天津大学 场论初步 课件

M
此式反应了流速场在点M 的特点:
其值为 正, 负 或 0, 分别反映在该点
有流体 涌出, 吸入, 或没有任何变化.
定义：在矢量场中点 M(x, y, z) 处
P Q R x y z
记作 div A
称为向量场 A 在点 M 的散度（divergence）.
说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且
divv 0
故它是无源场.
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散度的运算性质
(1) div(kA) k div A (k为常数)
(2) div( A B) div A div B
(3) div(uA) u div A A gradu
(u为数量函数)
例1 若 u exyz, A xi yj zk , 求 div(uA)
(向量场)
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1、等值线、等值面与梯度
对函数 z 投影 L*
:f
f (
(x, y), x, y)
曲线
z
z
f (x, C
y)
在
xoy
面上的
C称为函数 f 的等值线 .
设 f 'x , f 'y不同时为零，则L*上点P 处 y
的法向量为
f c3 f c2
( f 'x , f 'y ) P grad f P
div A 0 表明该点处有正源, div A 0 表明该点处有负源, div A 0 表明该点处无源,
散度绝对值的大小反映了源的强度.
若向量场 A 处处有 div A 0, 则称 A 为无源场. 例如, 匀速场 v (vx , vy , vz ) (其中vx , vy , vz 为常数),
由前面讨论知，通量不能反映“正、负源” 在Σ内 的分布情况及任意一点处“源”的强弱程度等特性。
设 是包含点 M 且 方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为, 其体积记为V, Φ表示从其内穿出Σ的通量当 以
任意方式缩小至点 M 时，
lim M V
P x
Q y
R z
M
lim M V
P Q R x y z
旋度的运算 性质
(1) rot(kA) k rot A (k为常数)
解：
div
A
div( xi
yj
zk )
P
Q
R
3
x y z
grad u
u
i
u
j
u
k
exyz( yzi
xzj
xyk )
x y z
div(uA) u div A A gradu 3exyz exyz 3xyz
3(1 xyz)exyz
3、矢量场的旋度
定义: 设有矢量场
A(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z) k
不能断定Σ内无源。
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定义: 设有向量场
A(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z) k
其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片
有向曲面,其单位法向量 n, 则称 A n d S
为向量场 A 通过 有向曲面 的通量(流量) .
该点的等值面的法线方向，而且由数值较低的等值
面指向数值较高的等值面。
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1、等值线、等值面与梯度
例如，某物体Ω上任一点 M(x,y,z)处的温度为u(x,y,z)，
即Ω是一个温度场。若物体Ω中各点处的温度不均 匀，有些点处温度高，有些点处温度低，则Ω中有
热流动。
在某点P处沿哪个方向流动得最快？
设 为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分 的物理意义可知, 单位时间通过曲面 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y
若 为方向向外的闭曲面，则单位
时间通过 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y v d S
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第八节
第十章
场论初步
1、等值面与梯度 2、矢量场的散度 3、矢量场的旋度 4、Hamilton算子
复习场的概念
物理量
数量（标量） 矢量（向量）
函数
场
(物理量的分布)
数量场 (数值函数) 如: 温度场, 电位场等
向量场(矢量函数)
如: 力场,速度场等
可微函数 f (P)
( 数量场 )
梯度场 grad f (P)
当 > 0 时, 说明流入 的流体质量少于流出的，
表明 内有产生流体的泉；当然也可能还有排
泄流体的漏洞。无论如何Σ内产生的流体 n
的量必定多于排泄的流体的量。
总的来说，Σ内有正源。
n
当 < 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 表明
内有洞 ; 总的来说，Σ内有负源。
当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 .
则沿场中某一有 向闭曲线 L正向的曲线积分
LAd S L P d x Q d y R d z
称为矢量场 A 沿曲线 L的正向的环量。通常用Γ表示。
矢量场 A 的环量表示质点在 A 的作用下沿 闭曲线 L的旋转情况。
令 A (P, Q, R), 引进一个向量
i jk
x
y
z
PQR
记作 rot A 称为向量场 A 的旋度.
P
函数在一点的梯度垂直于该点等 f c1
值线，指向函数增大的方向.
o(设 c1
c2
x
百度文库c3 )
1、等值线、等值面与梯度
空间区域Ω中的函数（数量场） 在Ω中有连续的一阶偏导数，则曲面
称为该数量场的等值面。
等温面、等压面都是等值面。
例：函数 u x2 y2 z2 的等值面 x2 y2 z2 c
热沿梯度方向，也就是沿过点P的等温面的法线方 向，流动得最快。
因为热由温度高处流向温度低处，而梯度方向是由 数值较小的等值面指向数值较大的等值面。
所以热沿 -grad u(P) 方向流动得最快。
引例.
2、通量与散度
设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为
v(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z) k
表示以坐标原点为心的一簇同心圆。每过一个点c， 只有一个等值面。等值面是彼此不相交的。
1、等值线、等值面与梯度
过等值面
上任意一点 M 0 (x0 , y0 , z0 )
的法矢量为
n { f 'x , f 'y , f 'z } M0 grad f (x, y, z) M0
数量场
在一点处的梯度就是过