函数的极值与导数(含参)zst

2b 又 x1＋x2＝－ ，代入上式， a
得
2b 2 2 x2－x1＝a－ ＋2b＝＝0，即(x2－x1)(x2＋x1)＝0.
• 而x1<x2，∴x1＋x2＝0.∴b＝0. • 代入①式，得a(x2－1)＝0. • ∵a>0 ， ∴ x ＝±1. 再代入 f(x1) 或 f(x2) ，得 a ＝2. • ∴a＝2，b＝0.
f ( x ) 5ax 2 ( x 2 1).
( ,1)
(1)设a>0,列表如下: x
f ( x )
-1
(-1,1)
1
(1, )
+
0
—
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
4 f ( 1) a b c 4 由表可得 ,即 . 0 f (1) abc 0
(6)极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到. 4.确定函数的极值应从几何直观入手,理解可导函数在 其定义域上的单调性与函数极值的相互关系,掌握利 用导数判断函数极值的基本方法.
6x 练习1:求函数 y 2 的极值. 1 x 2
6(1 x ) . 解: y 2 2 (1 x ) 令 y=0,解得x1=-1,x2=1.
(2):如果在x0附近的左侧 f ( x ) 0,右侧 f ( x ) 0, 那么, f(x0)是极小值. 3.理解函数极值的定义时应注意以下几点:
(1)函数的极值是一个局部性的概念,极值点是区间内 部的点而不会是端点. (2)若f(x)在某区间内有极值,那么f(x)在某区间内一定 不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值. (3)极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不 一定比极小值大,极小值不一定比极大值小. (4)函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是 有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值 点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点. 一般地,当函数f(x)在某区间上连续且有有限极值 点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点 是交替出现的. (5)导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是 充分条件.
－ax2－2bx＋a ， (1＋x2)2 令 f′(x)＝0，即 ax2＋2bx－a＝0.①
∵Δ＝4b2＋4a2>0，∴方程①有两个不相等的实根，记 为 x1、x2. －ax2－2bx＋a 不妨设 x1<x2，则有 f′(x)＝ ＝0， 2 2 (1＋x ) 即－a(x－x1)(x－x2)＝0. f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2. (2)设a<0,列表如下:
x
f ( x )
( ,1)
-1 0
(-1,1) ≥0
1 0
(1, )
-
-
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
4 f (1) abc 4 由表可得 ,即 . 0 f ( 1) a b c 0
函数的极值与导数（含参）
含参函数的极值讨论
一、复习:
1.设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0 附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x) 的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函 数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极 大值与极小值统称极值. 2.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方 法是: 0, f ( x ) 0, 那么, (1):如果在x0附近的左侧 f ( x ) 右侧 f(x0)是极大值;
由上表可见，f(x)取得极大值和极小值的点各有 1 个． ax1＋b ax2＋b (2)解：由(1)可知 f(x1)＝ ＝－1，f(x2)＝ 2 ＝ 1＋x2 1 ＋ x 1 2
2 2 1⇒－x1 －1＝ax1＋b 且 1＋x2 ＝ ax ＋ b ，两式相加，得 x 2 2 2－ 2 x1 ＝a(x1＋x2)＋2b.
所以,a≥1是k≥-1成立的充要条件.
例2:已知f(x)=ax5-bx3+c在 x= 1 处有极值,且极大值
为4,极小值为0.试确定a,b,c的值. 4 2 2 2 f ( x ) 5 ax 3 bx x ( 5 ax 3b). 解: 题意,f ( x ) 0应有根 x 1 , 故5a=3b,于是:
思考2
已知函数 f ( x) x 3 ax 2 ( a 6) x 1
有极大值和极小值,求a范围? 解析 :f(x)有极大值和极小值 f’(x)=0有2实根,
0
解得 a>6或a<3
极值,不合题意. 2 f ( x ) 3 x 8 x 11 ( 3 x 11)( x 1). 当a=4,b=-11时, -3/11<x<1时f, ( x ) 0 ;x>1时, f ( x ) ,0 此时x=1是极 值点. 从而所求的解为a=4,b=-11.
小结：已知极值反求参数的取值，要注意以下几点：
1.可导函数的极值一定出现导数为零的地方。 2.要注意分清在那个地方取到极大值和极小值。 3.注意分类讨论思想
• 例3
• • • •
已知 f(x) ＝ ax3 ＋ bx2 ＋ cx(a≠0) 在 x ＝ ±1时取得极值，且f(1)＝－1， (1)试求常数a、b、c的值； (2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极 大值，并说明理由． [ 解析 ] (1) 由 f′( － 1) ＝ f′(1) ＝ 0 ，得 3a ＋ 2b ＋c＝0,3a－2b＋c＝0. 又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
的变化情况如下表: 当x变化时, y,y
x y’ y (-∞,-1) -1 0 (-1,1) + 1 0 (2,+∞) -
↘
极小值-3
↗
极大值3
↘
因此,当x=-1时有极小值,并且,y极小值=-3; 而,当x=1时有极大值,并且,y极大值=-3.
例1:已知函数f(x)=-x3+ax2+b.
(1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1, 求a、b的值. (2)若x [0,1] ,函数f(x)图象上的任意一点的切线斜 率为k,试讨论k≥-1成立的充要条件 . 解:(1)由 f ( x ) 3 x 2 2ax 0 得x=0或x=2a/3.故2a/3=4, a=6. 由于当x<0时, f ( x ) 0, 当x>0时, f ( x ) 0. 故当x=0时 , 2+2ax 达到极小值 b=-1. (2)f(x) 等价于当 时,-3x所以 ≥-1恒成立,即g(x)= x [0,1]f(0)=b, 3x2-2ax-1≤0对一切x [0,1]恒成立. 由于g(0)=-1≤0,故只需g(1)=2-2a≤0,即a≥1. 反之,当a≥1时,g(x)≤0对一切x [0,1] 恒成立.
又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.
练习1:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为 10,求a、b的值. ) 2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.① 解: f ( x=3x
又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②
a4 a 3 . 由①、②解得 或 b 11 b 3 当a=-3,b=3时, f ( x ) 3( x 1)2 0 , 此时f(x)在x=1处无
1 3 ∴a＝2，b＝0，c＝－2.
ax＋b 变式：设 a>0，(1)证明 f(x)＝ 2 取得极大值和极小值 1＋x 的点各有 1 个； (2)当极大值为 1，极小值为－1 时，求 a 和 b 的值．
[解析]
a(1＋x2)－2x(ax＋b) (1) 证 明 ： f′(x) ＝ ＝ (1＋x2)2