数据包络分析DEA教程(西安交大)
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（3）如果不存在λj*（j＝1，2，…，n）使得∑λj*＝1，若 ∑λj*＞1，则DMU为规模收益递减
CCR模型的计算：
1952年，Charnes通过引入具有非阿基米德无穷小量ε，成功的
解决了计算和技术上的困难，建立了具有非阿基米德无穷小量ε的
CCR模型：
m
min (
• 设 定理3
0
0
设 xi
j0
x0 ij 0
S
i
, yrj0
yrj0 S r
其中
S
r
0
,
S
0
i
,
0 是决策单元j0对应的线性规划（D）的
最优解,则(
,
xi j0
y
rj
0
)为DMUj0对应的(x0,y0)在DEA的相对有效
面上的投影,它是DEA有效的
三、 DEA应用案例
vi
.. .
.
. Xij … .
. . . . . . ….
vm
m xm1 xm2 xm3 … xmj … xmn
n个 决策单元 （DMU）
m种输入
y11 y12 y13 … y1j … y1n
1
u1
y21 y22 y23 … y2j … y2n 2
u2
. . . . . …. .
...
. yrj … .
以天津为例，为得到同样的总产值和财政收入，输入可减少到：
三、 DEA应用案例
2. 对经济效益的评价
--侯风华，张在旭，徐青.DEA方法在石油企业经济效益评价中的应用. 系统工程理论方法应用[J]2000.3：252-257
➢ 设研究对象为11个油田,将这11个油田简记为DMUj (j=1,2,…,11)
➢ 输入指标的选取：投资总额 ；职工总数； 销售成本；固定资产原值
➢ 输出指标的选取：原油产量(含天然气)；利税总额； 新增探明储量(含天然气)
CCR模型的解
CCR模型的解
根据上述的DEA有效性的判别定理,可知: • (1)达到DEA有效的DMU分别为：
DMU1,DMU2,DMU4,DMU7,DMU9,DMU11 • (2)非DEA有效的DMU分别为：
• （3） θ*＜1，决策单元j0不是DEA有效，经济活动既不是 技术效率最佳，也不是规模最佳
DEA有效性的定义：
还可以用CCR模型中的λj判断DMU的规模收益情况： （1）如果存在λj*（j＝1，2，…，n）使得∑λj*＝1，则
DMU为规模收益不变
（2）如果不存在λj*（j＝1，2，…，n）使得∑λj*＝1，若 ∑λj*＜1，则DMU为规模收益递增
.
ur
. . . . . …. .
ys1 ys2 ys3 … ysj … ysn s
us
权系数 s种输出
各字母定义如下：
• xij-------- 第j个决策单元对第i种类型输入的投入总量.xij〉0 • yrj-------- 第j个决策单元对第r种类型输出的产出总量.yrj〉0 • vi -------- 对第i种类型输入的一种度量，权系数 • ur -------- 对第r种类型输出的一种度量，权系数 • i ----------1,2,…,m • r ----------1,2,…,s • j ----------1,2,…,n
• 4.技术进步: 江淮汽车,中国全要素生产率估算与分析
农业创新系统,各省劳动生产率
• 5.其他方面: 衰退产业识别,物流园区投资规划,方案评价
北京市可持续发展能力，作业分析
六、 DEA最新研究进展
➢ DEA的理论模型扩展 1.BBC模型、FG模型、ST模型→综合DEA模型 2.具有无穷多个决策单元的DEA模型 3.带有“‘偏好锥”和“偏袒锥”的DEA模型 4.带有时间变量的DEA模型、有效区分DMU
➢ DEA方法假定每个输入都关联到一个或者多个输出，且输 入输出之间确实存在某种联系，但不必确定这种关系的显 示表达式
二、 DEA基本原理和模型
定义：
权系数
1 2 3 … j …n
v1
1 x11 x12 x13 … x1j … x1n
v2
2 x21 x22 x23 … x2j … x2n
. . . . . . ….
非阿基米德无穷小量
CCR模型中变量的经济含义:
• λj使各个有效点连接起来,形成有效前沿面;非零的s+、s-使 有效前沿面可以沿水平和垂直方向延伸,形成包络面。
• 在实际运用中,对松弛变量的研究是有意义的,因为它是一 种纯的过剩量(s-)或不足量(s+)，θ则表示DMU离有效前沿 面或包络面的一种径向优化量或“距离”
➢ DEA与其它方法的结合应用于综合评价： 1.DEA与模糊数学理论的结合 2.DEA与主成分析法（因子分析法）的结合 3. DEA与计量经济方法的结合（计量模型、Tobit分析）
七、 DEA主要参考文献
• 1.魏权龄. 数据包络分析.[M]北京：科学出版社，2006 • 2.盛昭翰.DEA理论、方法与应用.[M]北京：科学出版社，
执行程序
说明文档
输入文档 程序参数设定
输出文档
5个DMU 1个产出 2个投入 1年资料
5个DMU 1个产出 1个投入
1个产出 2个投入 2个投入价格 1年资料
1个产出 1个投入 3年资料
程序参数设定，用“记事本”打开 设定后，以“另存新档”方式存档，扩展名为“ins”
5个DMU 1年资料 1个产出 2个投入
应用DEA方法对经济体 效率的评价
西安交大经济管理学院
目 录：
一、 DEA方法简介 二、 DEA基本原理和模型 三、 DEA应用案例 四、 DEA软件介绍 五、 DEA主要应用领域 六、 DEA最新研究进展 七、DEA主要参考文献
一、 DEA方法简介
数据包络分析方法（ DEA，Data Envelopment Analysis ）由Charnes、Coopor和Rhodes于1978年提出， 该方法的原理主要是通过保持决策单元（DMU, Decision Making Units） 的输入或者输入不变，借助于数 学规划和统计数据确定相对有效的生产前沿面，将各个决 策单元投影到DEA的生产前沿面上，并通过比较决策单元 偏离DEA前沿面的程度来评价它们的相对有效性。
• 上述规划模型是一个分式规划，使用Charnes－Cooper变 化，令：
t
1 vT x0
,
w
tv,
tu
由t
1 vt x0
wt x0
1
可变成如下的线性规划模型P：
max hj0 T yo
（P）
s.t.wT x j T y j 0, j 1,2, n
wT x0 1
✓ 2.FRONTIER-Version 4.1C
http://www.une.edu.au/econometrics/cepa.htm ✓ 3.Efficiency Measurement System - Version 1.3.0 http://www.wiso-uni-dortmund.de/lstg/or/scheel/ems/ ✓ 4.LINDO软件
1.对生产水平的相对有效性分析 --梁敏. 边馥萍.生产水平的相对有效性分析. 数量经济技术经济研究[J]2003.9：91-94
利用含有非阿基米德无穷小ε的CCR模型，对北京地 区建立如下模型：
同样建立其他三个直辖市的模型，求得的解如下：
由定理3可知，对于非DEA有效的DMU，可将其投影 到DEA有效面，即把非DEA有效的DMU变成有效的DMU
DMU3,DMU5,DMU6,DMU8,DMU10 • (3)非DEA有效的DMU按定理3进行投影计算结果如后
投影分析结果:
四、 DEA软件介绍
✓ 1.DEAP-Version 2.1（Win4deap 1.1.2）
http://www.une.edu.au/econometrics/cepa.htm
j 1
（D）
n
j y j s y0 j 1
j 0, j 1,2, n
无约束，s 0, s 0
将上述规划（D）直接定义为规划（P）的对偶规划
几个定理和定义：
• 定理 1 线性规划（P）和对偶规划（D）均存在可行解， 所以都存在最优值。假设它们的最优值为别为hj0*与θ*， 则有hj0*＝ θ*
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j 1
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j 0
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源自文库
0, s
0
最优解为 0 ， 0 ， s0 ，s0
注：对于 a 0及N 0，都有N * a，则即为
定义1 若线性规划（P）的最优值hj0*＝1，则称决策单元 DMUj0为弱DEA有效
定义2 若线性规划（P）的解中存在w*＞0，μ* ＞0， 并且最优值hj0*＝1，则称决策单元DMUj0为DEA有效的
• 定理2 DMUj0 为弱DEA有效的充要条件是线性规划 （D）的最优值θ*＝1； DMUj0为DEA有效的充要条件是 线性规划（D）的最优值θ*＝1，并且对于每个最优解λ*， 都有s*＋＝0，s*-＝0
• 如以第j0个决策单元的效率指数为目标，以所有决策单元 的效率指数为约束，就构造了如下的CCR（C2R）模型：
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max hjo
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1, j 1,2, n
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j 0, j 1,2, n
无 约 束
• 为了讨论和计算应用方便，进一步引入松弛变量s＋和
剩余变量s－，将上面的不等式约束变为等式约束，可
变成：
min
n
s.t.
j x j s x0
DEA有效性的定义：
我们能够用CCR模型判定是否同时技术有效和规模有效：
• （1）θ*＝1，且s*＋＝0，s*-＝0。则决策单元j0为DEA有 效，决策单元的经济活动同时为技术有效和规模有效
• （2）θ*＝1，但至少某个输入或者输出大于0，则决策单 元j0为弱DEA有效，决策单元的经济活动不是同时为技术 效率最佳和规模最佳
程序参数设置文件名.ins
五、 DEA主要应用领域
• 1.经济体效率评价： 企业效率，银行效率, 铁路运营
地区FDI引进效率,投资基金业绩
中国各地区健康生产效率
• 2.运行过程评价: 并购效率, 电力改革绩效，钢铁行业
• 3.规模效率:
中国轿车企业规模经济效率，
科研机构规模效益, 寿险公司规模效率
输出-多输入的有效性评价方面具有绝对优势 ➢ DEA方法并不直接对数据进行综合，因此决策单元的最优
效率指标与投入指标值及产出指标值的量纲选取无关，应 用DEA方法建立模型前无须对数据进行无量纲化处理（当 然也可以）
DEA方法的特点：
➢ 无须任何权重假设，而以决策单元输入输出的实际数据求 得最优权重，排除了很多主观因素，具有很强的客观性
DEA方法以相对效率概念为基础，以凸分析和线形规 划为工具的一种评价方法，应用数学规划模型计算比较决 策单元之间的相对效率，对评价对象做出评价，它能充分 考虑对于决策单元本身最优的投入产出方案，因而能够更 理想地反映评价对象自身的信息和特点；同时对于评价复 杂系统的多投入多产出分析具有独到之处。
DEA方法的特点： ➢ 适用于多输出-多输入的有效性综合评价问题，在处理多
w 0, 0
• 利用线性规划的最优解来定义决策单元j0的有效性，从 模型可以看出，该决策单元j0的有效性是相对其他所有决 策单元而言的。
• 对于CCR模型可以用规划P表达，而线性规划一个重要 的有效理论是对偶理论，通过建立对偶模型更容易从理论 和经济意义上作深入分析
• 规划P的对偶规划为规划D/：
• 对于每一个决策单元DMUj都有相应的效率评价指数：
s
hj
uT yi vT x j
ur yrj
r 1 m
vi xij
,
j 1, 2,K
,n
i 1
我们总可以适当的取权系数v和u，使得 hj≤1, j=1,…，n
• 对第j0个决策单元进行效率评价，一般说来，hj0越大表 明DUMj0能够用相对较少的输入而取得相对较多的输出。 这样我们如果对DUMj0进行评价，看DUMj0在这n个 DMU中相对来说是不是最优的，我们可以考察当尽可能 的变化权重时， hj0的最大值究竟是多少。
CCR模型的计算：
1952年，Charnes通过引入具有非阿基米德无穷小量ε，成功的
解决了计算和技术上的困难，建立了具有非阿基米德无穷小量ε的
CCR模型：
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• 设 定理3
0
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j0
x0 ij 0
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其中
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0 是决策单元j0对应的线性规划（D）的
最优解,则(
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)为DMUj0对应的(x0,y0)在DEA的相对有效
面上的投影,它是DEA有效的
三、 DEA应用案例
vi
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.
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. . . . . . ….
vm
m xm1 xm2 xm3 … xmj … xmn
n个 决策单元 （DMU）
m种输入
y11 y12 y13 … y1j … y1n
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. . . . . …. .
...
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以天津为例，为得到同样的总产值和财政收入，输入可减少到：
三、 DEA应用案例
2. 对经济效益的评价
--侯风华，张在旭，徐青.DEA方法在石油企业经济效益评价中的应用. 系统工程理论方法应用[J]2000.3：252-257
➢ 设研究对象为11个油田,将这11个油田简记为DMUj (j=1,2,…,11)
➢ 输入指标的选取：投资总额 ；职工总数； 销售成本；固定资产原值
➢ 输出指标的选取：原油产量(含天然气)；利税总额； 新增探明储量(含天然气)
CCR模型的解
CCR模型的解
根据上述的DEA有效性的判别定理,可知: • (1)达到DEA有效的DMU分别为：
DMU1,DMU2,DMU4,DMU7,DMU9,DMU11 • (2)非DEA有效的DMU分别为：
• （3） θ*＜1，决策单元j0不是DEA有效，经济活动既不是 技术效率最佳，也不是规模最佳
DEA有效性的定义：
还可以用CCR模型中的λj判断DMU的规模收益情况： （1）如果存在λj*（j＝1，2，…，n）使得∑λj*＝1，则
DMU为规模收益不变
（2）如果不存在λj*（j＝1，2，…，n）使得∑λj*＝1，若 ∑λj*＜1，则DMU为规模收益递增
.
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ys1 ys2 ys3 … ysj … ysn s
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权系数 s种输出
各字母定义如下：
• xij-------- 第j个决策单元对第i种类型输入的投入总量.xij〉0 • yrj-------- 第j个决策单元对第r种类型输出的产出总量.yrj〉0 • vi -------- 对第i种类型输入的一种度量，权系数 • ur -------- 对第r种类型输出的一种度量，权系数 • i ----------1,2,…,m • r ----------1,2,…,s • j ----------1,2,…,n
• 4.技术进步: 江淮汽车,中国全要素生产率估算与分析
农业创新系统,各省劳动生产率
• 5.其他方面: 衰退产业识别,物流园区投资规划,方案评价
北京市可持续发展能力，作业分析
六、 DEA最新研究进展
➢ DEA的理论模型扩展 1.BBC模型、FG模型、ST模型→综合DEA模型 2.具有无穷多个决策单元的DEA模型 3.带有“‘偏好锥”和“偏袒锥”的DEA模型 4.带有时间变量的DEA模型、有效区分DMU
➢ DEA方法假定每个输入都关联到一个或者多个输出，且输 入输出之间确实存在某种联系，但不必确定这种关系的显 示表达式
二、 DEA基本原理和模型
定义：
权系数
1 2 3 … j …n
v1
1 x11 x12 x13 … x1j … x1n
v2
2 x21 x22 x23 … x2j … x2n
. . . . . . ….
非阿基米德无穷小量
CCR模型中变量的经济含义:
• λj使各个有效点连接起来,形成有效前沿面;非零的s+、s-使 有效前沿面可以沿水平和垂直方向延伸,形成包络面。
• 在实际运用中,对松弛变量的研究是有意义的,因为它是一 种纯的过剩量(s-)或不足量(s+)，θ则表示DMU离有效前沿 面或包络面的一种径向优化量或“距离”
➢ DEA与其它方法的结合应用于综合评价： 1.DEA与模糊数学理论的结合 2.DEA与主成分析法（因子分析法）的结合 3. DEA与计量经济方法的结合（计量模型、Tobit分析）
七、 DEA主要参考文献
• 1.魏权龄. 数据包络分析.[M]北京：科学出版社，2006 • 2.盛昭翰.DEA理论、方法与应用.[M]北京：科学出版社，
执行程序
说明文档
输入文档 程序参数设定
输出文档
5个DMU 1个产出 2个投入 1年资料
5个DMU 1个产出 1个投入
1个产出 2个投入 2个投入价格 1年资料
1个产出 1个投入 3年资料
程序参数设定，用“记事本”打开 设定后，以“另存新档”方式存档，扩展名为“ins”
5个DMU 1年资料 1个产出 2个投入
应用DEA方法对经济体 效率的评价
西安交大经济管理学院
目 录：
一、 DEA方法简介 二、 DEA基本原理和模型 三、 DEA应用案例 四、 DEA软件介绍 五、 DEA主要应用领域 六、 DEA最新研究进展 七、DEA主要参考文献
一、 DEA方法简介
数据包络分析方法（ DEA，Data Envelopment Analysis ）由Charnes、Coopor和Rhodes于1978年提出， 该方法的原理主要是通过保持决策单元（DMU, Decision Making Units） 的输入或者输入不变，借助于数 学规划和统计数据确定相对有效的生产前沿面，将各个决 策单元投影到DEA的生产前沿面上，并通过比较决策单元 偏离DEA前沿面的程度来评价它们的相对有效性。
• 上述规划模型是一个分式规划，使用Charnes－Cooper变 化，令：
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可变成如下的线性规划模型P：
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✓ 2.FRONTIER-Version 4.1C
http://www.une.edu.au/econometrics/cepa.htm ✓ 3.Efficiency Measurement System - Version 1.3.0 http://www.wiso-uni-dortmund.de/lstg/or/scheel/ems/ ✓ 4.LINDO软件
1.对生产水平的相对有效性分析 --梁敏. 边馥萍.生产水平的相对有效性分析. 数量经济技术经济研究[J]2003.9：91-94
利用含有非阿基米德无穷小ε的CCR模型，对北京地 区建立如下模型：
同样建立其他三个直辖市的模型，求得的解如下：
由定理3可知，对于非DEA有效的DMU，可将其投影 到DEA有效面，即把非DEA有效的DMU变成有效的DMU
DMU3,DMU5,DMU6,DMU8,DMU10 • (3)非DEA有效的DMU按定理3进行投影计算结果如后
投影分析结果:
四、 DEA软件介绍
✓ 1.DEAP-Version 2.1（Win4deap 1.1.2）
http://www.une.edu.au/econometrics/cepa.htm
j 1
（D）
n
j y j s y0 j 1
j 0, j 1,2, n
无约束，s 0, s 0
将上述规划（D）直接定义为规划（P）的对偶规划
几个定理和定义：
• 定理 1 线性规划（P）和对偶规划（D）均存在可行解， 所以都存在最优值。假设它们的最优值为别为hj0*与θ*， 则有hj0*＝ θ*
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源自文库
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最优解为 0 ， 0 ， s0 ，s0
注：对于 a 0及N 0，都有N * a，则即为
定义1 若线性规划（P）的最优值hj0*＝1，则称决策单元 DMUj0为弱DEA有效
定义2 若线性规划（P）的解中存在w*＞0，μ* ＞0， 并且最优值hj0*＝1，则称决策单元DMUj0为DEA有效的
• 定理2 DMUj0 为弱DEA有效的充要条件是线性规划 （D）的最优值θ*＝1； DMUj0为DEA有效的充要条件是 线性规划（D）的最优值θ*＝1，并且对于每个最优解λ*， 都有s*＋＝0，s*-＝0
• 如以第j0个决策单元的效率指数为目标，以所有决策单元 的效率指数为约束，就构造了如下的CCR（C2R）模型：
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• 为了讨论和计算应用方便，进一步引入松弛变量s＋和
剩余变量s－，将上面的不等式约束变为等式约束，可
变成：
min
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DEA有效性的定义：
我们能够用CCR模型判定是否同时技术有效和规模有效：
• （1）θ*＝1，且s*＋＝0，s*-＝0。则决策单元j0为DEA有 效，决策单元的经济活动同时为技术有效和规模有效
• （2）θ*＝1，但至少某个输入或者输出大于0，则决策单 元j0为弱DEA有效，决策单元的经济活动不是同时为技术 效率最佳和规模最佳
程序参数设置文件名.ins
五、 DEA主要应用领域
• 1.经济体效率评价： 企业效率，银行效率, 铁路运营
地区FDI引进效率,投资基金业绩
中国各地区健康生产效率
• 2.运行过程评价: 并购效率, 电力改革绩效，钢铁行业
• 3.规模效率:
中国轿车企业规模经济效率，
科研机构规模效益, 寿险公司规模效率
输出-多输入的有效性评价方面具有绝对优势 ➢ DEA方法并不直接对数据进行综合，因此决策单元的最优
效率指标与投入指标值及产出指标值的量纲选取无关，应 用DEA方法建立模型前无须对数据进行无量纲化处理（当 然也可以）
DEA方法的特点：
➢ 无须任何权重假设，而以决策单元输入输出的实际数据求 得最优权重，排除了很多主观因素，具有很强的客观性
DEA方法以相对效率概念为基础，以凸分析和线形规 划为工具的一种评价方法，应用数学规划模型计算比较决 策单元之间的相对效率，对评价对象做出评价，它能充分 考虑对于决策单元本身最优的投入产出方案，因而能够更 理想地反映评价对象自身的信息和特点；同时对于评价复 杂系统的多投入多产出分析具有独到之处。
DEA方法的特点： ➢ 适用于多输出-多输入的有效性综合评价问题，在处理多
w 0, 0
• 利用线性规划的最优解来定义决策单元j0的有效性，从 模型可以看出，该决策单元j0的有效性是相对其他所有决 策单元而言的。
• 对于CCR模型可以用规划P表达，而线性规划一个重要 的有效理论是对偶理论，通过建立对偶模型更容易从理论 和经济意义上作深入分析
• 规划P的对偶规划为规划D/：
• 对于每一个决策单元DMUj都有相应的效率评价指数：
s
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j 1, 2,K
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我们总可以适当的取权系数v和u，使得 hj≤1, j=1,…，n
• 对第j0个决策单元进行效率评价，一般说来，hj0越大表 明DUMj0能够用相对较少的输入而取得相对较多的输出。 这样我们如果对DUMj0进行评价，看DUMj0在这n个 DMU中相对来说是不是最优的，我们可以考察当尽可能 的变化权重时， hj0的最大值究竟是多少。