2离散时间的动态最优化问题

第二讲：离散时间的最优化问题

一、对库恩－塔克条件的进一步说明

上一次讲的库恩塔克条件中的互为松弛条件是

0)]([2,1=-x x g a λ (15) 不等式约束实际上包括两种情况，一种是等式成立，另一种是不等式成立

对前一种情况，即在(15)式约束中，如果约束条件中的等号成立，则库恩塔克条件自然满足，即库恩塔克条件等价于用拉格朗日乘数法获得的最优化的一阶条件。

对后一种情况来说，如果约束条件中的等式不成立，则最优解必在区间内。这时，带有不等式约束的最优解与无约束解是一样的。根据最优化解的必要条件，则一阶偏导数必为零，即：

01

1＝x g x f ∂∂=∂∂λ （11）’ 且 02

2＝x g x f ∂∂=∂∂λ 根据隐函数存在定理的要求，

1x g ∂∂和2x g ∂∂不能同时为零。在经济学中，该条件一般是成立的，例如，消费者预算约束C bx ax x x g <+=2121),(, C>0, 而a, b 一般不会同时为0，所以，1x g ∂∂和2

x g ∂∂不同时为0, 则必有0＝λ。 所以，无论那种情况，库恩塔克条件都成立。

二、动态最优化问题

与静态最优化不同，动态最优化是指在一个随时间变化的过程中，选择一条随时间变化的路径，当变量沿着该路径变化时，目标函数达到最大值。因此，动态最优化问题与静态最优化问题的不同之处，主要在于静态最优化问题的解是一个点，于时间无关，而动态最优化问题的解是一条依赖于时间的路径，实际上是

一条曲线。一般来说，这类问题可以分两种情形讨论。第一种情形是时间是离散的，即将一段时间划分为几个不同的区间，有限个或无限个区间都可以。第二种情况是时间是连续的，要求一段时间的任意时刻目标函数达到最优解。

对于离散时间的最优化问题，一般来说，常用的方法有两种，一种是直接建立拉格朗日函数，用拉格朗日乘数法求解。另一种是建立一个贝尔曼（Bellman ）方程，将最优化问题变成一个两期问题求解。

对于连续时间的最优化问题，常用的方法也有两种，一种是变分法，是利用泛函分析的方法，把时间路径看成泛函问题的最优解。另一种方法是汉尔米顿（Hamilton ）法，事实上是拉格朗日乘数法的推广和变种。本节将首先讨论一下离散时间的最优化问题，而将连续时间的最优化问题留给下一讲。

下面，结合某些具体经济问题，理解离散最优化方法的思想和具体步骤。

三、离散时间最优化问题的两种解法（以消费资产定价模型为例）

1. 现代生命周期理论问题的提出

现代生命周期理论是有莫迪利安尼（1963）在50年代和60年代首先创立的，其最最初形式是确定性、非随机的。后来，在理性预期学派的影响下，大约在1978年，由霍尔（Robert. Hall ）成功地给出了生命周期函数的现代形式，即随机的生命周期函数。该理论解决了现时消费与未来消费或储蓄之间、同一时期不同类型储蓄资产之间的配置关系。为说明现代生命周期理论，做如下假设：

1) 消费者的偏好可以写成：

U t =E t {f(q 1, q 1，…，q t , …, q T )}

其中，U t 是t 时期的效用，E t 是在t 时期利用了所有可得到的信息的（理性）预期算子，q 1, q 1，…，q t , …, q T 是从时刻1到T 的消费品向量，f(•)是一个对各自变量均非递减的凹函数。该函数计算的效用是在确定性条件下从消费向量得到的，它代表了消费者一生中的消费效用，下标表示年龄的大小，1表示出生日，T 表示死亡日。因为决策是在面对未来的不确定情况下做出的，所以，用预期算子表示消费者目标是期望效用最大化。

2) 为了简单起见，设效用函数满足时际可加性条件，即U t 可以写成： U t =E t ∑=T

t r V t (q t )

由于效用函数是时际可分离的，所以一生效用极大化的含义可简化成两个问

题：第一步，求每个时期的子效用函数V t (q t )的极大化。因为整体的最优化必然对每个时期而言是最优的，否则，总可以通过对该时期的最优化加以改进。而在每个时期的最优化时，无需考虑跨时期的支出总量；第二步，考虑整个生命周期内总消费使总效用函数达到最大化。

第一步，要解决的问题是t 时期的效用最大化：

max V t (q t )

s.t. p t q t =C t

这是一个静态最优化问题。其中，p t 是对应于q t 的价格向量，C t 是t 时期的消费支出总额。由于消费者不知道C t （C t 将通过进一步的时际选择问题来决定），所以，我们在关注t 时期的商品需求分析的同时也要进行跨时期的消费需求分析。 第二步，t 时期消费C t 由下列时际配置决定：

用ψ(C t , p t )表示t 时期的效用最大值（第一步最优化），即标准的间接时际效用函数。原来的时际效用函数就可以写成：

U t =E t ∑=T t r V t (q t )＝E t ∑=T

t r ψ(C t , p t )

该效用最大化问题的约束条件由下列关于资产的递推方程给出：

A t+1=N t (P t+1+d t+1)

N t P t =A t +Y t +C t

对所有的t 到T 都成立。由于N t =（A t +Y t +C t ）/P t ，这两个方程可以合并为： A t+1=（A t +Y t +C t ）[(P t+1+d t+1)/P t ]

显然，这是一个关于两个时期的不同资产A t 和A t+1的递归方程。其中A t 表示t 时期初始资产价值，N t 表示价格为P t 的资产名义持有量，d t 是在t 时期开始前资产的红利，Y t 是t 时期的收入。

3) 一般情况下还假设消费者的最终资产为正，即：

A T+1≧0

2. 离散时间动态最优化解法之一：拉格朗日乘数法

这该最优化问题就可以写成：

目标函数：Max U t =E t ∑=T t r V t (q t )＝E t ∑=T

t r ψ(C t , p t )

约束条件：S.T. A t+1=（A t +Y t +C t ）[(P t+1+d t+1)/P t ]

建立拉格朗日函数：