方差与标准差

浙教版八年级（下）

方差和标准差

一、教学目标

1、了解方差、标准差的概念

2、会求一组数据的方差、标准差，并会用它们表示数据的离散程度

3、能用样本的方差来估计总体的方差

二、教学重难点

1、重点：方差的概念和计算

2、难点：方差如何表示数据的离散程度

三、教学过程

环节一、合作学习，情境引入

A、B两人近五次数学测试（满分10分）成绩统计如下：

（播放第一张幻灯片）

问（一）：现要从这两人中挑选一个人参加比赛，你们觉得选哪个人比较合适？为什么？

（引导学生发现从平均数、中位数角度无法作出判断，众数角度也不够有说服力，需要寻找新的数据作出判断。）

（播放第二张幻灯片）

问（二）：把A和B的成绩绘制成折线统计图，你发现了什么？

（引导学生感受B的成绩波动比较大，不够稳定，A的成绩波动比较小，比较稳定。）追问：如果想要最稳定的状态的话，每次测试成绩最好怎样呢？

（引导学生选择平均数8作基准）

环节二、方差公式的探究

问（三）：在描述事物的时候，我们希望能够量化，而不是我感觉A的成绩比较稳定所以选A比较合适。现在用数据来说话，我们来研究A、B的成绩与平均成绩8分的偏差情况。

黑板板书：

追问1：将偏差相加得0，发现各自都抵消了，看不出A、B的波动程度的区别。怎么避免这种相互抵消的情况？

（引导学生发现负偏差影响了结果，从而想办法使负偏差转化成正偏差：取绝对值或平方。）

黑板板书（绝对值）：

A：相加为2；B：相加为8

黑板板书（平方）：

A：相加为2；B：相加为16

追问2：绝对值也可以体现出A、B的差别，为什么我们最终是选择了用平方来量化A、B的区别的呢？

（学生回答：“平方能够使差距变大”，教师补充：网上关于选用平方的原因是“程序员在对于数据处理，要编写程序的时候，平方更加方便处理”。）

追问3：我们从这五个数据与其平均数的偏差的平方和可以看出，A偏差平方和小于B，

从折现统计图中也看出A 的波动程度小于B ，稳定性比B 好，那么偏差的平方和的大小与稳定性有什么联系？（请学生回答，得出偏差的平方和越小，稳定性越好）

追问4：现在A 的时间比较充裕，多测试了几次，测试成绩还是7 8 8 8 9（一组数据），那么A 的偏差的平方和为多少？（学生齐声回答：4）

如果给A 增加了20组一模一样的数据数据，偏差的平方和为多少？跟B 的偏差的平方和相比呢？

此时发现A 的偏差的平方和反而大于B ，但是从折现统计图上来看，仍然是A 的波动程度小于B ，稳定性比B 好。怎么解决“在样本容量不同的情况下比较偏差情况”这个问题？

（学生可能会回答将B 的数据变多，教师引导学生取偏差的平方和的平均数）

环节三、方差及标准差的概念及运算步骤 问（四）：如何用字母总结上述探究过程？ 对于一组数据21x x ，，·，n x ： 第一步：求平均数：x ；

第二步：求偏差：x x -1，x x -2，·

，x x n -； 第三步：解决正负偏差相抵消的问题：()(

)

()

2

2

221x x x x x x n -+⋅⋅⋅+-+-；

第四步：解决数据越多，总和越大的问题：()()()

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡-+⋅⋅⋅+-+-222211

x x x x x x n n

因此我们用()()()

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡

-+⋅⋅⋅+-+-=

2222121x x x x x x n S n 来衡量数据的稳定性，叫做方差，

同时方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定

（板书方差公式）

问（五）：请同学们计算以下几组数据的方差，并观察方差与原数据的单位，你发现了什么？（播放第三张幻灯片）

（引导学生发现：1、方差与原数据的单位不同；2、平方后夸大了偏离的程度） 为了使单位保持一致，人们引入了标准差。 （板书标准差公式）

环节四：方差公式的应用与拓展 （播放第四张幻灯片）

问（五）：现在将B 的成绩都加上90分，让学生在纸上画出折线统计图，跟之前做的图进行对比，发现两张图上的波动性一样，难道每个数据加上相等的数，方差不变？

（播放第五张幻灯片）

让学生计算三组数据的平均数、方差以及标准差，并得出结论。观察第一组和第二组数据：每个数都加了10，平均数加了10，方差和标准差不变，观察第一组和第三组数据：每个数都扩大3倍，平均数扩大3倍，方差扩大9倍，标准差扩大3倍。

（播放第六张幻灯片）

由特殊到一般，有一组数据21a a ，，·，n a 的平均数为x ，方差为y ，则 3321++a a ，，·，3+n a 的平均数、方差及标准差为多少？ 3321--a a ，，·，3-n a 的平均数、方差及标准差为多少？ 13a ，23a ，·

，n a 3的平均数、方差及标准差为多少？ 321-a ，322-a ，·

，32-n a 的平均数、方差及标准差为多少？

环节五：小结

平均数与方差的区别：平均数、众数、中位数都是反映一组数据的总体趋势（集中程度）的指标；方差、标准差则是反映一组数据离散程度（稳定性）的指标。

平均数与方差的联系：计算方差的步骤“先平均，后求差，平方后，再平均”。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。