全国高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准

全国高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准

说明：

1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 选择题、填空题只设6分和0分两档. 其他各题 的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次.

2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照本 评分标准适当划分评分档次, 3分为一个档次, 不要再增加其他中间档次.

一．选择题 (本题满分36分, 每小题6分)

1. 函数 ()y f x = 的图像按向量 (,2)4

a π

= 平移后, 得到的图像的解析式为

sin()24

y x π

=++. 那么 ()y f x = 的解析式为

A. sin y x =

B. cos y x =

C. sin 2y x =+

D. cos 4y x =+

答: [ B ]

解： sin[()]44

y x π

π

=+

+, 即 c o s y x =. 故选 B ． 2. 如果二次方程 20(,x px q p q --=∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程

有

A. 5个

B. 6个

C. 7个

D. 8个

答: [ C ]

解：由 2

40,0p q q ∆=+>-<, 知方程的根为一正一负．

设 2()f x x px q =--，则 2

(3)330f p q =-->, 即 39p q +<.

由于 ,p q ∈N*， 所以 1,5p q =≤ 或 2,2p q =≤. 于是共有7组 (,)p q 符合 题意． 故选 C ．

3. 设 0a b >>, 那么 21

()

a b a b +

- 的最小值是

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

答: [ C ]

解：由 0a b >>, 可知

2221

0()()424

a a

b a b b a <-=--≤,

所以， 2

2214

4()a a b a b a

+

≥+≥-. 故选 C ．

4. 设四棱锥 P ABCD - 的底面不是平行四边形, 用平面 α 去截此四棱锥, 使得 截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α

A. 不存在

B. 只有1个

C. 恰有4个

D. 有无数多个

答: [ D ]

解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线 为 m 、n , 直线 m 、n 确定了一个平面 β. 作与 β 平行的平面 α, 与四棱锥的各个侧面 相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样 的平面 α 有无数多个．故选 D ．

5. 设数列 {}n a : 01212,16,1663n n n a a a a a ++===-, n ∈N*, 则 2005a 被

64 除的余数为

A. 0

B. 2

C. 16

D. 48

答: [ C ]

解：数列 {}n a 模 64 周期地为 2，16，－2，－16，……. 又 2005 被 4 除余 1, 故 选 C ．

6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1⨯1 m 2的整块地砖来铺设(每块地砖

都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有

A. 830个

B. 73025⨯个

C. 73020⨯个

D. 73021⨯个

答: [ D ]

解：铺第一列(两块地砖)有 30 种方法；其次铺第二列．设第一列的两格铺了 A 、B 两色(如图)，那么，第二列的上格不能铺 A 色．若铺 B 色，则有 (61)- 种铺法；若不 铺 B 色，则有 2

(62)- 种方法. 于是第二列上共有 21 种铺法. 同理， 若前一列铺好，则其后一列都有 21 种铺法．因此，共有 7

3021⨯ 种铺法． 故选 D ．

二．填空题 (本题满分36分, 每小题6分)

7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 2

π

得向量 OB , 且 2(7,9)OA OB +=, 则

向量 OB = （－115，23

5

） .

解：设 (,)OA m n =, 则 (,)OB n m =-, 所以

D 1

C 1B 1

A 1D

C

B

A

P

A B

2(2,2)(7,9)OA OB m n n m +=-+=.

即 27,29.m n m n -=⎧⎨+=⎩ 解得 23,5

11.

5m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

因此，23111123(,),(,)5555OA OB ==-.

故填 1123

(,)55

-

． 8. 设无穷数列 {}n a 的各项都是正数, n S 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数

n , n a 与 2 的等差中项等于 n S 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为 a n = 4n －2

(n ∈N*) .

解：由题意知

2

2

n a += 即 2(2)8n n a S +=

. ……… ① 由 11a S = 得

12

2

a +=从而 12a =. 又由 ① 式得

2

11(2)(2)8

n n a S n --+=≥, ……… ②

于是有 1

n n n a S S -=-221(2)(2)(2)88

n n a a n -++=-≥,

整理得 11()(4)0n n n n a a a a --+--=. 因 10,0n n a a ->>, 故

114(2),2n n a a n a --=≥=．

所以数列 {}n a 是以 2 为首项、4 为公差的等差数列，其通项公式为 24(1)n a n =+-， 即 42n a n =-. 故填 42(n a n n =-∈N*)．

9. 函数 ∈+=x x x y (|2cos ||cos |R ) 的最小值是 2

2 .

解：令 |cos |[0,1]t x =∈，则 2

|21|y t t =+-．

当

12t ≤≤ 时， 2219

212()48

y t t t =+-=+-，得

22y ≤≤； 当

0t ≤<

时， 2

219212()48

y t t t =-++=--+，得

98y ≤≤．