(测量平差课件)第6章第2讲(误差椭圆)

K (QxxQyy)24Q2xy
0 2.5 30
2
1.5
E
1
Baidu Nhomakorabea0.5
60
D
E21 202(QxxQyyK)
270
P
F21 202(QxxQyyK)
240
90 120
E 3 5 7 9 或 1 2 5 9 7 E 2.4
210
150
F 1.2
180
6.3 误差曲线
二、误差曲线的特点 （1）显然，任意方向
ˆ0 0.33
解：（1）P1 点的误差椭圆元素
tg 2 2Q x1y1 2(0.13)1 26 .5753
Q Q 0
x1x1
y1y1
0.1022
K(Q x1x1Q y1y1)24Q 2x1y1 0.282
2 6846 或 24846； 0
3423 或 12423 0
Qx1y1 0.13106
12 23 4 或 30 23 4 E
6.4 误差椭圆
误差椭圆：点位误差曲线 的内切椭圆即误差椭圆。 它是误差曲线的近似曲线
误差椭圆参数：E、F、 E
对于给定的方向角，通过 误差椭圆的图形，可以精 确量取该方向的位差。
300 270
240
0 2.5
330
30
2
c
1.5
1
EE mEE
60
0.5
P
mFF
d
90 120
210
150
180
6.4 误差椭圆
ˆ 1.22dm
6.3 误差曲线
一、概念
2 0 2 ( Q xc x2 o Q s ys y2 i n Q xs y2 i) n 0 2.5 330
以不同的
和
为极坐标
2
1.5
的点的轨迹，构成一闭合
300
1
曲线，该曲线称为点位误
0.5
差曲线。
270
P
30
60
D
90
ˆ0 1
240
120
Q x ˆ 4 .0 , Q y ˆ 3 .0 , Q x ˆy ˆ 2 .0
c
A
1.5
e
1
g
0.5
P -2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
b 1.5
2
2.5
-0.5
PC
f
d
B
-1
-1.5
-2
C
xp Pa2.0 yp Pb1.7
EPc2.4
FPd1.2 相对已知点的边长和坐标
y
方位角的中误差：
SPA Pe SPB Pf
u PA Pg
P
C
uP A Pg
SPC
SPC
4405或 22004'5 E
E 2 0 .1d0 ， m F 2 0 .0d9m
（3）误差椭圆绘制
P1 P2
（4）两点的相对精度 从图上看： P1a P2b
P1
a
b P2
对 P1 点：
1 2 1 2 E 1 9 0 3 6 1 2 3 2 2 4 2 0 8
ˆψ 2 12 E 1 2c2 o ψ 1s 2F 1 2si2ψ n 1 20 .0294
相对误差椭圆 F2 1202(Qxx Qyy
(Qxx Qyy)2 4Q2xy )
参数的计算
6.5 相对误差椭圆
f
g
P1
e
O
P2
相对误差椭圆一般画在两点的中间部分。
平差后的边长中误差： Oe SP1P2
平差后的边的横向误差： u P1P2 Og
平差后的方位角的中误差： P1P2
uP1P2
SP1P2
F' M2
P
b
F
xEcos
yFsin
椭圆参数方程
E'
yE
x2 y2 1 E2 F2
椭圆方程
(Eco)s2
E2
(Fsin)2
F2
1
M 点为椭圆上一点
xE
E
M x, y
C1 D
C
o
F
M3
E'
O D O C C D xc o sys in
O 2 D x 2c2 o s y 2 s2 in 2 xsyic no
x2 y2 1 E2 F2
椭圆方程
MD
的斜率为：
dy F2x k
dx E2y
又MD 与OD垂直： k 1
tan
F2x 1
E 2 y tan
xsi nycos0
E2
F2
将上式平方并两端同乘以 ， E2F2
并移项得
y E 2 xsyic no sx2F 2s2 in y2E 2c2 o
E 2
E 2
F 2
E x 2 2 ( E 2 c2 o F s 2 s2 i) n F y 2 2 ( E 2 c2 o F s 2 s2 i) n
(x2y2)E (2co 2sF2si2 n)
E2 F2
因 为 M(x,y) 是 椭 圆 上 的 点 ， 故 其
坐标满足椭圆方程
x2 y2 1 E2 F2
ˆ0 0.8
解： （1） P1 点的误差椭圆参数的计算
E121 2ˆ02(Qx1x1Qy1y1 (Qx1x1Qy1y1)24Q2x1y1) F121 2ˆ02(Qx1x1 Qy1y1 (Qx1x1 Qy1y1)24Q2x1y1)
tg2 2Qx1y1
Q Q 0
x1x1
y1y1
E1 0 .040 dm , F1 0 .032 dm , E1 76 4 5
0.00160.00020.00100.0005
QXˆXˆ 000..00.0000001250000.0..00000020648000.0..00000002631000...000000200783( dms ) 2
ˆ0 0.8
（2） P2 点的误差椭圆参数的计算
E221 2ˆ02(Qx2x2 Qy2y2 (Qx2x2 Qy2y2)24Q2x2y2) F221 2ˆ02(Qx2x2 Qy2y2 (Qx2x2 Qy2y2)24Q2x2y2)
1 2si2 n(x2y2)si2 nE2xyco2sE
E2co2sF2si2 n
2E 2co 2 sF2si2n
例[2]:数据同例[1]，试计算方位角为150o时的位差。
1.236 0.314 QXˆXˆ 0.314 1.192
ˆ0 1
方法一：ˆ2ˆ0 2[Q x x co21s50 Q yysi2n 150 Q x y si2 n1 ( 5)0 ]
单位为
( dm s
)2
。单位权中误差
ˆ0 0.33
，两点的坐标
方位角为 96 034.6 1。计算两点的误差椭圆参数，并说
明由此误差椭圆不能求出两点间的相对精度。
0.14220.13160.06790.0170
QXˆXˆ
0.13160.24440.03610.0297 00..0016770900..0032691700..0008445100..00803485
ˆ21 0.09dm
6.5 相对误差椭圆
xik xk xi
yik
yk
yi
Qxx Qxkxk Qxixi 2Qxkxi
Qyy Qykyk Qyiyi 2Qykyi
Qxy
Qxkyk
Qxiyi
Qxkyi
Qxi
yk
tg2 2Qxy
0 Qxx Qyy
E2 1202(Qxx Qyy
(Qxx Qyy)2 4Q2xy )
-2
由点位误差曲线和点位误差椭圆可 以从图上量出已知点与待定点之间的边 长中误差，以及方位角中误差。
任意两个待定点之间相对位 置的精度如何确定？
[例1]三角网中通过平差已求得待定点 P1 和 P 2 点 的坐标协因数阵为
0.14220.13160.06790.0170
QXˆXˆ
0.13160.24440.03610.0297 00..0016770900..0032691700..0008445100..00803485
x2(co2sco2sEsi2nsi2nE12si2nsi2nE)
y2(si2nco2sEco2 s si2nE12si2nsi2nE) xy(si2nco2sEco2 s si2nEsi2nsi2nE)
co2 s(x2co2sEy2si2nExysi2 nE)
si2n(x2si2nEy2co2sExysi2 nE)
ˆ ˆ 12
21
ˆ12 0.17dm
用点位误差椭圆不
对 P 2 点：
能够求出两点之间
2 1 2 1 E 2 9 0 3 6 1 8 4 0 5 0 4 2 5 8 3 1 的相对精度。
ˆψ 2 21 E 2 2c2 o ψ 2s 1F 2 2si2ψ n 2 10 .0082
(测量平差课件）第6章第2讲（误差椭圆）
知识回顾
点位误差: P 2 x2 y2
P
P
P
2
2
xP
yP
点位误差的计算公式:
2
2
2
P
xP
yP
2P
2 S
2 u
tg20
2Qxy Qxx Qyy
2 P 0 2(QxxQyy)
K (QxxQyy)24Q2xy
E21 202(QxxQyyK)
图x E解任意方向位差的方法：
x
自椭圆作 方向的正交切线
2
1.5
M
ME D，M 为切点，D 为垂点，
则： PD
1
E
D
0.5
y
EcosFsin 2 2 2
22
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0P
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
-1
-1.5
P
F
yE
-2
6.4 误差椭圆
xE
E
M x, y
a
M1
Og
SP1P2
[例2]在某三角网中插入 P1 和 P 2 两个待定点,经平 差计算,得的单位权中误差 ˆ00.8 和参数的协因数 阵为
0.00160.00020.00100.0005
QXˆXˆ 000..00.0000001250000.0..00000020648000.0..00000002631000...000000200783( dms ) 2
F 2
xE
E
M x, y
C1 D
C
o
F
M3
E'
O D O C C D xc o sys in
O 2 D x 2c2 o s y 2 s2 in 2 xsyic no
代入上式得：
O 2 D x 2 c2 o y s 2 s2 i n x 2F 2 s2 i n y 2E 2 c2 os
试求 、 P1 P 2 两点的误差椭圆以及 P1、P 2 两点的相 对误差椭圆。
0.00160.00020.00100.0005
QXˆXˆ 000..00.0000001250000.0..00000020648000.0..00000002631000...000000200783( dms ) 2
0 2.5
330
30 E
2
上的极径（向径）就是 300 该方向上的位差。
（2）整个曲线把各方 270
向的位差的大小直观、
1.5
E
1
0.5
P
60
DD
90
清楚地描述出来。
（3）该图形关于E轴和 240
F
120
F轴对称。
210
150
180
三、误差曲线的应用
点 P 的平面坐标平差值 在各个方向的位差：
x
2a
E12 12ˆ02(Qx1x1 Qy1y1 K)0.0364 F12 12ˆ02(Qx1x1 Qy1y1 K)0.0057
E 1 0 .1d9 ,F m 1 0 .0d8m
（1）P1 点的误差椭圆元素
1223 4或 30024'3 E
E 1 0 .1d 9 ,F m 1 0 .0d 8m
（2）同理，可求出P 2点的误差椭圆参数
y
E
O2D E2co 2 sF2si2n
2
2 x ODsy ic n o s E x2 2F 2s2 in F y2 2E 2c2 o
6.4 误差椭圆
同学们可以考虑，如何在误差 椭圆上量取： 纵、横坐标中误差； 位差极大值和位差极小值； 边长中误差； 方位角中误差。
6.4 误差椭圆
几种特例（0 1.0）
1.23c6o21s50 1.19s2i2n 150 0.31s4i3n0 0 1.497
方法二： E 15 10 3 17 3
ˆ 2 E 2 c 2o F 2 s s 2 i 1 n . 5 c 2 2 1 o 0 9 . 3 8 s s9 2 1 i n 1 9 . 3 49
210
150
180
6.3 误差曲线
E
2 0 2 ( Q xc x2 o Q s ys y2 i n Q xs y2 i) n 2E 2co 2 sF2si2n
ˆ0 1 Q x ˆ 4 .0 ,Q y ˆ 3 .0 ,Q x ˆy ˆ 2 .0330
tg20
2Qxy Qxx Qyy
300
不相关： Q xˆyˆ 0
① Q xˆ 0
Q yˆ 4
② Q xˆ 4
Q yˆ 0
③ Q xˆ 4
Q yˆ 4
④ Q xˆ 0.1 Q yˆ 4
完全相关： Q xˆyˆ 4
⑤ Q xˆ 4
Q yˆ 4
x
2
1.5
1
0.5
-2
-1.5
-1
-0.5
y
0.5
1
1.5
2
-0.5
-1
-1.5
2 0 2 ( Q xc x2 o Q s ys y2 i n Q xs y2 i) nF21 202(QxxQyyK)
6.2 点位误差
四、以位差极大值E和极小值F表示的任意方向 上的位差
Q Q xc x 2 o Q sys y2 in Q xs y2 inE
E
2 2 x 2 c 2 ( o E ) s y 2 s 2 ( i n E ) x s y 2 i 2 n E )(