必修二课件:第四章 4.1 4.1.2圆的方程(共44张PPT)

一日不读口生,一日不写手生。 书籍是全世界的营养品,生活里没有书籍就好像没有阳光;智慧里没有书籍就好像鸟儿没有翅膀。 一个人如果不能从内心去原谅别人,那他就永远不会心安理得。 你能够先知先觉地领导产业,后知后觉地苦苦追赶,或不知不觉地被淘汰。 没有热忱,世间便无进步。 所有的胜利,与征服自己的胜利比起来,都是微不足道。 生气是拿别人做错的事来惩罚自己。 对于攀登者来说,失掉往昔的足迹并不可惜,迷失了继续前时的方向却很危险。 生活远没有咖啡那么苦涩,关键是喝它的人怎么品味!每个人都喜欢和向往随心所欲的生活,殊不知随心所欲根本不是生活。 成功之前我们要做应该做的事情,成功之后我们才可以做喜欢做的事情。 不论你在什么时候开始,重要的是开始之后就不要停止。 如果要给美好人生一个定义,那就是惬意。如果要给惬意一个定义,那就是三五知己、谈笑风生。 泉水,奋斗之路越曲折,心灵越纯洁。 汗水是成功的润滑剂。 乐观者在灾祸中看到机会,悲观者在机会中看到灾祸。 谁不向前看,谁就会面临许多困难。 哪怕是最没有希望的事情,只要有一个勇敢者去坚持做,到最后就会拥有希望。 如果你受苦了,感谢生活,那是它给你的一份感觉;如果你受苦了,感谢上帝,说明你还活着。人们的灾祸往往成为他们的学问。 要想成为强乾,决不能绕过挡道的荆棘也不能回避风雨的冲刷。 不管失败多少次,都要面对生活,充满希望。
Байду номын сангаас
Байду номын сангаас
人教版高中数学必修2第四章《4.1圆的方程:4.1.2 圆的一般方程》教学PPT

例1:求过点 O(0,0), M1(1,1), M2(4,2) 的圆的方程,并求出这
个圆的半径长和圆心.
解:设圆的方程为: x2 y2 Dx Ey F 0
因为O, M1, M2 都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即
F 0
D
E
F
2
0
4D 2E F 20 0
1) x2 y2 2x 4 y 1 0 D 2, E 4, F 1 D2 E2 4F 16
圆心: (1, 2) 2) x2 y2 6x 0
半径: r 2
D 6, E F 0 D2 E2 4F 36
圆心: (3,0)
分析:常用的判别A,B,C,D四点共圆的方法有 A,B,C三点确定的圆的方程和B,C,D三点确定的圆的方程为同 一方程
求出A,B,C三点确定的圆的方程,验证D点的坐标满足圆的方程.
作业: 1.(作业本)课本P124 A组 1、(2)(4) B组 第2题或第3题 2. 完成《课时作业》&《反馈卡》
D 8
E
6
F 0
待定系数法
所以,圆的方程为: x2 y2 8x 6 y 0
求圆方程的步骤: (待定系数法) 1.根据题意,选择标准方程或一般方程. 若已知条件与圆心或半径有关,通常设为标准方程; 若已知圆经过两点或, E, F的方程组.
3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或一般方程.
轨迹方程求法
例2:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 ( x 1)2 y2 4
上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
人教版高中数学必修2(A版) 4.1.2圆的一般方程 PPT课件

未知量 是什么?
过三点O、M1、M2的圆方程
方案1:待定系数法
设x y Dx Ey F 0
2 2
(或 x a y b r 2)
2 2
方案2: 数形结合: 挖几何性 质
M1(1,1)
O(0,0)
D
E
F(或a, b, r )
挖出两条直径(弦中 垂线)方程
表示
(2)当D2+E2-4F=0时, 表示
(3)当D2+E2-4F<0时, 表示
D E D2 E 2 4F 圆心( , ), 半径为 的圆 2 2 2 D E 一个点( , ) 2 2 没有意义 回到目录
2、圆的一般方程的特点
当D E 4F 0时,方程x y Dx Ey F 0
∵A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)三点在圆上 52+12+5D+E+F=0 即: 5D+E+F=-26 ∴ 2 7 +(-3)2+7D-3E+F=0 7D-3E+F=-58 22+(-8)2+2D-8E+F=0 2D-8E+F=-68 解得:D=-4,E=6,F=-12 从而所求方程为:x2+y2-4x+6y-12=0
标题
§4.1.2圆的一般方程
§4.1.2圆的一般方程
一、问题情景 二、自主学习 三、教师点拨 四、课堂小结
本课结束
一、问题情景
我们知道:方程 x a y b r 2(r>0)表示圆心(a,b),半径为r的圆
2 2
那么方程x 2 y 2 Dx Ey F 0表示什么图形呢?
过三点O、M1、M2的圆方程
方案1:待定系数法
设x y Dx Ey F 0
2 2
(或 x a y b r 2)
2 2
方案2: 数形结合: 挖几何性 质
M1(1,1)
O(0,0)
D
E
F(或a, b, r )
挖出两条直径(弦中 垂线)方程
表示
(2)当D2+E2-4F=0时, 表示
(3)当D2+E2-4F<0时, 表示
D E D2 E 2 4F 圆心( , ), 半径为 的圆 2 2 2 D E 一个点( , ) 2 2 没有意义 回到目录
2、圆的一般方程的特点
当D E 4F 0时,方程x y Dx Ey F 0
∵A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)三点在圆上 52+12+5D+E+F=0 即: 5D+E+F=-26 ∴ 2 7 +(-3)2+7D-3E+F=0 7D-3E+F=-58 22+(-8)2+2D-8E+F=0 2D-8E+F=-68 解得:D=-4,E=6,F=-12 从而所求方程为:x2+y2-4x+6y-12=0
标题
§4.1.2圆的一般方程
§4.1.2圆的一般方程
一、问题情景 二、自主学习 三、教师点拨 四、课堂小结
本课结束
一、问题情景
我们知道:方程 x a y b r 2(r>0)表示圆心(a,b),半径为r的圆
2 2
那么方程x 2 y 2 Dx Ey F 0表示什么图形呢?
高中数学人教A版必修2第四章4.圆的标准方程ppt课件

4.1圆的方程
圆的标准方程
教学目标:
掌握圆的标准方程,并能 根据条件写出圆的标准方程.
上一章,我们学习了直线的方程.知道在直角坐 标系中,直线可以用方程表示,通过方程,可以研 究直线间的位置关系,直线与直线的交点等问题.
本章在上一章的基础上,在直角坐标系中建立 圆的方程.通过圆的方程,研究直线与圆、圆与圆的 位置关系.另外,我们还要学习空间直角坐标系的有 关知识,它是用解析方法研究空间几何对象的基础.
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程,得
(-2)2+(y+10.5)2=14.52
因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)
答 : 支 柱 A 2 P 2 的 长 度 约 为 3 . 8 6 m 。
小结:
(1) 圆心为C(a,b),半径为r 的圆的标准方程为
A,B两点的距离相等,所以圆心C在线段AB的
垂直平分线l上.又圆心C在直线ll上,因此圆心C是 直线l与直线l的交点,y半径长等于CA或CB.
A l
O
C
B
x
练习:
4、已知圆经过P(5、1),圆心为C(8、3), 求圆方程.
Y
C(8、3)
P(5、1)
0
X
(x-8)2+(y-3)2=13
练习:
5、已知两点A(4、9)、B(6、 3), 求以AB为直 径的圆的方程.
3. 已知:一个圆的直径端点是:圆的方程是 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
课堂小结:
1. 圆的方程的推导步骤:
建系设点→写条件→列方程→化简→说明
2. 圆的方程的特点:点(a, b)、r分别 表示圆心坐标和圆的半径;
圆的标准方程
教学目标:
掌握圆的标准方程,并能 根据条件写出圆的标准方程.
上一章,我们学习了直线的方程.知道在直角坐 标系中,直线可以用方程表示,通过方程,可以研 究直线间的位置关系,直线与直线的交点等问题.
本章在上一章的基础上,在直角坐标系中建立 圆的方程.通过圆的方程,研究直线与圆、圆与圆的 位置关系.另外,我们还要学习空间直角坐标系的有 关知识,它是用解析方法研究空间几何对象的基础.
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程,得
(-2)2+(y+10.5)2=14.52
因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)
答 : 支 柱 A 2 P 2 的 长 度 约 为 3 . 8 6 m 。
小结:
(1) 圆心为C(a,b),半径为r 的圆的标准方程为
A,B两点的距离相等,所以圆心C在线段AB的
垂直平分线l上.又圆心C在直线ll上,因此圆心C是 直线l与直线l的交点,y半径长等于CA或CB.
A l
O
C
B
x
练习:
4、已知圆经过P(5、1),圆心为C(8、3), 求圆方程.
Y
C(8、3)
P(5、1)
0
X
(x-8)2+(y-3)2=13
练习:
5、已知两点A(4、9)、B(6、 3), 求以AB为直 径的圆的方程.
3. 已知:一个圆的直径端点是:圆的方程是 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
课堂小结:
1. 圆的方程的推导步骤:
建系设点→写条件→列方程→化简→说明
2. 圆的方程的特点:点(a, b)、r分别 表示圆心坐标和圆的半径;
人教版高中数学必修2第四章第1节《圆的标准方程》ppt参考课件2

小1.结圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
(x a)2 (y b)2
2.圆心
C
①两条直线的交点
(弦的垂直平分线)
②直径的中点
O
3.半径
C
①圆心到圆上一点的距离
②圆心到切线的距离
A
B
x
编后语
老师上课都有一定的思路,抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路,这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语,如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等,这些 用语往往体现了老师的思路。来自:学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时,一般有一个推导过程,如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程,这有助于理解记忆结论,也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
C(2,-8)
解题思路:圆心:两条中垂线的交点 半径:圆心到圆上一点
A(5,1) x
B(7,-3)
例2.已知圆的方程是 x2 y2 ,r求2 经过圆上一点
M x的0切, y线0 的方程.
y
解:设切线的斜率为 k,半径OM的斜率为k1
由题意:k
k1
y k1 0
x0
1
k
练习
求圆的圆心及半径 (1)、x2+y2=4 (2)、(x+1)2+y2=1
(3)、(x 2)2 (y 3)2 m2 (m 0)
例1 △ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.
人教A版高中数学必修二4.1.1 圆的标准方程 课件(共16张PPT)

设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2。
六.小结
1.圆心是 A(a,b),半径为r的圆A的标准方程是(x–a)2+(y–b )2=r2 2.点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
几何法 先求出点M与圆心A的距离d
(1)若点M在圆A上,则d=r; (2)若点M在圆A内,则 d<r; (3)若点M在圆A外,则 d>r.
数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离
—— 华罗庚
O
平面直角坐标系
数
直线方程 1.点斜式方程 ������ − ������������ = ������(������ − ������������)
r2
③
展开平方后,
(x–2)2+(y+3)2=y25.
① ②得:a 2b 8 0
A(5,1)
③-②得:a b 1 0
几
解得a=2,b=-3,r=5.
代
何
O M
(6,-1) x B(7,-3)
∴ △ABC的外接圆方程为
数
(x–2)2+(y+3)2=25.
法
C(2,-8)
kAB 2
(1 a)2 (1 b)2 r 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2
ab1 0
a 3 解得 b 2
r 5
∴圆C方程是(x-3)2+(y-2)2=25.
代
何
O
x
数
法
C
六.小结
1.圆心是 A(a,b),半径为r的圆A的标准方程是(x–a)2+(y–b )2=r2 2.点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
几何法 先求出点M与圆心A的距离d
(1)若点M在圆A上,则d=r; (2)若点M在圆A内,则 d<r; (3)若点M在圆A外,则 d>r.
数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离
—— 华罗庚
O
平面直角坐标系
数
直线方程 1.点斜式方程 ������ − ������������ = ������(������ − ������������)
r2
③
展开平方后,
(x–2)2+(y+3)2=y25.
① ②得:a 2b 8 0
A(5,1)
③-②得:a b 1 0
几
解得a=2,b=-3,r=5.
代
何
O M
(6,-1) x B(7,-3)
∴ △ABC的外接圆方程为
数
(x–2)2+(y+3)2=25.
法
C(2,-8)
kAB 2
(1 a)2 (1 b)2 r 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2
ab1 0
a 3 解得 b 2
r 5
∴圆C方程是(x-3)2+(y-2)2=25.
代
何
O
x
数
法
C
高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程课件新人教A版必修2

二、内容标准 1.圆与方程 (1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. (2)能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定 两个圆的方程,判断两圆的位置关系. (3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. (4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 2.空间直角坐标系 (1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. (2)会推导空间两点间的距离公式. 本章的重点是直线的点斜式方程、一般式方程和圆的方程.难点是坐标 法的应用.坐标法是研究解析几何的基本方法,由曲线求方程和由方程研 究曲线是解析几何的基本问题,应注意展现过程,揭示思想方法,强调学 生的感受和体验.在活动中逐步提高认识和加深理解.
直线 AB 的斜率 kAB= 2 5 =-7,……………………………………………………………………4 分 1 0
因此线段 AB 的垂直平分线的方程是 y- 3 = 1 (x- 1 ),…………………………………………6 分 27 2
即 x-7y+10=0.同理可得线段 BC 的垂直平分线的方程是 2x+y+5=0.……………………………8 分
规范解答:法一 设所求圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2.…………………………………………………………4 分 因为 A(0,5),B(1,-2,),C(-3,-4)都在圆上, 所以它们的坐标都满足圆的标准方程,于是有
(0 a)2 (5 b)2 r2,
a 3,
(1
a)2
(2
3.(圆的标准方程)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( D )
(A)(x-1)2+(y-1)2=1 (B)(x+1)2+(y+1)2=1
高中数学必修二《第四章圆与方程》课件

PART 01
► 问题 1 圆的定义和确定圆的几何要素 (1)圆是到定点的距离等于定长的点的集合;( )
(2)确定圆的几何第要素4是6圆讲的半│径.问( 题)思考
[答案] (1)错 (2)错
[解析] (1)圆是一个平面图形,必须是在平面上到定点的距离 等于定长的点的集合.
(2)确定圆的几何要问素题有两思个考,一个是圆心、一个是半径.
[答案](1)(x+2)2+y2=2 (2)(x-3)2+y2=2
[解析] (1)根据题意,设圆的方程为(x-a)2+y2=2(a<0),∵ 直线 x+y=0 与圆相切,
∴ |a2| =第2,4得6a讲=-│2,要∴圆点的方探程究为(x+2)2+y2=2.
(2)∵直线 x-y-1=0 与圆切于点(2,1),∴圆心在过切点且 垂直于直线 x-y-1=0 的直线上,该直线为 x+y-3=0,∵圆 过点(4,1),(2,1),∴圆心在这两点的垂直平分线 x=3 上,圆心 为(3,0),∴圆的方程为(x-3)2+y2=2.
究 可以使用一般式方程、标准方程,以及通过圆心是三角形两边
的垂直平分线的交点的方法求解.
[答案](1)(x+1)2+(y+2)2=10 (2)x2+y2-4x-2y-20=0
[解析] (1)方法 1:设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,
4+-32+2D+E-3+F=0,
则
第46讲 │ 要点探究 -22+-52+-2D+-5E+F=0,
(2+2cosθ-8)2+(2+2sinθ)2 =80-8cosθ, ∴当 cosθ=1 时 Smin=72;当 cosθ=-1 时 Smax=88.
[点评] 圆的方程非常适合进行三角换元,三角换元后的 x,y
人教A版高中数学必修二第四章圆与方程复习课件

2.(2011·高考广东卷)已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x2 +y2=1},B={(x,y)|x,y 为实数,且 x+y=1},则 A∩B 的元 素个数为( ). A.4 B.3 C.2 D.1 解析 集合 A 表示圆 x2+y2=1 上的点构成的集合,集合 B 表 示直线 x+y=1 上的点构成的集合,可判断直线与圆相交,故 A∩B 的元素的个数为 2. 答案 C
0
无根
d>r
离
4.2.2圆与圆的位置关系
R r
•
•
O1
d
O2
R r
•
•
O1
d
O2
两圆外离
R r
•
•
O1 d
O2
R • •r O1 d O2
两圆外切
R O1 • • r
d O2
两圆相交
两圆内切
两圆内含
判断两圆的位置关系的两种方法: 1.根据圆心距与半径和之间的大小关系. 若d<|R-r|,则两圆内含; 若d=|R-r|,则两圆内切; 若|R-r|<d<R+r,则两圆相交; 若d=R+r,则两圆外切; 若d>R+r,则两圆外离.
高考真题 1.(2011·高考安徽卷)若直线 3x+y+a=0 过圆 x2+y2+2x-4y =0 的圆心,则 a 的值为( ). A.-1 B.1 C.3 D.-3 解析 化圆为标准形式(x+1)2+(y-2)2=5,圆心为(-1,2).∵ 直线过圆心,∴3×(-1)+2+a=0,∴a=1. 答案 B
2.联立两圆方程,看截得解得个数.
△<0
n=0
两个圆相离
△=0
n=1
两个圆相切
△>0
n=2
高中数学必修二 第四章 圆的方程 全套1ppt课件

所求圆的方程为
a2
b
3
r 5
(x2)2(y3)225
待定系数法
.
29
例2 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4 上运动,求线段AB的中点M 的轨迹方程.
y B
AM
o
x
.
30
例2 方程 x 2 y 2 a x 2 a y 2 a 2 a 1 0 表示的图形是一个圆,求a 的取值范围.
消去y(或x)
px2qxt 0
d r :相 交
d
r
:相
切
d
r
:相
离
0 :相 交
0
:相
切
0
:相
离
.
50
作业
P128练习:2,3,4. P132习题4.2A组:1,2,3,5.
.
51
4.2.2 圆与圆的位置关系
.
52
思考?
圆与圆的位置关系有哪几种? 如何根据圆 的方程,判断它们之间的位置关系?
.
36
4.2.1 直线与圆的位置关系
.
37
问题
一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象 台的台风预报:台风中心位于轮船正西70km处,受 影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口 位于台风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航 线,那么它是否会受到台风的影响?
为解决这个问题,我们
以台风中心为原点O,东西 方向为x 轴,建立如图所
x
3.点M在圆内,|MC|<r
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.
.
10
例1 写出圆心为 A(2,3) ,半径长等于5的圆的 方程,并判断点 M1(5,7),M2( 5,1) 是否在这个圆上.
a2
b
3
r 5
(x2)2(y3)225
待定系数法
.
29
例2 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4 上运动,求线段AB的中点M 的轨迹方程.
y B
AM
o
x
.
30
例2 方程 x 2 y 2 a x 2 a y 2 a 2 a 1 0 表示的图形是一个圆,求a 的取值范围.
消去y(或x)
px2qxt 0
d r :相 交
d
r
:相
切
d
r
:相
离
0 :相 交
0
:相
切
0
:相
离
.
50
作业
P128练习:2,3,4. P132习题4.2A组:1,2,3,5.
.
51
4.2.2 圆与圆的位置关系
.
52
思考?
圆与圆的位置关系有哪几种? 如何根据圆 的方程,判断它们之间的位置关系?
.
36
4.2.1 直线与圆的位置关系
.
37
问题
一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象 台的台风预报:台风中心位于轮船正西70km处,受 影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口 位于台风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航 线,那么它是否会受到台风的影响?
为解决这个问题,我们
以台风中心为原点O,东西 方向为x 轴,建立如图所
x
3.点M在圆内,|MC|<r
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.
.
10
例1 写出圆心为 A(2,3) ,半径长等于5的圆的 方程,并判断点 M1(5,7),M2( 5,1) 是否在这个圆上.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
的解.解此方程组,得
x 3,
y
2.
所以圆心C 的坐标是(3,2)
圆心为C 的圆的半径长
r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5
所以,圆心为C 的圆的标准方程是
(x 3)2 (y 2)2 25
小结
1.圆的标准方程的结构特点.
2.点与圆的位置关系的判定.
3.求圆的标准方程的方法: ①待定系数法;②代入法.
表示点(2,3)
(3)x2 y2 4x 6 y 15 0
(x 2)2 ( y 3)2 2 不表示任何图形
比较
圆的一般方程和圆的标准方程各有什么特点? 圆的一般方程的特点 :
(1)x2、y2 的系数相同,都不为0. (2)没有形如xy的二次项.
圆的一般方程与圆的标准方程各有特点: (1)圆的标准方程带有明显的几何的影
例3 已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2), 且圆心C 在直线上l:x - y+1=0,求圆心为C 的圆的标
准方程.
分析:如图,确定一个圆只需确定圆心位置与半
径大小.圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),由 于圆心C 与A,B 两点的距离相等,所以圆心C 在线段 AB 的垂直平分线 l '上.又圆心C 在直线l 上,因此圆 心C 是直线 l 与直线 l ' 的交点,半径长等于|CA|或
一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象 台的台风预报:台风中心位于轮船正西70km处,受 影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口 位于台风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航 线,那么它是否会受到台风的影响?
为解决这个问题,我们
以台风中心为原点O,东西 方向为x 轴,建立如图所
示的直角坐标系,其中, 取10km为单位长度.
如图,因为直线l 被圆所截得的弦长是 4 5,所以弦心距为
52 (4 5)2 5 2
即圆心到所求直线的距离为 5
因为直线l 过点 M (3,3) ,所以可设所求直线l
的方程为
y 3 k(x 3)
即
kx y 3k 3 0
根据点到直线的距离公式,得到圆心到直线 l 的
距离
d | 2 3k 3 | k2 1
方法(方法一)了
x1 把2, x2 1代入方程① ,得 y2 3.
所以,直线 l 与圆有两个交点,它们的坐标分别是
A(2,0),B(1,3)
例2 已知过点 M (3,3)的直线被圆
x2 y2 4y 21 0所截得的弦长为 4 5,
求直线的方程.
解:将圆的方程写成标准形式,得
x2 (y 2)2 25
(2)直线与圆相切,只有一个公共点; (3)直线与圆相离,没有公共点.
d<r
d=r
d>r
例1 如下图,已知直线l:3x y 6 0和圆心
为C 的圆 x2 y2 2y 4 0 ,判断直线l与圆的位
置关系;如果相交,求它们交点的坐标.
分析:方法一代数法:判断直线l与圆的位置关
系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解; 方法二几何法:可以依据圆心到直线的距离与半
因此
| 2 3k 3 | 5 k2 1
即
| 3k 1| 5 5k 2
两边平方,并整理得到
2k 2 3k 2 0
解得
k 1,或k 2 2
所以,所求直线l有两条,它们的方程分别为
y 3 1 (x 3) 或 y 3 2(x 3)
2
即 x 2y 9 0,或2x y 3 0
如图,在直角坐标系中,圆心(点)A的位置
用坐标(a,b)表示,半径 r 的大小等于圆上任意
点M(x, y)与圆心A (a,b)的距离.
y
M(x,y)
OC
x
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r2
OC
x
标准方程
特别地,若圆心为O(0,0),则圆的方程为:
x2 y2 r2
1.设点M(x0,y0)为圆x2+y2=r2上一点,如何求 过点 M 的圆的切线方程?
y
M
o
x x0x+y0y=r2
2.设点M(x0,y0)为圆 x2+y2 = r2 外一点,如何 求过点M的圆的切线方程?
y
M
o
x
小结
1.直线和圆的位置关系的判断 代数法 解直线和圆方程联立的方程组 几何法 圆心到直线的距离和半径的关系
待定系数法
例2 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4 上运动,求线段AB的中点M 的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例2 方程 x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0 表示的图形是一个圆,求a 的取值范围.
小结
1.圆的一般方程的结构特点. 2.用配方法化一般方程为标准方程.
子,圆心和半径一目了然. (2)圆的一般方程表现出明显的代数的
形式与结构,更适合方程理论的运用.
例1 求过三点O(0,0),A(1,1),B(4, 2)的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心坐标.
解:设所求圆的方程为:
x2 y2 Dx Ey F 0
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(x 1)2 ( y 2)2 1
第一个方程表示以(1,-2)为圆心,2为半径 长的圆. 第二个方程没有实数解,不存在点的坐标 (x,y)满足这个方程,它不表示任何图形.
方程 x2 y2 Dx Ey F 0在什么条件
下表示圆?
x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
其圆心C 的坐标为(0,1),半径长为 5 ,点C (0,
1)到直线 l 的距离
d |3016| 5 5
32 12
10
所以,直线l与圆相交,有两个公共点.
由 x2 3x 2 0 ,解得 判断直线与圆的位置关系常
x1 2, x2 1 用几何法(方法二),但如 把 x1 2,代x入2 方1程①,得果求y1交点0坐;标就最好用代数
港口
O
轮船
这样,受台风影响的圆区域
所对应的圆心为O 的圆的方程为
港口
x2 y2 9
O
轮船
轮船航线所在直线 l 的方程为
4x 7 y 28 0
问题归结为圆心为O 的圆与直线 l 有无公共点.
想一想,平面几何中,直线与圆有哪几种位置关系?
平面几何中,直线与圆有三种位置关系: (1)直线与圆相交,有两个公共点;
圆的标准方程
已知圆的圆心为C(a,b),半径为r,求圆的方程.
解:设点M (x,y)为圆C上任一点,
y
圆上所有点的集合
M(x,y)
P = { M | |MC| = r }
(x a)2 (y b)2 r
OC
x
(x a)2 (y b)2 r2
在直角坐标系中,已知点M(x0,y0)和圆C:
(x a)2 ( y b)2 r2,如何判断点M在圆外、圆上、 圆内?
其中 D2 E2 4F 0
圆心
-
D 2
,
E 2
r D2 E2 4F 2
练习
判断下列方程是不是表示圆
(1)x2 y2 4x 6 y 4 0
(x 2)2 ( y 3)2 9
表示以(2,3)为圆心,以3为半径的圆
(2)x2 y2 4x 6 y 13 0
(x 2)2 ( y 3)2 0 x 2, y 3
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
(1)当 D2 E2 4F 0 时,表示圆,
圆心
-
D 2
,
E 2
(2)当 D2 E2 4F
r D2 E2 4F 2
0 时,表示点
-
D 2
,
E 2
(3)当 D2 E2 4F 0 时,不表示任何图形
圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0
上,所以它们的坐标都满足圆的方程,于是
(5 a)2 (1 b)2 r 2 (7 a)2 (3 b)2 r 2 (2 a)2 (8 b)2 r 2
解此方程组,得
a 2, b 3, r 2 25.
所以,ABC 的外接圆的方程是
(x 2)2 ( y 3)2 25
结论:在平面直角坐标系中,已知三个点的 坐标可以确定一个圆的方程
3.求圆的一般方程的方法: ①待定系数法;②代入法.
小结:求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 (两条直线的交点) (常用弦的中垂线)
待定系数法
设方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 (或x2 y2 Dx Ey F 0)
求半径 (圆心到圆上一点的距离)
列关于a,b,r(或D,E,F) 的方程组
4.1 圆的方程
主要内容
4.1.1 圆的标准方程 4.1.2 圆的一般方程
4.1.1 圆的标准方程
在平面直角坐标系中,两点确定一条直线, 一点和倾斜角也能确定一条直线.
在平面直角坐标系中,如何确定一个圆呢?
平面内到定点的距离等于定长的点的集合.
·r
C
定点 定长
圆心 半径
当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确 定了.因此一个圆最基本要素是圆心和半径.
方程,并判断点 M1(5,7) 是否在这个圆上.
,M 2 (
5,1)
解: 圆心是 A(2,3) ,半径长等于5的圆的标 准方程是 (x 2)2 (y 3)2 25
把 M1(5,7) 的坐标代入圆的方程,左右两边相 等,点 M 1 的坐标适合圆的方程,所以点 M 1 在这 个圆上;
把点 M 2 ( 5,1) 的坐标代入方程,左右两边不 相等, 点M 2 的坐标不适合圆的方程,所以点M 2 不在这个 圆上.