人工合成超材料参数提取方法的改进
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(1) <(0) = 0 ,即ω= 0 时 , <(ω) = 0. 且当ω很小 时 ,存在| Re{ <(ω) } | <π,从而使 <(ω) = ±<0 (ω) . 正 负号取决于材料性质 ,普通材料 Re{ <(ω) } > 0 , 而左 手材料 Re{ <(ω) } < 0.
(2) 函数 sin <(ω) / <(ω) 关于 <(ω) 偶对称 , <(ω) 的正负号并不影响由式 (5) 提取的μr 和εr . 因此 , 前 面所讨论的正负号问题可以先忽略 , 根据所提取的 μr 和εr 来判断正负.
杨 晖 , 肖高标 , 黄志刚 , 毛军发
(上海交通大学 电子信息与电气工程学院 , 上海 200240)
摘 要 : 通过建立均匀传输线模型来模拟人工合成超材料的参数提取 ,并且由该模型的 [ ABCD ] 矩阵完整地分析了传输相位信息 ,从而得到超材料的介电常数和磁导率. 研究结果表明 :相比目前 普遍使用的一阶相位近似方法 ,本文方法在准确性和使用范围上都有较大幅度的提高. 关键词 : 人工合成超材料 ; 均匀传输线 ; [ ABCD ]矩阵 ; 相位提取 中图分类号 : TN 011 文献标识码 : A
矩阵中被隐藏了. 其相位表达式为
<(ω) = arcco s A (ω) = 2 nπ ±<0 (ω) (8) 式中 : <0 (ω) 为多支函数 <(ω) 的主值 ,
<0 (ω) = - i ln[ A (ω) + i 1 - A2 (ω) ] (9) 如果规定 - π< Re{ <(ω) } <π,则 <(ω) = ±<0 (ω) .
(12)
式中 : n1 和 n2 为整数.
图 3 所示为一个根据 sin <r (ω) 和 co s <r (ω) 的
零点提取相位 <r (ω) 信息的例子. 图中 :ω1 、ω3 、ω4 为
co s <r (ω) 的零点 ,ω2 、ω5 、ω6 为 sin <r (ω) 的零点. 相
位的起始点为
<(0) = - i ln[ A (ω0 ) + i 1 - A2 (ω0 ) ] , 0 < <r (ω) <π/ 2
果 sin <r (ω) 和 sinh <i (ω) 同时为零 , 则| A r (ω) | =
| co s <r (ω) co sh <i (ω) | = 1. 因此 , 可以通过 A r (ω)
和 Ai (ω) 的零点来判断 co s <r (ω) 和 sin <r (ω) 的值.
具体如下 :
(1) 若 A r (ωk ) = 0 , 则 ωk 就是 co s <r (ω) 的零
近年来 ,人工合成超材料的研究深受人们的关 注 ,其中左手材料[1] 尤其突出. 人工合成超材料在亚 波长频率范围显示了自然界介质所没有的特性 ,因 此有着巨大的应用价值[224] . 在研究人工合成超材料 的过程中 ,数值方法起到了重要作用. 目前 ,已经有 许多关 于 人 工 合 成 超 材 料 的 结 构 及 其 特 性 的 研 究[4212 ] . 其中 ,文献[ 11 ]中将人工合成超材料看作一 种均匀介质 ,通过均匀传输线模型来研究它的传输 特性. 本文在此基础上 , 介绍了一种以材料端口 [ ABCD ]矩阵为参数 ,准确计算传输的相位函数和 由相位计算介质参数的方法 ,并且还提出了一个高 效的近似应用公式. 数值实验结果表明 ,新的近似公 式和相位提取信息能够在更宽的频率范围更为准确
, 可见
在近似精度上较式 (6) 有了很大的提高. 将这种方法
应用于上述材料的Hale Waihona Puke Baidu取 , 在整个 1～8 GHz 内都得
到了正确的结果 (见图 2) .
但是 ,整个问题至此并没有完全解决. 为了更准
确地提取参数μr 和εr , 必须了解相位 <(ω) 的信息.
这也是整个研究的难点 , 因为相位信息在 [ ABCD ]
肖高标 (联系人) ,男 ,副教授 ,硕士生导师 ,电话 ( Tel . ) :021234204337 ; E2mail :gaobiaoxiao @sjt u. edu. cn.
第 3 期
杨 晖 ,等 :人工合成超材料参数提取方法的改进
409
复数磁导率和介电常数 ,μ=μr μ0 ,ε=εr ε0 ,μr 和εr 分别为材料的相对磁导率和相对介电常数 ,μ0 和ε0
是 sinh <i (ω) 的零点. 为了找到 sin <r (ω) 的零点 , 可
以注意 :当 Ai (ω) 因为 sin <r (ω) 的零点而为零时 , 则
A r (ω) = | co sh <i (ω) | > 1 ; 当 Ai (ω) 因为 sinh <i (ω)
的零点而为零时 ,则| A r (ω) | = | co s <r (ω) | < 1 ; 如
为真空的磁导率和介电常数. 参考文献 [11 ]中描述
的提取方法 ,当相位 <(ω) 满足 <(ω) =βl ν 1 时 , 利
用
tanβl ≈βl
(2)
以及[ ABCD ]矩阵 ,得
μr
=
B (ω) iω l A (ω)μ0
,
εr
=
C(ω) iω l A (ω)ε0
(3)
图 1 人工合成材料的均匀传输线模型 Fig. 1 U niform t ransmission line model of a sample
为了根据[ ABCD ]矩阵正确提取传输线模型中
410
上 海 交 通 大 学 学 报
第 43 卷
的相位信息 ,需要保证以上 2 点 ,就是从一个较小的
频率点开始推演. 为了表示更清晰 ,定义
<(ω) = <r (ω) + i <i (ω) , A (ω) = A r (ω) + i Ai (ω)
为了修正上述公式在提取参数时发生的错误 , 对提取公式进行如下改进 :
co s <(ω) = A (ω)
(4)
μr
=
iω l [ sin
B (ω) <(ω) / <(ω) ]μ0
εr
=
iω l [ sin
C(ω) <(ω) /
<(ω)
]ε0
(5)
再回顾之前的提取公式 ,式 (2) 的近似可以等效
An Improved Method to Extract the Parameters of Metamaterials
YA N G H ui , X I A O Gao2bi ao , H U A N G Z hi2g an g , M A O J un2f a ( School of Elect ro nic ,Informatio n and Elect rical Engineering , Shanghai J iaoto ng U niver sit y , Shanghai 200240 , China)
Abstract : A numerical p rocedure was p ropo sed to recover t he co rrect p hase informatio n folded in [ ABCD ] mat rix for uniform model of metamaterial , t herefo re dielect ric parameter s can be ext racted. Co mpared wit h t raditio nal met hod , t his p rocedure can be applied in a wider f requency range and have a bet ter accuracy. Key words : metamaterial s ; uniform t ransmissio n line ; [ ABCD ] mat rix ; p hase ext racting
Z0
co sβl
(1)
式中 :i = - 1 ;β为传播常数 ,β=ω εμ; Z0 为特性 阻 抗 , Z0 = μ/ε;μ和ε分别为人工合成超材料的
收稿日期 :2007212221 基金项目 :上海市自然科学基金资助项目 (05ZR14082) 作者简介 :杨 晖 (19842) ,男 ,上海人 ,硕士生 , 主要研究方向为具有人工合成结构的微波射频元器件.
block of metamaterial
1. 2 原有提取方法的问题及改进 表面上看 ,提取表达式 (3) 简洁漂亮 ,但它有着
一个很大的缺陷 :近似条件不容易得到满足. 因为通 常人工合成超材料的 μr 和εr 较大 , 如果使用式 ( 3) 会产生错误结果. 为了验证这种错误 , 假设一种介 质 ,且其μr = 5 和εr = 2 ,介质块长度 l = 5 mm. 当使 用式 (3) 提取的μr 和εr 在频率 f < 2 GHz 时与理论 值吻 合 , 但 在 频 率 较 高 时 就 出 错 了 , 在 4. 6 ～ 9. 7 GHz时甚至出现了 2 个参数都是负值的现象 , 如图 2 所示.
为
sin <(ω) <(ω)
≈ co s
<(ω)
=
A (ω)
(6)
式 (6) 的精度为 O
| <(ω) | 2 (2 !) 2
. 为了提高精度 ,
作如下改进 :
sin <(ω) <(ω)
≈ co s
<(ω) 3
+2
=
A (ω) 3
+2
(7)
可以得到式 ( 7) 的精度为 O
2| <(ω) | 4 (4 !) 2
对式 (4) 扩展得
A r (ω) = co s <r (ω) co sh <i (ω)
(10)
Ai (ω) = - sin <r (ω) sinh <i (ω)
(11)
由上面 2 式可得 , A r (ω) 的零点就是 co s <r 的零
点 ,而 Ai (ω) 的零点可能是 sin <r (ω) 的零点 ,也可能
地提取磁导率和介电常数.
1 参数提取方法
1. 1 模型建立
如图 1 所示 ,长度为 l 的人工合成超材料介质
块被连接在两段特性阻抗为 Z1 的均匀传输线中 ,端
面 T1 和 T2 之间的[ ABCD ]转移矩阵为
A (ω) C(ω)
B (ω)
co sβl
i Z0 sin βl
D (ω)
=
i 1 sin βl
第 43 卷 第 3 期 2009 年 3 月
上海交通大学学报
J OU RNAL O F SHAN GHA I J IAO TON G UN IV ERSIT Y
文章编号 :100622467 (2009) 0320408205
Vol . 43 No . 3 Mar. 2009
人工合成超材料参数提取方法的改进
图 2 μr = 5 ,εr = 2 , l = 5 mm 时 ,根据式 (3) 和 (5) 提取的 材料块参数
Fig. 2 Ext racted parameters of t he sample material using Eqs (3) and (5) when μr = 5 ,εr = 2 and l = 5 mm
一个求得相位信息的较好办法是通过测量非色
散频率 (或者低频) 内的群延时来推测材料在色散频
率范围内的群延时[13] ,但是该方法对于色散较大的
频率范围则不适用.
2 相位提取方法
由式 (8) 可知 ,要想仅从单频点传输线模型中的 [ ABCD ]矩阵中提取材料的 μr 和εr 很困难. 因此 , 必须借助相位 <(ω) 的信息. 为了更好地理解将要讨 论的这种方法 ,强调以下 2 点 :
此时可认为是 A r (ω) 的导函数 d ( A r (ω) ) / d ω的零
点 ,也将其归入ωm 的集合中.
讨论 co s <r (ω) 和 sin <r (ω) 零点的意义在于 , 它
能帮助分析多支函数 <r (ω) 的信息. 由上可得
<r (ωk )
=
π 2
+
n1π,
<r (ωm )
= n2π
点.
(2) 若 Ai (ωm ) = 0 ,且| A r (ωm ) | > 1 ,则 ωm 就是
sin <r (ω) 的零点. 对于无耗或者有耗介质来说 , 有可
能在一段频率范围内出现 Ai (ω) ≈0 且| A r (ω) | < 1
的情况 ,因为 <i (ω) 接近于零 , 所以 sin <r (ω) 的零点
(2) 函数 sin <(ω) / <(ω) 关于 <(ω) 偶对称 , <(ω) 的正负号并不影响由式 (5) 提取的μr 和εr . 因此 , 前 面所讨论的正负号问题可以先忽略 , 根据所提取的 μr 和εr 来判断正负.
杨 晖 , 肖高标 , 黄志刚 , 毛军发
(上海交通大学 电子信息与电气工程学院 , 上海 200240)
摘 要 : 通过建立均匀传输线模型来模拟人工合成超材料的参数提取 ,并且由该模型的 [ ABCD ] 矩阵完整地分析了传输相位信息 ,从而得到超材料的介电常数和磁导率. 研究结果表明 :相比目前 普遍使用的一阶相位近似方法 ,本文方法在准确性和使用范围上都有较大幅度的提高. 关键词 : 人工合成超材料 ; 均匀传输线 ; [ ABCD ]矩阵 ; 相位提取 中图分类号 : TN 011 文献标识码 : A
矩阵中被隐藏了. 其相位表达式为
<(ω) = arcco s A (ω) = 2 nπ ±<0 (ω) (8) 式中 : <0 (ω) 为多支函数 <(ω) 的主值 ,
<0 (ω) = - i ln[ A (ω) + i 1 - A2 (ω) ] (9) 如果规定 - π< Re{ <(ω) } <π,则 <(ω) = ±<0 (ω) .
(12)
式中 : n1 和 n2 为整数.
图 3 所示为一个根据 sin <r (ω) 和 co s <r (ω) 的
零点提取相位 <r (ω) 信息的例子. 图中 :ω1 、ω3 、ω4 为
co s <r (ω) 的零点 ,ω2 、ω5 、ω6 为 sin <r (ω) 的零点. 相
位的起始点为
<(0) = - i ln[ A (ω0 ) + i 1 - A2 (ω0 ) ] , 0 < <r (ω) <π/ 2
果 sin <r (ω) 和 sinh <i (ω) 同时为零 , 则| A r (ω) | =
| co s <r (ω) co sh <i (ω) | = 1. 因此 , 可以通过 A r (ω)
和 Ai (ω) 的零点来判断 co s <r (ω) 和 sin <r (ω) 的值.
具体如下 :
(1) 若 A r (ωk ) = 0 , 则 ωk 就是 co s <r (ω) 的零
近年来 ,人工合成超材料的研究深受人们的关 注 ,其中左手材料[1] 尤其突出. 人工合成超材料在亚 波长频率范围显示了自然界介质所没有的特性 ,因 此有着巨大的应用价值[224] . 在研究人工合成超材料 的过程中 ,数值方法起到了重要作用. 目前 ,已经有 许多关 于 人 工 合 成 超 材 料 的 结 构 及 其 特 性 的 研 究[4212 ] . 其中 ,文献[ 11 ]中将人工合成超材料看作一 种均匀介质 ,通过均匀传输线模型来研究它的传输 特性. 本文在此基础上 , 介绍了一种以材料端口 [ ABCD ]矩阵为参数 ,准确计算传输的相位函数和 由相位计算介质参数的方法 ,并且还提出了一个高 效的近似应用公式. 数值实验结果表明 ,新的近似公 式和相位提取信息能够在更宽的频率范围更为准确
, 可见
在近似精度上较式 (6) 有了很大的提高. 将这种方法
应用于上述材料的Hale Waihona Puke Baidu取 , 在整个 1～8 GHz 内都得
到了正确的结果 (见图 2) .
但是 ,整个问题至此并没有完全解决. 为了更准
确地提取参数μr 和εr , 必须了解相位 <(ω) 的信息.
这也是整个研究的难点 , 因为相位信息在 [ ABCD ]
肖高标 (联系人) ,男 ,副教授 ,硕士生导师 ,电话 ( Tel . ) :021234204337 ; E2mail :gaobiaoxiao @sjt u. edu. cn.
第 3 期
杨 晖 ,等 :人工合成超材料参数提取方法的改进
409
复数磁导率和介电常数 ,μ=μr μ0 ,ε=εr ε0 ,μr 和εr 分别为材料的相对磁导率和相对介电常数 ,μ0 和ε0
是 sinh <i (ω) 的零点. 为了找到 sin <r (ω) 的零点 , 可
以注意 :当 Ai (ω) 因为 sin <r (ω) 的零点而为零时 , 则
A r (ω) = | co sh <i (ω) | > 1 ; 当 Ai (ω) 因为 sinh <i (ω)
的零点而为零时 ,则| A r (ω) | = | co s <r (ω) | < 1 ; 如
为真空的磁导率和介电常数. 参考文献 [11 ]中描述
的提取方法 ,当相位 <(ω) 满足 <(ω) =βl ν 1 时 , 利
用
tanβl ≈βl
(2)
以及[ ABCD ]矩阵 ,得
μr
=
B (ω) iω l A (ω)μ0
,
εr
=
C(ω) iω l A (ω)ε0
(3)
图 1 人工合成材料的均匀传输线模型 Fig. 1 U niform t ransmission line model of a sample
为了根据[ ABCD ]矩阵正确提取传输线模型中
410
上 海 交 通 大 学 学 报
第 43 卷
的相位信息 ,需要保证以上 2 点 ,就是从一个较小的
频率点开始推演. 为了表示更清晰 ,定义
<(ω) = <r (ω) + i <i (ω) , A (ω) = A r (ω) + i Ai (ω)
为了修正上述公式在提取参数时发生的错误 , 对提取公式进行如下改进 :
co s <(ω) = A (ω)
(4)
μr
=
iω l [ sin
B (ω) <(ω) / <(ω) ]μ0
εr
=
iω l [ sin
C(ω) <(ω) /
<(ω)
]ε0
(5)
再回顾之前的提取公式 ,式 (2) 的近似可以等效
An Improved Method to Extract the Parameters of Metamaterials
YA N G H ui , X I A O Gao2bi ao , H U A N G Z hi2g an g , M A O J un2f a ( School of Elect ro nic ,Informatio n and Elect rical Engineering , Shanghai J iaoto ng U niver sit y , Shanghai 200240 , China)
Abstract : A numerical p rocedure was p ropo sed to recover t he co rrect p hase informatio n folded in [ ABCD ] mat rix for uniform model of metamaterial , t herefo re dielect ric parameter s can be ext racted. Co mpared wit h t raditio nal met hod , t his p rocedure can be applied in a wider f requency range and have a bet ter accuracy. Key words : metamaterial s ; uniform t ransmissio n line ; [ ABCD ] mat rix ; p hase ext racting
Z0
co sβl
(1)
式中 :i = - 1 ;β为传播常数 ,β=ω εμ; Z0 为特性 阻 抗 , Z0 = μ/ε;μ和ε分别为人工合成超材料的
收稿日期 :2007212221 基金项目 :上海市自然科学基金资助项目 (05ZR14082) 作者简介 :杨 晖 (19842) ,男 ,上海人 ,硕士生 , 主要研究方向为具有人工合成结构的微波射频元器件.
block of metamaterial
1. 2 原有提取方法的问题及改进 表面上看 ,提取表达式 (3) 简洁漂亮 ,但它有着
一个很大的缺陷 :近似条件不容易得到满足. 因为通 常人工合成超材料的 μr 和εr 较大 , 如果使用式 ( 3) 会产生错误结果. 为了验证这种错误 , 假设一种介 质 ,且其μr = 5 和εr = 2 ,介质块长度 l = 5 mm. 当使 用式 (3) 提取的μr 和εr 在频率 f < 2 GHz 时与理论 值吻 合 , 但 在 频 率 较 高 时 就 出 错 了 , 在 4. 6 ～ 9. 7 GHz时甚至出现了 2 个参数都是负值的现象 , 如图 2 所示.
为
sin <(ω) <(ω)
≈ co s
<(ω)
=
A (ω)
(6)
式 (6) 的精度为 O
| <(ω) | 2 (2 !) 2
. 为了提高精度 ,
作如下改进 :
sin <(ω) <(ω)
≈ co s
<(ω) 3
+2
=
A (ω) 3
+2
(7)
可以得到式 ( 7) 的精度为 O
2| <(ω) | 4 (4 !) 2
对式 (4) 扩展得
A r (ω) = co s <r (ω) co sh <i (ω)
(10)
Ai (ω) = - sin <r (ω) sinh <i (ω)
(11)
由上面 2 式可得 , A r (ω) 的零点就是 co s <r 的零
点 ,而 Ai (ω) 的零点可能是 sin <r (ω) 的零点 ,也可能
地提取磁导率和介电常数.
1 参数提取方法
1. 1 模型建立
如图 1 所示 ,长度为 l 的人工合成超材料介质
块被连接在两段特性阻抗为 Z1 的均匀传输线中 ,端
面 T1 和 T2 之间的[ ABCD ]转移矩阵为
A (ω) C(ω)
B (ω)
co sβl
i Z0 sin βl
D (ω)
=
i 1 sin βl
第 43 卷 第 3 期 2009 年 3 月
上海交通大学学报
J OU RNAL O F SHAN GHA I J IAO TON G UN IV ERSIT Y
文章编号 :100622467 (2009) 0320408205
Vol . 43 No . 3 Mar. 2009
人工合成超材料参数提取方法的改进
图 2 μr = 5 ,εr = 2 , l = 5 mm 时 ,根据式 (3) 和 (5) 提取的 材料块参数
Fig. 2 Ext racted parameters of t he sample material using Eqs (3) and (5) when μr = 5 ,εr = 2 and l = 5 mm
一个求得相位信息的较好办法是通过测量非色
散频率 (或者低频) 内的群延时来推测材料在色散频
率范围内的群延时[13] ,但是该方法对于色散较大的
频率范围则不适用.
2 相位提取方法
由式 (8) 可知 ,要想仅从单频点传输线模型中的 [ ABCD ]矩阵中提取材料的 μr 和εr 很困难. 因此 , 必须借助相位 <(ω) 的信息. 为了更好地理解将要讨 论的这种方法 ,强调以下 2 点 :
此时可认为是 A r (ω) 的导函数 d ( A r (ω) ) / d ω的零
点 ,也将其归入ωm 的集合中.
讨论 co s <r (ω) 和 sin <r (ω) 零点的意义在于 , 它
能帮助分析多支函数 <r (ω) 的信息. 由上可得
<r (ωk )
=
π 2
+
n1π,
<r (ωm )
= n2π
点.
(2) 若 Ai (ωm ) = 0 ,且| A r (ωm ) | > 1 ,则 ωm 就是
sin <r (ω) 的零点. 对于无耗或者有耗介质来说 , 有可
能在一段频率范围内出现 Ai (ω) ≈0 且| A r (ω) | < 1
的情况 ,因为 <i (ω) 接近于零 , 所以 sin <r (ω) 的零点