2020届高考物理一轮复习讲义：第四章 第4讲 万有引力与航天(含答案)
2020高考物理一轮总复习 第四章 曲线运动 万有引力与航天 基础课4 万有引力定律的理解及应用练习(含解析)
基础课 4 万有引力定律的理解及应用1．(2019届湖北武昌实验中学检测)万有引力的发现实现了物理学史上第一次大统一：“地上物理学”和“天上物理学”的统一，它表明天体运动和地面上物体的运动遵从相同的规律．牛顿发现万有引力定律的过程中将行星的椭圆轨道简化为圆轨道，还应用到了其他的规律和结论．下面的规律和结论没有被用到的是( )A ．开普勒的研究成果B ．卡文迪许通过扭秤实验得出的引力常量C ．牛顿第二定律D ．牛顿第三定律解析：选B 牛顿在发现万有引力定律的过程中将行星的椭圆轨道简化为圆轨道，这就是开普勒第一定律，由牛顿第二定律列出万有引力提供向心力，再借助牛顿第三定律推算物体对地球的作用力与什么有关系，同时应用开普勒第三定律导出万有引力定律，而卡文迪许通过扭秤实验得出的引力常量，是牛顿发现万有引力定律之后，故B 选项正确．2．(2018届湖南岳阳一模)地球公转轨道的半径在天文学上常用来作为长度单位，叫做天文单位，用来量度太阳系内天体与太阳的距离．已知木星公转的轨道半径约5.0天文单位，请估算木星公转的周期约为( )A ．3年B ．5年C ．11年D ．25年解析：选C 根据开普勒第三定律得：R 木3T 木2＝R 地3T 地2，解得：T 木＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R 木R 地3·T 地＝53·1年＝11年，故选项C 正确．3．(2015年重庆卷)宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m ，距地面高度为h ，地球质量为M ，半径为R ，引力常量为G ，则飞船所在处的重力加速度大小为( )A ．0 B.GM R ＋h2C.GMm R ＋h2D.GM h2解析：选 B 飞船受的万有引力等于该处所受的重力，即GMm R ＋h2＝mg ，得g ＝GM R ＋h2，选项B 项正确．4．(2018届安徽皖南八校联考)一颗在赤道上空做匀速圆周运动的人造卫星，其轨道半径上对应的重力加速度为地球表面重力加速度的四分之一，则某一时刻该卫星观测到地面赤道最大弧长为(已知地球半径为R )( )A.23πR B.12πR C.13πR D.14πR 解析：选A 在轨道上G Mm r 2＝mg ′，在地球表面G Mm R 2＝mg ，因为g ′＝14g ，解得r ＝2R ，则某时刻该卫星观测到地面赤道的弧度数为2π3，则观测到地面赤道最大弧长为23πR ，故选A.5．(多选)(2018届云南一模)一球形行星对其周围物体的万有引力使物体产生的加速度用a 表示，物体到球形行星表面的距离用h 表示，a 随h 变化的图象如图所示，图中a 1、h 1、a 2、h 2及引力常量G 均为已知．根据以上数据可以计算出( )A ．该行星的半径B ．该行星的质量C ．该行星的自转周期D ．该行星的同步卫星离行星表面的高度解析：选AB 设行星半径为R ，质量为M ，物体质量为m ，在物体到球形行星表面的距离为h 1时，由万有引力定律和牛顿运动定律，有GMmR ＋h 12＝ma 1，在物体到球形行星表面的距离为h 2时，有GMm R ＋h 22＝ma 2，联立可解得行星半径R 和质量M ，选项A 、B 正确；不能得出该行星的自转周期，也不能得出该行星同步卫星离行星表面的高度，选项C 、D 错误．6．(2019届高密模拟)据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星．假设该行星质量约为地球质量的6.4倍，半径约为地球半径的2倍．那么，一个在地球表面能举起64 kg 物体的人，在这个行星表面能举起的物体的质量约为(地球表面重力加速度g ＝10 m/s 2)( )A ．40 kgB ．50 kgC ．60 kgD ．30 kg解析：选A 在地球表面，万有引力等于重力GMm R 2＝mg ，得g ＝GM R 2，因为行星质量约为地球质量的6.4倍，其半径是地球半径的2倍，则行星表面重力加速度是地球表面重力加速度的1.6倍，而人的举力认为是不变的，则人在行星表面所举起的重物质量为：m ＝m 01.6＝641.6kg＝40 kg ，故A 正确．7．(2019届漯河模拟)宇航员站在某一星球距其表面h 高度处，以某一速度沿水平方向抛出一个小球，经过时间t 后小球落到星球表面，已知该星球的半径为R ，引力常量为G ，则该星球的质量为( )A.2hR2Gt 2B.2hR 2GtC.2hRGt2D.Gt 22hR2 解析：选A 由h ＝12gt 2可得g ＝2h t 2，由G Mm R 2＝mg 可得：M ＝gR 2G ＝2hR2Gt 2，故选项A 正确．8.如图所示，将一个半径为R 、质量为M 的均匀大球，沿直径挖去两个半径分别为大球一半的小球，并把其中一个放在球外与大球靠在一起，挖去小球的球心、球外小球球心、大球球心在一条直线上，则大球中剩余部分与球外小球的万有引力大小约为(已知引力常量为G )( )A ．0.01GM 2R 2B ．0.02GM 2R2C ．0.05GM 2R 2D ．0.04GM 2R2解析：选D 由题意知，所挖出小球的半径为R2，质量为M8，则未挖出小球前大球对球外小球的万有引力大小为F ＝GM ×M8⎝ ⎛⎭⎪⎫R ＋R 22＝GM 218R 2，将所挖出的其中一个小球填在原位置，则填入左侧原位置小球对球外小球的万有引力为F 1＝G M 8×M82R 2＝GM 2256R2，填入右侧原位置小球对球外小球的万有引力为F 2＝G M 8×M8R 2＝GM 264R 2，大球中剩余部分对球外小球的万有引力大小为F 3＝F －F 1－F 2≈0.04GM 2R2，D 选项正确．9．(2019届广州调研)“嫦娥五号”探测器预计在2018年发射升空，自动完成月面样品采集后从月球起飞，返回地球，带回约2 kg 月球样品．某同学从网上得到一些信息，如表格中的数据所示，则地球和月球的密度之比为( )地球和月球的半径之比4 地球表面和月球表面的重力加速度之比6A.23B.2 C ．4D ．6解析：选B 在地球表面，重力等于万有引力，故mg ＝G Mm R 2，解得M ＝gR 2G ，故地球的密度ρ＝MV ＝gR 2G43πR3＝3g 4πGR .同理，月球的密度ρ0＝3g 04πGR 0.故地球和月球的密度之比ρρ0＝gR 0g 0R ＝32，B 正确． 10．(多选)(2018届晋城三模)探索火星的奥秘承载着人类征服宇宙的梦想．假设人类某次利用飞船探测火星的过程中，飞船只在万有引力作用下贴着火星表面绕火星做圆周运动时，测得其绕行速度为v ，绕行一周所用时间为T ，已知引力常量为G ，则( )A ．火星表面的重力加速度为πv TB ．火星的半径为Tv2πC ．火星的密度为3πGT2D ．火星的质量为Tv 22πG解析：选BC 飞船在火星表面做匀速圆周运动，轨道半径等于火星的半径，根据v ＝2πR T ，得R ＝vT 2π，故B 正确；根据万有引力提供向心力，有G Mm R 2＝m 4π2T2R ，得火星的质量M ＝4π2R 3GT 3，根据密度公式得火星的密度ρ＝M V ＝4π2R3GT 24πR 33＝3πGT 2，故C 正确；根据M ＝ρ·4πR33＝3πGT 2×4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫vT 2π3＝Tv 32πG ，故D 错误；根据重力等于万有引力得，mg ＝G Mm R 2，得g ＝G M R 2＝2πvT ，故A 错误．11．(多选) (2018年天津卷)2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一．通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度．若将卫星绕地球的运动看做是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( )A ．密度B ．向心力的大小C ．离地高度D ．线速度的大小解析：选CD 根据题意，已知卫星运动的周期T ，地球的半径R ，地球表面的重力加速度g ，卫星受到的万有引力充当向心力，故有G Mm r 2＝m 4π2T2r ，卫星的质量被消去，则不能计算卫星的密度，更不能计算卫星的向心力大小，A 、B 错误；由G Mm r 2＝mr 4π2T 2，解得r ＝3GMT 24π2，而r ＝R ＋h ，故可计算卫星距离地球表面的高度，C 正确；根据公式v ＝2πrT，轨道半径可以求出，周期已知，故可以计算出卫星绕地球运动的线速度，D 正确．12．(2018届河北省三市联考)如图所示，冥王星绕太阳公转的轨道是椭圆，公转周期为T 0，其近日点到太阳的距离为a ，远日点到太阳的距离为b ，半短轴的长度为c .若太阳的质量为M ，引力常量为G ，忽略其他行星对冥王星的影响，则( )A ．冥王星从B →C →D 的过程中，速率逐渐变小B ．冥王星从A →B →C 的过程中，万有引力对它先做正功后做负功 C ．冥王星从A →B 所用的时间等于T 04D ．冥王星在B 点的加速度大小为4GMb －a 2＋4c 2解析：选D 冥王星从A →B →C 的过程中，万有引力对它做负功，速率逐渐变小，从C →D 的过程中，万有引力对它一直做正功，速率增大，A 、B 错误；冥王星从A →B 的过程中平均速率比由B →C 的大，故从A →B 所用时间小于T 04，C 错误；由几何关系可得冥王星在B 点时到太阳的距离x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 22＋c 2，又GMm x 2＝ma B ，可解得冥王星在B 点的加速度a B＝4GMb －a2＋4c2，D 正确．13．(2019届辽宁省实验中学质检)设地球是一质量分布均匀的球体，O 为地心．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．在下列四个图中，能正确描述x 轴上各点的重力加速度g 的分布情况的是( )解析：选A 设地球的密度为ρ，半径为R ，则由GMm R 2＝mg ，M ＝43πR 3ρ，可得g ＝4πGRρ3，根据题意，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为R －x 的井底，物体受到地球的万有引力即为半径等于x 的球体在其表面产生的万有引力，则有g ＝4πGρ3x ，即当x <R 时，g 与x 成正比，在x >R 时，g ＝GM x2，g 与x 2成反比，对应图线可知，只有选项A 正确．14．(2018年北京卷)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( )A ．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602B ．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602C ．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6D ．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60解析：选B 设月球的质量为M 月，地球的质量为M ，苹果的质量为m ，则月球受到的万有引力为F 月＝GMM 月60r 2，苹果受到的万有引力为F ＝GMmr 2，由于月球质量和苹果质量之间的关系未知，故二者之间万有引力的关系无法确，故A 错误；根据牛顿第二定律GMM 月60r2＝M 月a 月，GMm r 2＝ma ，整理可得a 月＝1602a ，故B 正确；在月球表面处GM 月m ′r 月2＝m ′g 月，由于月球本身的半径大小及其质量与地球的半径、质量关系未知，故无法求出月球表面和地球表面重力加速度的关系，故C 错误；苹果在月球表面受到的引力为F ′＝GM 月mr 月2，由于月球本身的半径大小及其质量与地球的半径、质量关系未知，故无法求出苹果在月球表面受到的引力与在地球表面受到的引力之间的关系，故D 错误．15．(2018届宝鸡一模)宇航员在某星球上为了探测其自转周期做了如下实验：在该星球两极点，用弹簧秤测得质量为M 的砝码所受重力为F ，在赤道测得该砝码所受重力为F ′.他还发现探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T .假设该星球可视为质量分布均匀的球体，则其自转周期为( )A ．T F ′F B ．T F F ′ C ．TF －F ′FD ．TFF －F ′解析：选D 设星球和探测器质量分别为m 、m ′ 在两极点，有：G MmR2＝F在赤道，有：G Mm R 2－F ′＝MR 4π2T 自2探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T ，则有：G mm ′R 2＝m ′R 4π2T2；联立以上三式解得T 自＝TFF －F ′.故D 正确，A 、B 、C 错误．。
高考物理一轮复习讲义第四章_曲线运动万有引力与航天_曲线运动万有引力与航天_章末_word版有答案
第四章章末检测1．一辆静止在水平地面上的汽车里有一个小球从高处自由下落，下落一半高度时汽车突然向右匀加速运动，站在车厢里的人观测到小球的运动轨迹是图中的()解析开始时小球相对观察者是做自由落体运动，当车突然加速时，等效成小球相对汽车向左突然加速，刚开始加速时，水平方向的相对速度较小，随着时间的延长，水平方向的相对速度逐渐增大，故观察者看到的小球的运动轨迹应该是C图。
答案C2．中国女排享誉世界排坛，曾经取得辉煌的成就．如图1所示，在某次比赛中，我国女排名将冯坤将排球从底线A点的正上方以某一速度水平发出，排球正好擦着球网落在对方底线的B点上，且AB平行于边界CD.已知网高为h，球场的长度为s，不计空气阻力且排球可看成质点，则排球被发出时，击球点的高度H和水平初速度v分别为()．图1A．H＝43h B．H＝32hC．v＝s3h3gh D．v＝s4h6gh解析由平抛知识可知12gt2＝H，H－h＝12g⎝⎛⎭⎪⎫t22得H＝43h，A正确、B错误．由v t＝s，得v＝s4h6gh，D正确、C错误．答案AD3．“飞车走壁”杂技表演比较受青少年的喜爱，这项运动由杂技演员驾驶摩托车，简化后的模型如图2所示，表演者沿表演台的侧壁做匀速圆周运动．若表演时杂技演员和摩托车的总质量不变，摩托车与侧壁间沿侧壁倾斜方向的摩擦力恰好为零，轨道平面离地面的高度为H，侧壁倾斜角度α不变，则下列说法中正确的是()．图2A．摩托车做圆周运动的H越高，向心力越大B．摩托车做圆周运动的H越高，线速度越大C．摩托车做圆周运动的H越高，向心力做功越多D．摩托车对侧壁的压力随高度H变大而减小解析经分析可知摩托车做匀速圆周运动的向心力由重力及侧壁对摩托车弹力的合力提供，由力的合成知其大小不随H的变化而变化，A错误；因摩托车和演员整体做匀速圆周运动，所受合外力提供向心力，即F合＝mv2r，随H的增高，r增大，线速度增大，B正确；向心力与速度方向一直垂直，不做功，C错误；由力的合成与分解知识知摩托车对侧壁的压力恒定不变，D错误．答案 B4．如图所示，一小钢球从平台上的A处以速度v0水平飞出．经t0时间落在山坡上B处，此时速度方向恰好沿斜坡向下，接着小钢球从B处沿直线自由滑下，又经t0时间到达坡上的C处．斜坡BC与水平面夹角为30°，不计摩擦阻力和空气阻力，则小钢球从A到C的过程中水平、竖直两方向的分速度v x、v y随时间变化的图像是()解析小钢球从A到C的过程中水平方向的分速度vx，先是匀速直线运动，后是匀加速直线运动，A、B错误；小钢球从A到C的过程中竖直方向的分速度vy，显示加速度为g的匀加速直线运动，后是加速度为g/4的匀加速直线运动，C错误、D正确。
2020版高考物理新设计一轮复习江苏专版讲义：第四章 第4节 万有引力定律及其应用 含答案
第4节万有引力定律及其应用(1)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆。
(√)(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。
(×) (3)只有天体之间才存在万有引力。
(×)(4)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F ＝G m 1m 2r 2计算物体间的万有引力。
(×)(5)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。
(√) (6)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。
(×)(1)德国天文学家开普勒提出天体运动的开普勒三大定律。
(2)牛顿总结了前人的科研成果，在此基础上，经过研究得出了万有引力定律。
(3)英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量。
突破点(一) 开普勒行星运动定律与万有引力定律1．(2016·全国卷Ⅲ)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A ．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B ．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C ．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D ．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律解析：选B 开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项A 错误，选项B 正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C 错误；牛顿发现了万有引力定律，选项D 错误。
2．[多选](2016·江苏高考)如图所示，两质量相等的卫星A 、B 绕地球做匀速圆周运动，用R 、T 、E k 、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。
下列关系式正确的有( )A ．T A ＞TB B ．E k A ＞E k BC ．S A ＝S BD.R A 3T A 2＝R B 3T B2解析：选AD 根据开普勒第三定律，R A 3T A 2＝R B 3T B2，又R A ＞R B ，所以T A ＞T B ，选项A 、D 正确；由G MmR 2＝m v 2R 得，v ＝GM R ，所以v A ＜v B ，则E k A ＜E k B ，选项B 错误；由G Mm R 2＝mR 4π2T 2得，T＝2πR 3GM ，卫星与地心的连线在单位时间内扫过的面积S ＝1T πR 2＝GMR 2，可知S A ＞S B ，选项C 错误。
2020新课标高考物理总复习教师用书：第四章 曲线运动 万有引力与航天 Word版含答案
姓名，年级：时间：第四章错误!错误!点点通（一）物体做曲线运动的条件与轨迹分析1．曲线运动(1）速度的方向：质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向。
(2)运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动是变速运动。
（3)物体做曲线运动的条件：物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上.2．合外力方向与轨迹的关系物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切,合外力方向指向轨迹的“凹”侧。
3．速率变化情况判断（1)当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大。
(2）当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时,物体的速率减小。
（3）当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
[小题练通］1．一个物体在力F1、F2、F3、…、F n共同作用下做匀速直线运动，若突然撤去F2,而其他力不变，则该物体( ）A．可能做曲线运动B．不可能继续做直线运动C．一定沿F2的方向做直线运动D．一定沿F2的反方向做匀减速直线运动解析:选A 根据题意，物体开始做匀速直线运动，物体所受的合力一定为零，突然撤去F2后,物体所受其余力的合力与F2大小相等、方向相反,而物体速度的方向未知，故有多种可能情况：若速度的方向和F2的方向在同一直线上,物体做匀变速直线运动,若速度的方向和F2的方向不在同一直线上,物体做曲线运动，A正确。
2。
(2019·金华联考)春节期间人们放飞孔明灯表达对新年的祝福.如图所示，孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动,在水平Ox方向做匀速运动，孔明灯的运动轨迹可能为图中的（)A．直线OA B．曲线OBC．曲线OC D．曲线OD解析：选D 孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，则合外力沿Oy方向，所以合运动的加速度方向沿Oy方向，但合速度方向不沿Oy方向,故孔明灯做曲线运动，结合合力指向轨迹凹侧可知轨迹可能为题图中的曲线OD，故D正确。
2020复习方案高考物理人教版一轮复习讲义：第四章 第4讲 万有引力与航天 含答案
第4讲万有引力与航天考点1开普勒三定律的理解和应用1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．3．开普勒第三定律a3T2＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．1．如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为v a，则过近日点时的速率为(C)A．v b＝bav a B．v b＝abv aC．v b＝abv a D．v b＝bav a解析：若行星从轨道的A 点经足够短的时间t 运动到A ′点，则与太阳的连线扫过的面积可看做扇形，其面积S A ＝a ·v a t2；若行星从轨道的B 点也经时间t运动到B ′点，则与太阳的连线扫过的面积S B ＝b ·v b t2.根据开普勒第二定律得a ·v a t 2＝b ·v b t 2，即v b ＝a b v a ，选项C 正确．2．(2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( C )A ．2 1B ．4 1C ．8 1D ．161解析：解法1：本题考查万有引力定律、向心力公式、周期公式．卫星P 、Q 围绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即G MmR 2＝m 4π2T 2R ，则T ＝4π2R 3GM ，T PT Q ＝R 3PR 3Q＝81，选项C 正确． 解法2：卫星P 、Q 围绕地球做匀速圆周运动，满足开普勒第三定律，R 3PT 2P＝R 3QT 2Q ，解得T P T Q ＝R 3PR 3Q＝81，选项C 正确． 3．(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经过M 、Q 到N 的运动过程中( CD )A．从P到M所用的时间等于T0 4B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大C．从P到Q阶段，速率逐渐变小D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功解析：由行星运动的对称性可知，从P经M到Q点的时间为12T0，根据开普勒第二定律可知，从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知从P到M所用的时间小于14T0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确．涉及椭圆轨道运动周期的问题，在中学物理中，常用开普勒第三定律求解.但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间，如绕太阳运行的两行星之间或绕地球运行的两卫星之间，而对于一颗行星和一颗卫星比较时不能用开普勒第三定律，开普勒第三定律不仅适用于天体沿椭圆轨道运动，也适用于天体沿圆轨道运动.考点2万有引力定律的理解与计算1．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示．(1)在赤道处：G MmR 2＝mg 1＋mω2R .(2)在两极处：G MmR2＝mg 2.(3)在一般位置：万有引力G MmR 2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和．越靠近南、北两极，g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即G MmR2＝mg .2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)(1)在地球表面附近的重力加速度g (不考虑地球自转)：mg ＝G MmR 2，得g＝GM R2. (2)在地球上空距离地心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′：mg ′＝G Mm (R ＋h )2，得g ′＝GM (R ＋h )2，所以gg ′＝(R ＋h )2R 2.考向1 万有引力的计算如图所示，有一个质量为M ，半径为R ，密度均匀的大球体．从中挖去一个半径为R2的小球体，并在空腔中心放置一质量为m 的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)( )A ．G Mm R 2B ．0C ．4G Mm R2D ．G Mm 2R2[审题指导] (1)万有引力定律只适用于求质点间的万有引力． (2)在质量分布均匀的实心球中挖去小球后其质量分布不再均匀，不可再随意视为质点处理．(3)可以采用填补法计算万有引力大小．【解析】 若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m 的吸引力等于完整大球体对m 的吸引力与挖去小球体对m 的吸引力之差，挖去的小球体球心与m 重合，对m 的万有引力为零，则剩余部分对m 的万有引力等于完整大球体对m 的万有引力；以大球体球心为中心分离出半径为R 2的球，易知其质量为18M ，则剩余均匀球壳对m 的万有引力为零，故剩余部分对m 的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律，F ＝G 18Mm ⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22＝G Mm2R 2，故D 正确． 【答案】 D考向2 万有引力与重力的关系假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常量为G .地球的密度为( )A.3πGT 2 g 0－gg 0B.3πGT 2 g 0g 0－gC.3πGT 2D.3πGT2 g 0g [审题指导] ①在两极处万有引力等于物体重力，而在赤道处万有引力等于物体重力与物体随地球一起自转所需的向心力之和；②在赤道处物体所受万有引力、向心力和重力G 在同一直线上，方向都指向地心；③球体积公式V ＝43πR 3.【解析】 在地球两极处，G Mm R 2＝mg 0，在赤道处，G MmR 2－mg ＝m 4π2T 2R ，故R ＝(g 0－g )T 24π2，则ρ＝M43πR 3＝R 2g 0G 43πR 3＝3g 04πRG ＝3πGT 2 g 0g 0－g，B 正确．【答案】 B由于地球的自转，在地球表面的物体，重力与万有引力不严格相等，重力为万有引力的一个分力，由于二者差别较小，计算时一般可以认为二者相等，即G MmR 2＝mg ，GM ＝gR 2，这就是万有引力定律应用中经常用到的“黄金代换”.1．(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T ＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67×10－11 N·m 2/kg 2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( C )A ．5×109 kg/m 3B ．5×1012 kg/m 3C ．5×1015 kg/m 3D ．5×1018 kg/m 3解析：本题考查万有引力定律在天体中的应用．以周期T 稳定自转的星体，当星体的密度最小时，其表面物体受到的万有引力提供向心力，即GMmR2＝m 4π2T 2R ，星体的密度ρ＝M 43πR 3，得其密度ρ＝3πGT 2＝3×3.14 6.67×10－11×(5.19×10－3)2 kg/m 3≈5×1015 kg/m 3，故选项C 正确． 2．假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体，一矿井深度为d .已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( A )A ．1－d RB ．1＋dRC.⎝⎛⎭⎪⎫R －d R 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫R R －d 2 解析：如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零．设地面处的重力加速度为g ，地球质量为M ，地球表面质量为m 的物体受到的重力近似等于万有引力，故mg ＝G MmR 2；设矿井底部处的重力加速度为g ′，“等效地球”的质量为M ′，其半径r ＝R －d ，则矿井底部质量为m 的物体受到的重力mg ′＝G M ′m r 2，又M ＝ρV ＝ρ·43πR 3，M ′＝ρV ′＝ρ·43π(R －d )3，联立解得g ′g ＝1－d R ，A 正确．考点3 万有引力定律在天体运动中的应用考向1 天体质量和密度的计算(1)自力更生法：利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R . ①由G MmR 2＝mg 得天体质量M ＝gR 2G .②天体密度：ρ＝M V ＝M43πR 3＝3g 4πGR .(2)借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T . ①由G Mmr 2＝m 4π2r T 2得天体的质量为M ＝4π2r 3GT 2.②若已知天体的半径R ，则天体的密度 ρ＝M V ＝M43πR 3＝3πr 3GT 2R 3.③若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运行的周期T ，就可估算出中心天体的密度．1．在某星球表面以初速度v 0竖直上抛一个物体，若物体只受该星球引力作用，引力常量为G ，忽略其他力的影响，物体上升的最大高度为h ，已知该星球的直径为d ，下列说法正确的是( A )A ．该星球的质量为v 20d28GhB ．该星球的质量为v 20d22GhC ．在该星球表面发射卫星时最小的发射速度为v 04d h D ．在该星球表面发射卫星时最小的发射速度为v 0d h解析：物体做竖直上抛运动，根据运动学公式可得星球表面的重力加速度为g ′＝v 202h ，因而在该星球表面发射卫星的最小速度为v min ＝g ′R ＝v 02dh ，选项C 、D 错误．设星球的质量为M ，物体的质量为m ，在星球表面上有G Mm R 2＝mg ′，解得M ＝v 20d28Gh，选项A 正确，B 错误．2．据报道，天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的a 倍，质量是地球的b 倍．已知近地卫星绕地球运行的周期约为T ，引力常量为G .则该行星的平均密度为( C )A.3πGT 2B.π3T 2C.3πb aGT 2D.3πa bGT 2解析：万有引力提供近地卫星绕地球运行的向心力：G M 地m R 2＝m 4π2RT 2，且ρ地＝3M 地4πR 3，联立得ρ地＝3πGT 2.而ρ星ρ地＝M 星V 地V 星M 地＝b a ，因而ρ星＝3πbaGT 2.计算中心天体的质量、密度时的两点区别(1)天体半径和卫星的轨道半径通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于等于天体的半径．(2)自转周期和公转周期自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间．自转周期与公转周期一般不相等．考向2 双星及多星系统 (1)多星系统的条件 ①各星彼此相距较近．②各星绕同一圆心做匀速圆周运动． (2)多星系统的结构由两星之间的万有引力提中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A．质量之积B．质量之和C．速率之和D．各自的自转角速度[审题指导](1)根据题意，抽象物理模型，画出示意图；(2)找到题目给出的已知量，再求未知量．【解析】本题考查万有引力定律的应用等知识．双星系统由彼此间万有引力提供向心力，得Gm1m2L2＝m1ω21r1，Gm1m2L2＝m2ω22r2，且T＝2πω，两颗星的周期及角速度相同，即T1＝T2＝T，ω1＝ω2＝ω，两颗星的轨道半径r1＋r2＝L，解得m1m2＝r2r1，m1＋m2＝4π2L3GT2，因为r2r1未知，故m1与m2之积不能求出，则选项A错误，B正确．各自的自转角速度不可求，选项D错误．速率之和v1＋v2＝ωr1＋ωr2＝ω·L，故C项正确．【答案】BC双星模型的重要结论(1)两颗星到轨道圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1. (2)双星的运动周期T ＝2πL 3G (m 1＋m 2).(3)双星的总质量m 1＋m 2＝4π2L 3T 2G.3．2015年4月，科学家通过欧航局天文望远镜在一个河外星系中，发现了一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图所示．这也是天文学家首次在正常星系中发现超大质量双黑洞．这对验证宇宙学与星系演化模型、广义相对论在极端条件下的适应性等都具有十分重要的意义．若图中双黑洞的质量分别为M 1和M 2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动．根据所学知识，下列选项正确的是( B )A ．双黑洞的角速度之比ω1ω2＝M 2M 1 B ．双黑洞的轨道半径之比r 1r 2＝M 2M 1 C ．双黑洞的线速度之比v 1v 2＝M 1M 2D ．双黑洞的向心加速度之比a 1a 2＝M 1M 2解析：双黑洞绕连线上的某一点做匀速圆周运动的周期相等，角速度也相等，选项A 错误；双黑洞做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，向心力大小相等，设双黑洞间的距离为L ，由G M 1M 2L 2＝M 1r 1ω2＝M 2r 2ω2，得双黑洞的轨道半径之比r 1r 2＝M 2M 1，选项B 正确；双黑洞的线速度之比v 1v 2＝ωr 1ωr 2＝M 2M 1，选项C 错误；双黑洞的向心加速度之比a 1a 2＝ω2r 1ω2r 2＝M 2M 1，选项D 错误．4．(2019·广东湛江模拟)三颗相同的质量都是M 的星球位于边长为L 的等边三角形的三个顶点上．如果它们中的每一颗都在相互的引力作用下沿外接于等边三角形的圆轨道运行而保持等边三角形不变，下列说法正确的是( B )A ．其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力大小为3GM 22L 2B ．其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力指向圆心OC ．它们运行的轨道半径为32L D ．它们运行的速度大小为2GM L解析：根据万有引力定律，任意两颗星球之间的万有引力为F 1＝G M 2L 2，方向沿着它们的连线．其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力为F ＝2F 1cos30°＝3G M 2L 2，方向指向圆心，选项A 错误，B 正确；由r cos30°＝L2，解得它们运行的轨道半径r ＝33L ，选项C 错误；由3G M 2L 2＝M v 2r ，将r ＝33L 代入，可得v ＝GML ，选项D 错误．考点4 万有引力定律在航天中的应用考向1 人造卫星运行参量的比较环绕同一天体的不同轨道高度的卫星运行参量比较由G Mmr 2＝m v 2r ＝mrω2＝m 4π2T2r ＝ma n 可推导出：⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫v ＝GM rω＝GM r3T ＝4π2r3GM a n＝G M r2⇒当r 增大时⎩⎪⎨⎪⎧v 减小ω减小T 增大a n减小(多选)如图所示，两质量相等的卫星A 、B 绕地球做匀速圆周运动，用R 、T 、E k 、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有( )A ．T A >TB B ．E k A >E k BC ．S A ＝S BD.R 3A T 2A ＝R 3B T 2B【解析】 根据开普勒第三定律，R 3A T 2A ＝R 3BT 2B，又R A >R B ，所以T A >T B ，选项A 、D 正确；由G MmR2＝m v 2R 得，v ＝GMR ，所以v A <v B ，则E k A <E k B ，选项B 错误；由G MmR 2＝mR 4π2T2得，T ＝2πR 3GM ，卫星与地心的连线在单位时间内扫过的面积S ＝1T πR 2＝GMR2，可知S A >S B ，选项C 错误．【答案】 AD人造卫星问题的解题技巧(1)一个模型卫星的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型． (2)两组公式①G Mmr 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T2r ＝ma n②mg ＝G MmR2(g 为星体表面处的重力加速度)(3)a 、v 、ω、T 均与卫星的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同决定，所有参量的比较，最终归结到半径的比较．口诀：一定四定、越高越慢．5．2018年2月2日15时51分我国第一颗电磁检测试验卫星“张衡一号”成功发射，使我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一，已知地球半径为R ，地球表面处的重力加速度为g ，假设一颗距离地面高度为2R 的人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，下列关于卫星运动的说法正确的是( B )A ．线速度的大小为gR 2B ．角速度为g 27RC ．加速度大小为g4D ．周期为6πR g解析：在地球表面重力与万有引力相等有：G m 0MR 2＝m 0g 可得GM ＝gR 2.距地面高度为2R 的人造卫星的轨道半径为3R ，由万有引力提供圆周运动的向心力有：G mM (3R )2＝m v 23R ＝m ·3Rω2＝m ·3R 4π2T 2＝ma ，可得线速度v ＝GM 3R＝gR3，角速度ω＝GM27R 3＝g 27R ，加速度a ＝GM 9R 2＝19g ，周期T ＝4π2·27R 3GM ＝6π3Rg .故B 正确，A 、C 、D 错误．考向2 宇宙速度的理解与计算 1．第一宇宙速度的推导 方法一：由G Mm R 2＝m v 21R 得v 1＝GM R ＝6.67×10－11×5.98×10246.4×106m/s＝7.9×103 m/s. 方法二：由mg ＝m v 21R 得v 1＝gR ＝9.8×6.4×106 m/s ＝7.9×103 m/s.第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，T min ＝2πRg ＝5 075 s ≈85 min.2．宇宙速度与运动轨迹的关系(1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球做匀速圆周运动． (2)7.9 km/s<v 发<11.2 km/s ，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆． (3)11.2 km/s ≤v 发<16.7 km/s ，卫星绕太阳做椭圆运动．(4)v 发≥16.7 km/s ，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．(多选)2020年中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福尔斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星．已知火星的质量约为地球质量的19，火星的半径约为地球半径的12.下列关于火星探测器的说法中正确的是( )A ．发射速度只要大于第一宇宙速度即可B ．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以C ．发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度D ．火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的23【解析】 根据三个宇宙速度的意义，可知选项A 、B 错误，C 正确；已知M 火＝M 地9，R 火＝R 地2，则v mv 1＝GM火R 火GM 地R 地＝23. 【答案】 CD对第一宇宙速度的理解(1)第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是卫星贴近地面运行的速度，即人造地球卫星的最大运行速度．(2)当卫星的发射速度v 满足7.9 km/s<v <11.2 km/s 时，卫星绕地球运行的轨道是椭圆，地球位于椭圆的一个焦点上．6．发射宇宙飞船的过程中要克服引力做功，已知将质量为m 的飞船在距地球中心无限远处移到距地球中心为r 处的过程中，引力做功为W ＝GMmr ，飞船在距地球中心为r 处的引力势能公式为E p ＝－GMmr ，式中G 为引力常量，M 为地球质量．若在地球的表面发射一颗人造地球卫星，如果发射的速度很大，此卫星可以上升到离地心无穷远处(即地球引力作用范围之外)，这个速度称为第二宇宙速度，已知地球半径为R .(1)试推导第二宇宙速度的表达式；(2)已知逃逸速度大于真空中光速的天体叫黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M 1＝1.98×1030 kg ，求它的可能最大半径．(引力常量G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2)解析：(1)设第二宇宙速度为v ，所谓第二宇宙速度，就是卫星摆脱中心天体束缚的最小发射速度．则卫星由地球表面上升到离地球表面无穷远的过程中，根据机械能守恒定律得E k ＋E p ＝0 即12m v 2－G MmR ＝0 解得v ＝2GM R .(2)由题意知第二宇宙速度大于c ，即2GM1R1>c得R 1<2GM 1c 2＝2×6.67×10－11×1.98×10309×1016m ≈2.93×103 m 则该黑洞的最大半径为2.93×103 m. 答案：(1)见解析 (2)2.93×103 m 考向3 卫星变轨问题分析 1．变轨原理及过程人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示． (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上． (2)在A 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.(3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ. 2．三个运行物理量的大小比较(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 2，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点速率分别为v A 、v B .在A 点加速，则v A >v 1，在B 点加速，则v 2>v B ，又因v 1>v 2，故有v A >v 1>v 2>v B .(2)加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过B 点的加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T 1、T 2、T 3，轨道半径分别为r 1、r 2(半长轴)、r 3，由开普勒第三定律r 3T2＝k 可知T 1<T 2<T 3.(多选)如图，一颗在椭圆轨道Ⅰ上运行的地球卫星，通过轨道Ⅰ上的近地点P 时，短暂点火加速后进入同步转移轨道Ⅱ.当卫星到达同步转移轨道Ⅱ的远地点Q 时，再次变轨，进入同步轨道Ⅲ.下列说法正确的是( )A ．卫星在轨道Ⅰ的P 点进入轨道Ⅱ机械能增加B ．卫星在轨道Ⅲ经过Q 点时和在轨道Ⅱ经过Q 点时速度相同C ．卫星在轨道Ⅲ经过Q 点时和在轨道Ⅱ经过Q 点时加速度相同D ．由于不同卫星的质量不同，因此它们的同步轨道高度不同 【解析】 卫星在轨道Ⅰ上通过P 点时，点火加速，使其所需向心力大于万有引力，做离心运动，才能进入轨道Ⅱ，所以卫星在轨道Ⅰ的P 点进入轨道Ⅱ机械能增加，选项A 正确；假设卫星从轨道Ⅲ返回轨道Ⅱ，卫星在轨道Ⅲ经过Q 点时，点火减速，使其所需向心力小于万有引力，做向心运动，才能进入轨道Ⅱ，所以卫星在轨道Ⅲ经过Q 点时和轨道Ⅱ经过Q 点时速度不同，选项B 错误；卫星在轨道Ⅲ经过Q 点时和在轨道Ⅱ经过Q 点时，所受万有引力相同，根据牛顿第二定律，产生的加速度相同，选项C 正确；对同步卫星G Mmr 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，解得r ＝3GMT 24π2，则同步轨道高度与卫星的质量无关，选项D 错误．【答案】 AC卫星变轨问题的实质7．(2019·山东日照模拟)2017年6月15日，中国空间科学卫星“慧眼”被成功送入轨道，卫星轨道所处的空间存在极其稀薄的空气．“慧眼”是我国首颗大型X 射线天文卫星，这意味着我国在X 射线空间观测方面具有国际先进的暗弱变源巡天能力、独特的多波段快速光观测能力等．下列关于“慧眼”卫星的说法，正确的是( B )A ．如果不加干预，“慧眼”卫星的动能可能会缓慢减小B ．如果不加干预，“慧眼”卫星的轨道高度可能会缓慢降低C ．“慧眼”卫星在轨道上处于失重状态，所以不受地球的引力作用D ．由于技术的进步，“慧眼”卫星在轨道上运行的线速度可能会大于第一宇宙速度解析：卫星轨道所处的空间存在极其稀薄的空气，如果不加干预，卫星的机械能减小，卫星的轨道高度会缓慢降低，据G Mm r2＝m v 2r 可得v ＝GM r ，卫星的轨道高度降低，卫星的线速度增大，卫星的动能增大，选项A 错误、B 正确；卫星在轨道上，受到的地球引力产生向心加速度，处于失重状态，选项C 错误；据G Mmr 2＝m v 2r 可得v ＝GMr ，卫星在轨道上运行的线速度小于第一宇宙速度，选项D 错误．学习至此，请完成课时作业14、15。
2020版新一线高考物理(新课标)一轮复习教学案：第4章 第4节 万有引力与航天 含答案
第4节万有引力与航天知识点一| 开普勒行星运动定律的应用1．开普勒第一定律所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
2．开普勒第二定律对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
3．开普勒第三定律所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，表达式：a3T2＝k。
[判断正误](1)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆。
(√)(2)行星在椭圆轨道上运行的速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小。
(√)(3)开普勒第三定律a3T2＝k中k值与中心天体质量无关。
(×)考法1以开普勒定律为背景的物理学史的考查1．(2016·全国卷Ⅲ)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是()A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律B[开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项A错误，选项B正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C错误；牛顿发现了万有引力定律，选项D错误。
]考法2开普勒定律内容的理解2．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( ) A ．太阳位于木星运行轨道的中心B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 C [木星绕太阳运行的轨道为椭圆轨道，故太阳应位于其椭圆轨道的一个焦点上，A 项错误；由于火星和木星在不同的轨道上，且是椭圆轨道，速度大小变化，火星和木星的运行速度大小不一定相等，B 项错误；由开普勒第三定律可知，同一中心天体R 3火T 2火＝R 3木T 2木＝k ，即T 2火T 2木＝R 3火R 3木，C 项正确；由于火星和木星在不同的轨道上，因此它们在近地点时的速度不等，且开普勒第二定律是指，对同一行星而言，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，D 项错误。
高三物理复习讲义：第四节 万有引力与航天
第四节
万有引力与航天
一、开普勒行星运动定律 1．开普勒第一定律（轨道定律）:所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭 圆的一个焦点上。 2．开普勒第二定律（面积定律）:对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫 过的相等的面积。 （近日点速率最大，远日点速率最小） 3．开普勒第三定律（周期定律） ：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的平 方的比值都相等。
M=
A. X 星球的质量为
4 2 r13 GT12 gx = 4 2 r1 T12 v1 m1r2 = v2 m 2 r1 r23 r13
B. X 星球表面的重力加速度为
C. 登陆舱在 r1 与 r2 轨道上运动时的速度大小之比为
T2 T1
D. 登陆舱在半径为 r2 轨道上做圆周运动的周期为
60 A.轨道半径之比约为 480
3
60 2 B. 轨道半径之比约为 480
3 2 3 D. 向心加速度之比约为 60 480
C.向心加速度之比约为 60 480
3
3、（2013 杭州名校质检）如图所示，发射远程弹道导弹，弹头脱离运载火箭 后，在地球引力作用下，沿椭圆轨道飞行，击中地面目标 B。C 为椭圆轨道的 远地点，距地面高度为 h。已知地球半径为 R，地球质量为 M，引力常量为 G。 关于弹头在 C 点处的速度 v 和加速度 a，下列结论正确的是 （ ） A． v
N 1 2 A． ( )3 N
C． (
N 2 B. ( )3 N 1
D. (
N 1 3 )2 N
N 3 )2 N 1
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高三物理一轮精细化复习讲义
二、万有引力定律 1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积 成正比，跟它们的距离的平方成反比。
2020届高三一轮复习：第4章 第4讲 万有引力与航天
[考点师生共研] 估算天体质量和密度的“四点”注意 (1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是 中心天体的质量，而非环绕天体的质量． (2)区别天体半径 R 和卫星轨道半径 r，只有在天体表面附近的卫星，才有 r≈R；计算天体密度时，V＝43πR3 中的“R”只能是中心天体的半径． (3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为 24 h，公转周期为 365 天等． (4)注意黄金代换式 GM＝gR2 的应用．
自主测评
1. 判断下列论述是否正确． (1)两物体间的距离趋近于 0 时，万有引力趋近于无穷大．( × ) (2) 行 星 在 椭 圆 轨 道 上 运 行 速 率 是 变 化 的 ， 离 太 阳 越 远 ， 运 行 速 率 越 小．( √ )
(3)人造地球卫星绕地球运动，其轨道平面一定过地心．( √ ) (4)地球同步卫星根据需要可以定点在北方正上空．( × ) (5)极地卫星通过地球两极，且始终和地球某一经线平面重合．( × ) (6)狭义相对论认为在不同惯性参考系中真空中的光速不变．( √ )
ρ＝43πMR3＝G3Tπ2，故 B 正确；题目已知条件是“超级地球”的公转周期，根 据已知条件，无法求出自转周期，故 C 错误；在“超级地球”表面，根据 物体的重力等于万有引力，有 mg＝GRM2m，得表面重力加速度 g＝GRM2 ，因 为质量能求出且半径已知，所以表面的重力加速度可以求出，故 D 正确．
2. (2016·全国Ⅲ卷)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( B ) A. 开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B. 开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律 C. 开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因 D. 开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
山东专用2020版高考物理一轮复习第四章第4节万有引力与航天练习含解析新人教版
第4节 万有引力与航天1.假设有一星球的密度与地球相同,但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍,则该星球的质量是地球质量的( D )A. B.4倍 C.16倍 D.64倍解析:由=mg得M=,所以ρ===,ρ=ρ地,即=,得R=4R地,故=·=64.选项D正确.2.火星成为我国深空探测的第二颗星球,假设火星探测器在着陆前,绕火星表面匀速飞行(不计周围其他天体的影响),宇航员测出飞行N圈用时t,已知地球质量为M,地球半径为R,火星半径为r,地球表面重力加速度为g.则( B )A.火星探测器匀速飞行的速度约为B.火星探测器匀速飞行的向心加速度约为C.火星探测器的质量为D.火星的平均密度为解析:火星探测器匀速飞行的速度约为v=,向心加速度约为a==,A错误,B正确;火星探测器匀速飞行,G=,对于地球,g=,两式结合,得到M火=,火星的平均密度为ρ==,故D错误;火星探测器的质量不能计算出来,故C错误.3.登上火星是人类的梦想,“嫦娥之父”欧阳自远透露:中国计划于2020年登陆火星.地球和火星公转视为匀速圆周运动,忽略行星自转影响.根据下表,火星和地球相比( B )行星半径/m质量/kg轨道半径/m地球 6.4×106 6.0×1024 1.5×1011火星 3.4×106 6.4×1023 2.3×1011A.火星的公转周期较小B.火星做圆周运动的加速度较小C.火星表面的重力加速度较大D.火星的第一宇宙速度较大解析:由G=m r=ma知,T=2π,a=,轨道半径越大,公转周期越大,加速度越小,由于r火>r地,故选项A错误,B正确;由G=mg得g=G,=·()2=2.6,火星表面的重力加速度较小,C错误;由G=m得v=,==,火星的第一宇宙速度较小,D错误.4. 中国北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统,是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统(GLONASS)之后第三个成熟的卫星导航系统.预计2020年左右,北斗卫星导航系统将形成全球覆盖能力.如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图,已知a,b,c三颗卫星均做圆周运动,a是地球同步卫星,则( A )A.卫星a的角速度小于c的角速度B.卫星a的加速度大于b的加速度C.卫星a的运行速度大于第一宇宙速度D.卫星b的周期大于24 h解析:a的轨道半径大于c的轨道半径,因此卫星a的角速度小于c的角速度,选项A正确;a 的轨道半径与b的轨道半径相等,因此卫星a的加速度等于b的加速度,选项B错误;a的轨道半径大于地球半径,因此卫星a的运行速度小于第一宇宙速度,选项C错误;a的轨道半径与b的轨道半径相等,卫星b的周期等于a的周期,为24 h,选项D错误.5.(2019·江西南昌模拟)2016年10月17日,“神舟十一号”载人飞船发射升空,搭载宇航员景海鹏、陈冬前往“天宫二号”空间实验室,宇航员在“天宫二号”驻留30天进行了空间地球系统科学、空间应用新技术和航天医学等领域的应用和实验.“神舟十一号”与“天宫二号”的对接变轨过程如图所示,AC是椭圆轨道Ⅱ的长轴.“神舟十一号”从圆轨道Ⅰ先变轨到椭圆轨道Ⅱ,再变轨到圆轨道Ⅲ,与在圆轨道Ⅲ运行的“天宫二号”实施对接.下列描述正确的是( C )A.“神舟十一号”在变轨过程中机械能不变B.可让“神舟十一号”先进入圆轨道Ⅲ,然后加速追赶“天宫二号”实现对接C.“神舟十一号”从A到C的动量逐渐变小D.“神舟十一号”在椭圆轨道上运动的周期与“天宫二号”运行周期相等解析:“神舟十一号”飞船变轨过程中轨道升高,机械能增加,A选项错误;若飞船在进入圆轨道Ⅲ后再加速,则将进入更高的轨道飞行,不能实现对接,选项B错误;由开普勒第二定律可知,飞船沿轨道Ⅱ由A到C速度减小,则动量逐渐减小,选项C正确;由开普勒第三定律可知,在椭圆轨道Ⅱ上的运行周期与在圆轨道Ⅲ上的运行周期不相等,D项错误.6.(2017·海南卷,5)已知地球质量为月球质量的81倍,地球半径约为月球半径的4倍.若在月球和地球表面同样高度处,以相同的初速度水平抛出物体,抛出点与落地点间的水平距离分别为s月和s地,则s月∶s地约为( A )A.9∶4B.6∶1C.3∶2D.1∶1解析:设月球质量为M′,半径为R′,地球质量为M,半径为R.已知=81,=4,根据在星球表面万有引力等于重力得=mg则有g=,因此=由题意从同样高度抛出,h=gt2=g′t′2,联立解得t′=t,在地球上的水平位移s地=v0t,在月球上的水平位移s月=v0t′;因此s月∶s地=9∶4,故A正确,B,C,D错误.7.(2017·全国Ⅲ卷,14)2017年4月,我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接,对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行.与天宫二号单独运行时相比,组合体运行的( C )A.周期变大B.速率变大C.动能变大D.向心加速度变大解析:设地球质量为M,对天宫二号,由万有引力提供向心力可得T=2π,v=,a=,而对接后组合体轨道半径r不变,则T,v,a均不变,但质量变大,由E k=mv2知E k变大,选项C正确.8. (2019·山西大学附中模拟)如图是两颗仅在地球引力作用下绕地球运动的人造卫星轨道示意图,Ⅰ是半径为R的圆轨道,Ⅱ为椭圆轨道,AB为椭圆的长轴且AB=2R,两轨道和地心在同一平面内,C,D为两轨道的交点.已知轨道Ⅱ上的卫星运动到C点时速度方向与AB平行,下列说法正确的是( A )A.两个轨道上的卫星在C点时的加速度相同B.Ⅱ轨道上的卫星在B点时的速度可能大于Ⅰ轨道上的卫星的速度C.Ⅱ轨道上卫星的周期大于Ⅰ轨道上卫星的周期D.Ⅱ轨道上卫星从C经B运动到D的时间与从D经A运动到C的时间相等解析:根据牛顿第二定律得a==,两轨道上的卫星在C点距离地心的距离相等,则加速度相同,选项A正确;Ⅱ轨道上的卫星经B点时需要加速可进入过B点的圆轨道,此圆轨道与Ⅰ轨道相比,卫星运动速度一定小,由此可知,选项B错误;根据开普勒第三定律知=k,椭圆的半长轴与圆轨道的半径相等,则Ⅱ轨道上卫星的周期等于Ⅰ轨道上卫星的周期,选项C错误;Ⅱ轨道上卫星从C经B运动到D的时间大于从D经A到C的时间,选项D错误.9.双星系统由两颗恒星组成,两恒星在相互引力的作用下,分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现,双星系统演化过程中,两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T,经过一段时间演化后,两星总质量变为原来的k倍,两星之间的距离变为原来的n倍,则此时圆周运动的周期为( B )A.TB.TC.TD.T解析:由万有引力提供向心力有G=m1r1()2,G=m2r2()2,又L=r1+r2,M=m1+m2,联立以上各式可得T2=,故当两恒星总质量变为kM,两星间距离变为nL时,圆周运动的周期T′变为T,选项B正确.10.(2019·山东泰安质检)(多选)“嫦娥四号”是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星,主要任务是更深层次、更加全面地科学探测月球地貌、资源等方面的信息,完善月球档案资料.已知月球的半径为R,月球表面的重力加速度为g月,引力常量为G,嫦娥四号离月球中心的距离为r,绕月周期为T.根据以上信息可求出( BD )A.“嫦娥四号”绕月运行的速度为B.“嫦娥四号”绕月运行的速度为C.月球的平均密度为D.月球的平均密度为解析:“嫦娥四号”绕月运行时,万有引力提供向心力,G=m,解得v=,则GM=R2g月,联立解得v=,故选项A错误,B正确;G=m r,解得M=,月球的平均密度为ρ==,故选项C错误,D正确.11. 假设在轨运行的“高分一号”卫星、同步卫星和月球都绕地球做匀速圆周运动,它们在空间的位置示意图如图所示.下列有关“高分一号”卫星的说法正确的是( C )A.其发射速度可能小于7.9 km/sB.绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度小C.绕地球运行的周期比同步卫星绕地球运行的周期小D.在运行轨道上完全失重,重力加速度为0解析:因7.9 km/s是最小发射速度,所以“高分一号”卫星的发射速度一定大于7.9 km/s,选项A错误;由G=mω2r=m()2r得ω=,T=2π,又r高<r同<r月,所以ω高>ω同>ω,T高<T同<T月,故选项B错误,C正确;在运行轨道上,万有引力提供向心力,处于完全失重状月态,但重力加速度不为0,选项D错误.12.(多选)我国计划在2020年实现火星的着陆巡视,假设探测器飞抵火星着陆前,沿火星近表面做匀速圆周运动,运动的周期为T,线速度为v,已知引力常量为G,火星可视为质量均匀的球体,则下列说法正确的是( BCD )A.火星的质量为B.火星的平均密度为C.火星表面的重力加速度大小为D.探测器的向心加速度大小为解析:因探测器沿火星近表面做匀速圆周运动,故可认为轨道半径等于火星的半径,设探测器绕火星运行的轨道半径为r,根据v=可得r=,又=m,得M=,选项A错误;火星的平均密度ρ===,选项B正确;火星表面的重力加速度大小g火===,选项C正确;探测器的向心加速度大小为a==,选项D正确.13.(2017·天津卷,9)我国自主研制的首艘货运飞船“天舟一号”发射升空后,与已经在轨运行的“天宫二号”成功对接形成组合体.假设组合体在距地面高为h的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动,已知地球的半径为R,地球表面处重力加速度为g,且不考虑地球自转的影响.则组合体运动的线速度大小为 ,向心加速度大小为 .解析:设组合体环绕地球的线速度为v,由G=m得v=,又因为G=mg,所以v=R,向心加速度a==g.答案:R g14. 发射地球同步卫星时,先将卫星发射到距地面高度为h1的近地圆轨道上,在卫星经过A点时点火实施变轨进入椭圆轨道,最后在椭圆轨道的远地点B再次点火将卫星送入同步轨道,如图所示.已知同步卫星的运行周期为T,地球的半径为R,地球表面重力加速度为g,忽略地球自转的影响.求:(1)卫星在近地点A的加速度大小;(2)远地点B距地面的高度.解析:(1)设地球质量为M,卫星质量为m,引力常量为G,卫星在A点的加速度为a,根据牛顿第二定律有G=ma.设质量为m′的物体在地球赤道表面上受到的万有引力等于重力,有G=m′g.由以上两式得a=.(2)设远地点B距地面的高度为h2,由于B点处在卫星的同步轨道,对同步卫星有G=m(R+h2),解得h2=-R.答案:(1) (2)-R。
高考物理一轮复习第四章第4讲万有引力与航天学案含解析
万有引力与航天主干梳理 对点激活知识点 开普勒行星运动定律 Ⅰ 1．定律内容开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是□01椭圆，太阳处在椭圆的一个□02焦点上。
开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的□03面积。
开普勒第三定律：所有行星的轨道的□04半长轴的三次方跟它的□05公转周期的二次方的比值都相等，即□06a 3T2＝k 。
2．适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。
知识点 万有引力定律及应用 Ⅱ1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与□01两物体的质量的乘积成正比，与□02两物体间距离的二次方成反比。
2．公式：F ＝□03G m 1m 2r2，其中G 为万有引力常量，G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，其值由卡文迪许通过扭秤实验测得。
公式中的r 是两个物体之间的□04距离。
3．适用条件：适用于两个□05质点或均匀球体；r 为两质点或均匀球体球心间的距离。
知识点 环绕速度 Ⅱ1．第一宇宙速度又叫□01环绕速度，其数值为□027.9 km/s 。
2．第一宇宙速度是人造卫星在□03地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。
3．第一宇宙速度是人造卫星的最小□04发射速度，也是人造卫星的最大□05环绕速度。
4．第一宇宙速度的计算方法(1)由G Mm R 2＝m v 2R ，解得：v ＝□06 GMR； (2)由mg ＝m v 2R，解得：v ＝□07gR 。
知识点 第二宇宙速度和第三宇宙速度 Ⅰ 1．第二宇宙速度(脱离速度)使物体挣脱□01地球引力束缚的最小发射速度，其数值为□0211.2 km/s 。
2．第三宇宙速度(逃逸速度)使物体挣脱□03太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为□0416.7 km/s 。
知识点 经典时空观和相对论时空观 Ⅰ 1．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量不随□01运动速度改变；(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是□02相同的。
届高考物理一轮复习讲义：第四章 第讲 万有引力与航天 Word版含答案
第4讲 万有引力与航天板块一 主干梳理·夯实基础【知识点1】 开普勒行星运动定律 Ⅰ 1、定律内容开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上、 开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的面积、 开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即a 3T2＝k 、2、使用条件：适用于宇宙中一切环绕相同中心天体的运动，也适用于以行星为中心的卫星、 【知识点2】 万有引力定律及应用 Ⅱ1、内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与两物体的质量的乘积成正比，与两物体间距离的二次方成反比、2、公式：F ＝G m 1m 2r 2，其中G 为万有引力常量，G ＝6、67×10－11 N·m 2/kg 2，其值由卡文迪许通过扭秤实验测得、公式中的r 是两个物体之间的距离、3、使用条件：适用于两个质点或均匀球体；r 为两质点或均匀球体球心间的距离、 【知识点3】 环绕速度 Ⅱ1、第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7、9 km/s 、2、第一宇宙速度是人造卫星在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度、3、第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度、4、第一宇宙速度的计算方法、 (1)由G MmR 2＝m v 2R ，解得：v ＝GMR； (2)由mg ＝m v 2R解得：v ＝gR 、【知识点4】 第二宇宙速度和第三宇宙速度 Ⅰ 1、第二宇宙速度(脱离速度)使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11、2 km/s 、 2、第三宇宙速度(逃逸速度)使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16、7 km/s 、 【知识点5】 经典时空观和相对论时空观 Ⅰ 1、经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量不随运动速度改变；(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的、2、相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而增加，用公式表示为m ＝m 01－v 2c2；(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的、板块二 考点细研·悟法培优考点1 开普勒第三定律 [深化理解]1、微元法解读开普勒第二定律，行星在近日点、远日点时速度方向与连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a 、b ，取足够短的时间Δt ，则行星在Δt 时间内可看作匀速直线运动，由S a ＝S b 知12v a ·Δt ·a ＝12v b ·Δt ·b ，可得v a ＝v b b a 、行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大、2、开普勒第三定律虽然是对行星绕太阳运动的总结，但实践表明该定律也适用于其他天体的运动，如月球绕地球的运动，卫星(或人造卫星)绕行星的运动、3、天体虽做椭圆运动，但它们的轨道十分接近圆、为简化运算，一般把天体的运动当成匀速圆周运动来研究，椭圆的半长轴即为圆的半径、则天体的运动遵从牛顿运动定律及匀速圆周运动的规律，如v ＝ωr ，F ＝ma ＝m v 2r ＝mrω2等、例1 如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a ，近日点离太阳的距离为b ，过远日点时行星的速率为v a ，则过近日点时的速率为( )A 、v b ＝ba v aB 、v b ＝a b v aC 、v b ＝abv aD 、v b ＝b a v a提示：开普勒第二定律、对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积、 尝试解答 选C 、若行星从轨道的A 点经足够短的时间t 运动到A ′点，则与太阳的连线扫过的面积可看作扇形，其面积S A ＝a ·v a t 2；若行星从轨道的B 点也经时间t 运动到B ′点，则与太阳的连线扫过的面积S B ＝b ·v b t 2；根据开普勒第二定律得a ·v a t 2＝b ·v b t 2，即v b ＝ab v a ，C 正确、 总结升华绕太阳沿椭圆轨道运行的行星在近日点线速度最大，越靠近近日点线速度越大，线速度大小与行星到太阳的距离成反比、[跟踪训练] 木星的公转周期约为12年，若把地球到太阳的距离作为1天文单位，则木星到太阳的距离约为( ) A 、2天文单位 B 、4天文单位 C 、5、2天文单位 D 、12天文单位答案 C解析 木星、地球都环绕太阳按椭圆轨道运动，近似计算时可当成圆轨道处理，因此它们到太阳的距离可当成是绕太阳公转的轨道半径，根据开普勒第三定律r 3木T 2木＝r 3地T 2地得r木＝3T 2木T 2地·r 地≈5、2天文单位、 考点2 天体质量和密度的估算 [拓展延伸]1、自力更生法：利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 、 (1)由G Mm R 2＝mg 得天体质量M ＝gR 2G 、(2)天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g4πGR、2、借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T 、 (1)由G Mm r 2＝m 4π2r T 2得天体的质量M ＝4π2r 3GT 2、(2)若已知天体的半径R ，则天体的密度 ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3、(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度、例2 [2017·邢台市四模]为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R ，地球质量为m ，太阳与地球中心间距为r ，地球表面的重力加速度为g ，地球绕太阳公转的周期为T 、则太阳的质量为( ) A 、4π2r 3T 2R 2gB 、T 2R 2g 4π2mr 3C 、4π2mgr 2r 3T2D 、4π2mr 3T 2R 2g(1)知道地球绕太阳公转的周期T 和太阳与地球中心间距r ，能求太阳质量吗？提示：能、利用GMm r 2＝m 4π2T2r 、(2)太阳质量的四个选项中没有引力常量G ，可以考虑用哪一信息替代？ 提示：地球表面重力加速度g ＝GmR 2、尝试解答 选D 、地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有GMm r 2＝m 4π2T 2r ，所以M ＝4π2r 3GT 2，地球表面物体m 0的重力来源于万有引力，有Gmm 0R 2＝m 0g ，所以G ＝gR 2m ，把G 代入M ＝4π2r 3GT 2，得M ＝4π2r 3gR 2m T 2＝4π2r 3mgR 2T 2，D 正确、总结升华估算天体质量和密度时应注意的问题(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量、(2)区别天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近的卫星才有r ≈R ；计算天体密度时，V ＝43πR 3中的R 只能是中心天体的半径、[递进题组]1、若已知月球绕地球运动可近似看作匀速圆周运动，并且已知月球的轨道半径为r ，它绕地球运动的周期为T ，引力常量是G ，由此可以知道( ) A 、月球的质量m ＝π2r 3GT 2B 、地球的质量M ＝4π2r 3GT 2C 、月球的平均密度ρ＝3πGT 2D 、地球的平均密度ρ′＝3πGT 2答案 B解析 对月球有GMm r 2＝m ·4π2T 2r ，可得地球质量M ＝4π2r 3GT 2，月球质量无法求出，其密度也无法计算，故B 正确，A 、C 错误；因不知道地球自身半径，故无法计算密度，故D 错误、 2、[2017·唐山一模]美国航天局与欧洲航天局合作，发射的火星探测器已经成功登录火星、荷兰企业家巴斯兰斯多普发起的“火星一号”计划打算将总共24人送上火星，创建一块长期殖民地、若已知万有引力常量G ，那么在下列给出的各种情景中，能根据测量的数据求出火星密度的是( )A 、在火星表面使一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H 和时间tB 、火星探测器贴近火星表面做匀速圆周运动，测出运行周期TC 、火星探测器在高空绕火星做匀速圆周运动，测出距火星表面的高度H 和运行周期TD 、观察火星绕太阳的匀速圆周运动，测出火星的直径D 和运行周期T 答案 B解析 由GMm R 2＝mg ，ρ＝M 43πR 3得：ρ＝3g 4πGR ，由H ＝12gt 2 得出g ，却不知火星半径，A 错误、由GMm r 2＝m 4π2T 2r ，ρ＝M 43πR 3得：ρ＝3πr 3GT 2R 3、当r ＝R 时ρ＝3πGT2，B 正确，不知火星半径，C 错误、D 选项中心天体是太阳，据给出的数据无法计算火星质量，也就不能计算火星密度，故D 错误、考点3 人造卫星的运动规律 [深化理解]1、人造卫星的运动规律(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动、 (2)两条思路①万有引力提供向心力，即G Mmr2＝ma 、②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即GMm R2＝mg 或gR 2＝GM (R 、g 分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR 2＝GM 应用广泛，被称为“黄金代换”、 (3)地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆)2、地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合、(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h ＝86400 s 、 (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同、(4)高度一定：据G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得r ＝ 3GMT 24π2＝4、23×104km ，卫星离地面高度h ＝r －R ≈6R (为恒量)、(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致、 3、极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖、 (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7、9 km/s 、 (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心、例3 [2017·广东深圳一模]人造卫星a 的圆形轨道离地面高度为h ，地球同步卫星b 离地面高度为H ，h <H ，两卫星共面且运行方向相同、某时刻卫星a 恰好出现在赤道上某建筑物c 的正上方，设地球赤道半径为R ，地面重力加速度为g ，则( ) A 、a 、b 线速度大小之比为 R ＋hR ＋HB 、a 、c 角速度之比为R 3(R ＋h )3C 、b 、c 向心加速度大小之比为R ＋HR D 、a 下一次通过c 正上方所需时间等于t ＝2π(R ＋h )3gR 2(1)怎样比较人造卫星a 和同步卫星b 的线速度、角速度、向心加速度？提示：万有引力提供向心力G mMr 2＝m v 2r ＝mω2r ＝ma 、(2)什么时候人造卫星a 会再次通过c 的正上方？提示：人造卫星转过的角度与c 物体随地球自转转过的角度之差等于2π时，a 会再次通过c 的上方，即ωa t －ωc t ＝2π、 尝试解答 选C 、卫星绕地球做匀速圆周运动，建筑物随地球自转做匀速圆周运动，当卫星转过的角度与建筑物转过的角度之差等于2π时，卫星再次出现在建筑物上空、绕地球运行的卫星，万有引力提供向心力，设卫星的线速度为v ，则G Mmr2＝m v 2r ，所以v ＝GMr ，可知a 、b 卫星的线速度大小之比为R ＋H R ＋h ，故A 错误；设卫星的角速度为ω，G Mmr 2＝mω2r ，得ω＝GMr 3，所以有ωaωb＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫R ＋H R ＋h 3，又由于卫星b 的角速度与物体c 的角速度相同，所以ωa ωc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R ＋H R ＋h 3，故B 错误；根据a ＝ω2r 可得a b a c ＝R ＋H R ，故C 正确；设经过时间t 卫星a 再次通过建筑物c 上方，有(ωa －ωc )t ＝2π，得t ＝2πωa －ωc＝2πGM(R ＋h )3－GM (R ＋H )3＝2πgR2(R ＋h )3－gR 2(R ＋H )3，故D 错误、 总结升华人造卫星问题的解题技巧(1)利用万有引力提供向心加速度的不同表述形式、 G Mm r2＝ma n ＝m v 2r ＝mω2r ＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ＝m (2πf )2r 、 (2)第一宇宙速度是人造卫星环绕地球表面运行的最大速度，轨道半径r 近似等于地球半径 v ＝GMR ＝7、9 km/s万有引力近似等于卫星的重力，即 mg ＝m v 2R，v ＝Rg ＝7、9 km/s(3)同步卫星：抓住①具有特定的线速度、角速度和周期、②具有特定的位置高度和轨道半径、③运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方特定的点上、 比较卫星与地球有关的物理量时可以通过比较卫星与同步卫星的参量来确定、如例题中C 选项求卫星a 与地面建筑物c 的角速度的比值、[跟踪训练] [2017·湖北七市一模]嫦娥三号携带玉兔号月球车首次实现月球软着陆和月面巡视勘察，并开展月表形貌与地质构造调查等科学探测、玉兔号在地球表面的重力为G 1，在月球表面的重力为G 2；地球与月球均视为球体，其半径分别为R 1、R 2；地球表面重力加速度为g 、则( )A 、月球表面的重力加速度为gG 1G 2B 、地球与月球的质量之比为G 2R 22G 1R 21C 、月球与地球的第一宇宙速度之比为G 1R 1G 2R 2D 、嫦娥三号环绕月球表面做匀速圆周运动的周期为2π G 1R 2G 2g答案 D解析 玉兔号的质量为m ＝G 1g ，所以月球表面的重力加速度为g ′＝G 2m ＝gG 2G 1，A 错误；根据黄金代换公式GM ＝gR 2，可得M 地M 月＝gR 21g ′R 22＝G 1R 21G 2R 22，B 错误；第一宇宙速度 v ＝gR ，所以在月球上与地球上的第一宇宙速度之比为v 21＝G 2R 2G 1R 1，C 错误；根据万有引力提供向心力G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，嫦娥三号环绕月球表面做匀速圆周运动，所以轨道半径等于月球半径R 2，代入得T ＝2πG 1R 2G 2g，D 正确、 考点4 航天器的变轨问题 [拓展延伸]1、卫星变轨原理当卫星开启、关闭发动机或受空气阻力作用时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行：(1)当卫星的速度突然增加时，G Mm r 2<m v2r ，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v ＝GMr可知其运行速度比原轨道时小、(2)当卫星的速度突然减小时，G Mm r 2>m v2r ，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v ＝ GMr可知其运行速度比原轨道时大、 卫星的发射和回收就是利用这一原理、 2、卫星变轨时一些物理量的定性分析如图所示：(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ、Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 4，在轨道Ⅱ上过P 、Q 点时的速率分别为v 2、v 3，在P 点加速，则v 2>v 1；在Q 点加速，则v 4>v 3、又因v 1>v 4，故有v2>v1>v4>v3、(2)加速度：因为在P点不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过，P点到地心的距离都相同，卫星的加速度都相同，设为a P、同理，在Q点加速度也相同，设为a Q、又因Q点到地心的距离大于P点到地心的距离，所以a Q<a P、(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由r3T2＝k可知T1<T2<T3、例4(多选)如下图是“嫦娥三号”飞行轨道示意图、假设“嫦娥三号”运行经过P点第一次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上运动，再次经过P 点时第二次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面近地点为Q、高度为15 km，远地点为P、高度为100 km的椭圆轨道Ⅱ上运动，下列说法正确的是()A、“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上运动时速度大小可能变化B、“嫦娥三号”在距离月面高度100 km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期C、“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度D、“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率可能小于经过P点时的速率(1)如何比较圆轨道的周期和椭圆轨道的周期？提示：据开普勒第三定律，比较半径与半长轴、(2)如何比较椭圆轨道不同地点的加速度？提示：只需看距地心的距离，a＝GM r2、尝试解答选BC、“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道上运动是匀速圆周运动，速度大小不变，选项A错误；由于圆轨道的轨道半径大于椭圆轨道半长轴，根据开普勒定律，“嫦娥三号”在距离月面高度100 km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期，选项B正确；由于在Q点“嫦娥三号”离月球近，所受万有引力大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度，选项C正确；“嫦娥三号”在椭圆轨道上由远月点P向近月点Q运动时，万有引力做正功，速率增大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率一定大于经过P点时的速率，选项D错误、总结升华航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v＝GMr判断、两个不同轨道的“切点”处线速度不相等，同一椭圆上近地点的线速度大于远地点的线速度、如例题中的D选项、(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大、从远地点到近地点，万有引力对卫星做正功，动能E k增大，引力势能减小、(3)两个不同轨道的“切点”处加速度a相同、[跟踪训练][2017·四川宜宾一诊]按照我国整个月球探测活动的计划，在第一步“绕月”工程圆满完成各项目标和科学探测任务后，第二步是“落月”工程、假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船沿距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A 点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时再次点火进入月球近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动、下列判断正确的是()A、飞船在轨道Ⅰ上的运行速率v＝g0R 2B、飞船在A点处点火变轨时，动能增大C、飞船从A到B运行的过程中机械能增大D、飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间T＝π R g0答案 A解析飞船在轨道Ⅰ运行时，万有引力提供向心力，GMm(R＋3R)2＝mv2R＋3R，得v＝GM4R，又因为mg0＝GMmR2，得GM＝g0R2；联立得v＝g0R2，故A正确、飞船在A点点火变轨到较低轨道，应向前喷气，喷气过程速度变小，动能变小，故B错误、在Ⅱ轨道上从A到B运行的过程中只有万有引力做功，机械能守恒，故C错误、飞船在Ⅲ轨道上运行时GMm R2＝m 4π2T 2R ，得T ＝4π2R 3GM，把GM ＝g 0R 2代入，得T ＝2πRg 0，故D 错误、1、模型构建在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星、 2、模型条件(1)两颗星彼此相距较近、(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动、 (3)两颗星绕同一圆心做圆周运动、 3、模型特点(1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供、 (2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等、 (3)三个反比关系：m 1r 1＝m 2r 2；m 1v 1＝m 2v 2；m 1a 1＝m 2a 2推导：根据两球的向心力大小相等可得，m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2，即m 1r 1＝m 2r 2；等式m 1r 1＝m 2r 2两边同乘以角速度ω，得m 1r 1ω＝m 2r 2ω，即m 1v 1＝m 2v 2；由m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2直接可得，m 1a 1＝m 2a 2、(4)巧妙求质量和：Gm 1m 2L 2＝m 1ω2r 1① Gm 1m 2L2＝m 2ω2r 2② 由①＋②得：G (m 1＋m 2)L 2＝ω2L ∴m 1＋m 2＝ω2L 3G[2013·山东高考]双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动、研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化、若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( ) A 、 n 3k 2T B 、 n 3k T C 、n 2k TD 、n k T[答案] B[解析] 如图所示，设两恒星的质量分别为M 1和M 2，轨道半径分别为r 1和r 2、根据万有引力定律及牛顿第二定律可得GM 1M 2r 2＝M 1⎝⎛⎭⎫2πT 2r 1，GM 1M 2r 2＝M 2⎝⎛⎭⎫2πT 2r 2，解得G (M 1＋M 2)r3＝⎝⎛⎭⎫2πT 2①，当两星的总质量变为原来的k 倍，它们之间的距离变为原来的n 倍时，有Gk (M 1＋M 2)(nr )3＝⎝⎛⎭⎫2πT ′2②，联立①②两式可得T ′＝n 3k T ，故B 项正确、名师点睛解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”①它们的角速度相等、②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的、 (2)“两不等”①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离、 ②由m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2知由于m 1与m 2一般不相等，故r 1与r 2一般也不相等、(多选)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统、在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统、设某双星系统A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图所示、若AO >OB ，则( )A 、星球A 的质量一定大于B 的质量 B 、星球A 的线速度一定大于B 的线速度C 、双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大D 、双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大 答案 BD解析 设双星质量分别为m A 、m B ，轨道半径为R A 、R B 两者间距为L ，周期为T ，角速度为ω，由万有引力定律可知：Gm A m B L 2＝m A ω2R A ①，Gm A m BL2＝m B ω2R B ②，R A ＋R B ＝L ③，由①②式可得m A m B ＝R BR A，而AO >OB ，故m A <m B ，A 错误、v A ＝ωR A ，v B ＝ωR B ，R A >R B ，2π则v A>v B，B正确、联立①②③得G(m A＋m B)＝ω2L3，又因为T＝ω，可知D正确，C错误、。
高考物理一轮复习讲义第四章_曲线运动万有引力与航天_第4讲_word版有答案
第4讲 万有引力与航天一、开普勒行星运动定律1．开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上． 2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，表达式：a 3T 2＝k .二、万有引力定律1．公式：F ＝Gm 1m 2R 2，其中G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，叫引力常量． 2．适用条件：只适用于质点间的相互作用． 3．理解(1)两质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r 为两球心间的距离．(2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点间的万有引力的计算也适用，其中r 为质点到球心间的距离． 深度思考1．如图1所示的球体不是均匀球体，其中缺少了一规则球形部分，如何求球体剩余部分对质点P 的引力？图1答案 求球体剩余部分对质点P 的引力时，应用“挖补法”，先将挖去的球补上，然后分别计算出补后的大球和挖去的小球对质点P 的引力，最后再求二者之差就是阴影部分对质点P 的引力． 2．两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大吗？ 答案 不是．当两物体无限接近时，不能再视为质点． 三、宇宙速度 1．三个宇宙速度2.第一宇宙速度的理解：人造卫星的最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度． 3．第一宇宙速度的计算方法(1)由G MmR2＝mv2R得v＝GMR.(2)由mg＝m v2R得v＝gR.1．判断下列说法是否正确．(1)地面上的物体所受地球引力的大小均由F＝G m1m2r2决定，其方向总是指向地心．(√)(2)只有天体之间才存在万有引力．(×)(3)只要已知两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G MmR2计算物体间的万有引力．(×)(4)发射速度大于7.9 km/s，小于11.2 km/s时，人造卫星围绕地球做椭圆轨道运动．(√)2．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是()A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律答案 B3．静止在地面上的物体随地球自转做匀速圆周运动．下列说法正确的是()A．物体受到的万有引力和支持力的合力总是指向地心B．物体做匀速圆周运动的周期与地球自转周期相等C．物体做匀速圆周运动的加速度等于重力加速度D．物体对地面压力的方向与万有引力的方向总是相同答案 B4．(人教版必修2P48第3题)金星的半径是地球的0.95倍，质量为地球的0.82倍，金星表面的自由落体加速度是多大？金星的第一宇宙速度是多大？答案8.9 m/s27.3 km/s解析根据星体表面忽略自转影响，重力等于万有引力知mg＝GMm R2故g金g地＝M金M地×(R地R金)2金星表面的自由落体加速度g金＝g地×0.82×(10.95)2 m/s2＝8.9 m/s2由万有引力充当向心力知GMm R2＝m v2R得v＝GMR所以v金v地＝M金M地×R地R金＝0.82×10.95≈0.93v金＝0.93×7.9 km/s≈7.3 km/s.命题点一万有引力定律的理解和应用1．地球表面的重力与万有引力地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力．(1)在两极，向心力等于零，重力等于万有引力；(2)除两极外，物体的重力都比万有引力小；(3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝GMmR2－mRω2自.2．地球表面附近(脱离地面)的重力与万有引力物体在地球表面附近(脱离地面)时，物体所受的重力等于地球表面处的万有引力，即mg＝GMmR2，R为地球半径，g为地球表面附近的重力加速度，此处也有GM＝gR2. 3．距地面一定高度处的重力与万有引力物体在距地面一定高度h处时，mg′＝GMm(R＋h)2，R为地球半径，g′为该高度处的重力加速度．例1(多选)(2016·江苏·7)如图2所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、E k、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有()图2A．T A>T B B．E k A>E k BC．S A＝S B D.R3AT2A＝R3BT2B答案AD解析由GMmR2＝m v2R＝m4π2T2R和E k＝12m v2可得T＝2πR3GM，E k＝GMm2R，因R A>R B，则T A>T B，E k A<E k B，A对，B错；由开普勒定律可知，C错，D对．例2由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7 000米分别排在第一、第二．若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为()A.R －d R ＋hB.(R －d )2(R ＋h )2C.(R －d )(R ＋h )2R 3D.(R －d )(R ＋h )R 2把地球看做质量分布均匀的球体．答案 C解析 令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g ＝G MR 2.由于地球的质量为：M ＝ρ·43πR 3，所以重力加速度的表达式可写成：g ＝GM R 2＝G ·ρ43πR 3R 2＝43πGρR .根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d 的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R －d )的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加速度g ′＝43πGρ(R －d )．所以有g ′g ＝R －d R .根据万有引力提供向心力G Mm (R ＋h )2＝ma ，“天宫一号”的加速度为a ＝GM (R ＋h )2，所以a g ＝R 2(R ＋h )2，g ′a ＝(R －d )(R ＋h )2R 3，故C 正确，A 、B 、D 错误．万有引力的“两点理解”和“两个推论”1．两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力． 2．地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力． 3．万有引力的两个有用推论(1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即ΣF 引＝0.(2)推论2：在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m )受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(M ′)对其的万有引力，即F ＝GM ′mr 2.1．若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶7，已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R .由此可知，该行星的半径约为( ) A.12R B.72R C ．2R D.72R 答案 C解析 平抛运动在水平方向上为匀速直线运动，即x ＝v 0t ，在竖直方向上做自由落体运动，即h ＝12gt 2，所以x ＝v 02h g ，两种情况下，抛出的速率相同，高度相同，所以g 行g 地＝x 2地x 2行＝74，根据公式G Mm R 2＝mg 可得R 2＝GMg ，故R 行R 地＝M 行M 地·g 地g 行＝2，解得R 行＝2R ，故C 正确．2．有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的(忽略其自转影响)()A.14B．4倍C．16倍D．64倍答案 D解析天体表面的重力加速度g＝GMR2，又知ρ＝MV＝3M4πR3，所以M＝9g316π2ρ2G3，故M星M地＝(g星g地)3＝64.命题点二天体质量和密度的估算天体质量和密度常用的估算方法例3(多选)公元2100年，航天员准备登陆木星，为了更准确了解木星的一些信息，到木星之前做一些科学实验，当到达与木星表面相对静止时，航天员对木星表面发射一束激光，经过时间t，收到激光传回的信号，测得相邻两次看到日出的时间间隔是T，测得航天员所在航天器的速度为v，已知引力常量G，激光的速度为c，则()A．木星的质量M＝v3T 2πGB ．木星的质量M ＝π2c 3t 32GT 2C ．木星的质量M ＝4π2c 3t 3GT 2D ．根据题目所给条件，可以求出木星的密度区分两个时间t 、T 的区别．答案 AD解析 航天器的轨道半径r ＝v T 2π，木星的半径R ＝v T 2π－ct 2，木星的质量M ＝4π2r 3GT 2＝v 3T2πG ；知道木星的质量和半径，可以求出木星的密度，故A 、D 正确，B 、C 错误．计算中心天体的质量、密度时的两点区别1．天体半径和卫星的轨道半径通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于等于天体的半径． 2．自转周期和公转周期自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间．自转周期与公转周期一般不相等．3．(2015·江苏单科·3)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b ”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b ”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120，该中心恒星与太阳的质量比约为( ) A.110B ．1C ．5D ．10 答案 B解析 根据万有引力提供向心力，有G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，可得M ＝4π2r 3GT 2，所以恒星质量与太阳质量之比为M 恒M 太＝r 3行T 2地 r 3地T2行＝(120)3×(3654)2≈1，故选项B 正确． 4．据报道，天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的a 倍，质量是地球的b 倍．已知近地卫星绕地球运动的周期约为T ，引力常量为G .则该行星的平均密度为( ) A.3πGT 2 B.π3T 2 C.3πb aGT 2 D.3πabGT 2答案 C解析 万有引力提供近地卫星绕地球运动的向心力：G M 地m R 2＝m 4π2R T 2，且ρ地＝3M 地4πR 3，由以上两式得ρ地＝3πGT 2.而ρ星ρ地＝M 星V 地V 星M 地＝b a，因而ρ星＝3πbaGT 2.命题点三 卫星运行参量的比较与计算1．物理量随轨道半径变化的规律2．极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心．例4(多选)P1、P2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s1、s2做匀速圆周运动．图3中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示P1、P2周围的a与r2的反比关系，它们左端点横坐标相同．则()图3A．P1的平均密度比P2的大B．P1的“第一宇宙速度”比P2的小C．s1的向心加速度比s2的大D．s1的公转周期比s2的大①a与r2成反比；②它们左端点横坐标相同．答案AC解析由题图可知两行星半径相同，则体积相同，由a＝G Mr2可知P1质量大于P2，则P1密度大于P2，故A正确；第一宇宙速度v＝GMR，所以P1的“第一宇宙速度”大于P2，故B错误；卫星的向心加速度为a＝GM(R＋h)2，所以s1的向心加速度大于s2，故C正确；由GMm(R＋h)2＝m4π2T2(R＋h)得T＝4π2(R＋h)3GM，故s1的公转周期比s2的小，故D错误．利用万有引力定律解决卫星运动的技巧1．一个模型天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型．2．两组公式G Mmr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r＝mamg＝GMmR2(g为天体表面处的重力加速度)3．a、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同决定，所有参量的比较，最终归结到半径的比较．5．如图4，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是()图4A．甲的向心加速度比乙的小B．甲的运行周期比乙的小C．甲的角速度比乙的大D．甲的线速度比乙的大答案 A解析由万有引力提供向心力得G Mmr2＝mv2r＝mω2r＝ma＝m4π2T2r，变形得：a＝GMr2，v＝GMr，ω＝GMr3，T＝2πr3GM，只有周期T和M成减函数关系，而a、v、ω和M成增函数关系，故选A.6．(多选)据天文学家研究发现，月球正在以每年3.8 cm的“速度”远离地球，地月之间的距离从“刚开始”的约2×104km拉大到目前的约38×104km,100万年前的古人类看到的月球大小是现在的15倍左右，随着时间推移，月球还会“走”很远，最终离开地球的“视线”，假设地球和月球的质量不变，不考虑其他星球对“地—月”系统的影响，已知月球环绕地球运动的周期为27 d(天)，19＝4.36，15＝3.87，以下说法正确的是() A．随着时间的推移，月球在离开地球“视线”之前的重力势能会缓慢增大B．月球“刚开始”环绕地球运动的线速度大小约为目前的15倍C．月球“刚开始”环绕地球运动的周期约为8 hD．月球目前的向心加速度约为“刚开始”的1 225倍答案AC解析月球在离开地球“视线”之前要克服万有引力做功，所以重力势能会缓慢增大，A正确．根据万有引力充当向心力得v＝GMr，所以刚开始时v′＝38×1042×104v＝4.36v，B错误．根据万有引力充当向心力得T＝4π2r 3GM ，所以刚开始时T ′＝11919T ＝27×241919 h ≈8 h ，故C 正确．根据万有引力充当向心力得GMmr 2＝ma ，所以目前的向心加速度为a ＝r ′2r 2a ′＝1361a ′，D 错误．命题点四 卫星变轨问题分析1．速度：如图5所示，设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点时速率分别为v A 、v B .在A 点加速，则v A >v 1，在B 点加速，则v 3>v B ，又因v 1>v 3，故有v A >v 1>v 3>v B .图52．加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过B 点加速度也相同．3．周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T 1、T 2、T 3，轨道半径分别为r 1、r 2(半长轴)、r 3，由开普勒第三定律r 3T2＝k 可知T 1<T 2<T 3.4．机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E 1、E 2、E 3，则E 1<E 2<E 3.例5 如图6所示，我国发射的“天宫二号”空间实验室已与“神舟十一号”飞船完成对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )图6A ．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B ．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C ．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D ．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 答案 C解析 若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速，所需向心力变大，则飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，选项A 错误；若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速，所需向心力变小，则空间实验室将脱离原轨道而进入更低的轨道，不能实现对接，选项B 错误；要想实现对接，可使飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的空间实验室轨道，逐渐靠近空间实验室后，两者速度接近时实现对接，选项C 正确；若飞船在比空间实验室半径较小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，不能实现对接，选项D 错误．7．嫦娥三号携带有一台无人月球车，重3吨多，是当时我国设计的最复杂的航天器．如图7所示为其飞行轨道示意图，则下列说法正确的是( )图7A ．嫦娥三号的发射速度应该大于11.2 km/sB ．嫦娥三号在环月轨道1上P 点的加速度大于在环月轨道2上P 点的加速度C ．嫦娥三号在环月轨道2上运行周期比在环月轨道1上运行周期小D ．嫦娥三号在动力下降段中一直处于完全失重状态 答案 C解析 在地球表面发射卫星的速度大于11.2 km/s 时，卫星将脱离地球束缚，绕太阳运动，故A 错误；根据万有引力提供向心力G Mm r 2＝ma 得a ＝GMr 2，由此可知在环月轨道2上经过P 的加速度等于在环月轨道1上经过P 的加速度，故B 错误；根据开普勒第三定律r 3T 2＝k ，由此可知，轨道半径越小，周期越小，故嫦娥三号在环月轨道2上运行周期比在环月轨道1上运行周期小，故C 正确；嫦娥三号在动力下降段中，除了受到重力还受到动力，故不是完全失重状态，故D 错误．8．(多选)某航天飞机在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点，如图8所示．关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( )图8A ．在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 的速度B ．在轨道Ⅱ上经过A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能C ．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D ．在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度 答案 ABC解析 轨道Ⅱ为椭圆轨道，根据开普勒第二定律，航天飞机与地球的连线在相等的时间内扫过的面积相等，可知近地点的速度大于远地点的速度，故A 正确．根据开普勒第三定律，航天飞机在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上满足R 3T 2Ⅰ＝a 3T 2Ⅱ，又R >a ，可知T Ⅰ>T Ⅱ，故C 正确．航天飞机在A 点变轨时，主动减小速度，所需要的向心力小于此时的万有引力，做近心运动，从轨道Ⅰ变换到轨道Ⅱ，又E k ＝12m v 2，故B 正确．无论在轨道Ⅰ上还是在轨道Ⅱ上，A 点到地球的距离不变，航天飞机受到的万有引力一样，由牛顿第二定律可知向心加速度相同，故D 错误.“嫦娥”探月发射过程的“四大步”一、探测器的发射典例1 我国已于2013年12月2日凌晨1∶30分使用长征三号乙运载火箭成功发射“嫦娥三号”．火箭加速是通过喷气发动机向后喷气实现的．设运载火箭和“嫦娥三号”的总质量为M ，地面附近的重力加速度为g ，地球半径为R ，万有引力常量为G . (1)用题给物理量表示地球的质量．(2)假设在“嫦娥三号”舱内有一平台，平台上放有测试仪器，仪器对平台的压力可通过监控装置传送到地面．火箭从地面发射后以加速度g2竖直向上做匀加速直线运动，升到某一高度时，地面监控器显示“嫦娥三号”舱内测试仪器对平台的压力为发射前压力的1718，求此时火箭离地面的高度． 答案 见解析解析 (1)在地面附近，mg ＝G M 地m R 2，解得：M 地＝gR 2G.(2)设此时火箭离地面的高度为h ，选仪器为研究对象，设仪器质量为m 0，火箭发射前，仪器对平台的压力F 0＝GM 地m 0R 2＝m 0g . 在距地面的高度为h 时，仪器所受的万有引力为F ＝G M 地m 0(R ＋h )2设在距离地面的高度为h 时，平台对仪器的支持力为F 1，根据题述和牛顿第三定律得，F 1＝1718F 0由牛顿第二定律得，F 1－F ＝m 0a ，a ＝g2联立解得：h ＝R2二、地月转移典例2 (多选)如图9是“嫦娥三号”飞行轨道示意图，在地月转移段，若不计其他星体的影响，关闭发动机后，下列说法正确的是( )图9A ．“嫦娥三号”飞行速度一定越来越小B．“嫦娥三号”的动能可能增大C．“嫦娥三号”的动能和引力势能之和一定不变D．“嫦娥三号”的动能和引力势能之和可能增大答案AC解析在地月转移段“嫦娥三号”所受地球和月球的引力之和指向地球，关闭发动机后，“嫦娥三号”向月球飞行，要克服引力做功，动能一定减小，速度一定减小，选项A正确，B错误．关闭发动机后，只有万有引力做功，“嫦娥三号”的动能和引力势能之和一定不变，选项C正确，D错误．三、绕月飞行典例3(多选)典例2的题图是“嫦娥三号”飞行轨道示意图．假设“嫦娥三号”运行经过P点第一次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上运动，再次经过P点时第二次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面近地点为Q、高度为15 km，远地点为P、高度为100 km的椭圆轨道Ⅱ上运动，下列说法正确的是()A．“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上运动时速度大小可能变化B．“嫦娥三号”在距离月面高度100 km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期C．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度D．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速度可能小于经过P点时的速度答案BC解析“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道上运动是匀速圆周运动，速度大小不变，选项A错误．由于圆轨道的轨道半径大于椭圆轨道半长轴，根据开普勒定律，“嫦娥三号”在距离月面高度100 km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期，选项B正确．由于在Q点“嫦娥三号”所受万有引力大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度，选项C正确．“嫦娥三号”在椭圆轨道上运动的引力势能和动能之和保持不变，Q点的引力势能小于P点的引力势能，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动到Q点的动能较大，速度较大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速度一定大于经过P点时的速度，选项D错误．四、探测器着陆典例4“嫦娥三号”探测器着陆是从15 km的高度开始的，由着陆器和“玉兔”号月球车组成的“嫦娥三号”月球探测器总重约3.8 t．主减速段开启的反推力发动机最大推力为7 500 N，不考虑月球和其他天体的影响，月球表面附近重力加速度约为1.6 m/s2，“嫦娥三号”探测器在1 s内()A．速度增加约2 m/sB．速度减小约2 m/sC．速度增加约0.37 m/sD．速度减小约0.37 m/s答案 B解析根据题述，不考虑月球和其他天体的影响，也就是不考虑重力，由牛顿第二定律，－F＝ma，解得a≈－2 m/s2，根据加速度的意义可知“嫦娥三号”探测器在1 s内速度减小约2 m/s，选项B正确．题组1万有引力定律的理解与应用1．关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程，下列说法正确的是()A．第谷通过整理大量的天文观测数据得到行星运动规律B．开普勒指出，地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力C．牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度，对万有引力定律进行了“月地检验”D．卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值答案 D2．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为()A.m v2GN B.m v4GN C.N v2Gm D.N v4Gm答案 B解析设卫星的质量为m′由万有引力提供向心力，得G Mm′R2＝m′v2R①m′v2R＝m′g②由已知条件：m的重力为N得N＝mg③由③得g＝Nm，代入②得：R＝m v2N代入①得M＝m v4GN，故A、C、D错误，B项正确．3．(多选)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面 4 m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为1.3×103kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s2.则此探测器()A．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/sB．悬停时受到的反冲作用力约为2×103 NC．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度答案BD解析 在星球表面有GMm R 2＝mg ，所以重力加速度g ＝GM R 2，地球表面g ＝GMR 2＝9.8 m/s 2，则月球表面g ′＝G181M (13.7R )2＝3.7×3.781×GM R 2≈16g ，则探测器重力G ＝mg ′＝1 300×16×9.8 N ≈2×103 N ，选项B 正确；探测器做自由落体运动，末速度v ＝2g ′h ≈43×9.8 m /s≈3.6 m/s ，选项A 错误；关闭发动机后，仅在月球引力作用下机械能守恒，而离开近月轨道后还有制动悬停，所以机械能不守恒，选项C 错误；在近月圆轨道运动时万有引力提供向心力，有GM ′m R ′2＝m v2R ′，所以v ＝G181M 13.7R ＝ 3.7GM81R ＜ GMR，即在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度，选项D 正确． 题组2 中心天体质量和密度的估算4.一卫星绕火星表面附近做匀速圆周运动，其绕行的周期为T .假设宇航员在火星表面以初速度v 水平抛出一小球，经过时间t 恰好垂直打在倾角α＝30°的斜面体上，如图1所示．已知引力常量为G ，则火星的质量为( )图1A.3v 3T 416Gt 3π4B.33v 3T 416Gt 3π4C.3v 2T 416Gt 3π4D.33v 2T 416Gt 3π4答案 B解析 以M 表示火星的质量，r 0表示火星的半径，g ′表示火星表面附近的重力加速度，火星对卫星的万有引力提供向心力，有G Mm r 20＝m (2πT )2r 0，在火星表面有G Mm ′r 20＝m ′g ′；平抛小球速度的偏转角为60°，tan 60°＝g ′t v ，联立以上各式解得M ＝33v 3T 416Gt 3π4，B 正确．5．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ，地球自转的周期为T ，引力常量为G .地球的密度为( ) A.3π(g 0－g )GT 2g 0B.3πg 0GT 2(g 0－g ) C.3πGT 2D.3πg 0GT 2g 答案 B解析 物体在地球的两极时，mg 0＝G Mm R 2，物体在赤道上时，mg ＋m (2πT )2R ＝G Mm R 2，又V ＝43πR 3，联立以上三式解得地球的密度ρ＝3πg 0GT 2(g 0－g ).故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误．6．(多选)如图2所示，飞行器P 绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是。
备考2020年高考物理一轮复习试题：第四章 第4讲 万有引力与航天(含解析)
板块三限时规范特训 时间：45分钟满分：100分 一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。
其中1～5为单选，6～10为多选)1．[2017·漳州八校联考]我国“玉兔号”月球车被顺利送抵月球表面，并发回大量图片和信息。
若该月球车在地球表面的重力为G 1，在月球表面的重力为G 2。
已知地球半径为R 1，月球半径为R 2，地球表面处的重力加速度为g ，则( ) A ．“玉兔号”月球车在地球表面与月球表面质量之比为G 1G 2B ．地球的质量与月球的质量之比为G 1R 22G 2R 21C ．地球表面处的重力加速度与月球表面处的重力加速度之比为G 2G 1D ．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为G 1R 1G 2R 2 答案 D 解析 质量是物体本身的属性，不因位置改变而发生变化，故A 错误。
“玉兔号”月球车在地球表面有G 1＝GM 地m R 21，在月球表面有G 2＝GM 月m R 22，所以M 地M 月＝G 1R 21G 2R 22，故B 错误。
因G 1＝mg 1，G 2＝mg 2，所以g 1g 2＝G 1G 2，故C 错误。
第一宇宙速度v ＝GM R ，所以v 1v 2＝M 地M 月·R 2R 1＝G 1R 21G 2R 22·R 2R 1＝G 1R 1G 2R 2，故D 正确。
2．[2017·河南许昌模拟]我国卫星移动通信系统首发星，被誉为中国版海事卫星的天通一号01星，在2016年8月6日在西昌卫星发射中心顺利升空并进入距离地球约36000 km 的地球同步轨道，这标志着我国迈入卫星移动通信的“手机时代”。
根据这一信息以及必要的常识，尚不能确定该卫星的( )A ．质量B ．轨道半径C ．运行速率D ．运行周期答案 A 解析 由题意可知，不能求出卫星的质量，故A 符合题意；卫星进入距离地球约36000 km 的地球同步轨道，可知其周期是24 h ，由GMm (R ＋h )2＝m ·4π2(R ＋h )T 2，以及GMm R 2＝mg ，其中M 表示地球的质量，R 表示地球的半径，g 是地球表面的重力加速度，一般取9.8 m/s 2，联立可求出该卫星的轨道半径，故B 、D 不符合题意；卫星的速率v ＝2πr T ，结合B 、D 中的半径与周期即可求出速率，故C 不符合题意。
2020高考物理一轮总复习第四章第4讲万有引力与航天讲义含解析新人教版
万有引力与航天[基础知识·填一填][知识点1] 开普勒三定律 1．开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个 焦点 上．2．开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的 面积 相等．3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的 半长轴 的三次方跟它的 公转周期 的二次方的比值都相等，即 ＝k .a 3T2判断正误，正确的划“√”，错误的划“×”．(1)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆．(√)(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大．(×)[知识点2] 万有引力定律 1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积 成正比 ，与它们之间距离r 的平方 成反比 .2．表达式：F ＝G m 1m 2r2G 为引力常量：G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2.3．适用条件(1)公式适用于 质点 间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是 两球心间 的距离．判断正误，正确的划“√”，错误的划“×”．(1)只有天体之间才存在万有引力．(×)(2)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F ＝G 计算物体间m 1m 2r2的万有引力．(×)(3)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心．(√)(4)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．(×)[知识点3] 环绕速度 1．第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为 7.9_km/s .2．特点(1)第一宇宙速度是人造卫星的最小 发射 速度．(2)第一宇宙速度是人造卫星的最大 环绕 速度．3．第一宇宙速度的计算方法(1)由G ＝m 得v ＝ ＝7.9 km/s.Mm R 2v 2R GMR (2)由mg ＝m 得v ＝＝7.9 km/s.v 2RgR判断正误，正确的划“√”，错误的划“×”．(1)地球的第一宇宙速度与地球的质量有关．(√)(2)地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度．(×)(3)发射探月卫星的速度必须大于第二宇宙速度．(×)[知识点4] 第二、三宇宙速度、时空观 1．第二宇宙速度：v 2＝11.2 km/s ，是卫星挣脱地球引力束缚的 最小发射速度 .2．第三宇宙速度：v 3＝16.7 km/s ，是卫星挣脱太阳引力束缚的 最小发射速度 .3．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随 运动状态 而改变的．(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是 相同 的．4．相对论时空观在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是 不同 的．[教材挖掘·做一做]1.(人教版必修2 P36第2题改编)如图所示，一卫星绕地球运动，运动轨迹为椭圆，A 、B 、C 、D 是轨迹上的四个位置，其中A 点距离地球最近，C 点距离地球最远．卫星运动速度最大的位置是( )A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点答案：A2．(人教版必修2 P36第4题改编)地球的公转轨道接近圆，但彗星的运行轨道则是一个非常扁的椭圆．天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴等于地球公转轨道半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现．哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星．哈雷彗星最近出现的时间是1986年，它下次将在哪一年飞近地球( )A ．2042年B ．2052年C ．2062年D ．2072年解析：C [根据开普勒第三定律＝k ，可得＝，且r 彗＝18r 地，得T 彗＝54Ta 3T 2r 3彗T 2彗r 3地T 2地2地，又T 地＝1年，所以T 彗＝54年≈76年，故选C.]2 考点一 开普勒定律及对万有引力定律的理解[考点解读]1．对开普勒定律的理解(1)开普勒第三定律＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k 值不a 3T2同．(2)对于匀速圆周运动，根据G ＝m r ，得＝k ＝，可视为开普勒第三定律的Mm r 24π2T 2r 3T 2GM4π2特例．2．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg ，二是提供物体随地球自转的向心力F 向，如图所示．(1)在赤道上：G ＝mg 1＋mω2R .MmR2(2)在两极上：G＝mg 2.MmR 23．星体表面上的重力加速度(1)在地球表面附近的重力加速度g (不考虑地球自转)：mg ＝G，得g ＝.mM R 2GM R 2(2)在地球上空距离地心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′，mg ′＝，得g ′＝GMm(R ＋h )2；GM(R ＋h )2所以＝.g g ′(R ＋h )2R2[典例赏析][典例1] (多选)如图所示，三颗质量均为m 的地球同步卫星等间隔分布在半径为r 的圆轨道上，设地球质量为M ，半径为R .下列说法正确的是( )A ．地球对一颗卫星的引力大小为GMm(r －R )2B ．一颗卫星对地球的引力大小为GMm r 2C ．两颗卫星之间的引力大小为Gm 23r2D ．三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMmr 2[解析] BC [根据万有引力定律，地球对一颗卫星的引力大小F 万＝G，A 项错Mmr 2误．由牛顿第三定律知B 项正确．三颗卫星等间距分布，任意两星间距为r ，故两星间3引力大小F 万′＝G ，C 项正确．任意两星对地球引力的夹角为120°，故任意两星对地m 23r2球引力的合力与第三星对地球的引力大小相等，方向相反，三星对地球引力的合力大小为零，D 项错误．] 万有引力的“两点理解”和“两个推论”1．两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．2．地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力．3．万有引力的两个有用推论(1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F 引＝0.(2)推论2：在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m )受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(M ′)对其的万有引力，即F ＝G.M ′mr 2[题组巩固]1．(2017·全国卷Ⅱ)(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经M 、Q 到N 的运动过程中( )A ．从P 到M 所用的时间等于T 0/4B ．从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大C ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功解析：CD [海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，由开普勒第二定律可知，从P →Q 速度逐渐减小，故从P 到M 所用时间小于T 0/4，选项A 错误，C 正确；从Q 到N 阶段，只受太阳的引力，故机械能守恒，选项B 错误；从M 到N 阶段经过Q 点时速度最小，故万有引力对它先做负功后做正功，选项D 正确．]2．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )A ．太阳位于木星运行轨道的中心B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积解析：C [太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A 错误；不同的行星对应不同的运行轨道，运行速度大小也不相同，B 错误；同一行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积才能相同，D 错误；由开普勒第三定律得：＝，故＝，C 正确．]r 3火T 2火r 3木T 2木T 2火T 2木r 3火r 3木3．两个半径均为r 的实心铁球靠在一起时，彼此之间的万有引力大小为F .若两个半径为2r 的实心铁球靠在一起时，它们之间的万有引力大小为( )A ．2FB ．4FC ．8FD ．16F解析：D [F ＝G ，其中m 1＝πr 3·ρ，F ′＝G ，其中m 2＝π(2r )3·ρ.解m 21(2r )243m 2(4r )243得F ′＝16F .]考点二 天体质量和密度的计算[考点解读]1．自力更生法：利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .(1)由G ＝mg ，得天体质量M ＝.Mm R 2gR 2G(2)天体密度ρ＝＝＝.M V M 43πR33g4πGR2．借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T .(1)由G ＝m 得天体的质量M ＝.Mm r 24π2r T 24π2r 3GT 2(2)若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝＝＝.M V M 43πR33πr 3GT 2R 3(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度．3πGT 2[典例赏析][典例2] (2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T ＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67×10－11 N·m 2/kg 2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )A ．5×109 kg/m 3B ．5×1012 kg/m 3C ．5×1015 kg/m 3D ．5×1018 kg/m 3[审题指导] (1)星体表面上的物体随星体自转，其公转周期与星体自转周期相等，其公转半径与星体半径相等．(2)根据“外援法”，就可计算出星体密度的最小值．[解析] C [以周期T 稳定自转的星体，当星体的密度最小时，其表面物体受到的万有引力提供向心力，即＝m R ，星体的密度ρ＝，得其密度ρ＝＝GMm R 24π2T 2M 43πR 33πGT2 kg/m 3＝5×1015 kg/m 3，故选项C 正确．]3× 3.146.67×10－11×(5.19×10－3)2估算天体质量和密度时应注意的问题1．利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量．2．区别天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近的卫星才有r ≈R; 计算天体密度时，V ＝πR 3中的R 只能是中心天体的半径．43[题组巩固]1．2018年7月28日，月全食现身天宇，出现十余年一遇的“火星大冲”．通过对火星的卫星观测，可以推算出火星的质量．假设卫星绕火星做匀速圆周运动，引力常量G 已知，若要估算出火星的质量，则还需要知道的物理量是( )A ．卫星的周期与角速度B ．卫星的周期和轨道半径C ．卫星的质量和角速度D ．卫星的密度和轨道半径解析：B [由于卫星的周期与角速度的关系为T ＝，所以仅知道卫星的周期和角速2πω度不能算出火星的质量，故A 错误；若知道卫星的周期和轨道半径，则根据＝m 2r ，GMm r 2(2πT)整理得M ＝，故B 正确；根据＝m 2r ，知卫星的质量m 约掉，故与卫星的质量4π2r 3GT 2GMm r 2(2πT)和密度无关，故C 、D 错误．]2．(多选)1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人．若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径R ，地球上一个昼夜的时间T 1(地球自转周期)，一年的时间T 2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳中心的距离L 2.你能计算出( )A ．地球的质量m 地＝gR 2GB ．太阳的质量m 太＝4π2L 32GT 2C ．月球的质量m 月＝4π2L 31GT 21D ．可求出月球、地球及太阳的密度解析：AB [对地球表面的一个物体m 0来说，应有m 0g ＝，所以地球质量m 地＝Gm 地 m 0R 2，选项A 正确．对地球绕太阳运动来说，有＝m 地L 2, 则m 太＝，B 项正gR 2G Gm 太m 地L 24π2T 24π2L 32GT 2确．对月球绕地球运动来说，能求地球的质量，不知道月球的相关参量及月球的卫星的运动参量，无法求出它的质量和密度，C 、D 项错误．]3．中国月球探测工程首席科学家欧阳自远在第22届国际天文馆学会大会上透露，我国即将开展深空探测，计划将在2020年实现火星的着陆巡视，假设火星探测器在着陆前，绕火星表面匀速飞行(不计周围其他天体的影响)，宇航员测出飞行N 圈所用时间为t ，已知地球质量为M ，地球半径为R ，地球表面重力加速度为g .仅利用以上数据，可以计算出的物理量有( )A ．火星的质量B ．火星的密度C ．火星探测器的质量D ．火星表面的重力加速度解析：B [由题意可知火星探测器绕火星表面运行的周期T ＝，由GM ＝gR 2和G ＝t N M 火m r 2m2r ，可得火星的质量为M 火＝，由于火星半径未知，所以火星质量不可求，(2πT )4N 2π2r 3MgR 2t 2故选项A 错误；由M 火＝ρ·πr 3及火星质量表达式可得ρ＝，则密度可求出，选433πN 2M gR 2t 2项B 正确；天体运动问题中，在一定条件下只能计算出中心天体的质量(本题中无法求出)，不能计算出环绕天体的质量，故选项C 错误；根据g 火＝a ＝2r ＝，由于火星半(2πT )4π2N 2rt 2径未知，所以火星表面重力加速度不可求，选项D 错误．]考点三 卫星参量的分析与比较[考点解读]1．人造卫星的运行规律(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看做质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动．(2)两条思路①万有引力提供向心力，即G＝ma .Mmr 2②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg 或gR 2＝GM (R 、g 分别是GMmR2天体的半径、表面重力加速度)，公式gR 2＝GM 应用广泛，被称为“黄金代换”．2．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律Error!规律3．极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心．4．同步卫星的六个“一定”[典例赏析][典例3] (2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( )A ．2∶1B ．4∶1C ．8∶1D ．16∶1[解析] C [卫星P 、Q 围绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即G ＝m MmR 2R ，则T ＝，＝＝，选项C 正确．]4π2T 24π2R 3GMT P T Q R 3PR 3Q 81[母题探究]探究1.对三种宇宙速度的理解探究2.对同步卫星的理解母题典例3探究3.绕不同中心天体运行卫星参量的比较[探究1] 对三种宇宙速度的理解 (多选)下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是( )A ．第一宇宙速度v 1＝7.9 km/s ，第二宇宙速度v 2＝11.2 km/s ，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v 1，小于v 2B ．美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度C ．第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造小行星的最小发射速度D ．第一宇宙速度7.9 km/s 是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度解析：CD [根据v ＝可知，卫星的轨道半径r 越大，即距离地面越远，卫星的环GMr绕速度越小，v 1＝7.9 km/s 是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，选项D 正确；实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，选项A 错误；美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，选项B 错误；第二宇宙速度是使物体挣脱地球束缚而成为太阳的一颗人造小行星的最小发射速度，选项C 正确．][探究2] 对同步卫星的理解 假设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n 倍，则( )A ．同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的n 倍B ．同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的倍1nC ．同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转速度的(n ＋1)倍D ．同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的倍1n解析：B [同步卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有G ＝m ，Mm r 2v 2r解得v ＝，地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n 倍，即r ＝nR ，所以v ＝，而第GM r GMnR一宇宙速度为 ，所以同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的倍，故A 错误，B 正确；GM R 1n同步卫星的周期与地球自转周期相同，即同步卫星和地球赤道上物体随地球自转具有相等的角速度，根据圆周运动公式得v ＝ωr ，因为r ＝nR ，所以同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转速度的n 倍，故C 错误；由G＝ma ，解得a ＝，根据地球表面万有Mm r 2GMr 2引力等于重力得G ＝mg ，g ＝，故＝＝，所以同步卫星的向心加速度是地球表面重Mm R 2GM R 2a g R 2r 21n2力加速度的倍，故D 错误．]1n2[探究3] 绕不同中心天体运行卫星参量的比较 如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M 和2M 的行星做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )A ．甲的向心加速度比乙的小B ．甲的运行周期比乙的小C ．甲的角速度比乙的大D ．甲的线速度比乙的大解析：A [卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由行星对卫星的引力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律解决问题．根据G ＝ma 得a ＝，故甲卫星的向心加速度小，选项A 正确；根据G ＝m 2r ，Mm r 2GM r 2Mm r 2(2πT )得T ＝2π，故甲的运行周期大，选项B 错误；根据G ＝mω2r ，得ω＝，故甲运行r 3GM Mm r 2GM r 3的角速度小，选项C 错误；根据G ＝m ，得v ＝ ，故甲运行的线速度小，选项D 错Mm r 2v 2rGM r 误．] 人造卫星问题的解题技巧1．利用万有引力产生向心加速度的不同表述形式．G ＝ma n ＝m ＝mω2r ＝m 2r ＝m (2πf )2r .Mm r 2v 2r (2πT )2．第一宇宙速度是人造卫星环绕地球表面运行的最大速度，轨道半径r 近似等于地球半径v ＝＝7.9 km/s GM R万有引力近似等于卫星的重力，即mg ＝m ，v ＝＝7.9 km/s v 2RRg 3．同步卫星：抓住①具有特定的线速度、角速度和周期．②具有特定的位置高度和轨道半径．③运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方特定的点上．比较卫星与地球有关的物理量时可以通过比较卫星与同步卫星的参量来确定.物理模型(六) 双星(三星)模型[模型阐述]1．模型构建在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星．2．模型条件(1)两颗星彼此相距较近．(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动．(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动．3．模型特点(1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供．(2)“周期、角速度相等”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等．(3)三个反比关系：m 1r 1＝m 2r 2；m 1v 1＝m 2v 2；m 1a 1＝m 2a 2.推导：根据两球的向心力大小相等可得，m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2，即m 1r 1＝m 2r 2；等式m 1r 1＝m 2r 2两边同乘以角速度ω，得m 1r 1ω＝m 2r 2ω，即m 1v 1＝m 2v 2；由m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2直接可得，m 1a 1＝m 2a 2.(4)巧妙求质量和：＝m 1ω2r 1①Gm 1m 2L 2＝m 2ω2r 2②Gm 1m 2L 2由①＋②得：＝ω2L G (m 1＋m 2)L 2∴m 1＋m 2＝.ω2L 3G[典例赏析][典例] (2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )A ．质量之积 B ．质量之和C ．速率之和D ．各自的自转角速度[审题指导] 此类题目的通用解法是依据相对应的原理、规律、关系列出必要的方程组，解出相应关系表达式，结合题目的已知条件及常数，判断相应的关系和结果．[解析] BC [双星系统由彼此间万有引力提供向心力，得＝m 1ωr 1，G ＝Gm 1m 2L 221m 1m 2L 2m 2ωr 2，且T ＝，两颗星的周期及角速度相同，即T 1＝T 2＝T ，ω1＝ω2＝ω，两颗星的22πω轨道半径r 1＋r 2＝L ，解得＝，m 1＋m 2＝，因为未知，故m 1与m 2之积不能求出，m 1m 2r 2r 14π2L 3GT 2r 2r 1则选项A 错误，B 正确．各自的自转角速度不可求，选项D 错误．速率之和v 1＋v 2＝ωr 1＋ωr 2＝ω·L ，故C 项正确．]解答双星问题应注意“两等”“两不等”1．“两等”(1)它们的角速度相等．(2)双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的．2．“两不等”(1)双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离．(2)由m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2知由于m 1与m 2一般不相等，故r 1与r 2一般也不相等．[题组巩固]1．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( )A.T B.T n 3k2n 3k C.T D.T n 2k nk解析：B [如图所示，设两恒星的质量分别为M 1和M 2，轨道半径分别为r 1和r 2.根据万有引力定律及牛顿第二定律可得＝M 12r 1，＝M 22r 2，解得＝GM 1M 2r 2(2πT )GM 1M 2r 2(2πT )G (M 1＋M 2)r 32 ①，当两星的总质量变为原来的k 倍，它们之间的距离变为原来的n 倍时，有(2πT )＝2 ②，联立①②两式可得T ′＝T ，故B 项正确．]Gk (M 1＋M 2)(nr )3(2πT ′)n 3k2．(多选)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统．在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统．设某双星系统A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图所示．若AO ＞OB ，则( )A ．星球A 的质量一定大于B 的质量B ．星球A 的线速度一定大于B 的线速度C ．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大D ．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大解析：BD [设双星质量分别为m A 、m B ，轨道半径为R A 、R B ，两者间距为L ，周期为T ，角速度为ω，由万有引力定律可知：＝m A ω2R A ①，＝m B ω2R B ②，R A ＋R B ＝L Gm A m B L 2Gm A m BL 2③，由①②式可得＝，而AO ＞OB ，故m A ＜m B ，A 错误．v A ＝ωR A ，v B ＝ωR B ，R A ＞R B ，m A m B R BR A 则v A ＞v B ，B 正确．联立①②③得G (m A ＋m B)＝ω2L 3，又因为T ＝，可知D 正确，C 错2πω误．]3．(2019·广东广州执信中学期中)(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三个星体的质量均为M ，并设两种系统的运动周期相同，则( )A ．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同B ．直线三星系统的运动周期T ＝4πR R5GMC ．三角形三星系统中星体间的距离L ＝R 3125D ．三角形三星系统的线速度大小为 125GM R解析：BC [直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，选项A 错误；三星系统中，对直线三星系统有G ＋G ＝M R ，解得T ＝4πR ，选项B 正确；M 2R 2M 2(2R )24π2T 2R 5GM 对三角形三星系统根据万有引力定律可得2G cos 30°＝M ·，联立解得L M 2L 24π2T 2L 2cos 30°＝R ，选项C 正确；三角形三星系统的线速度大小为v ＝＝，代入解31252πr T 2π(L2cos 30°)T 得v ＝××，选项D 错误．]3631255GM R。
高考物理一轮复习文档：第四章第4讲 万有引力与航天练习解析含答案
板块三限时规范特训时间：45分钟 100分一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。
其中1～5为单选，6～10为多选)1．[2017·漳州八校联考]我国“玉兔号”月球车被顺利送抵月球表面，并发回大量图片和信息。
若该月球车在地球表面的重力为G 1，在月球表面的重力为G 2。
已知地球半径为R 1，月球半径为R 2，地球表面处的重力加速度为g ，则( )A ．“玉兔号”月球车在地球表面与月球表面质量之比为G 1G 2B ．地球的质量与月球的质量之比为G 1R 22G 2R 21C ．地球表面处的重力加速度与月球表面处的重力加速度之比为G 2G 1D ．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为G 1R 1G 2R 2答案 D解析 质量是物体本身的属性，不因位置改变而发生变化，故A 错误。
“玉兔号”月球车在地球表面有G 1＝GM 地m R 21，在月球表面有G 2＝GM 月m R 22，所以M 地M 月＝G 1R 21G 2R 22，故B 错误。
因G 1＝mg 1，G 2＝mg 2，所以g 1g 2＝G 1G 2，故C 错误。
第一宇宙速度v ＝GM R ，所以v 1v 2＝M 地M 月·R 2R 1＝G 1R 21G 2R 22·R 2R 1＝G 1R 1G 2R 2，故D 正确。
2．[2017·河南许昌模拟]我国卫星移动通信系统首发星，被誉为中国版海事卫星的天通一号01星，在2016年8月6日在西昌卫星发射中心顺利升空并进入距离地球约36000 km 的地球同步轨道，这标志着我国迈入卫星移动通信的“手机时代”。
根据这一信息以及必要的常识，尚不能确定该卫星的( ) A ．质量 B ．轨道半径 C ．运行速率 D ．运行周期答案 A解析 由题意可知，不能求出卫星的质量，故A 符合题意；卫星进入距离地球约36000 km 的地球同步轨道，可知其周期是24 h ，由GMm R＋h 2＝m·4π2R＋h T 2，以及GMmR 2＝mg ，其中M 表示地球的质量，R 表示地球的半径，g 是地球表面的重力加速度，一般取9.8 m/s 2，联立可求出该卫星的轨道半径，故B 、D 不符合题意；卫星的速率v ＝2πrT，结合B 、D 中的半径与周期即可求出速率，故C 不符合题意。
高考物理一轮复习文档：第四章第4讲万有引力与航天讲义
第4讲 万有引力与航天板块一 主干梳理·夯实基础【知识点1】 开普勒行星运动定律 Ⅰ 1．定律内容开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的面积。
开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即a3T 2＝k 。
2．使用条件：适用于宇宙中一切环绕相同中心天体的运动，也适用于以行星为中心的卫星。
【知识点2】 万有引力定律及应用 Ⅱ1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与两物体的质量的乘积成正比，与两物体间距离的二次方成反比。
2．公式：F ＝Gm 1m 2r2，其中G 为万有引力常量，G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，其值由卡文迪许通过扭秤实验测得。
公式中的r 是两个物体之间的距离。
3．使用条件：适用于两个质点或均匀球体；r 为两质点或均匀球体球心间的距离。
【知识点3】 环绕速度 Ⅱ1．第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s 。
2．第一宇宙速度是人造卫星在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。
3．第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。
4．第一宇宙速度的计算方法。
(1)由G Mm R 2＝m v2R，解得：v ＝GMR； (2)由mg ＝m v2R解得：v ＝gR 。
【知识点4】 第二宇宙速度和第三宇宙速度 Ⅰ 1．第二宇宙速度(脱离速度)使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s 。
2．第三宇宙速度(逃逸速度)使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s 。
【知识点5】 经典时空观和相对论时空观 Ⅰ 1．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量不随运动速度改变；(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。
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第4讲 万有引力与航天板块一 主干梳理·夯实基础【知识点1】 开普勒行星运动定律 Ⅰ 1．定律内容开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的面积。
开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即a 3T2＝k 。
2．使用条件：适用于宇宙中一切环绕相同中心天体的运动，也适用于以行星为中心的卫星。
【知识点2】 万有引力定律及应用 Ⅱ1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与两物体的质量的乘积成正比，与两物体间距离的二次方成反比。
2．公式：F ＝G m 1m 2r 2，其中G 为万有引力常量，G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，其值由卡文迪许通过扭秤实验测得。
公式中的r 是两个物体之间的距离。
3．使用条件：适用于两个质点或均匀球体；r 为两质点或均匀球体球心间的距离。
【知识点3】 环绕速度 Ⅱ1．第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s 。
2．第一宇宙速度是人造卫星在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。
3．第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。
4．第一宇宙速度的计算方法。
(1)由G MmR 2＝m v 2R ，解得：v ＝GMR； (2)由mg ＝m v 2R 解得：v ＝gR 。
【知识点4】 第二宇宙速度和第三宇宙速度 Ⅰ 1．第二宇宙速度(脱离速度)使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s 。
2．第三宇宙速度(逃逸速度)使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s 。
【知识点5】 经典时空观和相对论时空观 Ⅰ 1．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量不随运动速度改变；(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。
2．相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而增加，用公式表示为m ＝m 01－v 2c2；(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。
板块二考点细研·悟法培优考点1 开普勒第三定律[深化理解]1．微元法解读开普勒第二定律，行星在近日点、远日点时速度方向与连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内可看作匀速直线运动，由S a＝S b知12v a·Δt·a＝12v b·Δt·b，可得v a＝v b ba。
行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。
2．开普勒第三定律虽然是对行星绕太阳运动的总结，但实践表明该定律也适用于其他天体的运动，如月球绕地球的运动，卫星(或人造卫星)绕行星的运动。
3．天体虽做椭圆运动，但它们的轨道十分接近圆。
为简化运算，一般把天体的运动当成匀速圆周运动来研究，椭圆的半长轴即为圆的半径。
则天体的运动遵从牛顿运动定律及匀速圆周运动的规律，如v＝ωr，F＝ma＝m v2r＝mrω2等。
例1如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为v a，则过近日点时的速率为()A．v b＝bav a B．v b＝abv aC．v b＝abv a D．v b＝bav a该题涉及开普勒哪条定律？其内容是什么？提示：开普勒第二定律。
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
尝试解答选C。
若行星从轨道的A点经足够短的时间t运动到A′点，则与太阳的连线扫过的面积可看作扇形，其面积S A＝a·v a t2；若行星从轨道的B点也经时间t运动到B′点，则与太阳的连线扫过的面积S B ＝b ·v b t 2；根据开普勒第二定律得a ·v a t 2＝b ·v b t 2，即v b ＝ab v a ，C 正确。
总结升华绕太阳沿椭圆轨道运行的行星在近日点线速度最大，越靠近近日点线速度越大，线速度大小与行星到太阳的距离成反比。
[跟踪训练] 木星的公转周期约为12年，若把地球到太阳的距离作为1天文单位，则木星到太阳的距离约为( ) A ．2天文单位 B ．4天文单位 C ．5.2天文单位 D ．12天文单位答案 C解析 木星、地球都环绕太阳按椭圆轨道运动，近似计算时可当成圆轨道处理，因此它们到太阳的距离可当成是绕太阳公转的轨道半径，根据开普勒第三定律r 3木T 2木＝r 3地T 2地得r木＝3T 2木T 2地·r 地≈5.2天文单位。
考点2 天体质量和密度的估算 [拓展延伸]1．自力更生法：利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。
(1)由G Mm R 2＝mg 得天体质量M ＝gR 2G 。
(2)天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g4πGR 。
2．借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T 。
(1)由G Mm r 2＝m 4π2r T 2得天体的质量M ＝4π2r 3GT 2。
(2)若已知天体的半径R ，则天体的密度 ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3。
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度。
例2 [2017·邢台市四模]为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R ，地球质量为m ，太阳与地球中心间距为r ，地球表面的重力加速度为g ，地球绕太阳公转的周期为T 。
则太阳的质量为( ) A.4π2r 3T 2R 2gB.T 2R 2g 4π2mr3C.4π2mgr 2r 3T 2D.4π2mr 3T 2R 2g(1)知道地球绕太阳公转的周期T 和太阳与地球中心间距r ，能求太阳质量吗？提示：能。
利用GMm r 2＝m 4π2T2r 。
(2)太阳质量的四个选项中没有引力常量G ，可以考虑用哪一信息替代？ 提示：地球表面重力加速度g ＝GmR 2。
尝试解答 选D 。
地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有GMm r 2＝m 4π2T 2r ，所以M ＝4π2r 3GT 2，地球表面物体m 0的重力来源于万有引力，有Gmm 0R 2＝m 0g ，所以G ＝gR 2m ，把G 代入M ＝4π2r 3GT 2，得M ＝4π2r 3gR 2m T 2＝4π2r 3mgR 2T 2，D 正确。
总结升华估算天体质量和密度时应注意的问题(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近的卫星才有r ≈R ；计算天体密度时，V ＝43πR 3中的R 只能是中心天体的半径。
[递进题组]1.若已知月球绕地球运动可近似看作匀速圆周运动，并且已知月球的轨道半径为r ，它绕地球运动的周期为T ，引力常量是G ，由此可以知道( ) A ．月球的质量m ＝π2r 3GT 2B ．地球的质量M ＝4π2r 3GT 2C ．月球的平均密度ρ＝3πGT 2D ．地球的平均密度ρ′＝3πGT 2答案 B解析 对月球有GMm r 2＝m ·4π2T 2r ，可得地球质量M ＝4π2r 3GT 2，月球质量无法求出，其密度也无法计算，故B 正确，A 、C 错误；因不知道地球自身半径，故无法计算密度，故D 错误。
2．[2017·唐山一模]美国航天局与欧洲航天局合作，发射的火星探测器已经成功登录火星。
荷兰企业家巴斯兰斯多普发起的“火星一号”计划打算将总共24人送上火星，创建一块长期殖民地。
若已知万有引力常量G ，那么在下列给出的各种情景中，能根据测量的数据求出火星密度的是( )A ．在火星表面使一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H 和时间tB ．火星探测器贴近火星表面做匀速圆周运动，测出运行周期TC ．火星探测器在高空绕火星做匀速圆周运动，测出距火星表面的高度H 和运行周期TD ．观察火星绕太阳的匀速圆周运动，测出火星的直径D 和运行周期T 答案 B解析 由GMm R 2＝mg ，ρ＝M 43πR 3得：ρ＝3g 4πGR ，由H ＝12gt 2 得出g ，却不知火星半径，A 错误。
由GMm r 2＝m 4π2T 2r ，ρ＝M 43πR 3得：ρ＝3πr 3GT 2R 3。
当r ＝R 时ρ＝3πGT2，B 正确，不知火星半径，C 错误。
D 选项中心天体是太阳，据给出的数据无法计算火星质量，也就不能计算火星密度，故D 错误。
考点3 人造卫星的运动规律 [深化理解]1．人造卫星的运动规律(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。
(2)两条思路①万有引力提供向心力，即G Mmr2＝ma 。
②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即GMmR 2＝mg 或gR 2＝GM (R 、g 分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR 2＝GM 应用广泛，被称为“黄金代换”。
(3)地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆)物理量 推导依据 表达式 最大值或最小值线速度 G Mmr 2＝m v 2r v ＝ GM r 当r ＝R 时有最大值，v ＝7.9km/s角速度 G Mmr 2＝mω2r ω＝ GMr 3 当r ＝R 时有最大值周期 G Mmr 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r T ＝2πr 3GM当r ＝R 时有最小值，约85 min 向心 加速度 G Mmr2＝ma 向 a 向＝GMr2当r ＝R 时有最大值，最大值为a ＝g轨道 平面圆周运动的圆心与中心天体中心重合共性：半径越小，运动越快，周期越小(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h ＝86400 s 。
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。
(4)高度一定：据G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得r ＝ 3GMT 24π2＝4.23×104 km ，卫星离地面高度h ＝r －R ≈6R (为恒量)。
(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。
3．极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s 。