非齐次线性方程组
3.5 非齐次线性方程组
2.设1 (1,3,0,5)T , 2 (1,2,1,4)T , 3 (1,1,2,3)T ,
(1, a,3, b) .
T
（ ）a, b取何值时能用1，2，3线性表示？表示式为？ 1
（2）a, b取何值时不能用1，2，3线性表示？
设 x11 x22 x33 x1 (1 , 2 , 3 ) x2 AX x 3
3.5 非齐次线性方程组有解的条件 及解的结构
复习
非齐次线性方程组Am×nX=b有解 增广矩阵(A,b)经初等行变换化得的阶梯矩阵“无尾巴”
阶梯矩阵法
一、非齐次线性方程组有解的条件 定理 非齐次线t; 秩( A) 秩( A, 秩( A,b) b)=
A 1 b, A 2 b A(1 2 ) O
• 非齐次方程组AX=b的解与其导出组AX=0的解的和是非 齐次方程组AX=b的解。
A b, A O A( ) b
2. 非齐次线性方程组的结构式通解 定理 设A是一个 m n矩阵，b是一个m维列向量，
证明： Am×n X = b 有解
秩法
x 11 + x2 2+ … + xnn = b 有解
b可由1 ,2 ,,n线性表出 秩{1,2 ,,n，b} 秩{1, 2 ,, n}
秩( A, b)
另一思路： Am×n X = b 有解
秩( A)
(A,b)经初等行变换化得的阶梯矩阵(C,d)“无尾巴”
不再是含 参数的方 程组了。
x1 x2 x3 x4 0 例2.为何值时，方程组 x1 x2 x3 3x4 1 有解？ x x 2 x 3x 2 3 4 1
第三节 非齐次线性方程组
1
43 R(A)=R(B)=3 <5
4 3
方程组有
2
无穷多个解
x1
1 2Biblioteka x41 4x5
1 4
有
x2
3 2
x4
3 4
x5
3 4
x3
x4
1 2
x5
3 2
1
43
取x4=x5=0, 得方程组的一个特解:
*
4 3
对应齐次方程组
x1
1 2
x4
1 4
x5
的同解方程组为:
x2
3 2
x4
3 4
x5
3 x1
x2
p
x3
15 x4
3,
x1 5 x2 10 x3 12 x4 t
当p, t取何值时,方程组无解?有唯一解?
有无穷多解?在方程组有无穷多解的情
况下,求出一般解.
32
返回
解
1 1 2 3 1
B
1 3
3 1
6 p
1 3 15 3
1 5 10 12 t
1 1 0 2
2
3 1
(2). 当 1时,
1 1 1 1
B 0 0 0 0 . 0 0 0 0
R( A) R(B) 1.
因此方程组有无穷多个解.
(n r 3 1 2. 有两个任意常数).
26
返回
(3). 当 2 时,
1 1 2 4 B [ A,b] 0 3 3 6.
0 0 0 3
1、非齐次方程组的求解步骤
(1) 写出B，并将B化为行阶梯形；从而求出 R( A)与 R(B)以判 断是否有解;
3-6.非齐次线性方程组
ïï í ï
x2 x3
= =
x2
2x4 + 1 2
ïîx4 =
x4
çæ x1 ÷ö çæ 1÷ö çæ 1÷ö çæ1 2÷ö
ç ç ççè
x2 x3 x4
÷ ÷ ÷÷ø
=
k1
ç ç
ççè
1÷ 00÷÷÷ø
+
k2
ç ç
ççè
0÷ 12÷÷÷ø
+
ççççè1002÷÷÷÷ø.
(k1, k2 Î R)
例2 求解非齐次线性方程组
ú ú
êë0 0 0 0 0 k -3úû
ìx1 = x3 + x4 + 5x5 - 2
得
ï ïï í
x2 x3
= =
-2 x3 x3
-
2x4
-
6 x5
+
3
ï ï
x4
=
x4
ïîx5 =
x5
通解 为
é 1 ù é 1 ù é 5 ù é- 2ù
êê- 2úú
êê- 2úú
êê- 6úú
ê ê
3
ú ú
x
x = k1x1 + L + kn-rxn-r + h * .
例1 求解非齐次方程组的通解
ì ï í
x1 x1
-
x2 x2
+
x3 x3
+ -
x4 = 0 3x4 = 1
注意书写格式
ïî x1 - x2 - 2x3 + 3x4 = - 1 2
非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；
4-3.非齐次线性方程组PPT
1 1 2 1 1 0 0 2 4 0 0 3 t 5 1 2 3
(k1 , k2 R)
练习 k为何值时，线性方程组
x1 x2 x3 x4 x5 1 3 x1 2 x2 x3 x4 3 x5 0 x2 2 x3 2 x4 6 x5 k
有解，并在有解时求通解.
解
1 A 3 0 1 r2 3r1 0 0
唯一解 x1 d1 , x2 d 2 , xn d n
x1 c1r 1 xr 1 c1n xn d1 x c x c x d 2 2 r 1 r 1 2n n 2 xr crr 1 xr 1 crn xn d r 其中 xr 1 ,, xn 为自由变量，故方程组有依赖于
4-2=2个独立参量的无穷多解
1 1 0 1 1 2 0 0 1 2 1 2 . 0 0 0 0 0
所以方程组的通解为
同解方程组为 x1 x2 x4 1 2 x2 x2 2 x4 1 2 x3 x4 x4
思考题解答
解
2 3 1 1 1 6 1 3 1 3 B 3 1 p 15 3 1 5 10 12 t
2 3 1 1 1 4 2 2 0 2 ~ 0 4 p6 6 0 0 6 12 9 t 1
n-r 个独立参量的无穷多解.
例1 设有线性方程组
(1 ) x1 x2 x3 0, x1 (1 ) x2 x3 3, x x (1 ) x . 3 1 2
问 取何值时，此方程组 （1）无解； （2）有唯一解； （3）有无穷多解.
第三节 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组的概念
11
22
nn
问题是：非齐次线性方程组何时是有解的？如果有
解时怎样求出其所有解？
根据齐次线性方程组的不同表示方法，以及矩阵 与其行向量组、列向量组的关系，不难得知如下 等价命题：
二、非齐次线性方程组有解的条件
非齐次线性方程组有解得等价条件
（1）线性方程组 AX b 有解
（2）向量b能由向量组1, 2 ,
例 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩
为3，已知 1 , 2 , 3 是它的三个解向量，且
2
1
1
3 4
,
2
3
2. 3
5
4
求该方程组的通解。
解: 设非齐次线性方程组 Ax b
对应的齐次线性方程组 Ax 0
已知 1,2 ,3 是Ax b的解，
故有 A1 b, A2 b, A3 b 令 21 (2 3 ), 则
解：设有方程 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4 0
a1
由题意应有：
0 3
1 2
2 1
3 0
a2 aa43
0 0
对系数矩阵施行初等行变换，有：
0 1 2 3 1 0 1 2
3 2 1 0 ~ 0 1 2
3
a1
1 0
0 1
1 2
2
3
a2 aa43
0 0
0 , 0 1
从而得到齐次线性方程组的一个基础解系
1 (2,1,1,0,0)T ,2 (2,1,0,1,0)T ,3 (6,5,0,0,1)T
齐次线性方程组通解为 c11 c22 c33 非齐次线性方程组的通解为 c11 c22 c33
其中 c1 , c2 , c3 为任意常数.
非齐次线性方程组
非齐次线性方程组Ax=b一、基本理论线性方程组Ax=b 有解条件: 系数矩阵A 的秩 = 增广矩阵(A,b )的秩.非齐次线性方程组的解集结构：若x 1是Ax=b 的一个特解, N (A )表示齐次线性方程组Ax=0的解空间, 则非齐次线性方程组Ax=b 的解集为x 1+N (A ).解非齐次线性方程组的方法：通过初等行变换将增广矩阵(A,b )化为最简行阶梯矩阵(A 1,b 1), 写出对应的方程组，根据方程组写出解.二、Matlab 实现调用rref(A )将A 化为最简行阶梯矩阵, 根据对应的方程组写出解.若方程组有解, 且rank(A )=n ，即A 列满秩时, 方程组有唯一解. 此时可直接用A 左除b 求得唯一解：x=A\b .三、例子例1. 求解线性方程组1234524512345123512345343226333434222026231x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-=⎧⎪---=-⎪⎪-++-=⎨⎪++-=⎪-+-++=⎪⎩A=[3 -4 3 2 -1; 0 -6 0 -3 -3; 4 -3 4 2 -2; 1 1 1 0 -1; -2 6 -2 1 3]; b=[2; -3; 2; 0; 1]; A1=[A b]A1 =3 -4 3 2 -1 2 0 -6 0 -3 -3 -3 4 -3 4 2 -2 2 1 1 1 0 -1 0 -2 6 -2 1 3 1rref(A1)ans =1 0 1 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0化为方程组32415510x x x x x x ++=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以解为15233354555311000001100011010x x x x x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++例2. 设函数2y axbx c =++经过点(1,1), (2,2), (3,0), 求系数a , b , c .解1422930a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩输入系数矩阵A 和右端项bA=sym([1 1 1; 4 2 1; 9 3 1]); b=sym([1; 2; 0]);增广矩阵1A A1=[A b]A1 =[ 1, 1, 1, 1] [ 4, 2, 1, 2] [ 9, 3, 1, 0]利用rref 求解 R=rref(A1)R =[ 1, 0, 0, -3/2] [ 0, 1, 0, 11/2] [ 0, 0, 1, -3]即解为311,,322a b c =-==-解二判断方程组是否有解, 即系数矩阵A 的秩是否等于增广矩阵1A 的秩. rank(A)==rank(A1)ans = 1 有解.判断方程组是否有唯一解, 即系数矩阵 A 是否等于A 的列数n .[m,n]=size(A); rank(A)==nans = 1A 的秩等于列数n , 有唯一解.直接用A 左除 b 求解 x=A\bx = -3/2 11/2 -3例 3. 设三种食物中每100g 中的蛋白质、碳水化合物、脂肪的含量如下表.三种食物用量各为多少才能保证所需营养？解. 设脱脂牛奶用量为1x , 大豆面粉用量为2x , 乳清用量为3x .12312312336 51 133352 34 74450 7 1.13x x x x x x x x x ++=++=++=⎧⎪⎨⎪⎩A=[36 51 13 33; 52 34 74 45; 0 7 1.1 3]A =36.0000 51.0000 13.0000 33.0000 52.0000 34.0000 74.0000 45.0000 0 7.0000 1.1000 3.0000 R=rref(A)R =1.0000 0 0 0.2772 0 1.0000 0 0.3919 0 0 1.0000 0.2332所以脱脂牛奶的用量为27.72g ，大豆面粉的用量为39.19g ，乳清的用量为23.32g 。
非齐次线性方程组
例 判别方程组是否有解？
2x y 2z 3w 1 3x 2y z 2w 4 3x 3y 3z 3w 5
解 方程组的增广矩阵为
2 A 3
3
1 2 3
2 1 3
3 2 3
1 4 5
2
0
0
1 1 3
2 4 12
3 5 15
1 2
5
0
7 0
1 1 0
2 4 0
3 5 0
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M
am1 am2
a1n
a2n
amn
x1
X
x
2
M
x
n
m个方程 ，
n个未知数
b1
b
b2
M
bm 3
非齐次线性方程组
a11x1a12 x 2 L a1n xn b1
a21x1a22 x 2 L a2n xn b2 ........................................
r3 r1
0
0
1 4 4
3 6 6
1 7 7
1
1
1
1 1 3
r3 r2
r2 ( 14 )
0
1
3
2
1 7
4
1
1
4
1
0
3 2
r1r2
0
1
3 2
3 4 7 4
5
4
1 4
0 0 0 0 0
R( A) R( A) 2
0 0 0 0 0 12
1
0
32
3 4
5 4
线性代数-非齐次线性方程组
充分性:若r(A)=r(A|b) ，即d r+1 =0,则（*）有解。
把这 r 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, 其余n r个作为自由未知量,
即可得方程组的一个解． 并令 n r 个自由未知量任意取值，
定理1更常用的描述是：
此乃第三章的 精华所在
定理1’
对n 元非齐次线性方程组 Amn x b ，
Ch3 矩阵的秩与线性方程组
第 二节
(非)齐次线性方程组
一、线性方程组有解的 判定
二、线性方程组的解法
对于m个方程n个未知数的线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 ........................................... a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1
解 对增广矩阵 A 进行初等变换，
r12 ( 3) 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 r ( 2) A 3 1 5 3 2 13 0 5 4 0 1 2 1 2 2 3 r23 ( 1) 0 5 4 0 1 0 0 2
2 当 1时,
1 1 2 A ~ 0 1 1 1 2 0 0 1 2 1 1 1 1 2 ~ 0 1 1 0 0 ( 2 ) 1 2
问取何值时, 有唯一解? 无解？有无穷多个解 ?
解一 对增广矩阵 A ( A, b) 作初等行变换，
A 1 1
1
5-2非齐次线性方程组
思考题
设A是m 3矩阵,且RA 1.如果非齐次线性
方程组Ax
b的三个解向量1 ,2
,
满
3
足
1
0
1
1 2 2, 2 3 1, 3 1 0
3
1
1
求Ax b的通解.
思考题解答
解 A是m 3矩阵, R( A) 1, Ax 0的基础解系中含有3 1 2个线性
故得基础解系
1 2 1 2
1
1
,
0
0
0 1
2
0
,
1
0
2 3
3
0
.
0
1
求特解
令
x3
x4
x5
0, 得x1
9, 2
x2
23 . 2
所以方程组的通解为
1 2 1 2
0 1
2 9 2 3 23 2
x
k1
1
k2
0
k3
0
0
.
0 0 0 0
xr1 1 0
0
令
xr 2
0
,
1
,
,
0
.
xn 0 0
1
得
x1
b11
,
b12
,
,
b1 ,n r
,
xr br1 br2
br
,nr
b11
b12
b1 ,n r
故
br
1
1 1 ,
2
br
2
0 ,
x1 2 x2
x2 x3
x3 2x4
x4 x5 6x5
7 23
4.3非齐次线性方程组
(k1,k2∈R)
x1 − 2 x 2 + 3 x 3 − x4 = 1 例2 求解方程组 3 x1 − x 2 + 5 x 3 − 3 x4 = 2 2 x + x + 2 x − 2 x = 3 2 3 4 1
1 3 解: B = 2 1 − 2 ~ 0 5 − 0 0
方程组(1)的系数阵 方程组 的系数阵: 的系数阵
a11 ⋯ A= a m 1
a11 ⋯ B= a m 1
a12 ⋯ a1n ⋯ ⋯ ⋯ =(β1,β2,⋅⋅⋅ βn) ⋅⋅⋅, ⋅⋅⋅ a m 2 ⋯ a mn
a12 ⋯ ⋯ a1n ⋯ ⋯ b1 ⋯ =(β1,β2,⋅⋅⋅ βn,b) ⋅⋅⋅, ⋅⋅⋅ bn
方程组(1)的增广阵 方程组 的增广阵: 的增广阵
a m 2 ⋯ a mn
方程组(1)有解 ⋅⋅⋅,x 方程组 有解x1,x2,⋅⋅⋅ n 有解 ⋅⋅⋅ 存在一组数x ⋅⋅⋅,x ⋅⋅⋅+x ⇔存在一组数 1,x2,⋅⋅⋅ n,使x1β1+⋅⋅⋅ nβn=b ⋅⋅⋅ 使 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅, ⇔b可由β1,⋅⋅⋅ βn线性表示 可由 ⋅⋅⋅ 下面四种提法可互为充要条件: 下面四种提法可互为充要条件 1° 方程组 有解 有解. ° 方程组(1)有解 2° b可由β1,⋅⋅⋅ βn线性表示 ⋅⋅⋅, ° 可由 ⋅⋅⋅ 3° 向量组β1,⋅⋅⋅ βn与向量组β1,β2,⋅⋅⋅ βn,b等价 ⋅⋅⋅, ⋅⋅⋅, ° ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 等价 4° R(A)=R(B) ° 定理二 非齐次线性方程组(1)有解 有解⇔ 非齐次线性方程组 有解⇔R(A)=R(B)
1 λ 1 ~ 0 λ − 1 1 − λ − 0 1 − λ 1 − λ2
《非齐次线性方程组》课件
目录
CONTENTS
• 非齐次线性方程组的基本概念 • 非齐次线性方程组的解法 • 非齐次线性方程组的特解和通解 • 非齐次线性方程组的解的结构 • 非齐次线性方程组的应用
01 非齐次线性方程组的基本 概念
非齐次线性方程组的定义
总结词
非齐次线性方程组是由至少一个 常数项不为0的线性方程组成的方 程组。
考虑方程组$begin{cases}x + y = 1 x - y = 3end{cases}$，解为$x = 2, y = -1$和$x = -1, y = 2$，线性组合如$0.5x_1 + 0.5x_2 = 0.5(2,-1) + 0.5(-1,2) = (0.5,0.5)$也是该 方程组的解。
特解的求解方法
特解的求解方法通常包括代入法、消元法等。代入法是将方程组的某个方程代入其他方程，消元后得到一个或多 个方程，再求解得到特解。消元法则是通过消元过程将原方程组化为一个等价的单一方程，再求解得到特解。
通解的概念和求解方法
通解的概念
通解是非齐次线性方程组中满足方程组的所有解的集合。它通常表示为某个常数向量的线性组合。
在研究热传导问题时，非齐次线性方 程组可以用来描述温度随时间和空间 的变化规律。
波动方程
在研究波动现象时，如声波、电磁波 等，非齐次线性方程组可以用来描述 波的传播和变化规律。
在经济问题中的应用
供需平衡
非齐次线性方程组可以用来描述 市场经济中的供需关系，如商品
的价格和销售量之间的关系。
投资组合优化
02 非齐次线性方程组的解法
消元法
总结词
消元法的核心是通过消元过程将非齐次线性方程组转化为 齐次线性方程组，从而求解。
4-4非齐次线性方程组解
1 0 2 , 2 1
于是所求通解为
x1 1 1 1 2 x2 1 0 0 x 3 c1 0 c 2 2 1 2 , (c1 , c 2 R ). 0 1 0 x4
x1 x 2 x4 1 2 , x 3 2 x4 1 2 . 1 取 x 2 x4 0, 则 x1 x 3 , 即得方程组的一个特解 2 1 2 0 . 12 0 x1 x 2 x 4 , 在对应的齐次线性方程 组 中, 取 2 x4 x3
3 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 2 0 1 0 0 0 0 0 2
2 1 方程组*有无穷多解，通解为 X k 1 2 . 1 0 可由1 , 2 , 3表示为 2k 11 k 2 2 k 3 , k为任意实数.
法2：利用Cramer法则
k 1 1 2 D 3 2 k ( k 1)( k 3) 0 1
当 D 0 时，即 k 1 且 k 3 时，方程组有唯一解。 当k
1 1 1 5 1 0 1 3 ( A, b) 3 2 1 13 0 1 2 2 0 1 2 2 0 0 0 0
的秩相等.
四、思考与练习
思考题:
1 2 0 3 4 7 1 10 已知1 , 2 ,1 , , 0 1 1 b 2 3 a 4 问: （ 1 ）a , b取何值， 不能1 , 2 , 3由线性表示 （ 2 ）a , b取何值， 能由1 , 2 , 3唯一线性表示 ; （ 3 ）a , b取何值， 能由1 , 2 , 3线性表示但不唯一， 并写出表示式
线性代数 非齐次方程组
⎪⎩4x1 + 5x2 − 5x3 = −1
不再是含参数 的方程组了。
a
=
−
4 5
时，方程组为⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧4−2xx1451+x−1545−x2xx−22
=
⎜ ⎜
a22
⎟ ⎟
⎜⎜⎝ am2 ⎟⎟⎠
⎜⎛ a1n ⎟⎞
αn
=
⎜ a2n ⎜
⎟ ⎟
⎜⎜⎝ amn ⎟⎟⎠
⎜⎛ b1 ⎟⎞
β
=
⎜ b2 ⎜
⎟ ⎟
⎜⎜⎝ bm ⎟⎟⎠
x1α1 + x2α2 + + xnαn = β
方程组的向量方程
即 (α 1 ,α 2 ,
⎛ x1 ⎞
,α
n
)
⎜ ⎜ ⎜
x2
⎟ ⎟ ⎟
其中 η* 是n 元非齐次线性方程组（1）的一个特解，ξ1, ξ2 , , ξn−r
是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，k1,k2, ,kn−r为任意常数.
(3) 当 r(A) ≠ r(A) 时，方程组(1)无解.
例 设A为m×n矩阵，AX＝0为AX＝b的导出组，则
1) 当 AX＝0 仅有零解时，AX＝b 有唯一解 2) 当 AX＝b 有唯一解时，AX＝0 仅有零解 3) 当 AX＝0 有非零解时，AX＝b 有无穷多解 4) 当 AX＝b 无解时，AX＝0 仅有零解
通解。
注意什么？
补充
含参数的方程组
在求解方程组之前，要先确定参数值。——这是准则。
而参数值的确定，要依据有解的条件即：r( A) = r( A)
一般而言，有两种方法确定参数值。一种是行列式法，另一种是
初等变换法。
例3 解
3-3 非齐次线性方程组
非齐次线性方程组
一、有解的判定
m × n非齐次线性方程组的一般形式： a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m 1 x 1 a m 2 x 2 a m n x n bm
~ 当 1 且 2时， A ~
~ r ( A) r ( A) 3 有唯一解 1 1 2 4 ~ ~ r ( A) 2 r ( A) 3 当 2时，A ~ 0 1 1 2 0 0 0 1 无解 ~ 1 1 1 1 ~ r ( A) r ( A) 1 3 当 1 时， A ~ 0 0 0 0 有无穷多解 0 0 0 0
A 1 1 1
1
1 1
1 2
2
由Cramer法则可得： 当 1 且 2时，有唯一解 而当 1或 2 时，只能用秩来判断解的情况．
b1 1 b1 行变换 ~ ··· ~ b k 1 0 bm 记为 B c
O
b1 n bkn 0
c1 ck ck 1 0
若c k 1
若ck 1
~ 0，即r ( A) r ( A),
11 2t 3 5 1 t 3 2 2 3
11 2t 3 5 1 x2 t 3 2 x3 t x1 2 x4 3
x1 11 / 3 2 x 5 / 3 1 / 2 2 t , x 通解： 0 1 x3 x4 2 / 3 0
第4章4.3 非齐次线性方程组
R( A) 2 R( A) 4
1 2 0.5 0.5 1 1 1 2 ~ 0 0 0 1 0 0 0
1 1 0 0.5 1 0
02
0
原方程组有无穷多个解， 它同解于
x 1 0 .5 x 2 0 .5 x 3 0 .5 x4 0 x 1 0 .5 0 .5 x 2 0 .5 x 3
二元一次方程组的解情况
1 1 1 1 1 1 1 0 1 ~ ~ 1、 只有一个解 A 0 1 2 0 1 2 1 2 3 x y 1 x y 1 x 1 R( A) 2 R( A) y 2 x 2y 3 y 2 1 1 1 1 1 1 ~ 2、有无穷多个解 A 0 0 0 2 2 2 R( A) 1 R( A) 2 x y 1 x y 1 x 1 K K 为任何实数 2x 2y 2 x 1 y y K 1 1 1 1 1 1 A 3、无解 ~ 2 2 3 0 0 1 x y 1 x y 1 R( A) 1 R( A) 3 2x 2y 3 01
交于一点， 则矩阵
a 1 b1 a 1 b1 c 1 A a 2 b2 与 B a 2 b2 c 2 a 3 b3 a 3 b 3 c 3 的秩满足 a 1 b 1 c 1 2 A a 2 b2 c a 3 b3 c 3
128页7
λ取何值时， 方程组有解？
解
2 x 1 x 2 x 3 2 x1 2 x 2 x 3 x x 2 x 2 3 1 2
非齐次线性方程组解法
非齐次线性方程组解法
非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性
方程组的一个特解（η=ζ+η*）。
非齐次线性方程组是常数项不全为零的线性方程组。
1、非齐次线性方程组解法
非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：
（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。
若R(A)<R(B)，则方程组无解。
（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。
（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于C1,C2……，Cn-r，即可写出含n-r个参数的通解。
2、非齐次线性方程组解的判别
如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，方程组无解；如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组有解。
在有解的情况下，如果系数矩阵的秩等于未知数的个数，非齐次线性方程组有唯一解。
如果系数矩阵的秩小于未知数的个数，非齐次线性方程组有无穷多解，如果有无穷多解，先求所对应齐次线性方程组的基础解系，再求出非齐次线性方程组的一个特解。
由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其对应的齐次线性方程组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解（通解）可表示为：对应齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的特解。
非齐次线性方程组
3.3 非齐次线性方程组3.3.1问λ 取何值时方程组1212122(4)70(2)2302560x x x x x x λλλ+-+=⎧⎪-++=⎨⎪++-=⎩有唯一解、无穷多个解、无解？并在有无穷多个解时求出其通解。
解：由于系数矩阵不是方阵，故只能使用初等行变换法。
22472562230112565686022A λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥---⎡⎤⎢⎥⎢⎥=------⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎢⎥⎣⎦① 当1λ=-时，2571115022000A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由()()2r A r A ==，知方程组有唯一解。
由 11011150111000A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 知唯一截为12111511x x ⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦② 当1λ≠-时，256011(1)(12)002A λλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦，则若1λ=，则由()()2r A r A ==知有唯一解1251x x -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；若12λ=，则由()()2r A r A ==知也有唯一解121;21x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦若1λ≠且12λ≠，则由()23()r A r A =≠=知方程组无解。
3.3.2 选择题（1）设A ＝1100011000111001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1234a a b a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，Ax b =有解的充分必要条件为（ D ）。
（A ）1234a a a a === （B ）12341a a a a ==== （C ）12340a a a a +++= （D ）12340a a a a -+-=（2）非齐次线性方程组Ax b =，对应的导出组方程组0Ax =，则（ D ）正确。
（A ） 若0Ax =仅有零解，则Ax b =有唯一解 （B ） 若0Ax =有非零解，则Ax b =有无穷多组解 （C ） 若Ax b =有无穷多组解，则0Ax =仅有零解 （D ） 若Ax b =有无穷多组解，则0Ax =有非零解3.3.2设123,,a a a 是互不相同的常数，证明下面的方程组无解。
第四章第三节+非齐次线性方程组
λ −1 −1 1 − 1 λ − 1 − λ B = [ A, b] = 2 − 1 − 1 λ λ
15
返回
1 1 −λ −λ 0 λ +1 − (λ + 1) − λ (λ + 1) . 2 0 0 (λ + 1)(λ − 2) (λ + 1)(λ − 1)
⋯
1 − 2 3 − 1 1 0 5 − 4 0 − 1 . 0 0 2 0 0
R( A) ≠ R( B ). ∴ 原方程组无解 .
14
∵ R( A) = 2, R(B) = 3.
返回
例3. 求线性方程组
λ x1 − x 2 − x 3 = 1, − x1 + λ x 2 − x 3 = − λ , − x1 − x 2 + λ x 3 = λ 2 有唯一解、无穷多个解、 所取的值. 有唯一解、无穷多个解、无解时λ 所取的值
x1 − 2 x2 + 3 x3 − x4 = 1, 3 x1 − x2 + 5 x3 − 3 x4 = 2, 2 x1 + x2 + 2 x3 − 2 x4 = 3.
13
返回
增广阵: 解: 增广阵:
1 − 2 3 − 1 1 B = 3 − 1 5 − 1 2 2 1 2 − 2 3
2
返回
则方程组④可写成 则方程组④可写成:
x1 β 1 + x 2 β 2 + ⋯ + x n β n = b
④的系数阵: 的系数阵
⑤
a 11 ⋯ A= am 1
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x5为任意实数 .
返回
n元非齐次线性方程组Ax = b解的存在性
方程组无解 R( A) R( A, b) 方程组有解 R( A) R( A, b)
方程组有唯一解 R( A) R( A, b) n 方程组有无穷多组解 R( A) R( A, b) n
返回
二、非齐次线性方程组的通解结构
④有解, 叫相容.
④ 可写成:
AX = b
⑥
相应的齐次方程组: AX = 0
⑦
性质3. 若1,2是⑥的解,则1 2是⑦的解.
性质4. 若 是⑥的解, 是⑦的解,
则 是⑥的解.
定理:若 是 ⑥的一个解, 则⑥的任一个解
返回
下面四种提法可互为充要条件:
(1). 方程组④有解.
(2). b 可由1, , n 线性表示.
(3). 向量组1, , n与 向量组1, , n ,b等价.
(4). R(A) = R(B) .
显然
显然
证明: (1) (2) (3).
(4) 1, , n的秩 1, , n ,b的秩.
R(A)=R(B).
返回
(4) 1, , n的秩 1, , n ,b的秩.
设秩同为 r,
1, , r 是1, , n 的一个最大无关组. 1, , r ,b 线性相关, 否则与秩为 r 矛盾! 1, , r也是 1, , n,b的一个最大无关组.
1, ,n与1, ,n,b等价. 证毕.
定理二. (非齐次线性方程组④有解的判别定理)
(iii) 令这 n–r 个自由未知量分别为基本单位向量1,L ,nr ,
可得相应的 n–r 个基础解系 1 , ,nr ; (iv) 写出通解 k11 k22 L knr nr ,其中k1, k2,L , knr为任意实数
返回
3x1 x2 8x3 2x4 x5 0
题.求
2 x1
返回
例 求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为：
1 0, 1, 2 , 3T , 2 3 , 2 , 1, 0T
解：设有方程 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4 0
a1
由题意应有：
0 3
1 2
2 1
3 0
a2 aa43
0 0
对系数矩阵施行初等行变换，有：
0 1 2 3 1 0 1 2
对n元齐次线性方程组，有 若 R(A) = n , 则方程组有惟一零解; 若 R(A) = r < n , 则方程组有无数多组解，其通解为
k11 k22 knrnr (1 , , nr 是解空间的一组基) 解题步骤 (i) 写出系数矩阵并将其化为行最简形 I ； (ii) 由 I 确定出 n–r 个自由未知量(可写出同解方程组);
a12
,
2
a22
,
,
n
a2n
,
b
b2
.
am1
a
m
2
amn
bm
返回
则方程组④可写成:
x11 x22 xnn b
④的系数阵:
a11 a12
A
am1 am2
a1n
amn
(1, 2 , , n ).
⑤
返回
a11 a12 a1n b1
④0 a1
0 1 1 0 0 a2
B 0
0
1
1
0
a3
0 0 0 1 1 a4
1 0 0 0 1 a5
1 1 0 0 0 0 1 1 0 0
a1 a2
RA RB
~
0
0
0 0
1 1 0 0 1 1
a3
a4
5
ai 0
i 1
5
0 0 0 0 0 ai
非齐次线性方程组④有解 R(A) = R(B).
返回
x1 x2 a1
例1
证明方
程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
有解的充要条件
x4
x5
a4
x5 x1 a5
是a1 a2 a3 a4 a5 0.在有解的情况下，
求出它的一切解．
解证 对增广矩阵B进行初等变换， 方程组的增广矩阵为
x1 2x2 3x3 11x2 12x3
7x4 2x5 0 34x4 3x5 0
x1 5x2 2x3 16x4 3x5 0
的基础解系及通解.
返回
1 0 19 3 1
8 8 2
解
：A
0
1
7 8
25 8
1 2
,即r(
A)
2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
x1
0 0
返回
第三节 非齐次线性方程组
非齐次线性方程组的概念 非齐次线性方程组有解的条件 非齐次线性方程组解的结构
返回
一、非齐次线性方程组有解的充要条件
a11
x1
a12
x2
a1n xn
b1
④
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
记
a11
a12
a1n
b1
1
B
am1 am2 amn bm
(1, , n , b).
④有解 x1, , xn
存在一组数 x1, , xn, 使 x11 xnn b.
b 可由1, , n 线性表示.
返回
问题是：非齐次线性方程组何时是有解的？如果有 解时怎样求出其所有解？
根据齐次线性方程组的不同表示方法，以及矩阵 与其行向量组、列向量组的关系，不难得知如下 等价命题：
i1
返回
5
方程组有解的充要条件是 ai 0.
i 1
x1 x2 a1
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
由此得通解：
x4 x5 a4
x1 a1 a2 a3 a4 x5
x2 a2 a3 a4 x5 x3 a3 a4 x5
x4 a4 x5
x
2
19 3 8 x3 8 7 25 8 x3 8
x4 x4
1
2 1
2
x5 x5
x3 , x4 , x5分别为1 0 0T ,0 1 0T ,0 0 1T 得
返回
v1
19 8
7 8
1
0
0 T
v 2
3 8
25 8
0
1
0 T
v3
1 2
1 2
0
0 1T
x k1v1 k2v2 k3v3 (k1 , k2为任意常数）
3 2 1 0 ~ 0 1 2
3
返回
a1
1 0
0 1
1 2
2
3
a2 aa43
0 0
即
aa12
a3 2a4 0 2a3 3a4 0
即
aa12
a3 2a4 2a3 3a4
所以
a1 1 2
a2 aa43
c1
2
1
0
c2
3
0
1
即所求方程组为：
2xx1123xx22xx34