第二十七章相似知识点总结及经验

相似

一、相似知识点：

1、相似的判定：①相似多边形的判定；

②相似三角形的判定：△ABC∽△A′B′C′；

2、平行线分线段成比例定理

3、相似三角形的判定：△ABC∽△A′B′C′的5种方式

4、相似三角形的周长与面积：①周长（及对应的高）相似比等于K；

②面积相似比等于K2

5、位似：①位似图形的判定

②利用位似，将一个图形放大或缩小

③位似图形在平面坐标系中的坐标关系：如果以原点为位似中心，相似比为K，

那么位似图形对应的坐标的比等于K或－K

二、相似图形的特征：

1、相似比例的多项式动算（主要是分式）：

2、平行线分线段成比例，及成比例线段的相关计算：

3、相似三角形在几何组合图形内的存在特点，及相关的证明，计算：

一、相似知识点：

1、相似的判定，如图：

①相似多边形的判定：对应角相等，对应边的比相等； ②相似三角形的判定：在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果：

∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠C ′，

''B A AB ＝''C B BC ＝'

'C A AC ＝k ， （AB ＝k .A ′B ′，BC ＝k .B ′C ′，AC ＝k .A ′C ′） 则： △ABC ∽△A ′B ′C ′，

△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k ，△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为k

1。 2、平行线分线段成比例定理，如图：（ 3l ，4l ，5l 的距离决定k 的大小）

①平行线分线段成比例定理：如右图3l ∥4l ∥5l ，

则：EF

DE BC AB =＝k1，k DF DE AC AB ==2，k DF EF AC BC ==3，

②平行于三角形一边的直线截其他

两边（或两边的延长线），所得对应

线段的比相等，如右图：

k AC

AE AB AD ==

3、相似三角形的判定：（只要是相似三角形，就可以按对应角的安装在一起)

①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与

原三角形相似；如图：△ADE ∽△ABC

②类似SSS ：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果

''B A AB ＝''C B BC ＝'

'C A AC ＝k ， 那么： △ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ； ③类似SAS ：两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；

在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果

''B A AB ＝'

'C A AC ＝k ，∠A ＝∠A ′， 那么： △ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ； ④AA 方式：如果两个角对应相等，那么这两个三角形相似；

在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，

那么： △ABC ∽△A ′B ′C ′；

例a ：两个等腰三角形的任一个角相等（无论底角或顶角），那么这两个三角形相似；

例b ：Rt △ABC 斜边上的高将三角形分成三个三角形，都相似；

例c ：一次函数y=k.x ，（k 为定值），由x ，y ，斜边组成的三角形，无论x 为何值，所有

的三角形都相似；

⑤类似HL ：斜边的比等于一组直角边的比的直角三角形相似；（不当成定理）。

4、相似三角形的周长，对应高与面积：

①周长比：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么''B A AB ＝''C B BC ＝'

'C A AC ＝k ， 因此：AB ＝k .A ′B ′，BC ＝k .B ′C ′，AC ＝k .A ′C ′，

从而 '

'''''A C C B B A CA BC AB ++++＝''''''''''''A C C B B A A kC C kB B kA ++++＝k 由此我们得到：相似三角形周长的比等于相似比；

相似多边形周长的比等于相似比；

②对应高比：相似三角形对应高的比等于相似比；

如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，AD 与A ′D ′分别是边BC ，B ′C ′上的高， 那么'

'D A AD ＝''B A AB ＝k ③面积比：相似三角形面积的比等于相似比的平方；

相似多边形面积的比等于相似比的平方； 如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，AD 与A ′D ′分别是边BC ，B ′C ′上的高， 那么 S △ABC ／S △A ′B ′C ′＝'''.'21.21D A C B AD BC ＝''C B BC .''D A AD ＝k .k ＝k ２ ；

5、位似，如图：（只要是相似三角形，就可以相应的安装成位似的形式）

图（1） 图（2） 图（3）

①位似图形的判定： a 、两个多边形（包括三角形）相似，如图（1）的ABCD ∽A ′B ′C ′D ′；

b 、图形的对应顶点的连线相交于一点：如图（1）、（2）、（3）的位似中心点O ；

c 、对应边互相平行，如图（1）AB ∥A ′B ′，AD ∥A ′D ′等；

d 、位似图形存在三种形式：取决于位似中心点

O 的位置，同侧，中间，两侧，如图：

②利用位似，将一个图形放大或缩小：

a 、如图（1），首先任取一点O 作位似中心点（可取同侧，中间，两侧），根据K 值的大

小分别定各个相似点，具体参考课本；

b 、如图（2）、（3），通过坐标轴将图形放大或缩小，具体参考课本；

③位似图形在平面坐标系中的坐标关系：如果以原点为位似中心，相似比为K ，那么位似

图形对应的坐标的比等于K 或－K ，（同侧为K ，两侧为－K ）

如图（3）：同侧：线段AB 与A ′B ′位似，''B A AB ＝'

OB OB ＝'A A X X ＝'A A Y Y ＝k ； 两侧：线段AB 与A ″B ″位似，""B A AB ＝"

OB OB ＝k ′，'""k Y Y X X A A A A -==； 如图（2）：△ABC 与△A ′B ′C ′位似，相似比为k ，原点为位似中心点O ，

则： △ABC ∽△A ′B ′C ′，AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′，

那么： k Y Y X X OA OA A A A A ==='

''，k Y Y X X OB OB B B B B ==='''，k Y Y X X OC OC C C C C ===''' 还有：k C B BC C A AC B A AB OC OC OB OB OA OA ======'

''''''''