非齐次线性方程组

对n元齐次线性方程组，有 若 R(A) = n , 则方程组有惟一零解; 若 R(A) = r < n , 则方程组有无数多组解，其通解为
k11 k22 knrnr (1 , , nr 是解空间的一组基) 解题步骤 (i) 写出系数矩阵并将其化为行最简形 I ； (ii) 由 I 确定出 n–r 个自由未知量(可写出同解方程组);
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1 1 0 0 0 a1
0 1 1 0 0 a2
B 0
0
1
1
0
a3
0 0 0 1 1 a4
1 0 0 0 1 a5
1 1 0 0 0 0 1 1 0 0
a1 a2
RA RB
~
0
0
0 0
1 1 0 0 1 1
a3
a4
5
ai 0
i 1
5
0 0 0 0 0 ai
x
2
19 3 8 x3 8 7 25 8 x3 8
x4 x4
1
2 1
2
x5 x5
x3 , x4 , x5分别为1 0 0T ,0 1 0T ,0 0 1T 得
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v1
19 8
7 8
1
0
0 T
v 2
3 8
25 8
0
1
0 T
v3
1 2
1 2
0
0 1T
x k1v1 k2v2 k3v3 (k1 , k2为任意常数）
B
am1 am2 amn bm
(1, , n , b).
④有解 x1, , xn
存在一组数 x1, , xn, 使 x11 xnn b.
b 可由1, , n 线性表示.
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问题是：非齐次线性方程组何时是有解的？如果有 解时怎样求出其所有解？
根据齐次线性方程组的不同表示方法，以及矩阵 与其行向量组、列向量组的关系，不难得知如下 等价命题：
返回ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
下面四种提法可互为充要条件:
(1). 方程组④有解.
(2). b 可由1, , n 线性表示.
(3). 向量组1, , n与 向量组1, , n ,b等价.
(4). R(A) = R(B) .
显然
显然
证明: (1) (2) (3).
(4) 1, , n的秩 1, , n ,b的秩.
R(A)=R(B).
x5为任意实数 .
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n元非齐次线性方程组Ax = b解的存在性
方程组无解 R( A) R( A, b) 方程组有解 R( A) R( A, b)
方程组有唯一解 R( A) R( A, b) n 方程组有无穷多组解 R( A) R( A, b) n
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二、非齐次线性方程组的通解结构
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例 求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为：
1 0, 1, 2 , 3T , 2 3 , 2 , 1, 0T
解：设有方程 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4 0
a1
由题意应有：
0 3
1 2
2 1
3 0
a2 aa43
0 0
对系数矩阵施行初等行变换，有：
0 1 2 3 1 0 1 2
a12
,
2
a22
,
,
n
a2n
,
b
b2
.
am1
a
m
2
amn
bm
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则方程组④可写成:
x11 x22 xnn b
④的系数阵:
a11 a12
A
am1 am2
a1n
amn
(1, 2 , , n ).
⑤
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a11 a12 a1n b1
④的增广阵:
3 2 1 0 ~ 0 1 2
3
返回
a1
1 0
0 1
1 2
2
3
a2 aa43
0 0
即
aa12
a3 2a4 0 2a3 3a4 0
即
aa12
a3 2a4 2a3 3a4
所以
a1 1 2
a2 aa43
c1
2
1
0
c2
3
0
1
即所求方程组为：
2xx1123xx22xx34
x1 2x2 3x3 11x2 12x3
7x4 2x5 0 34x4 3x5 0
x1 5x2 2x3 16x4 3x5 0
的基础解系及通解.
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1 0 19 3 1
8 8 2
解
：A
0
1
7 8
25 8
1 2
,即r(
A)
2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
x1
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(4) 1, , n的秩 1, , n ,b的秩.
设秩同为 r,
1, , r 是1, , n 的一个最大无关组. 1, , r ,b 线性相关, 否则与秩为 r 矛盾! 1, , r也是 1, , n,b的一个最大无关组.
1, ,n与1, ,n,b等价. 证毕.
定理二. (非齐次线性方程组④有解的判别定理)
④有解, 叫相容.
④ 可写成:
AX = b
⑥
相应的齐次方程组: AX = 0
⑦
性质3. 若1,2是⑥的解,则1 2是⑦的解.
性质4. 若 是⑥的解, 是⑦的解,
则 是⑥的解.
定理:若 是 ⑥的一个解, 则⑥的任一个解
i1
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5
方程组有解的充要条件是 ai 0.
i 1
x1 x2 a1
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
由此得通解：
x4 x5 a4
x1 a1 a2 a3 a4 x5
x2 a2 a3 a4 x5 x3 a3 a4 x5
x4 a4 x5
(iii) 令这 n–r 个自由未知量分别为基本单位向量1,L ,nr ,
可得相应的 n–r 个基础解系 1 , ,nr ; (iv) 写出通解 k11 k22 L knr nr ,其中k1, k2,L , knr为任意实数
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3x1 x2 8x3 2x4 x5 0
题.求
2 x1
非齐次线性方程组④有解 R(A) = R(B).
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x1 x2 a1
例1
证明方
程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
有解的充要条件
x4
x5
a4
x5 x1 a5
是a1 a2 a3 a4 a5 0.在有解的情况下，
求出它的一切解．
解证 对增广矩阵B进行初等变换， 方程组的增广矩阵为
0 0
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第三节 非齐次线性方程组
非齐次线性方程组的概念 非齐次线性方程组有解的条件 非齐次线性方程组解的结构
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一、非齐次线性方程组有解的充要条件
a11
x1
a12
x2
a1n xn
b1
④
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
记
a11
a12
a1n
b1
1