连续介质力学-第1章-四川大学

[a，b，c] [b，c，a] [c，a，b] [a，b，c] [b，a，c] [c，b，a] [a，c，b]
例:导出Kronecker符号与置换符号间的运算关系。
11 12 13 21 22 23 1 31 32 33
1i 1 j 1k ijk 2i 2 j 2k
(2) 数乘
a b (b j e j ) (b j )e j
(3) 数积
a b (ai ei ) (b j e j ) aibi a1b1 a2b2 a3b3
a b (ai ei ) (b j e j ) aibi a1b1 a2b2 a3b3
km kn kk
ijk mnk kkim jn jm kn ik kmin jk im kn jk kk jmin km jn ik 3im jn jm kn ik kmin jk im kn jk 3 jm in km jn ik 3im jn jm ni mjin im nj 3 jm in mi jn
➢矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数
➢一点的旋度的大小是该点环量面密度的最大值。
➢旋度的方向是与该点最大环量面密度对应的法线方 向。
在矢量场中，若rot u＝J≠0，称之为旋度场(或涡旋场 )，J 称为旋度源(或涡旋源)，若矢量场处处rotu＝0 ，称之为无旋场。
小节：
梯度： grad u u
Einstein求和约定
哑标: 求和约定中的重复脚标
哑标可以用其它的字母代替，只要该字母在本项中 没有出现过就行
a aiei a je j
a jb j ck ambmck
哑标在同一项中只能重复一次
aibi ci
3
aibici
i 1
矢量的代数运算
(1) 加法
c a b aiei biei (ai bi )ei ciei
kk 3
kn ik ni
小结：
➢ Einstein求和约定 a ai ei
➢ Kronecker记号
ij

1 0
(i j) (i j)
➢ 置换符号
1
ijk 1

0
(当ijk是123的偶排列时) (当ijk是123的奇排列时) (当ijk有两个值相等时)
奇排列: 132，213，321
c a b (aiei ) (b j e j ) ijk aib j ek
ei e j ijk ek
ab ba
a b b a
(5) 混合积
[a，b，c] a (b c)
如果a、b、c的空间位置顺序服
(4) 矢积
c b a
c的模就是a和b所张成的平行四边形的面积
e1 e2 e3
c a b a1 a2 a3
b1 b2 b3
a1b2e3 a2b3e1 a3b1e2 a1b3e2 a2b1e3 a3b2e1
1. a、b和e的脚标一定是1、2、3的一个排列，在同一项内，不会重复出现1、2、 3中的任何一个数。
a b a b cos
1 ei e j 0
(i j) (i j)
ij

1 0
(i j) (i j)
Kronecker记号 ij
11 22 33 1
12 21 23 32 13 31 0
并积
散度： div u gu
数积
旋度： rot u u
矢积
( , , ) x1 x2 x 3
u (u1, u2 , u3)
矩阵：
▪ 方阵：行数＝列数； ▪ 矩阵的转置：将m×n的矩阵A的行列互换，得
到n×m的新矩阵，称作A的转置，记为AT； ≠ ▪ 列矩阵：只有一列的矩阵；
➢ 若div u > 0 则表示在该点处有“源”
➢ 若div u = 0 则表示在该点处无“源”无“汇”
➢ 其大小表示“源”和“汇”的强度
➢ 与坐标系无关
3. 旋度（rotation）
Stokes公式：
设 为分段光滑的空间有向闭曲线 , 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与的 法线符合右手规则 , 函数 P( x, y, z),Q( x, y, z) R( x, y, z)在包含曲面 在内的一个空间区域内
e1 e2 e3
令： rot u = u = x1 x2 x3
u1 u2 u3
物理意义：
旋度是用来描述一个旋涡源 (vortex source) 的 旋 涡 流 强 度 的 ， 而 所 谓 的 旋 涡 源 (vortex source)就是一个能在其周围造成一个“环”(即： 环量∮u.tdL) 的流源。因此为了描述此旋涡源 的強度，定义: 单位面积的最大环量称作旋度, 其方向为此环所为的面的法向量。
, 余子式： A1*n
A2*n


A21
An*n
Ai1
A22 L L Ai 2 L L
A2 j L L
Aij L L
A2 n Ain
An1 An2 L Anj L Ann
代数余子式： Ai*j =(-1)i+j余子式
关于转置和逆的计算规则:
转置: (A)T AT (A B)T AT BT
➢ 逆矩阵：对于方阵A，若存在方阵B，使AB = BA = I，则 称B是A的逆矩阵，记为B = A－1
逆矩阵存在的充要条件是|A|≠0
➢ 克莱默法则： A-1=A*/|A|
A11 A12 L A1 j L A1n
其中： 伴随矩阵A*




A1*1 A2*1
A1*2 L A2*2 L L
An*1 An*2 L
3i 3 j 3k
pi pj pk pqr ijk qi qj qk
ri rj rk
例1.5 证明 ijk mnk im jn in jm
im in ik ijk mnk jm jn jk
c
从右手螺旋法则，那么混合积的几
b
何意义就是由a、b、c所张成的平行
a
六面体的体积
三个矢量的混合积
[a，b，c] aiei (bje j ckek )
aiei jklbjckel jkl il aibjck jkiaibjck ijk aibjck
S
S
(v1dx2dx3 v2dx3dx1 v3dx1dx2 )
S
Gauss公式(奥高公式，或奥式公式)：
u n dS div u dV
S
V
通量
散度
divu

u

ui，i
u1 x1

u2 x2

u3 x3
物理意义:
➢ 若div u < 0 则表示在该点处有“汇”
▪ 行矩阵：列矩阵的转置；
a1
a


a2

M
an
A11 A12 L
A


A21
A22
L
L
An1 An2 L
A1n
A2n


Ann
▪ 对称矩阵：对于方阵A，有A=AT；
▪ 反对称矩阵：若AT =－A；
▪ 对角阵：方阵A的主对角线上有非零元素，其余元素均为零，
cos 2


x3
cos3
2. 散度（divergence）
v n dS vi nidS (v1cos1 v2cos2 v3cos3 )dS
S
S
S
称为矢量v在S上的通量
v n dS (v1cos1 v2cos2 v3cos3 )dS
置换符号 若数需次ijk要则交 是换偶01 奇排数列次。((当当则iijj该kk是有排1两2列3个的是值奇奇相排排等列列时时，))交换偶
方法二：
1
2
3
方法三 ：ijk 死 记jki 硬背 kij ijk jik ikj kji
偶排列: 123，231，312
n
曲线L的走向与n满足右手法则，
则根据Stokes公式，有：
L
Ñ ugtudLt dL
LL
=
S
( u3 x2

u2 x3
)dx2dx3
(u1 x3

u3 x1
)dx3dx1
( u
e1 e2 e3
dS S x1 x2 x3 u1 u2 u3
1.1 矢量、矩阵与张量
3
a a1e1 a2e2 a3e3 aiei i 1
a aiei
x3
e3
e2
e1
x2
x1 直角坐标系的基矢量
x3
a
a3
x2
x1
a1
a2
矢量的分量
在式子中的一项内，若出现了重复脚标，则表示该项关于这一
脚标对1、2、3求和，而勿须再写出求和记号
a aiei
2. 当a、b和e的脚标是123这个自然顺序的一个偶排列（即123，231，312）时， 该项取正号。
3. 当a、b和e的脚标是123这个自然顺序的一个奇排列（即132，213，321）时， 该项取负号。
偶排列与奇排列：
方法一： 123是偶排列；
当一个排 列1 从12(3当开ij始k是交1换23的相偶邻两排个列数时)的位置，
➢ 对于方程而言，等号两端的自由指标应该相同
xi Aim xm Bik ak ai x j Aim xm ai
➢ 若方程包含了一个自由指标，就意味着有三个方程
x1 A1m xm a1
xi Aim xm ai
x2 A2m xm a2
x3 A3m xm a3
a b (aiei ) (bje j ) aibj (ei e j ) ij aibj aibi
ij a j ai
ij ai a j
自由指标: 不重复的脚标
➢ 对于一个包含多项的式子而言，每项的自由指标应该相同
Aim bm Bik ak ai Aimbm B jk ak ai
(AB)T BT AT
逆:
(A)1 1 A1 (AB)1 B A 1 1

正交矩阵： 对于方阵A，若有A－1＝AT，则称A是正交矩阵
例1.15 如图1.12，平面直角坐标系绕原点O旋转一角度形成
新坐标系，导出其坐标变换矩阵M，并说明M是正交矩阵。
具有一阶连续偏导数 , 则有公式
n




(
R y

Q z
)dydz

(
P z

R x
)dzdx

(
Q x

P y
)dxdy
Pdx Qdy Rdz
对于矢量场u，称 u t dL 为沿L
的环量。若L为某一L 曲面S的边界， S 曲面S的法线单位矢量为n，而且
g grad
g grad
▽称为Hamilton算符


x1
e1

x2
e2

x3
e3

xi
ei
若某个函数对坐标xi取偏微分，则简记为(.),i
g ，iei
方向导数

n


n
，ini


x1
cos1


x2
记为A=diag（ A11, A22, … , Ann）；
▪ 单位阵：对角线元素全为1的对角阵，记为I；
矩阵的加法分解：任意方阵A都可以分解为一个对称矩阵 和一个反对称矩阵的和。
A 1 (A AT ) 1 (A AT)
2
2
令：D 1 (A AT )
2
W 1 (A AT) 2
➢ 自由标，哑标
1.2 场论概要
如果一种物理量在某个空间区域中的每一点都 有确定的值，就称这个空间区域上定义着该物 理量的场。
数量场: 温度场、电位场等 矢量场: 速度场、力场等
1. 梯度（gradient）
若在数量场中的一点M处存在着矢量g，其方向为M点处函数变 化率最大的方向，其模为这个最大变化率的数值，则称g为这个 函数在M点处的梯度