2021-2022年高考数学专题复习导练测 第七章 第4讲 基本不等式 理 新人教A版

2021年高考数学专题复习导练测 第七章 第4讲 基本不等式 理 新

人教A 版

一、选择题

1．若x ＞0，则x ＋4

x

的最小值为( )．

A ．2

B ．3

C ．2 2

D ．4

解析 ∵x ＞0，∴x ＋4

x

≥4.

答案 D

2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4

b

的最小值是( )．

A.72

B ．4

C.9

2

D ．5

解析 依题意得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥12⎝ ⎛

⎭⎪⎫5＋2

b a ×4a b ＝9

2

，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧

a ＋

b ＝2b a ＝

4a b a ＞0，b ＞0

，即a ＝2

3

，

b ＝4

3时取等号，即1a ＋4b 的最小值是9

2

.

答案 C

3．小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a

( )．

A ．a

B ．v ＝ab

C.ab

a ＋b

2

D ．v ＝

a ＋b

2

解析 设甲、乙两地之间的距离为s .

∵a

2s

s a ＋

s b

＝2ab a ＋b <2ab

2ab ＝ab .

又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2

a ＋

b ＝0，∴v >a .

答案 A

4．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )． A.1a ＋1

b

有最大值4

B ．ab 有最小值1

4

C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值

22

解析 由基本不等式，得ab ≤

a 2＋

b 2

2

＝

a ＋b

2

－2ab 2，所以ab ≤14，故B 错；1a ＋

1

b

＝

a ＋

b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b

2

≤ a ＋b

2

＝

1

2

，即a ＋b ≤ 2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝1

2，故D 错．

答案 C

5．已知x >0，y >0，且2x ＋1y

＝1，若x ＋2y >m 2

＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是

( )．

A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)

B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)

C ．(－2,4)

D ．(－4,2)

解析 ∵x >0，y >0且2x ＋1

y

＝1，

∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭

⎪⎫

2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y

≥4＋2

4y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y

，

即x ＝4，y ＝2时取等号，

∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立， 只需(x ＋2y )min >m 2

＋2m 恒成立， 即8>m 2＋2m ，解得－4

6．已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝

8

2m ＋1

(m >0)，l 1与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD

在x 轴上的投影长度分别为a ，b .当m 变化时，b a

的最小值为

( )．

A ．16 2

B ．8 2

C ．83

4

D ．434

解析 如图，作出y ＝|log 2x |的图象，由图可知A ，C 点的横坐标在区间(0,1)内，B ，D 点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且x C －x A

与x B －x D 同号，所以b a ＝

x B －x D

x C －x A

，根据已知

|log 2x A |＝m ，即－log 2x A ＝m ，所以x A ＝2－m

.同理可得x C ＝2－

82m ＋1，x B ＝2m ，x D ＝28

2m ＋1

，所以b a ＝2m －282m ＋12－82m ＋1－2－m ＝2m －282m ＋112

82m ＋1－12m ＝2m

－2

82m ＋12m

－2

82m ＋1

2m ·2

8

2m ＋1＝282m ＋1＋m ，由于8

2m ＋1＋m ＝

82m ＋1＋2m ＋12－12≥4－12＝72，当且仅当82m ＋1＝2m ＋12，即2m ＋1＝4，即m ＝32

时等号成立，故b a 的最小值为27

2

＝8 2.

答案 B 二、填空题

7．设x ，y 为实数．若4x 2

＋y 2

＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．

解析 依题意有(2x ＋y )2

＝1＋3xy ＝1＋32×2x ×y ≤1＋32·⎝ ⎛⎭⎪

⎫2x ＋y 22，得58

(2x ＋y )2≤1，即|2x ＋y |≤

2105.当且仅当2x ＝y ＝105时，2x ＋y 取最大值210

5

. 答案

210

5

8．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2

x

的图象交于P ，Q

两点，则线段PQ 长的最小值是________．

解析 假设直线与函数f (x )＝2

x

的图象在第一象限内的交点为P ，在第三象限内的交

点为Q ，由题意知线段PQ 的长为OP 长的2倍．