第二讲 随机过程的基本概念以统计特性
合集下载
2随机过程(上课用)
xf ( x ) dx
n
[x
i 1
i
a ] P ( xi )
2
( x a ) f ( x ) dx
2
第二章 随机过程
3、随机变量的数字特征(续)
（3）相关函数
无论是离散的还是连续的随机变量，两个随机
变量的相关函数统一定义为
R ( 1 , 2 ) E [ 1 2 ]
第二章 随机过程
一维概率分布函数和密度函数
因为随机过程在任一时刻对应1个随机变量
把随机过程在时刻
则该随机过程在时刻 F1 ( x , t 1 ) P [ ( t 1 ) x ]
t 1 对应随机变量记为
t 1的一维概率分布函数定
( t1 )
义为
其一维概率密度函数定
义为 f 1 ( x , t 1 )
(t ) 都是是连续的随机变量
xf 1 ( x , t ) dx
第二章 随机过程
2、随机过程的方差
同理，随机过程的方差也是一个关于时间 的函数，可由下式计算
( t ) D [ ( t )]
2
E {[ ( t ) a ( t )] }
2
若每个时刻对应的 则 (t )
T /2 T / 2
f
2
(t ) d t
1 T
T
li m
T /2 T / 2
f
2
(t ) d t
第二章 随机过程
二、能量谱密度和功率谱密度
能量信号f(t)的能量谱密度E(ω)
第二章 随机过程总结
图2-2-3 随机过程的均方值、方差
方差、均方值和均值有数学关系式：
(2.2.18) • 方差描述在该时刻对其数学期望的偏离程度。
• 数学期望、均方值和均方差只能描述随机过程孤 立的时间点上的统计特性。
• 随机过程孤立的时间点上的统计特性不能反映随 机过程的起伏程度。
图2-2-4 随机过程的起伏程度
注：一维概率分布描述了随机过程在各个孤 立时刻的统计特性。 3、二维分布函数
与 ， ， 和 都有直接的关系， 是 ，， 和 的四元函数，记为： (2.2.4) 被称为随机过程的二维分布函数。
4、二维概率密度函数
如果存在四元函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，使
(2.2.5)
成立,则称 为随机过程的二维概率密 度函数，是 ，，和 的四元函数，且满足 (2.2.6)
§2.3
平稳随机过程
• 平稳随机过程的定义
• 严平稳随机过程及其性质 • 宽平稳随机过程及其性质
图2-3-1 初相角随机的正弦信号
图2-3-2 幅度随机的正弦信号
图2-3-3 频率随机的正弦信号
图2-3-4 频率、相位和幅度随机的正弦信号
图2-3-5 云层背景下的飞机
2.3.1 随机信号 的统计特性(如概率密度函 数、相关函数)，部分或全部在观察点或观察 点组的位置变化时，保持不变或变化。在随机 信号理论中就称该随机信号的相应统计特性具 有平稳或非平稳性。 2.3.2 随机信号统计平稳性有多种情况： (1)对整个观察点位置 变化的平稳性； (2)对观察点中时间位置 变化的时间平稳性； (3)对观察点空间位置 变化的平稳性； (4)对观察点中空间位置的部分坐标变化的平 稳性。
例2.8 设有随机过程 ，式中A是高斯 随机变量， 为确定的时间函数。试判断 是否为严平稳过程。 解：已知A的概率密度函数
第二章 随机过程的基本概念_20150331
其中 Φ = {0,−π / 2)，且取值概率各为1/2，求 n2 = 10 时的一维和二维概率分布。 n1 = 0 ，
解：本题的随机过程只有两个样本函数, 且 两个样本函数都具有确定的形式, 是一种可 预测的随机过程。
2.2.1 随机过程的概率分布
（续）它的两个样本函数为
x1 (= n) cos(πn / 10)
1 f X ( x, 0) = e 2π
x2 − 2
2015/3/31
16
2.2.1 随机过程的概率分布
（续）
2π t= 3ω0
2π 1 X Y = − 2 3ω0
y = −2 x
2π ) = fY ( y ) J f X ( x, 3ω0
J =2
2
2π f X (= x, ) 3ω0
y= x cos ω0t
f X ( x, t ) = fY ( y ) J
f X ( x, t ) =
2015/3/31
1 J= cos ω0t
2 1 1 x exp − 2 cos ω0t 2π cos ω0t
18
2.2.1 随机过程的概率分布
1 1/2 0
x2
x1
-1 0
1/2
2.2.1 随机过程的概率分布
（续）二位概率密度
1 1 f ( x1 , x2 , 0, π / ω0 ) = δ( x1 − 1, x2 + 1) + δ( x1 , x2 ) 2 2
二维概率分布
π FX ( x1 , x2 , 0, ) = ω0
∑ P{ X (0) ≤ x , X (10) ≤ x }
随机过程的基本概念
随机过程的基本概念随机过程是随机现象的数学模型，是一种以时间为自变量而取随机数值的函数族，是概率论和数理统计中的重要工具之一。
本文将从定义、性质、分类等方面论述随机过程的基本概念。
一、随机过程的定义随机过程是由一个随机变量族{Xt}（t∈T）所组成的集合的统称，其中T为时间参数集合。
换言之，随机过程是时间与随机变量的集合关系，其中随机变量的取值是时间变化的函数。
随机过程可以用X(t)表示，其中t表示时间，X表示在时间t处的随机变量。
简单来说，随机过程就是为一组日期指定随机变量，使得这些随机变量与其日期相关联。
每个随机变量表示特定日期发生的随机事件。
二、随机过程的性质1. 一般随机过程：随机变量群体的每个成员都需要一个完整的概率空间，并且具有一个抽象的时间参数集合。
因此，一般随机过程的样本空间往往是所有该样本空间下所有概率空间的笛卡尔积。
2. 同伦：如果存在同伦t:s→t+s（s∈S）,使得随机过程{Xt}具有相同的联合概率分布，则称该随机过程在t上存在同伦。
3. 马尔科夫性质：在一个离散时间的随机过程中，前时刻的状态随后时刻的状态条件独立，且只与当前状态有关，而与以前的任何状态无关，称之为马尔科夫性质。
三、随机过程的分类1. 离散时间：随机变量在离散位置上取值，时间参数集合为整数集，可表示为{Xn}。
2. 连续时间：随机变量在连续位置上取值，时间参数集合为实数集，可表示为{X(t)}3. 马尔科夫过程：随机过程满足马尔科夫性质的过程，由此得名。
4. 二元过程：仅具有两个状态变量，称之为二元过程。
四、随机过程的应用随机过程广泛应用于电信、生物工程、金融、天气预报等领域。
其中，离散时间的随机过程广泛应用于通信领域，如编码、压缩、调制等；连续时间的随机过程用于天气预报、环境工程、资产定价等领域。
在工程领域，随机过程也有广泛应用。
例如，可以使用随机过程模型预测质量的保证水平。
需要重视的是，应用随机过程模型时，要注意模型的精度和可行性，避免虚假模型带来的风险。
第2讲 第二章随机过程的概念
0 x 0或y 1 0 x 1, y 2或 1 / 2 x 1, -1 y 2 1 / 4 0 x 1-1 y 2, x 1，y 2 1
华北电力大学数理学院 何凤霞
在实际应用中,很难确定出随机过程的有限维 分布函数族,过程的数字特征能反映其局部统计性 质. 下面，讨论随机过程的数字特征.
X ( t1 ), X ( t 2 ),, X ( t n ) 的联合分布函数：
Ft1 ,,tn ( x1 , , xn ) P{ X (t1 ) x1 , , X (tn ) xn }
称为过程的n 维分布函数族.
有限维分布函数性质 1) 对称性 对1,2,…,n的任一排列j1, j2, … , jn,均有
E ( A) E[cos( t )] 0;
RX ( s, t ) E[ X ( s ) X ( t )] E[ A2cos(t )cos(s )]
E ( A2 ) E[cos(t )cos(s )] 1 2π 0 cos( t θ )cos( s θ )dθ 2π 1 2π 0 [cos( t s ) cos(( t s ) 2θ )dθ 4π 1 cos( t s ). 2
mY (n) E[Yn ] E[ X j ] np,
n
m n BY (n, m) COV Yn , Ym COV X j , X j j j 1 m1 m n COV X j X j , X j j m 1 j 1 j 1 m D X j mpq j 1
第二章 随机过程的基本概念 §2.1 随机过程的基本概念
随机过程 第2章
随机变量 随机变量族
e → x(e) (e, t) → xt(e)=x(e, t)
x=xt(ei)
x
e1 e2 e3
e
概率空间和随机对象
样本空间
概率空间
随机变量
随机向量
随机过程
2.1 随机过程的基本概念
定义：设(Ω, ö,P)为概率空间，T是参数集。 若对任意 t ∈T ，有随机变量X(t, e)与之 对应，则称随机变量族{X(t, e)， t ∈T } 是(Ω, ö,P)上的随机过程，简记为 {X(t)，t ∈T }或{Xt，t ∈T }。 ★ X(t)的所有可能的取值的集合称为状态空 间或相空间，记为I。
由此可将随机过程分为以下四类：
a. 离散参数离散型随机过程； b. 离散参数连续型随机过程； c. 连续参数离散型随机过程； d. 连续参数连续型随机过程。
2. 以随机过程的统计特征或概率特 征分类：
a. 独立增量过程； b. Markov过程； c. d. e. f. g. 二阶矩过程； 平稳过程； 鞅； 更新过程； Poission过程；
称之为随机过程X(t) 的二维概率密度。
2.3 随机过程的分布律
随机过程的二维分布函数比一维分布函数包含了随 机过程变化规律更多的信息，但它仍不能完整地反 映出随机过程的全部特性及变化规律。用同样的方 法，我们可以引入随机过程 X(t) 的 n 维分布函数和 n 维概率密度。
FX ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 , tn )
• 又如移动某基站每天的通话次数，X 显然不 能确定，即为随机变量，进一步分析知这 个 X 还和时间 t 有关，即 X(t)，所以 X(t) 也构成一个过程，即随机过程；类似地， 气温、气压、商店每天的顾客流量等都构 成一个随机过程。
概率论与随机过程第2章(15)
解3, 雅各比行列式的方法
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程
统计平均描述法：
统计平均描述法所关心的是: 随机过程在某时刻或不同时刻的平均特 征—均值； 偏离均值的程度—方差， 不同时刻随机变量之间的相关程度 —相 关函数，等数字特征。 总之，统计平均描述法是从统计平均的意 义上研究随机过程的宏观特性。
X (t , 2 ) x2 ( kt s )
t1
经过判别电路, 大于门限 电压为 “1”,小于门限电 压为“0”
X (t , 1 ) x1 ( kt s )
t1
t
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程
按样本函数形式分类
类别 不确定随机过程 确定随机过程
过去观测值与未来值的关系 结果不可预测（不能描述成t的函数） 可预测（可描述成t的函数）
随机过程的分类
按时间和状态分类 类别 连续随机过程 离散随机过程 连续随机序列 离散随机序列
电压噪声 X ( t 1 , )
X( t )
状态 连续 离散 连续 离散 X( t )
时间 连续 连续 离散 离散
X ( t 1 , )
t
t1
X( t )
经过采样 X ( t 1 , )
样本函数
X (t , 3 ) x3 ( kt s )
2 X
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程
2. 均方值与方差
2 X (t ) [ X 2 (t )]
原点矩：
方差：
2
x p X ( x, t )dx
2
2 X ( t ) D X ( t ) E X ( t ) m X ( t )
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程
统计平均描述法：
统计平均描述法所关心的是: 随机过程在某时刻或不同时刻的平均特 征—均值； 偏离均值的程度—方差， 不同时刻随机变量之间的相关程度 —相 关函数，等数字特征。 总之，统计平均描述法是从统计平均的意 义上研究随机过程的宏观特性。
X (t , 2 ) x2 ( kt s )
t1
经过判别电路, 大于门限 电压为 “1”,小于门限电 压为“0”
X (t , 1 ) x1 ( kt s )
t1
t
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程
按样本函数形式分类
类别 不确定随机过程 确定随机过程
过去观测值与未来值的关系 结果不可预测（不能描述成t的函数） 可预测（可描述成t的函数）
随机过程的分类
按时间和状态分类 类别 连续随机过程 离散随机过程 连续随机序列 离散随机序列
电压噪声 X ( t 1 , )
X( t )
状态 连续 离散 连续 离散 X( t )
时间 连续 连续 离散 离散
X ( t 1 , )
t
t1
X( t )
经过采样 X ( t 1 , )
样本函数
X (t , 3 ) x3 ( kt s )
2 X
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程
2. 均方值与方差
2 X (t ) [ X 2 (t )]
原点矩：
方差：
2
x p X ( x, t )dx
2
2 X ( t ) D X ( t ) E X ( t ) m X ( t )
第02知识点(随机过程的基本概念)
3 ) 4
A
2
fX (x)
da dx
fA
2x
2, 1 x0 2 0 , else
22
随机信号基础
2020/4/3
CH2.1 随机过程的概念及统计特性
当ti
时，X
(ti
)
A cos(
)
A
fX (x)
da dx
f A x
1 , 1 x 0
0
,
else
(2)
当t0
2
时，X
(t0 )
定义：若t取任意可能的固定时刻，x为此 时刻X(t)的取值，则定义：
FX (x,t) PX (t) x
为随机过程X(t)的一维分布函数；
若FX(x,t)存在对x的偏导数，则定义：
fX
( x, t )
FX ( x, t) x
为随机过程X(t)的一维概率密度函数。
16
随机信号基础
2020/4/3
CH2.1 随机过程的概念及统计特性
答：(1)随机过程将普通函数的概念从实数与 实数的对应关系推广到实数与随机变量的对 应关系。对普通函数而言，当t∈T时，总有 一个确定的实数x与之对应；而对随机过程而 言，当t∈T时，与之对应的X(e,t)是一个随机 变量。
12
随机信号基础
2020/4/3
CH2.1 随机过程的概念及统计特性
(2)随机过程是随机变量概念的推广。随机 变量是在固定时间t上的试验结果，是一个数 的集合；而随机过程是在t∈T上的试验结果， 是一个时间函数的集合。当t固定时，随机过 程就成为一个随机变量。
FX (x1, x2;t1,t2 ) PX (t1) x1, X (t2 ) x2
第二章 随机过程基本概念
随机过程的基本概念
第二章 随机过程的基本概念
§2.1 随机过程的定义 §2.2 随机过程的分布与数字特征 §2.3 随机过程的分类
§2.1 随机过程的定义
引入：
初等概率论的研究对象
§2.1 随机过程的定义
引例1
某电话交换台在时间段[0,t]内接到的电话次数记为X(t),
随机现象某个时刻或有限个时刻静态的结果 即一个或有限个随机变量(随机向量). 问 描述随机现象的整个变化过程， 需要多少个随机变量？
Fn ( xi1 , xi2 ,, xin , ti1 , ti2 ,, tin ) Fn ( x1 , x2 ,, xn , t1, t2 ,, tn )
(2)相容性 对任意自然数m<n,随机过程的m维分布函数 与n维分布函数之间有关系：
Fm ( x1 , x2 ,, xm , t1 , t2 ,, tm ) Fn ( x1 , x2 ,, xm , ,, , t1 , t2 ,, tn )
解
X(t ) A (t (T0 kT )), T0 kT t T0 (k 1)T (k 0, 1, 2) T
§2.2 随机过程的分布与数字特征
2、随机过程的二维分布函数
定义 设{ X ( t ), t T }是一个随机过程，对任意固定的
T 故有，T0 X (t ) t kT h( X (t )), T0 kT t T0 (k 1)T A
29 November 2015
随机过程
§2.2 随机过程的分布与数字特征
例1 设X ( t ) X cos(at ), t ，其中a为常数，
X服从标准正态分布，试求X(t)的一维概率密度函数。
第二章 随机过程的基本概念
§2.1 随机过程的定义 §2.2 随机过程的分布与数字特征 §2.3 随机过程的分类
§2.1 随机过程的定义
引入：
初等概率论的研究对象
§2.1 随机过程的定义
引例1
某电话交换台在时间段[0,t]内接到的电话次数记为X(t),
随机现象某个时刻或有限个时刻静态的结果 即一个或有限个随机变量(随机向量). 问 描述随机现象的整个变化过程， 需要多少个随机变量？
Fn ( xi1 , xi2 ,, xin , ti1 , ti2 ,, tin ) Fn ( x1 , x2 ,, xn , t1, t2 ,, tn )
(2)相容性 对任意自然数m<n,随机过程的m维分布函数 与n维分布函数之间有关系：
Fm ( x1 , x2 ,, xm , t1 , t2 ,, tm ) Fn ( x1 , x2 ,, xm , ,, , t1 , t2 ,, tn )
解
X(t ) A (t (T0 kT )), T0 kT t T0 (k 1)T (k 0, 1, 2) T
§2.2 随机过程的分布与数字特征
2、随机过程的二维分布函数
定义 设{ X ( t ), t T }是一个随机过程，对任意固定的
T 故有，T0 X (t ) t kT h( X (t )), T0 kT t T0 (k 1)T A
29 November 2015
随机过程
§2.2 随机过程的分布与数字特征
例1 设X ( t ) X cos(at ), t ，其中a为常数，
X服从标准正态分布，试求X(t)的一维概率密度函数。
第二章 随机过程分析
图2-3-2 幅度随机的正弦信号
图2-3-3 频率随机的正弦信号
图2-3-4 频率、相位和幅度随机的正弦信号
图2-3-5 云层背景下的飞机
2.3.1 随机信号 的统计特性(如概率密度函 数、相关函数)，部分或全部在观察点或观察
点组的位置变化时，保持不变或变化。在随机
信号理论中就称该随机信号的相应统计特性具 有平稳或非平稳性。
5、n维分布函数和概率密度函数
例2.2 讨论贝努里随机过程 的一、二维概率 特性。
解：贝努里随机过程，在 时刻，独立地观 察某个事件 发生与否，建立事件 的指示函 数
且有概率
(2.2.7)
设
，单位步函数（阶跃函数）
贝努里随机过程的一维概率分布函数
一维概率密度函数
(2.2.8)
(2.2.9)
贝努里随机过程 ，对于不同的时刻 ，其
随机变量
是彼此统计独立的。因此，
可得
(2.2.10)
贝努里随机过程的二维概率分布函数是
其中， 是二维单位阶跃函数。 那么二维概率密度函数
(2.2.11) (2.2.12)
(2.2.13)
式中，
(2.2.14)
2.2.2、随机过程的数字特征
• 随机过程的分布函数在实际上是很难获取的， 甚至是不可能的。
(2.2.2) 成立,则称 为随机过程的一维概率密度函 数, 是 和 的二元函数，且满足
(2.2.3)
注：一维概率分布描述了随机过程在各个孤 立时刻的统计特性。
3、二维分布函数
与 ， ， 和 都有直接的关系， 是 ，， 和 的四元函数，记为：
(2.2.4) 被称为随机过程的二维分布函数。
4、二维概率密度函数
02第二讲随机过程概念及数字特征精品PPT课件
'
dt
'
E
1 T
T
2 T
2
T
2 T
2
(t)
(t
'
)e
j
(t t '
)dtdt
'
1 T
T
2 T
2
T
2 T
R(t
t ' )e
j(tt' )dtdt '
2
E[ FT () 2 ] 1
2
R(0)R()Fra bibliotek0二、功率谱密度
付氏变换（能量谱密度）F () f (t)e jtdt 沟通了确定信号时域和频
域的关系，随机过程在频率域中要讨论功率谱密度 ，主要原因有二 ：
1. 对于随机过程来说，它由许许多多个样本函数来构成, 所以无法求其付氏 变换，可以说,随机过程不存在付氏变换。 2. 随机过程属于功率信号而不属于能量信号，所以讨论功率谱密度。
自相关遍历
R( )
遍历过程即指宽遍历过程.
四、严遍历过程或窄义遍历过程
的所有统计平均特性和其样函数所有相应的时间平 均特性以概率为一相等 1.遍历过程必定是平稳过程,但平稳过程不一定是遍历过程。
2.若 是平稳高斯过程, 且
；
:
则 是遍历过程
3.对于遍历过程,只要根据其一个样函数,便可得到其数字特征。
x1x2
10 x1 100
x2
dx1dx2
5
5 x2
5 5
x1
10
x1 100
x2
dx1dx2
5
5 x2
320500dx2
0
CX (t1,t2 ) E{[ X (t1) E[ X (t1)]][X (t1) E[ X (t1)]]} E[ X (t1) X (t1)] 0
第二章 随机过程的基本概念
2007年10月
Байду номын сангаас
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
例、设随机相位信号
X (n) cos(n /10 )
其中 {0, / 2} ，且取值概率各为1/2, 求 n1 0 ， n2 10 时的一维和二维概率分布。 解、
1
x1 (n) cos(n /10)
xi (n, i ) A cos(0n i )
随机相位信号
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
5 0 -5 5 0 -5 5 0 -5 5 0 -5 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200
(t1 , t2 ,
xn )
E{exp[ j (u1 X (t1 ) u2 X (t2 )
exp[ j (u1 X (t1 ) u2 X (t2 ) dF (t1 , t2 , tn ; x1 , x2 ,
ui R, ti T , i 1, 2, 为随机过程{ X (t ),t T }的n维特征函数.
模拟自然界实际的随机过程 。
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
50
100
150
200
伪随机序列
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
伪随机序列应用举例
GPS系统中的码分多址（CDMA）
GPS卫星
0
GPS接收机
伪随机码自相关函数
2007年10月
Байду номын сангаас
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
例、设随机相位信号
X (n) cos(n /10 )
其中 {0, / 2} ，且取值概率各为1/2, 求 n1 0 ， n2 10 时的一维和二维概率分布。 解、
1
x1 (n) cos(n /10)
xi (n, i ) A cos(0n i )
随机相位信号
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
5 0 -5 5 0 -5 5 0 -5 5 0 -5 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200
(t1 , t2 ,
xn )
E{exp[ j (u1 X (t1 ) u2 X (t2 )
exp[ j (u1 X (t1 ) u2 X (t2 ) dF (t1 , t2 , tn ; x1 , x2 ,
ui R, ti T , i 1, 2, 为随机过程{ X (t ),t T }的n维特征函数.
模拟自然界实际的随机过程 。
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
50
100
150
200
伪随机序列
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
伪随机序列应用举例
GPS系统中的码分多址（CDMA）
GPS卫星
0
GPS接收机
伪随机码自相关函数
2007年10月
cp3_1随机过程的基本概念
若X与Y不相关，不一定统计独立。
不相关的充要条件为：CXY= rxy=0 …协方差为0
《 通信原理》第三章 随机过程
3-1-14
第1节随机过程的基本概念
例3.1-1 随机变量X取离散值2，5，8，概率分别为0.5、 0.2、0.3，求该随机变量的方差。
m x E[ x ] xi P( x xi ) xi P( xi ) =2×P(2)+5×P(5)+8×P(8)
3-1-8
第1节随机过程的基本概念
随机变量的数字特征 ⑴数学期望：随机变量X的统计平均值。 …………X为连续随机变量
m x E[x]
xf ( x)dx
m x E[ x ] xi P( x xi ) xi P( xi )
i 1 i 1
… X为离散随机变量
连续型随机变量：X的可能取值为整个区间的任意值。如接收
机输出电压噪声。
离散型随机变量： X的可能取值为有限值。如掷殺子。
《 通信原理》第三章 随机过程
3-1-3
第1节随机过程的基本概念
分布函数 在实际问题中，往往研究X≦xi的概率比研究x=xi的概率更有意义。 随机变量X的取值不超过x的概率P(X ≦x)为X的（概率）分布函数。 记为F(x)= P(X ≦x)。 设离散随机变量X可能取值有6个,x1～x6 ,且x1﹤…﹤x6 ,概率表：
E[g( x )] g ( xi ) P( x xi ) g ( xi ) P( xi )
i 1 i 1
… X为离散随机变量
《 通信原理》第三章 随机过程
3-1-10
第1节随机过程的基本概念
第二章 随机过程
图2-1-1 噪声电压的输出波形
定义1 设随机试验E的样本空间为 ，如果 对于每一个样本 ，总可以依某种规则确定 一时间t的函数 (T是时间t的变化范 围 ) 与之对应。于是，对于所有的 来说， 就得到一族时间t的函数，称此族时间的函数为 随机过程（也称随机信号）X，而族中的每一个 函数称为该随机过程的样本函数。 注：随机过程是样本函数的集合 。
决定随机信号的主 要物理条件不变
3、主要性质 (1)、若 是严平稳随机过程，则它的一维概 率密度与时间无关。 证明 令 ，则一维概率密度函数
得证。
(2)、若 是严平稳随机过程，则它的均值、 均方值和方差都是与时间无关的常数。
证明： 根据题意有 (2.3.2) (2.3.3) (2.3.4)
(2)、若 是严平稳随机过程，则它的均值、 均方值和方差都是与时间无关的常数。
2.2.1、随机过程的概率分布
随机过程 ，在每一固定时刻 都是随机变量。 随机事件：
发生概率：
， 和
，
，
1、一维分布函数 与 和 都有直接的关系，是 和 的 二元函数，记为： (2.2.1) 被称为随机过程的一维分布函数。 2、一维概率密度函数 如果存在二元函数 ，使 (2.2.2) 成立,则称 为随机过程的一维概率密度函 数, 是 和 的二元函数，且满足 (2.2.3)
• 研究随机过程的概率密度函数的统计特性是 很困难的； • 随机过程一、二阶矩函数在一定程度上描述 了随机过程的一些重要特性。 (1) 噪声电压是一平稳过程 ，那么一、二阶 矩函数，就是噪声平均功率的直流分量、交 流分量、总平均功率等参数。 (2) 正态随机过程由数学期望和相关函数详 细描述。
1 定义 若随机过程
自协方差函数反映了随机过程 在两个不同 时刻的状态相对于数学均值之间的相关程 度。
第二章随机过程基本概念.
(1若有的一维密度函数。
为称使可积
}: ({ , ( , ( , (, 0 , (1111T t t X t x f dx
t x f t x F t x f x
Î=³ò¥-(2若有的一维概率分布。
为称满足}: ({}{1
, 0} ({T t t X p p
p p x t X P k k k k k
k Î=³==å
¥¥-k k iux X k k iux X p e
u t p x t X P t X dx t x f e u t t x f t X k , ( (( ( 2 , ( , ( , ( (111jj则有分布列若(,则
有密度若(
有时也需要利用常用的一些特征函数来求随机变量的分布函数,由特征函数与分布函数的一一对应性有:
cos(
(Q
+
=t
a
t
X w
的均值函数,方差函数和自相关函数。其中, a , w为常数, Q是在(0, 2p上均匀分布的随机变量。例4试求随机相位余弦波
2随机过程的特征函数
的一维特征函数。
为称为随机变量,记
由于给定( , ( ( ( , ( (, ( (t X u t u e
E u t t X T t X t X t iuX X jjjÙ==Îåò====
为X (t的有限维分布函数族。
为随机过程的n维分布函数。称关于随机过程X (t的所有有限维分布函数的集合
注意:随机过程的n维分布函数描述了随机过程在任意n不同时刻的状态之间的联系。
随机过程X (t的有限维分布函数族的意义何在?随机过程的n维分布函数(或概率密度能够近似地描述随机过程的统计特性,而且, n越大,则n维分布函数越趋完善地描述随机过程的统计特性。
为称使可积
}: ({ , ( , ( , (, 0 , (1111T t t X t x f dx
t x f t x F t x f x
Î=³ò¥-(2若有的一维概率分布。
为称满足}: ({}{1
, 0} ({T t t X p p
p p x t X P k k k k k
k Î=³==å
¥¥-k k iux X k k iux X p e
u t p x t X P t X dx t x f e u t t x f t X k , ( (( ( 2 , ( , ( , ( (111jj则有分布列若(,则
有密度若(
有时也需要利用常用的一些特征函数来求随机变量的分布函数,由特征函数与分布函数的一一对应性有:
cos(
(Q
+
=t
a
t
X w
的均值函数,方差函数和自相关函数。其中, a , w为常数, Q是在(0, 2p上均匀分布的随机变量。例4试求随机相位余弦波
2随机过程的特征函数
的一维特征函数。
为称为随机变量,记
由于给定( , ( ( ( , ( (, ( (t X u t u e
E u t t X T t X t X t iuX X jjjÙ==Îåò====
为X (t的有限维分布函数族。
为随机过程的n维分布函数。称关于随机过程X (t的所有有限维分布函数的集合
注意:随机过程的n维分布函数描述了随机过程在任意n不同时刻的状态之间的联系。
随机过程X (t的有限维分布函数族的意义何在?随机过程的n维分布函数(或概率密度能够近似地描述随机过程的统计特性,而且, n越大,则n维分布函数越趋完善地描述随机过程的统计特性。
随机过程的统计特性PPT教学课件
4. 互相关函数和互协方差函数 设有两个随机过程X(t)和Y(t)，它们在 任意两个时刻t1和t2的状态分别为X(t1) 和Y(t2)，则随机过程X(t)和Y(t)的互相 关函数定义为
RXY (t1,t2 ) E[ X (t1)Y (t2 )]
xyf XY (x, y;t1,t2 )dxdy
FX ( x1, x2; t1, t2 ) P{X (t1) x1, X (t2 ) x2}
称为随机过程X(t)的二维概率分布函数。
若 FX ( x1, x2;t1, t2 ) 对x1,x2的偏导数 存在，则定义
fX
(x1, x2;t1, t2 )
2 FX
(x1, x2;t1, t2 ) x1x2
正常红细胞
镰刀型红细胞
一、引起变异的原因
环境 遗传物质
不能遗传 能够遗传
二、遗传物质改变的因素：
染色体的改变
基因的重组
基因的突变
１、提出问题： 花生果实大小有变异吗？
２、做出假设： 花生果实的个体大小存在变异
（1）材料用具 两种花生、尺、笔、坐标纸（或白纸） （2）实施过程及测量数据
①选取了大花生３０粒，小花生３０粒 ②测量的大花生的数据 ③测量的小花生的数据 ④根据所测数据绘制坐标图（或直方图）
nX ( n
,
t)
| 0
相关函数与二维特征函数之间的关系为：
RX
(t1, t2 )
2X
(1,2 ; t1, t2 ) 12
|12 0
第七单元 第二章
第五节 生物的变异
生物的变异现象在生物中 是普遍存在的。
要探究的问题：花生果实大小的变异 材料：两个品种的花生、纸、笔、尺 采用的方法：通过观察两种不同花生的
随机过程的基本概念ppt课件
E{X2(t) }m X 2(t)
•均值与方差的物理意义：
表示消耗在单位电阻 上的总的平均功率。
E{X 2(t)}X 2(t)m X 2(t)
.
2.2 随机过程的统计描述
二、随机过程的数字特征（连续）
•相关函数
R X ( t 1 , t 2 ) E { X ( t 1 ) X ( t 2 ) } x 1 x 2 f ( x 1 , x 2 , t 1 , t 2 ) d x 1 d x 2
（2）如果 RX(t1,t2)0，则称 X (t1 ) 和 X (t2 ) 是相互正交的。 （3）如果 f X ( x 1 ,x 2 ,t 1 ,t2 ) f X ( x 1 ,t 1 )f X ( x 2 ,t2 )
随机相位信号 .
2.1 随机过程的基本概念及定义
2、随机过程分类
√ 按随机过程有无平稳性分： 平稳随机过程、非平稳随机过程；
√ 按随机过程有无遍历分： 遍历随机过程、非遍历随机过程；
√ 按随机过程功率谱特性分： 宽带随机过程、窄带随机过程；
.
2.2 随机过程的统计描述
一、随机过程的概率分布 1、一维概率分布
.
2.1 随机过程的基本概念及定义
2、随机过程分类
√ 按时间和状态的类型分：
状态
时间
连续型随机过程
连续
连续
连续随机序列
连续
离散
离散型随机过程
离散
连续
离散随机序列
离散
离散
.
2.1 随机过程的基本概念及定义
2、随机过程分类
√ 按随机过程的样本函数的形式分：
不可预测的随机过程 可预测的随机过程
特点
任意样本函数的未来值不能由 过去的观测值准确地预测
•均值与方差的物理意义：
表示消耗在单位电阻 上的总的平均功率。
E{X 2(t)}X 2(t)m X 2(t)
.
2.2 随机过程的统计描述
二、随机过程的数字特征（连续）
•相关函数
R X ( t 1 , t 2 ) E { X ( t 1 ) X ( t 2 ) } x 1 x 2 f ( x 1 , x 2 , t 1 , t 2 ) d x 1 d x 2
（2）如果 RX(t1,t2)0，则称 X (t1 ) 和 X (t2 ) 是相互正交的。 （3）如果 f X ( x 1 ,x 2 ,t 1 ,t2 ) f X ( x 1 ,t 1 )f X ( x 2 ,t2 )
随机相位信号 .
2.1 随机过程的基本概念及定义
2、随机过程分类
√ 按随机过程有无平稳性分： 平稳随机过程、非平稳随机过程；
√ 按随机过程有无遍历分： 遍历随机过程、非遍历随机过程；
√ 按随机过程功率谱特性分： 宽带随机过程、窄带随机过程；
.
2.2 随机过程的统计描述
一、随机过程的概率分布 1、一维概率分布
.
2.1 随机过程的基本概念及定义
2、随机过程分类
√ 按时间和状态的类型分：
状态
时间
连续型随机过程
连续
连续
连续随机序列
连续
离散
离散型随机过程
离散
连续
离散随机序列
离散
离散
.
2.1 随机过程的基本概念及定义
2、随机过程分类
√ 按随机过程的样本函数的形式分：
不可预测的随机过程 可预测的随机过程
特点
任意样本函数的未来值不能由 过去的观测值准确地预测
随机过程的基本概念以统计特性
20
随机过程统计特性：概率分布函数 概率密度函数
由随机过程的定义可知，在确定t值上，随机过程变为随 机变量，仪器记录的结果是n维随机变量X(t1),X(t2),…,X(tn)， 如果说记录时间间隔△t= ti-ti-1相当小(n足够大)时，多维随 机变量 X(t1), X(t2) ,…, X(tn) 可以足够完整表示出随机过程 X(t)。
在一定近似程度上，可以通过研究多维随机变量来代替 对随机过程的研究，且n取值越大，代替的越精确。当n→∞ 时，随机过程的概念可以作为多维随机变量的概念在维数无 穷大情况的自然推广。
12
随机过程 X (t, ) 四种不同情况下的理解：
固定
一个随机过程 一个确知的时间函数 一个随机变量 一个确定值
13
二 随机过程的分类
1 按随机过程的时间和状态来分类 连续型随机过程：对随机过程任一时刻 t1
若A和 0为常数， 是（0，2π）的随机取值的随机变量，
电压波形为
1
0
-1
10
10
20
30
40
50
60
70
80
0
-1
10
10
20
30
40
50
60
70
80
0
-1
10
10
20
30
40
50
60
70
80
0
-1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
随机相位信号
6
V(t)Acos(t ) 0
若 和0 为常数， 是A随机取值的随机变量，电压波 形为
4 按统计特性来分类
随机过程统计特性：概率分布函数 概率密度函数
由随机过程的定义可知，在确定t值上，随机过程变为随 机变量，仪器记录的结果是n维随机变量X(t1),X(t2),…,X(tn)， 如果说记录时间间隔△t= ti-ti-1相当小(n足够大)时，多维随 机变量 X(t1), X(t2) ,…, X(tn) 可以足够完整表示出随机过程 X(t)。
在一定近似程度上，可以通过研究多维随机变量来代替 对随机过程的研究，且n取值越大，代替的越精确。当n→∞ 时，随机过程的概念可以作为多维随机变量的概念在维数无 穷大情况的自然推广。
12
随机过程 X (t, ) 四种不同情况下的理解：
固定
一个随机过程 一个确知的时间函数 一个随机变量 一个确定值
13
二 随机过程的分类
1 按随机过程的时间和状态来分类 连续型随机过程：对随机过程任一时刻 t1
若A和 0为常数， 是（0，2π）的随机取值的随机变量，
电压波形为
1
0
-1
10
10
20
30
40
50
60
70
80
0
-1
10
10
20
30
40
50
60
70
80
0
-1
10
10
20
30
40
50
60
70
80
0
-1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
随机相位信号
6
V(t)Acos(t ) 0
若 和0 为常数， 是A随机取值的随机变量，电压波 形为
4 按统计特性来分类
统计学中的随机过程及其应用
统计学中的随机过程及其应用随机过程是应用最广泛的统计学分支之一。
它是一个具有随机性的时间序列过程。
在实际应用中，随机过程被广泛应用于金融、电子通信、医学、气象学、化学、社会学、经济学等领域。
本文将介绍随机过程的基本概念、特性和应用。
一、随机过程的基本概念随机过程是指具有一定随机性的时间序列过程。
其中，时间序列过程指一系列按时间顺序排列的数值序列，例如股票价格随时间变化的数值序列。
而随机性是指数值序列在各个时间点上存在不确定性，例如股票价格在未来的变化是不确定的。
随机过程可以用随机变量来描述。
假设时间轴上的每一时刻都有一个对应的随机变量，则时间序列过程可以表示为。
其中，是样本空间，是可测空间，代表随机变量的集合，代表随机变量定义域的集合。
随机过程通常用概率分布来描述它在所有时刻的随机性质。
这意味着，我们需要了解每个时刻随机变量的概率分布以及它们之间的关系。
具体而言，这些分布可以是离散的或连续的，并且可以遵循不同的总体分布。
二、随机过程的特性随机过程具有多种特性，其中最重要的包括：1. 平稳性平稳性是指随机过程在时间平移下具有相同的统计特性。
具体而言，它限制了随机过程的均值和自相关函数仅仅依赖于时间间隔而不是时间本身。
平稳过程分为弱平稳和严平稳两种，通过均值与自相关函数的存在与否区分。
2. 马尔可夫性马尔可夫性是指在任意时刻，随机过程的未来状态只与当前状态有关，而与过去状态无关。
这意味着我们无需关心随机过程的完整历史，只需要关心当前状态即可预测未来的状态。
3. 噪声噪声是指在随机过程中存在的不确定性来源。
它们通常被建模为随机漂移或随机扰动项，并在建模过程中扮演了重要的作用。
三、随机过程的应用随机过程的应用非常广泛，包括如下几个方面：1. 金融学随机过程常常被用来模拟金融市场中的价格波动。
具体而言，布朗运动、几何布朗运动等随机过程被广泛地应用于期权定价、风险管理等金融问题中。
2. 通信系统随机过程被应用于调制、解调等通信系统中。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
为了简便起见，随机过程常省略代表试验结果的参
量ξ。随机过程常用大写字母 X (表t)示,Y，(t样) 本函数常
用小写字母
x (表t),示x，(tk)表,L示, 第x (kt个) 样本函数。
1
2
k
随机过程 ＝
样本变量集合
X (t, )
X (ti , ), i 1, 2,L
《随机信号分析》教学组
11
上面两种随机过程的定义，从两个角度描述了 随机过程。具体的说：
统计特性的描述方法分为两个大类：
1、概率密度函数或概率分布函数的描述方法是全面、 完整的描述方法。
2、数字特征（期望、方差、相关函数）的描述方法 是的宏观、概括的描述方法。
《随机信号分析》教学组
19
当仪器记录随机过程X(t)的变化过程时候，一般不可能 也没有必要连续的记录全部过程，而只要记下X(t)在确定时 刻t1, t2, … , tn上的量。
50
100
150
200
5
0
-5
0
50
100
150
200
5
0
-5
0
50
100
150
200
5
0
-5
0
50
100
150
200
噪声电压的起伏波形
《随机信号分析》教学组
4
2、观察具有随机振幅 A或随机相位 的电压波形
V (t) Acos( t ) 0
若A和0为常数， 是（0，2π）的随机取值的随机变量，
随机过程： 1）每次试验得到的观测 过程都不同。 2）没有确定的变化形式 或不能用一个时间t 的确定函数表示。
正弦信号 示波器的噪声电压
《随机信号分析》教学组
3
一 定义
1.接收机噪声电压观测方式：对相同接收机同时观测
从试验可知，每次得到的结果不同，且变化的规律 不能用一个确定的函数来描述50 Nhomakorabea-5
0
第1 章
随机过程
《随机信号分析》教学组
主要内容：
❖随机过程的基本概念及其统计特性 ❖连续时间随机过程的微分和积分 ❖随机过程的平稳性和遍历性 ❖联合平稳随机过程 ❖马尔可夫链
《随机信号分析》教学组
2
1.1 随机过程的基本概念及统计特性
自然界事物的变化分为两大类：确定性过程和随机过程。
确定性过程： 1）每次试验得到的观测 过程都相同。 2）具有确定形式的变化 过程，或可用一个时 间t的确定函数表示。
一个随机过程 一个确知的时间函数 一个随机变量 一个确定值
《随机信号分析》教学组
13
二 随机过程的分类
1 按随机过程的时间和状态来分类
连续型随机过程：对随机过程任一时刻 t1 的 取值X (t1) 都是连续型随机变量。
离散型随机过程：对随机过程任一时刻 t1 的取值 X (t1) 都是离散型随机变量。
时得到的随机变量X (nt)是离散型随机变
量，即时间和状态是离散的。相当于采样 后再量化。
《随机信号分析》教学组
15
随机过程按时间和状态的分类
连续型随机过程 连续随机序列 离散型随机过程 离散随机序列
状态 连续 连续 离散 离散
时刻 连续 离散 连续 离散
《随机信号分析》教学组
16
2 按样本函数的形式来分类
•平稳随机过程 •非平稳随机过程
5 按随机过程在频域的带宽分类
•宽带随机过程 •窄带随机过程 •白噪声 •有色噪声
《随机信号分析》教学组
18
三 随机过程的概率分布
随机过程是一族时间函数，在一次具体试验中、 函数族中哪一个函数（样本）出现时是服从某种概率 分布的，因而对随机信号不能采用通常的对确定性信 号的表述方法，而必须用统计特性的描述方法。
《随机信号分析》教学组
14
连续随机序列：随机过程的时间t只能取 某些时刻，如 t ， 2 t，…..，n t ，且这
时得到的随机变量 X (nt)是连续型随机变
量，即时间是离散的。相当于对连续型随 机过程的采样。
离散随机序列：随机过程的时间t只能取 某些时刻，如 t ， 2 t，…..，n t ，且这
电压波形为
随机相位信号
《随机信号分析》教学组
5
V (t) Acos( t ) 0
若和0 为常数， 是A随机取值的随机变量，电压波
形为
随机振幅信号
《随机信号分析》教学组
6
样本函数：x1(t)，x2 (t)，x3 (t)，…，xn(t)，都是 时间的函数，称为样本函数。
随机性：一次试验，随机过程必取一个样 本函数，但所取的样本函数带有 随机性。因此，随机过程不仅是 时间t 的函数，还是可能结果的 函数，记为 X(t, )，简写成 X(t) 。
由随机过程的定义可知，在确定t值上，随机过程变为随 机变量，仪器记录的结果是n维随机变量X(t1),X(t2),…,X(tn)， 如果说记录时间间隔△t= ti-ti-1相当小(n足够大)时，多维随 机变量 X(t1), X(t2) ,…, X(tn) 可以足够完整表示出随机过程 X(t)。
《随机信号分析》教学组
7
随机变量 随机过程
与时间无关 与时间相关
《随机信号分析》教学组
8
3 、随机过程的定义
定义1：设随机试验E的样本空间为S={ξ}，对其每一个元素 i (i 1,2都,3以 )某种法则确定一个样本函数 ，X由(t,全i )部元素{ξ}
所确定的一族样本函数 称为随X机(t,过 )程，简记为 。
不确定的随机过程：随机过程的任意样本 函数的值不能被预测。例如接收机噪声电压 波形。
确定的随机过程：随机过程的任意样本函 数的值能被预测。例如，样本函数为正弦信 号。
《随机信号分析》教学组
17
3 按概率分布的特性来分类
•高斯随机过程 •瑞利随机过程 •对数正态随机过程 •马尔可夫随机过程
4 按统计特性来分类
作观测时，常用定义1，这样通过观测的试验样 本来得到随机过程的统计特性；
对随机过程作理论分析时，常用定义2，这样可 以把随机过程看成为n维随机变量， n越大采样时 间越小，所得到的统计特性越准确。
《随机信号分析》教学组
12
随机过程 X (t, ) 四种不同情况下的理解：
1 t和 都是变量 2 t是变量而 固定 3 t 固定而 是变量 4 t 和 都固定
X (t)
=
S
《随机信号分析》教学组
9
定义2 ：设有一个过程X(t) ，若对于每一个固定的时刻 t j ( j， 1, 2,3是L )一个X 随(t j ,机 )变量，则X(t)
称为随机过程。
S
《随机信号分析》教学组
10
随机过程的一般表征
随机过程
样本函数集合
X (t, ) ＝ X (t,i ), i 1, 2,L