第6章相对论基础-1

解：原时
∆t =10 s
u = 30 ms
−1
∆t′ =
∆t
1−(
u 2 c
)
= 10 + 5 × 10
− 14
s
太小，不易察觉！
u = 0.9998 c
∆ t = 10 s
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∆ t ′ = 500 s
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三、长度收缩
S： 2l 往返历时 ∆ t =
c
c
bS
l
r u
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二、时间膨胀
¨
S
b b
c d
r u
2d ∆t = c
¨
S
c b
′l
u ⋅ ∆t ′
2
′ l d 2l ′ ∆ t′ = c
原时：同一地 点的钟所测得 时间间隔
b
2
c
S′ ¨ (u ∆
b ¨
¨
2 2 ′ t ) = (4 c∆l t′′2) − − (d c∆ t)
l ′ = 8 .5 ± 0 .6 m
相对论考虑 时间膨胀
τ
为原时——最短
实验室测得运动的π+介子平均寿命
τ′=
τ
1 − 0 . 75 2
= 1 . 51τ
算 得
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l ′ = v τ ′ = 8 . 83 m
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例题：列车以108公里的时速相对地面作匀
速运动。地面一事件历时10s，在车上参 照系测得此事件历时多久？
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例题 在地面测得两枚静长为20m 的火箭 A、B以 0.9 c 的速度背向飞行。求：在火箭 A上测 量火箭 B 的速度和长度？ y S y' S' 解：设地球—S 系 u = 0.9c v x = −0.9c A—S'系 x' x B A
静长L=20m，在相对速度为9.995c 的惯性系中长度
速 c 与光源的运动状态无关。
经典力学 定律必须 修改！
S.R. ：不同的观察者看来，空间、时间必定不一 样——运动的钟变慢，运动的尺变短；质量 随速度而变化，能量的释放带走了质量。
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比 较
与参考系无关 经 典 与参考系有关
∆t
S.R.
c
∆x m
v
∆t ∆ x m
2
x=
x ′ + ut ′
1 − (β )
u c
2
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6.4 时钟效应与长度收缩 一、“ 同时” 的相对性 r
u
u∆t

B B
S S'
A ABiblioteka Baidu

c
c
bb b

在 S 系 测：光信号到达A、B 的事件同时发生。 在S' 系测：光信号传播过程中，车又往前开了 u∆t ——先到A，后到B。
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6.2
光 速
一、迈克耳孙-莫雷实验 绝对参考系中光速各向同性—— 运动参考系
c
c±u
c 2 + u2
沿运动方向 —— 垂直运动方向——
c +u
2
2
c
u
c+u c−u
理论计算，实验装置旋 转 90o ， 干 涉 条 纹 将 有 3/4条纹宽度的移动，应 当能观察到，但是，没 有——“零”的结果！
时空观的革命
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二、洛伦兹变换
y S y′ S ′
u
•
u 令 β ≡ c
P
ut
O
x'
x
O′
2 正 u ) 1 − (β c 变 t − cu x 换 t′ = 2 u x ) x′ 1 − (β c
2
x′ =
x − ut
z
z′
y′ = y z′ = z
反 u 2 β 1 − (c ) 变 t ′ + cu x ′ 换 t =
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二、伽利略变换的困难
1)19世纪成熟的电磁理论表明真空中光速c 是常量。
伽利略变换：以u 速度运动光源发出的光速不再是 c 。
2) Maxwell 方程组对伽利略变换非协变—— 通过电磁实验可以找到“绝对参照系” —— 但是实验一直没有找到。
甲
r u
球先动， 手后击？
u2 l′ = l 1− 2c 2
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DUT 余 虹
四、速度变换 y S y′ S′
u
S ：
Pz
O
vx
S' ：
dx vx = dt d x′ v ′x = d t′
γ ≡
′ = γ ( x − ut ) x ′ z ux ⎞ 1 ⎛ t′ = γ ⎜t − 2 ⎟ 2 1− β c ⎠ ⎝
O′
x x′
− 1.8c v ′x = = = − 0 . 995 c 2 (0.v −u 9 cx) 1 . 81 1− c2
L ′ = 20 L
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v u −0 .9c .9c x − 0
1 −0 . β 0995
2 2
= 8 .72 m
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物体沿任意方向运动
y S y′ S′
r r′
′
P
t′ = t
v′ x = vx − u v′y = v y v′ z = vz a′ x = ax a′y = a y a′ z = az
O r
x x′
伽利略变换
z
S S′
z r r F = m a r r F ′ = m ′a ′
r r a′ = a
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牛顿力学规律（包括动量 守恒定律、机械能守恒定律 等）在伽利略变换下形式不 变（协变、对称）。
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2
6.1 牛顿相对性原理和伽利略变换
对于不同的惯性系基本力学定律的形式一 样吗？牛顿力学：对于任何惯性系，牛顿 定律都成立！
伽利略相对性原理：
在一切惯性系中力学定律形式相同。
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3
这是牛顿天才 的一个标志！ 相对不同的参照系，长度和时间的 测量结果都一样吗？ 牛顿的绝对时空 观认为一样。
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例题：在 S ′系测得光信号速度为c，求在相对S′ 沿x 方向以u 匀速运动的 S 系测得光信号的速度。
y
S
S′
u
y′
c
光信号
S '：vx' S： v x
=c
=？
O
z
z′
O′
xx′ v
x
v c′x + u = =c u vc′x 1+ 2 c
！
不管 u 多大，在 S系中测得光速仍然 是 c —— 追赶光是徒劳的！c 是一切 物质运动的极限速率。
讨论： vx v'x 的关系
z
d x ′ = γ (d x − u d t ) dt = ud x ⎞ ⎛ d t′ = γ ⎜ d t − 2 ⎟ c ⎠ dt ⎝
物体沿x 方向运动
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vx − u v′ x = uv x 1− 2 c
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v ′y = v y v′ z = vz
′ + ∆ t2 ′ ∆ t ′ = ∆ t1
(
)
l′ = l 1− β
静长最长！
2
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思考
静止在S 系的几何图形，在S'系中讨论其形状
Sb
r
l
l l
450
x
r u
S'b
r′
l
l′ l′
2
l 2
θ′
l 2
1 − β
2
r ′ = r 1− β
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2
l ′ = l 1− β
L
乙
L L >∆t+ c c+u
静止球上 光信号传 到乙处
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被击后球上光信号 击球时间 传到乙处。
增大L 可能实现！
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6.3 S.R. 基本假设 和洛伦兹变换 一、 S.R. 基本假设
1、S.R.相对性原理——在一切惯
性系中物理定律形式相同。
2、光速不变原理——真空中的光
伽利略变换
变换 —— 不同参照系对同一运动 的描述之间的数学对应关系。
在两个惯性系中考察同一物理事件：t时刻，物体到达P点
y S r y′ S ′ u
r r
O
z
r r R = ut i
O′
z′
= t′ = 0 任意时刻 t = t ′ P r r r r r K : r = xi + yj + zk r′ r r r r x x ′ K ′ : r ′ = x ′i + y ′j + z ′k r r r r = R + r′
2
y ′y 1 − β d d v ′y = dt t− ′ udx udx ⎛d ⎜d t − 2 2 ⎝ 1− β c
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dt ⎞ ⎟ ⎠dt
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思 考
y S
u
y′ S ′
y′ S ′ y S
O′
r u x′
O
O′
x x′
z ′O
x
z
z′
z
2、S ′ 沿y 轴运动，洛伦 兹变换式怎样表示？
∆x = ∆x′ ∆ t = ∆ t′
那么，如何区别“普通时间”与绝对时间？如何从诸 多的惯性系中找到“绝对参照系”？牛顿说：“人类无 能为力，只有上帝知道！” 绝对时空不能观测，也不能用任何实验证明。但是， 它在理解牛顿定律中所起的巨大作用，迫使牛顿引进 这一概念。
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u
Pz
O
r r r r S： v = v x i + v y j + v z k r r r r S ′： v ′ = v ′x i + v y j + v ′ zk
O′
x x′
？ vz v′ z ↔
2
z
z′
vx − u v ′x = uv x 1− 2 c
v ′y = v 1− β y uv x 1− c2
1、S ′ 逆x 轴运动，洛伦 兹变换式怎样表示？
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作者
2007-6-10
余 虹
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S' ： 往∆t'1 返∆t'2
bS'
c
′ u∆t2
′ u∆t1
l′ l′ 2l ′ ∆t′ = + = c + u c −u c 1− β 2 ∆t ∆t′ = 1− β 2
l′
l′ ′ = ′ ∆ = l ′ − u∆ t 1 c∆tt11 c + u l′ ′2 ′ ′= c ∆ t2 ∆ =l ′ + u∆ t 2 c − u
(
)
∆t′ =
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∆t
1− β
2
原时最短！
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例题：π+介子静止时平均寿命 加速到
+ µ （衰变为 子与中微子）。用高能加速器把π+介子
τ = 2 . 6 × 10
−8
s
v = 0 .75 c 求：π+介子平均一生最长行程 。
解：按经典理论
实验室测得
l = v τ = 5 . 85 m
O O ′ 重合时 t
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约 定
r r u = u i ⇒ 常量
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y
r r r r = R + r′
K
′ K′ yr
r r r r r r xi + yj + zk = ( x ′ + ut )i + y ′j + z ′k
r r
r R = ut i O ′
u
x ′ = x − ut y′ = y z′ = z