平面向量的数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
第六节 平面向量数量积的坐标学习目标：1．掌握两个向量数量积的坐标表示，能通过两个向量的坐标进行两个向量数量积的运算．2．能运用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用这一条件去判断两个向量的垂直关系．3．能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决处理有关长度、角度、垂直等问题．重点、难点：重点：两个向量数量积的坐标表示，向量的长度公式，两个向量垂直的条件．难点：对向量的长度公式，两个向量垂直条件的灵活运用．学习过程：(一) 课前预习检查1.设单位向量j i ,分别与平面直角坐标系中的x 轴、y 轴方向相同，O 为坐标原点，若向量,23j i OA +=则向量OA 的坐标是 ，若向量)2,1(-=a ，则向量a 可用j i ,表示为 .2. 已知,1==j i ,j i ⊥,23j i a +=,j i b -==⋅b a .3. A 点坐标(x 1，y 1)，B 点坐标(x 2，y 2),_____,=AB ______,=BA ．.______=AB4. (1) ______;=⋅b a(2) _____;______;==⋅a a a(3) .______cos ______;=⇔⊥θb a 5. 向量的数量积满足哪些运算律？(二） 提出问题，揭示课题我们学过向量的加法、减法、数乘向量可以用它们相应的坐标来运算,那么怎样用b a 和的坐标来表示b a ⋅呢？ (三） 新课探究1. 平面向量数量积的坐标表示问题1：如图，i 是x 轴方向上的单位向量,j 是y 轴方向上的单位向量,请计算下列式子：(1) ____,=⋅i i (2) ____,=⋅j j(3) ____,=⋅j i (4) .____=⋅j j问题2：如何推导b a ⋅的坐标公式.已知非零向量),(),,(2211y x b y x a == ，设j i 和分别是x 轴和y 轴方向上的单位向量,则有,11j y i x a += j y i x b 22+=)()(2211j y i x j y i x b a +⋅+=⋅∴j j y y i j y x j i y x i i x x ⋅+⋅+⋅+⋅=211221210,1,122=⋅=⋅==i j j i j i2121y y x x b a +=⋅∴两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和.2. 向量的模和两点间的距离公式(1) 向量的模.,),,(22222y x a y x a y x a +=+== 或则设（2）两点间的距离公式.)()(),,(),(2212212211y y x x AB y x B y x A -+-=则、设3. 两向量垂直和平行的坐标表示（1）垂直 0=⋅⇔⊥b a b a0)(),(21212,21,1=+⇔⊥==y y x x b a y x b y x a 则设（2）平行 0//)(),(12212,21,1=-⇔==y x y x b a y x b y x a 则设4. 两向量夹角公式的坐标运算.c o s ,180000ba b a b a ⋅=≤≤θθθ则）（的夹角为和设 .c o s ,1800),(),,(222221212121002,211y x y x y y x x b a y x b y x a +⋅++=≤≤==θθθ则）（的夹角为和设.0,022222121≠+≠+y x y x 其中 (四）讲解例题 探究新知例1. 已知)1,1(),32,1(=+-=b a ，求.,,θ的夹角和b a b a b a ⋅⋅解： ,311)32(11+=⨯++⨯-=⋅b a322)32()1(22+=++-=a ， 21122=+=b)31(23242+=+=⋅∴b a,21)31(231c o s =++=θ001800≤≤θ 060=∴θ 例2. 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断ABC ∆的形状，并给出证明. 证明： )3,3()25,12(),1,1()23,12(-=---==--=AC AB031)3(1=⨯+-⨯=⋅∴AC ABAC AB ⊥∴是直角三角形A B C ∆∴变式：.),,1(),3,2(的值求实数中，在k k OB OA OAB Rt ==∆例3. 求以点C(a,b)为圆心,r 为半径的圆的方程.解: 设M(x,y)是圆C 上一点,则CM |=r,即 2r CMCM =⋅因为 (),,b y a x CM--= 所以()()222r b y a x =-+-,即为圆的标准方程.如果圆心在坐标原点上,这时a=0,b=0,那么圆的标准方程就是.222r y x =+由解析几何知给定斜率为k 的直线l ,则向量),1(k m = 与直线l 共线,我们把与直线l 共线的非零向量m 称为直线l 的方向向量.例4 已知直线01243:1=-+y x l 和0287:2=-+y x l ,求直线1l 和2l 的夹角.解: 任取直线1l 和2l 的方向向量)43,1(-=m 和)7,1(-=n . 设向量m 与n 的夹角为θ, 因为θcos n m n m =⋅,从而,22)7(1)43(1)7()43(11cos 2222=-+⨯-+-⨯-+⨯=θ 所以θ=45°,即直线1l 和2l 的夹角为45°.（五） 课堂练习1. 已知)1,1(),432,2(=-=b a ，求.,θ的夹角和b a b a ⋅2. 已知),9,6(),2,3(-==b a 求证.b a ⊥3. 若),6,5(),3,4(=-=b a 则.___432=⋅-b a a4. 若),3,(),1,3(-==x b a ，且b a ⊥，则实数.____=x5. 若),7,4(),3,2(-==b a ，则b a 在方向上的投影是 ；6. 若()2,4=a ，则与a 垂直的单位向量的坐标是 ；（六） 小结：平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.（七） 布置作业 课后巩固1. 已知三点()()(),7,6,3,2,5,7-C B A ，求证：ABC ∆直角三角形.2. 已知),5,(),0,3(k b a == ，.1350的值，求的夹角是与且k b a3. 已知直线017618:1=-+y x l 和09105:2=-+y x l ,求直线1l 和2l 的夹角.。
平面向量数量积的坐标表示
VS
计算力的合成与分解
利用向量的坐标表示，可以将多个力进行 合成与分解，方便对物体进行受力分析。
在工程中的应用
描述物体的运动
在工程中，物体的运动可以看作是向量的 变化过程，通过引入向量的坐标表示，可 以更精确地描述物体的运动轨迹。
向量场的旋度和散度
• 旋度的性质：旋度具有方向性，其方向与向量场在该点的旋转方向一致；旋度的模长等于向量场在该点的 旋转强度。
• 散度的定义：散度是一个标量，表示向量场中某点处的发散程度。对于一个向量场$\mathbf{F} = (u, v, w)$，其在某点$(x, y, z)$处的散度为$
• abla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}$。
坐标表示的意义
通过坐标系来表示向量的位置和方向，进而可以直观地理解数量积的几计算
通过坐标表示可以方便地计算向量的长度，即向量的模。
向量夹角的计算
通过坐标表示可以求出两个向量的夹角，进而可以计算出它们 的数量积。
向量投影的计算
通过坐标表示可以求出一个向量在另一个向量上的投影，进而 可以计算出它们的数量积。
曲线和曲面的切线方向
• 切线方向的确定：切线方向是指曲线或曲面上某一点处的最速上升方向或最速下降方向。在二维平面上， 曲线在某一点的切线方向是该点函数值变化最快的方向。
• 切线方向的计算：对于曲线$y = f(x)$，在某一点$(x_0, y_0)$处的切线方向向量为$(1, f'(x_0))$；对于曲面 $z = f(x,y)$，在某一点$(x_0, y_0, z_0)$处的切线方向向量为$(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0), 1)$。
平面向量数量积的坐标表示
求两向
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
已知向量a,b的夹角θ的范围,求参数的取值范围时,可利用性质:①0°≤θ<90°⇔ a·b>0;②90°<θ≤180°⇔a·b<0.
3.解决投影向量问题的方法 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a在b方向上的投影向量为 · =
. ,
.
平面向量数量积的坐标表示
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” .
1.向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积仍是向量,其坐标为(x1x2,y1y2). ( ✕ ) 2.| |的计算公式与A,B两点间的距离公式是一致的. ( √ )
3.若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角为锐角,则x1x2+y1y2>0;反之,若非零向量a=(x1, y1),b=(x2,y2)满足x1x2+y1y2>0,则它们的夹角为锐角. ( ✕ )
.
其中的真命题为 ②③ .(填序号)
思路点拨 根据平面向量的夹角、模及投影向量公式求解.
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
解析 对于①,∵a=(1,2),b=(1,1), ∴a+λb=(1+λ,2+λ). ∵a与a+λb的夹角为锐角,
∴
解得
∴λ的取值范围为
∪(0,+∞),故①错误.
对于②,∵a⊥c,∴2x-4=0,解得x=2.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
1.能用坐标表示平面向量的数量积,会求两个平面向量的夹角. 2.会用两个向量的坐标判断它们是否垂直. 3.会利用平面向量的数量积解决判断图形形状的问题,进一步体会数形结合的 思想方法.
平面向量数量积及坐标表示
a b 13 20 7
练习：课本P1071、2、3.
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
y B(2,3) A(1,2) x
0
C(-2,5) 证明 :AB (2 1,3 2) (1,1)
AC (2 1,5 2) (3,3)
2.4 平面向量的数量积 及运算律
一、平面向量数量积的定义: 已知两个非零向量 a 和 b ，我们把数量 | a || b | cos q 叫做a与 b的数量积 ( 或内积 ) ( 或点积 )
a a
A
记作 a b , 即 a b a b cos q . 其中，q 是 a与b 的夹角
的夹角为 600， 例3 已知 a 6， 4，a与b b 求( 2b ) (a - 3b ) a . 2 2 解：( 2b ) ( - 3b ) a a b 6b a a 2 2 | a | a b 6 | b |
4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b 的夹角为q（0 q
a b ab
设a x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 且a与b夹角为q， （ (0 q 180 )则 cos q
2 1 2 1 2 2
x1 x2 y1 y2 x y x y
提高练习
1、已知OA (3,1)， (0,5)，且 AC // OB， OB BC AB ，则点C的坐标为
29 C (3, ) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形 .
平面向量数量积的坐标
平面向量数量积的坐标表示教学目标：掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示.教学难点：向量数量积的坐标表示的应用.教学过程：首先我们推导平面向量的数量积坐标表示：记a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，∴a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )(x 2i ＋y 2j )＝x 1x 2i 2＋(x 1y 2＋x 2y 1)i ·j ＋y 1y 1j 2＝x 1x 2＋y 1y 21.平面向量数量积的坐标表示：已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 22.两向量垂直的坐标表示：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0［例1］已知a ＝(1， 3 )，b ＝( 3 ＋1， 3 －1)，则a 与b 的夹角是多少?分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝(1， 3 )，b ＝( 3 ＋1， 3 －1)有a ·b ＝ 3 ＋1＋ 3 ( 3 －1)＝4，｜a ｜＝2，｜b ｜＝2 2 .记a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b ｜a ｜｜b ｜＝22 又∵0≤θ≤π， ∴θ＝π4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.［例2］已知a ＝(3，4)，b ＝(4，3)，求x ，y 的值使(x a ＋y b )⊥a ，且｜x a ＋y b ｜＝1. 分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由a ＝(3，4)，b ＝(4，3)，有x a ＋y b ＝(3x ＋4y ，4x ＋3y )又(x a ＋y b )⊥a ⇔(x a ＋y b )·a ＝0⇔3(3x ＋4y )＋4(4x ＋3y )＝0即25x ＋24y ＝0 ① 又｜x a ＋y b ｜＝1⇔｜x a ＋y b ｜2＝1⇔(3x ＋4y )2＋(4x ＋3y )2＝1整理得：25x 2＋48xy ＋25y 2＝1即x (25x ＋24y )＋24xy ＋25y 2＝1 ② 由①②有24xy ＋25y 2＝1 ③将①变形代入③可得：y ＝±57再代入①得：x ＝2435∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==753524y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=753524y x［例3］在△ABC 中，AB →＝(1，1)，AC →＝(2，k )，若△ABC 中有一个角为直角，求实数k 的值.解：若A ＝90°，则AB →·AC →＝0，∴1×2＋1×k ＝0，即k ＝－2若B ＝90°，则AB →·BC →＝0，又BC →＝AC →－AB →＝(2，k )－(1，1)＝(1，k －1)即得：1＋(k －1)＝0，∴k ＝0若C ＝90°，则AC →·BC →＝0，即2＋k (k －1)＝0，而k 2－k ＋2＝0无实根，所以不存在实数k 使C ＝90°综上所述，k ＝－2或k ＝0时，△ABC 内有一内角是直角.评述：本题条件中无明确指出哪个角是直角，所以需分情况讨论.讨论要注意分类的全面性，同时要注意坐标运算的准确性.［例4］已知：O 为原点，A (a ，0)，B (0，a )，a 为正常数，点P 在线段AB 上，且AP →＝tAB → (0≤t ≤1)，则OA →·OP →的最大值是多少?解：设P (x ，y )，则AP →＝(x －a ，y )，AB →＝(－a ，a )，由AP →＝tAB →可有：⎩⎨⎧=-=-at y at a x ，解得⎩⎨⎧=-=at y at a x ∴OP →＝(a －at ，at )，又OA →＝(a ，0)，∴OA →·OP →＝a 2－a 2t∵a ＞0，可得－a 2＜0，又0≤t ≤1，∴当t ＝0时，OA ·OP →＝a 2－a 2t ，有最大值a 2.［例5］已知｜a ｜＝3，｜b ｜＝2，a ，b 夹角为60°，m 为何值时两向量3a ＋5b 与m a －3b 互相垂直？解法：(3a ＋5b )·(m a －3b )＝3m ｜a ｜2－9a ·b ＋5m a ·b －15｜b ｜2＝27m ＋(5m －9)×3×2cos60°－15×4＝42m －87＝0∴m ＝8742 ＝2914时，(3a ＋5b )⊥(m a －3b ).1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝__________.解析：∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a －b )·c ＝30，∴(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30.∴x ＝4.答案：42．已知a ＝(－5,5)，b ＝(0，－3)，则a 与b 的夹角为________．解析：∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1552×3＝－22.∴θ＝3π4. 答案：3π43．已知向量a ＝(2,4)，b ＝(1,1)，若向量b ⊥(a ＋λb )，则实数λ的值是__________． 解析：b ·(a ＋λb )＝b ·a ＋λb ·b ＝2×1＋4×1＋2λ＝0⇒λ＝－3.答案：－34．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于__________． 解析：2a －b ＝(3，n )，由2a －b 与b 垂直可得(3，n )·(－1，n )＝－3＋n 2＝0，∴n 2＝3，|a |＝2.答案：2一、填空题1．已知向量a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a ·b ＝5，则向量b ＝______.解析：设b ＝(m ，n )，则由a ·b ＝5得4m －3n ＝5， ①又因为|b |＝1，所以m 2＋n 2＝1， ②由①②可得(5n ＋3)2＝0，∴n ＝－35， ∴⎩⎨⎧m ＝45，n ＝－35. ∴b ＝⎝⎛⎭⎫45，－35. 答案：⎝⎛⎭⎫45，－35 2．已知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，a ＝i －2j ，b ＝i ＋m j ，给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则m ＜12；②当且仅当m ＝12时，a 与b 互相垂直；③a 与b 不可能是方向相反的向量；④若|a |＝|b |，则m ＝－2.其中正确命题的序号为__________．(把所有正确命题的序号全填上)答案：②③3．设向量a ＝(1,2)，b ＝(x, 1)，当向量a ＋2b 与2a －b 平行时，a ·b 等于__________． 解析：a ＋2b ＝(1＋2x,4)，2a －b ＝(2－x,3)，∵a ＋2b 与2a －b 平行，∴(1＋2x )×3－4×(2－x )＝0，∴x ＝12，a ·b ＝(1,2)·⎝⎛⎭⎫12，1＝1×12＋2×1＝52. 答案：524．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角是__________．解析：设c ＝(x ，y )，则(a ＋b )·c ＝(－1，－2)·(x ，y )＝－x －2y ＝52，又|c |＝5，且a ·c ＝x ＋2y ＝|a ||c |·cos α，故cos α＝－12，α＝120°. 答案：120°5．若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b ＝__________. 解析：a 与b 共线且方向相反，∴b ＝λa (λ＜0)，设b ＝(x ，y )，则(x ，y )＝λ(1，－2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，y ＝－2λ.由|b |＝35，得x 2＋y 2＝45，即λ2＋4λ2＝45，解得λ＝－3，∴b ＝(－3,6)． 答案：(－3,6)6．以原点O 及点A (5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB ，使∠A ＝90°，则AB →的坐标为__________．解析：设AB →＝(x ，y )，则有|OA →|＝|AB →|＝52＋22＝x 2＋y 2，①又由OA →⊥AB →，得5x ＋2y ＝0，②由①②联立方程组，解得x ＝2，y ＝－5或x ＝－2，y ＝5.答案：(－2,5)或(2，－5)7．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P 使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是__________．解析：设点P 的坐标为(x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1).AP →·BP →＝(x －2)(x－4)＋(－2)(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1，∴点P 的坐标为(3,0)．答案：(3,0)8．直角坐标平面内有三点A (1,2)、B (3，－2)、C (9,7)，若E 、F 为线段BC 的三等分点，则AE →·AF →＝__________.解析：∵BC →＝(6,9)，∴BE →＝13BC →＝(2,3)，BF →＝23BC →＝(4,6)． 又AB →＝(2，－4)，∴AE →＝AB →＋BE →＝(4，－1)，AF →＝AB →＋BF →＝(6,2)，∴AE →·AF →＝4×6＋(－1)×2＝22.答案：22二、解答题9．平面内三个点A ，B ，C 在一条直线上，且OA →＝(－2，m )，OB →＝(n,1)，OC →＝(5，－1)，且OA →⊥OB →，求实数m ，n 的值．解：∵A ，B ，C 三点在同一直线上，∴AC →∥AB →.∵OA →＝(－2，m )，OB →＝(n,1)，OC →＝(5，－1)，∴AC →＝OC →－OA →＝(7，－1－m )，AB →＝OB →－OA →＝(n ＋2,1－m )，∴7(1－m )－(n ＋2)·(－1－m )＝0，即mn －5m ＋n ＋9＝0.①∵OA →⊥OB →，∴(－2)×n ＋m ×1＝0，即m －2n ＝0.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝6n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，n ＝32.10．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时：(1)k a ＋b 与a －3b 垂直？(2)k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们同向还是反向？解：(1)k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．当(k a ＋b )·(a －3b )＝0时，这两个向量垂直．由(k －3)×10＋(2k ＋2)×(－4)＝0.解得k ＝19，即当k ＝19时，k a ＋b 与a －3b 垂直．(2)当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在惟一的实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)，得：⎩⎪⎨⎪⎧ k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得⎩⎨⎧k ＝－13，λ＝－13. 所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行， 因为λ＜0，所以－13a ＋b 与a －3b 反向． 11．已知c ＝m a ＋n b ＝(－23，2)，a 与c 垂直，b 与c 的夹角为120°，且b ·c ＝－4，|a |＝22，求实数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ.解：∵a 与c 垂直，∴a ·c ＝0.又∵c ＝m a ＋n b ，∴c ·c ＝m a ·c ＋n b ·c ，∴12＋4＝－4n ，∴n ＝－4.∵b ·c ＝|b ||c |cos120°，∴－4＝|b |×4×⎝⎛⎭⎫－12，∴|b |＝2. ∴a ·c ＝m a 2－4a ·b ，|a |＝22，∴a ·b ＝2m .又b ·c ＝m (a ·b )－4b 2，∴－4＝2m 2－16，∴m 2＝6，∴m ＝±6.当m ＝6时，a ·b ＝2 6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝2622×2＝32，∴θ＝π6. 当m ＝－6时，a ·b ＝－2 6.∴cos θ＝－32，∴θ＝5π6. 因此m ＝6，n ＝－4时，θ＝π6； m ＝－6，n ＝－4时，θ＝5π6.平面向量数量积的坐标表示1．在已知a ＝(x ，y ），b ＝(－y ，x )，则a ，b 之间的关系为2．已知a ＝（－4，3），b ＝(5，6），则3|a |2－4a ·b 为 （ ）3．若a ＝（－3，4），b ＝(2，－1），若（a －x b )⊥（a －b )，则x 等于 （ ）4．若a ＝（λ，2），b ＝(－3，5），a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为 （ ）5．已知a ＝（－2，1），b ＝（－2，－3），则a 在b 方向上的投影为 （ ）6．已知向量c 与向量a ＝（ 3 ，－1）和b ＝（1， 3 ）的夹角相等，c 的模为 2 ，则 c ＝ .7．若a ＝（3，4），b ＝(1，2）且a ·b ＝10，则b 在a 上的投影为 .8．设a ＝（x 1，y 1)，b ＝(x `2，y `2)有以下命题：①|a |＝x 12＋y 12 ②b 2＝x 22＋y 22 ③a ·b ＝x 1x `2＋y 1y `2 ④a ⊥b x 1x `2＋y 1y `2＝0，其中假命题的序号为 .9．已知A （2，1），B （3，2），D （－1，4），（1）求证：AB →⊥AD → ；（2）若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标.10．已知a ＝（3，－2），b ＝(k ，k ）（k ∈R)，t ＝|a －b |，当k 取何值时，t 有最小值？最小值为多少？11．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |的值.。
2022年第部分 第二章 § 平面向量数量积的坐标表示
由 a·b<0，得 1＋2λ<0，故 λ<－12， 由 a 与 b 共线得 λ＝2，故 a 与 b 不可能反向． 所以 λ 的取值范围为－∞，－12. (3)因为 a 与 b 的夹角为锐角， 所以 cos θ>0，且 cos θ≠1， 所以 a·b>0 且 a，b 不同向． 由 a·b>0，得 λ>－12，由 a 与 b 同向得 λ＝2. 所以 λ 的取值范围为－12，2∪(2，＋∞)．
3．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求： (1)(a＋b)2； (2)(a＋b)·(a－b)． 解：a＝(3，－1)，b＝(1，－2)， (1)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， ∴(a＋b)2＝|a＋b|2＝42＋(－3)2＝25.
(2)法一：∵a＝(3，－1)，b＝(1，－2)， ∴a2＝32＋(－1)2＝10，b2＝12＋(－2)2＝5， ∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝10－5＝5. 法二：∵a＝(3，－1)，b＝(1，－2)， ∴a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， a－b＝(3，－1)－(1，－2)＝(2,1)， ∴(a＋b)·(a－b)＝(4，－3)·(2,1) ＝4×2＋(－3)×1＝5.
8．已知 a＝(1,1)，b＝(0，－2)，当 k 为何值时， (1)ka－b 与 a＋b 共线； (2)ka－b 的模等于 10？
解：∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)， ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)． a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．
1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 应用该条件要注意：由a⊥b可得x1x2＋y1y2＝0；反过来，由 x1x2＋y1y2＝0可得a⊥b.
6-3-5 平面向量数量积的坐标表示(教学课件)-高中数学人教A版 (2019)必修第二册
我们发现是∆直角三角形.证明如下：
因为 = − , − = (, ),
= − − , − = (−, )
所以 ∙ = × − + × =
于是 ⊥
因此， ∆直角三角形
6.3.5 平面向量数量
积的坐标表示
引入
①
③
i i =
ij=
1
②
0
④
j j =
j i =
1
0
数量积坐标表示
因为a x1 i y1 j, b x2 i y2 j,
所以a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
2
方法一：AM·AN＝AD＋ AB·AB＋ AD
3
2
1 2 1 2
＝0＋ ×2 ＋ ×3 ＋0＝5.
2
3
→
→
方法二：以 A 为原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴的
正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
→
→
→ →
于是AM＝(1，2)，AN＝(3，1)，故AM·AN＝5.
例1
(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
①求a·(a－b)；
②求(a＋b)·(2a－b)；
③若c＝(2，1)，求(a·b)c.
①方法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，∴a－b＝(－4，0)．
∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
平面向量数量积的坐标表示
求k的值.
答案：(1)b (3 , 4)或b ( 3 , 4)
55
55
(2)( 2, 2 2)或( 2, 2 2) (3)k 5
提高练习
1、已知OA (3,1)，OB (0,5)，且AC // OB，
BC AB，则点C的坐标为
C(3, 29) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形.
如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角线垂直等.
5、两向量垂直、平行的坐标表示
a ＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则
a // b(b 0) a b x1 y2 x2 y1 0
a b a b 0 x1x2 y1 y2 0
例4:已知 a 1,2,b 3,2,当k取何值时,
3、已知 a = (1，2)，b = (-3，2)， 若k a +2 b 与 2 a - 4b 平行，则k = - 1.
小结：
（1）掌握平面向量数量积的坐标表示， 即两个向量的数量积等于它们对应坐标 的乘积之和；
（2）要学会运用平面向量数量积的坐标表 示解决有关长度、角度及垂直问题.
a ＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则
解：1） ka b k1,2 3,2 k 3,2k 2
a 3b 1,233,2 10,4
当ka b a 3b 0时 这两个向量垂直
由k 310 2k 2 4 0 解得k=19
2) 当ka b与a 3b平行时,存在唯一实数, 使ka b a 3b
得 k
1 3
1). k a b 与 a 3b 垂直? 2). k a b 与 a 3b 平行? 平行时它们是同向
还是反向?
高中数学必修4第二章第六节《平面向量数量积的坐标表示》
2b
2
2 2 x2 y2 , 3a b x1 x2 y1 y2 , 4a b x1 x2 y1 y2 0
其中假命题序号是:
(2)
4.若a 0,1, b 1,1且 a b a, 则实数的值是
A．-1 B.0 C.1 D.2
3、 cos
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y2
2
2
4、 a // b x1y2 x2 y1 0 5、 a b x1 x2 y1 y2 0
6、已知:A（x1,x2),B(x1,x2)则
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ,
学习目标：
1、理解掌握平面向量数量积的坐标表示、 向量的 夹角、模的 公式. 2、掌握两个向量垂直的坐标表示 3、能初步运用向量数量积的坐标表示 解决处理有关长度、垂直及夹角 的几 个问题.
基础训练题
1.有四个式子: 10 a 0, 20 a 0, 3a b a c b c,
a // b x1y2 x2 y1 0
a b x1 x2 y1 y2 0
例３:已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1)若a与b 的夹角为钝角,则λ取值范围是多少? 解：由题意可知： -1＜ cos
a b ab
＜0
∴λ∈（—
1 ，2）∪（2，+∞） 2
例４：已知A（1, 2）,B（2,3）,C（－2,5）试判 定△ABC的形状，并给出证明。
cos
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y2
2
2
例2:设a=(2,１),b=(１,３),求a· b及a 与b的夹角
2.4.2平面向量数量积的坐标表示黑底 -
2 2 y j x1 x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 1 2 2
x1 x2 y1 y2
a b x1 x2 y1 y2
例1 已知 a 5, b 4, a 与b 的夹角
=120 ，求a b.
解： a b= a b cos 5 4 cos120 10.
例2 a 3, 4 , b 5, 2 , 求a b.
解： a b -3 5 4 2 -7
问题二
已知一个向量的坐标, 能否利用坐标求出该向量的模 ? 2 2 2 1 若 a x , y , 则 a a a x y ,
AB =
x2 x1 + y2 y1 ，
2 2
即两点间的距离公式.Fra bibliotekx2 y2
2
2
.
例4 a 1,1 , b 3,3 , 求a 与 b的夹角 .
解： cos a b a b 1 （-3） +1 3 1 +1 （-3）+3
2 2 2 2
=0，
又因为0 180 ，所以 =90 .
小结
1. 设a x1 , y1 , b x2 , y2 , a与b的夹角为，则
① a b x1 x2 y1 y2
② a⊥b a b=0 x1x2 y1 y2 0
③a
④ cos
x
2 1
y
2 1
a b a b
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 2 y2 2
平面向量数量积的坐标表示 课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
又OA (1, 1) (O为坐标原点), 则OC OA AC (0, 3),所以点C(0, 3)
OD OA AD (3, 9), 所以点D的坐标为(3, 9)
OE OA AE (2, 1), 所以点E的坐标为(2, 1)
7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系? 证明你的猜想. A. A(1, 2), B(3, 4), C(2, 3.5); (2) P(1, 2), Q(0.5, 0), R(5, 6); (3) E(9, 1), F (1, 3), G(8, 0.5).
(2)由(1, 3) ( x 1, y 5), 得点B的坐标为(0, 8); (3)由(2, 5) ( x 3, y 7), 得点B的坐标为(1, 2)
4.已知平行四边形ABCD的顶点A(1, 2), B(3, 1), C(5, 6), 求顶点D 的坐标.
由题意知AD
BC
,
设D(
x,
(2) EF EG,
EF·EG
1 3
b
1 2
a
1 2
a
1 3
b
1 2 1 2 19 2 1 2 b a a a 0,
9 4 94 4
EF EG, 即EF EG
7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系? 证明你的猜想. A. A(1, 2), B(3, 4), C(2, 3.5); (2) P(1, 2), Q(0.5, 0), R(5, 6); (3) E(9, 1), F (1, 3), G(8, 0.5).
(3) E、F、G三点共线. 证明：因为EF (8, 4), EG (1, 0.5), 所以EF 8EG,因为直线EF与直线EG有公共点E, 所以E、F、G三点共线.
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一平面向量数量积的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.知识点二平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式知识点三平面向量夹角的坐标表示cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.思考若两个非零向量的夹角满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？答案不一定，当cos θ<0时，两向量的夹角θ可能是钝角，也可能是180°.1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1y2－x2y1＝0.(×)2．若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角．(×)提示当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0，不是锐角．3．两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a与b的夹角为0°.(×)题型一数量积的坐标运算例1(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于()A．10 B．－10C．3 D．－3考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案 B解析 a ＋2b ＝(4，－3)，a －3b ＝(－1,2)，所以(a ＋2b )·(a －3b )＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. (2)如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 在边CD 上，且DE →＝2EC →，则AE →·BE →的值是________．考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案329解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴、AD 所在直线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．∵AB ＝2，BC ＝2，∴A (0,0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0,2)， ∵点E 在边CD 上，且DE →＝2EC →，∴E ⎝⎛⎭⎫223，2.∴AE →＝⎝⎛⎭⎫223，2，BE →＝⎝⎛⎭⎫－23，2， ∴AE →·BE →＝－49＋4＝329.反思感悟 数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a |2＝a ·a .②(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2. ③(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，可先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．跟踪训练1 向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案 C解析 因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，所以2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，则(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C. 题型二 平面向量的模例2 已知平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)． (1)求a －2b 及其模的大小； (2)若c ＝a －(a ·b )b ，求|c |.考点 平面向量模的坐标表示与应用 题点 利用坐标求向量的模 解 (1)∵a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，∴a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， ∴|a －2b |＝72＋32＝58.(2)∵a ·b ＝－6＋5＝－1， ∴c ＝a ＋b ＝(1,6)， ∴|c |＝12＋62＝37.反思感悟 求向量a ＝(x ，y )的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a 2＝|a|2＝x 2＋y 2，求模时，勿忘记开方． (2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2＝x 2＋y 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．跟踪训练2 已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( ) A. 5 B.10 C ．5 D ．25 考点 平面向量模的坐标表示与应用 题点 利用坐标求向量的模 答案 C解析 ∵a ＝(2,1)，∴a 2＝5， 又|a ＋b |＝52，∴(a ＋b )2＝50， 即a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，∴5＋2×10＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5.题型三 平面向量的夹角与垂直问题命题角度1 向量的夹角例3 已知点A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，O (0,0)，若|OA →＋OC →|＝13，α∈(0，π)，则OB →，OC →的夹角为( ) A.π2 B.π4 C.π3 D.π6考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 求坐标形式下的向量的夹角 答案 D解析 因为|OA →＋OC →|2＝(OA →＋OC →)2＝OA →2＋2OA →·OC →＋OC →2＝9＋6cos α＋1＝13， 所以cos α＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3，所以C ⎝⎛⎭⎫12，32，所以cos 〈OB →，OC →〉＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝3×323×1＝32，因为0≤〈OB →，OC →〉≤π，所以〈OB →，OC →〉＝π6，所以OB →，OC →的夹角为π6，故选D.反思感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积． (2)利用|a |＝x 2＋y 2求两向量的模．(3)代入夹角公式求cos θ，并根据θ的范围确定θ的值．跟踪训练3 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围． 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.又∵a ，b 的夹角α为钝角，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1<0，2·1＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0.∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)． 命题角度2 向量的垂直例4 在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值． 考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用 题点 已知向量垂直求参数 解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )， ∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132.反思感悟 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．跟踪训练4 已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，若向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A.17 B ．－17 C.16 D ．－16考点 向量平行与垂直的坐标表示与应用 题点 已知向量垂直求参数 答案 B解析 由向量λa ＋b 与a －2b 垂直，得 (λa ＋b )·(a －2b )＝0.因为a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)， 所以(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0， 即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17.向量的坐标在解三角形中的应用典例 如图，已知△ABC 的面积为32，AB ＝2，AB →·BC →＝1，求边AC 的长．解 以点A 为坐标原点，AB →为x 轴正方向建立平面直角坐标系，设点C 的坐标为(x ，y )(y >0)， ∵AB ＝2，∴点B 的坐标是(2,0)， ∴AB →＝(2,0)，BC →＝(x －2，y )． ∵AB →·BC →＝1，∴2(x －2)＝1，解得x ＝52.又S △ABC ＝32，∴12·|AB |·y ＝32，∴y ＝32，∴C 点坐标为⎝⎛⎭⎫52，32，则AC →＝⎝⎛⎭⎫52，32， ∴|AC →|＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322＝342， 故边AC 的长为342. [素养评析] 本题通过建立直角坐标系，从而建立形与数的联系．利用平面向量的坐标解决线段的长度问题，提升了学生数形结合的能力，培养了学生数学运算及直观想象的数学核心素养．1．已知a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，则a 与b 夹角的余弦值为( ) A.6365 B.65 C.135D.13 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 求坐标形式下的向量的夹角 答案 A 解析 |a |＝32＋42＝5，|b |＝52＋122＝13.a·b ＝3×5＋4×12＝63.设a ，b 夹角为θ，所以cos θ＝635×13＝6365.2．若向量a ＝(x ,2)，b ＝(－1,3)，a·b ＝3，则x 等于( ) A ．3 B ．－3 C.53 D ．－53考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 已知数量积求参数答案 A解析 a·b ＝－x ＋6＝3，故x ＝3.3．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 已知向量垂直求参数答案 B解析 因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.4．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于( )A ．(－3,6)B ．(3，－6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 平面向量模与夹角的坐标表示的综合应用答案 A解析 由题意设b ＝λa ＝(λ，－2λ)(λ<0)，则|b |＝λ2＋(－2λ)2＝5|λ|＝35，又λ<0，∴λ＝－3，故b ＝(－3,6)．5．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．求证：AB ⊥AD .证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)．又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .6．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角的余弦值；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 已知向量垂直求参数解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝529.1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”而忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.一、选择题1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 求坐标形式下的向量的夹角答案 B解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝510×5＝22.又∵a ，b 的夹角范围为[0，π]．∴a 与b 的夹角为π4.2．设向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a·b ＝0C ．a ∥bD ．(a －b )⊥b考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 向量垂直的坐标表示的综合应用答案 D解析 a －b ＝(1，－1)，所以(a －b )·b ＝1－1＝0，所以(a －b )⊥b .3．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为() A. 3 B ．3 C ．－ 3 D ．－3考点 平面向量投影的坐标表示与应用题点 平面向量投影的坐标表示与应用答案 D解析 向量a 在b 方向上的投影为a·b |b|＝－62＝－3.故选D. 4．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4考点 平面向量模与夹角的坐标表示与应用题点 利用坐标求向量的模答案 C解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n 2＝3，∴|a |＝12＋n 2＝2.5．若a ＝(2，－3)，则与向量a 垂直的单位向量的坐标为() A ．(3,2)B.⎝⎛⎭⎫31313，21313C.⎝⎛⎭⎫31313，21313或⎝⎛⎭⎫－31313，－21313D ．以上都不对考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 向量垂直的坐标表示的综合应用答案 C解析 设与a 垂直单位向量的坐标为(x ，y )，∵(x ，y )是单位向量的坐标形式，∴x 2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝1，①又∵(x ，y )表示的向量垂直于a ，∴2x －3y ＝0，②由①②得⎩⎨⎧ x ＝31313，y ＝21313或⎩⎨⎧ x ＝－31313，y ＝－21313.6．已知a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，且k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，则k 等于( )A ．－1＋ 3B ．－2C ．－1±3D ．1考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数答案 C解析 ∵|k a －b |＝k 2＋(k ＋2)2， |a ＋b |＝12＋(－1)2＝2，∴(k a －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1)＝k －k －2＝－2，又k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，∴cos 120°＝(k a －b )·(a ＋b )|k a －b ||a ＋b |， 即－12＝－22×k 2＋(k ＋2)2，化简并整理，得k 2＋2k －2＝0，解得k ＝－1±3.7．已知OA →＝(－2,1)，OB →＝(0,2)且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是( )A ．(2,6)B ．(－2，－6)C ．(2，－6)D ．(－2,6)考点 向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用答案 D解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2,1)，∵AC →∥OB →，∴2(x ＋2)＝0，①∵BC →⊥AB →，∴2x ＋y －2＝0，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6，∴C (－2,6)． 8．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，m )，其中m 为实数，则当a 与b 的夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12内变动时，实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝⎛⎭⎫33，3C.⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3) D ．(1，3)考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数答案 C解析 如图，作OA →＝a ，则A (1,1)．作OB 1→，OB 2→，使∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12， 则∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6， ∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3， 故B 1⎝⎛⎭⎫1，33，B 2(1，3)． 又a 与b 的夹角不为0，故m ≠1.由图可知实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)． 二、填空题9．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 坐标形式下的数量积运算答案 1解析 a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.10．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.考点 平面向量模的坐标表示与应用题点 利用坐标求向量的模答案 8 2解析 由题意可得a·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2.11．设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量m ，n 之间的一个运算“⊗”为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q 的坐标为________．考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 已知数量积求向量的坐标答案 (－2,1)解析 设q ＝(x ，y )，则p ⊗q ＝(x －2y ，y ＋2x )＝(－4，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－4，y ＋2x ＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴q ＝(－2,1)． 12．已知向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)(O 为坐标原点)，设M 为直线y ＝12x 上的一点，那么MA →·MB →的最小值是________．考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 坐标形式下的数量积运算答案 －8解析 设M ⎝⎛⎭⎫x ，12x ， 则MA →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，7－12x ，MB →＝⎝⎛⎭⎫5－x ，1－12x ， MA →·MB →＝(1－x )(5－x )＋⎝⎛⎭⎫7－12x ⎝⎛⎭⎫1－12x ＝54(x －4)2－8. 所以当x ＝4时，MA →·MB →取得最小值－8.三、解答题13．(2018·安徽芜湖质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)．(1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ；(2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值．考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用解 (1)∵c ＝4(1,2)＋(2，－2)＝(6,6)，∴b ·c ＝(2，－2)·(6,6)＝2×6－2×6＝0，∴(b ·c )a ＝0·a ＝0.(2)∵a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(1＋2λ，2－2λ)，(a ＋λb )⊥a ，∴(1＋2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝52.14．已知OA →＝(4,0)，OB →＝(2,23)，OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →(λ2≠λ)． (1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，且当AB →＝BC →时，求λ的值；(3)求|OC →|的最小值．考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 平面向量模的坐标表示的综合应用解 (1)OA →·OB →＝8，设OA →与OB →的夹角为θ，则cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝84×4＝12， ∴OA →在OB →上的投影为|OA →|cos θ＝4×12＝2. (2)AB →＝OB →－OA →＝(－2,23)，BC →＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →，又因为BC →与AB →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线． 当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ(1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎫λ－122＋12， ∴当λ＝12时，|OC →|取最小值2 3.。
学案4：6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示【知识导图】【学法指导】1.学习了本节后，我们在用向量处理平面图形问题时就有了两种方法，通过一题两解，体会基底法和坐标法的优劣及选择依据．2．通过数形结合，对向量平行与垂直条件的坐标表示的类比，培养学生联想的记忆方法.【自主预习】1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ. 数量积两个向量的数量积等于它们 的和，即a ·b ＝ 两个向量垂直 a ⊥b ⇔状元随笔 对数量积的坐标表示的理解(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和；(2)引入坐标运算后，使得平面向量数量积的运算和两个向量的坐标运算联系起来，从而使得向量的工具性作用更强；(3)平面向量的坐标可以把几何问题转化为代数问题，用向量的坐标运算来实现几何问题的求解，数形结合的思想在数量积的应用中将体现更多．2．三个重要公式向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝ x 21＋y 21两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22状元随笔 对向量模长公式的理解(1)模长公式是数量积的坐标表示a →·b →＝x 1x 2＋y 1y 2的一种特例，当a →＝b →时，则可得|a →|2＝x 21＋y 21； (2)若点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，所以|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，即|AB →|的实质是A ，B 两点间的距离或线段AB 的长度，这也是模的几何意义．【基础自测】1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，满足x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a ，b 的夹角为0°.( )(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．( )(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．( )2．已知a ＝(－3,4)，b ＝(5,2)，则a ·b 的值是( )A ．23B ．7C ．－23D ．－7 3．已知a ＝(－2,1)，b ＝(x ，－2)，且a ⊥b ，则x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．24．已知a ＝(1，3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋b |＝________.【课堂探究】类型一 数量积的坐标运算例1 (1)设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3,4)，向量c ＝(3,2)，则向量(a ＋2b )·c ＝( )A ．(－15,12)B ．0C ．－3D ．－11(2)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，x )，且a ·b ＝－1，则x 的值等于( )A.12B ．－12 C.32 D ．－32方法归纳数量积坐标运算的两个途径一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．跟踪训练1 已知a ＝(2，－1)，b ＝(3,2)，若存在向量c ，满足a ·c ＝2，b ·c ＝5，则向量c ＝________.类型二 平面向量的模例2 (1)设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ∥b ，则|a ＋b |＝( ) A.5 B.52C ．25D ．5(2)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________.方法归纳求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2.跟踪训练2 (1)设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于( )A.5B.6C.17D.26(2)已知|a |＝10，b ＝(1,2)，且a ·b ＝10，则a 的坐标为______．类型三 平面向量的夹角(垂直)例3 (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为() A.30° B ．60°C ．120°D ．150°(2)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，若λa －2b 与a 垂直，则实数λ等于________． 方法归纳利用数量积求两向量夹角的步骤数量积：利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积.模：利用|a |＝计算出这两个向量的模.余弦值：由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22直接求出cos θ的值.角：在0≤θ≤π内，由cos θ的值求角θ.跟踪训练3已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.(1)求b与c；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．【参考答案】【自主预习】1. 对应坐标的乘积x 1x 2＋y 1y 2 x 1x 2＋y 1y 2＝0【基础自测】1．答案：(1)× (2)√ (3)×2．解析：由数量积的计算公式得，a ·b ＝(－3,4)·(5,2)＝－3×5＋4×2＝－7.答案：D3．解析：由题意，a ·b ＝(－2,1)·(x ，－2)＝－2x －2＝0，解得x ＝－1.答案：A4．解析：因为a ＋b ＝(－1, 3)，所以|a ＋b |＝(－1)2＋(3)2＝2.答案：2【课堂探究】类型一 数量积的坐标运算例1【解析】 (1)依题意可知，a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，所以(a ＋2b )·c ＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.(2)因为a ＝(1,2)，b ＝(2，x )，所以a ·b ＝(1,2)·(2，x )＝1×2＋2x ＝－1，解得x ＝－32. 【答案】 (1)C (2)D跟踪训练1解析：设c ＝(x ，y )，因为a ·c ＝2，b ·c ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝2，3x ＋2y ＝5，解得⎩⎨⎧ x ＝97，y ＝47，所以c ＝⎝⎛⎭⎫97，47.答案：⎝⎛⎭⎫97，47类型二 平面向量的模例2【解析】 (1)因为a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ∥b ，所以－2x －1×1＝0，解得x ＝－12. 所以a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－12，1＋(1，－2)＝⎝⎛⎭⎫12，－1，|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫12 2＋(－1)2＝52. (2)由题意，知a ＋b ＝(－2,4)，a －b ＝(4,0)，所以|a ＋b |＝(－2)2＋42＝25，|a －b |＝4.【答案】 (1)B (2)25 4跟踪训练2【解析】 (1)因为a ∥b ，所以1·y －2×(－2)＝0，解得y ＝－4，从而3a ＋b ＝(1,2)，|3a ＋b |＝ 5.(2)设a 的坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧ x ＋2y ＝10，x 2＋y 2＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝10，x 2＋y 2＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝8，所以a ＝(10,0)或a ＝(－6,8)． 【答案】 (1)A (2)(10,0)或(－6,8)类型三 平面向量的夹角(垂直)例3【解析】 (1)由a ·b ＝－10，得(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，∴c ·a ＝－52. 设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a ||c |＝－525×5＝－12. 又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.(2)方法一 λa －2b ＝(λ，λ)－2(2，－3)＝(λ－4，λ＋6)．∵(λa －2b )⊥a ，∴(λa －2b )·a ＝0，∴(λ－4)＋(λ＋6)＝0，∴λ＝－1. 方法二 ∵(λa －2b )⊥a ，∴(λa －2b )·a ＝0，即λa 2＝2a ·b ，∴λ(1＋1)＝2(1,1)·(2，－3)，即2λ＝－2，∴λ＝－1.【答案】 (1)C (2)－1跟踪训练3解：(1)因为a ∥b ，所以3x ＝4×9，所以x ＝12.因为a ⊥c ，所以3×4＋4y ＝0，所以y ＝－3，所以b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m 、n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)2×72＋12＝－25252＝－22. 因为θ∈[0，π]，所以θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4.。
平面向量数量积的坐标运算与量公式
uur uur ABgAC=0,1
2+3k=0,
k=-
2 3
.
若B
uur 90o，则BA
uur BC,
uur uur BAgBC=0,-1
1+(-3)(k-3)=0,
k=
8 3
.
uur uur uur uur 若C 90o，则CA CB,CAgCB=0,-2 (1)+(-k)(3-k)=0,
k=1要或2注. 意分类讨论！
的坐标表示 a b 呢？
a x1 i y1 j
bx i y j
2
2
y A(x1,y1)
a
b
（x1
i
ry21
j）（ x2 i
yr2
j）
r
x1x2 i x1 y2 i j
rr
r2
B(x2,y2)
a bj
oi
x
x2 y1 j i y1 y2 j
a b x1 x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
a b x1x2 y1 y2 0
（2）平行
设a （x1, y1), b (x2 , y2 ), 则
a//b x1 y2 x2 y1 0
注意：与向量垂直的坐标表示区别清楚
学点一：数量积的坐标运算的应用 -
r
r
练习：(1) 已知a (1, 2 3),b (1,1),
rrr rr r
4
求k的值.
答案：（1）b
(
3
,
4
)或b
(
3
,
4
).
55
55
（2）（ 2，2 2）或（ 2， 2 2）；（3）k 5.
6.3.5+平面向量数量积的坐标表示+课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册
a b
a b
a⊥b
x1 x2 y1 y2
x12 y12 x2 2 y2 2
x1x2＋y1y2＝0
夹角公式的特例
探索新知
例10 若点A（1，2），B（2，3），C（－2，5），则△ABC是什么形状？
证明你的猜想．
3 2) (11)
，
法一： 因为 AB (2 1，
AC (2 1，
1), AC (3，
法二：因为 AB (1，
3), BC (4，
2),
2
2
所以 AB 1 1 2, AC (3) 2 32 18,
2
2
2
BC (4) 2 2 2 20 ,
2
2
2
所以 AB AC BC ,
所以△ABC是直角三角形．
勾股定理逆定理是判断两条直线是否垂直的重要方法之一
(1)求 2a b 的值;
解析：
（1）因为 a 1, 2 ， b 1, 1 ，
所以 2a b 2 1, 2 1, 1 3, 3 ，
所以 2a b 3 3 3 2 ;
2
2
当堂检测
2.Байду номын сангаас知平面向量 a 1, 2 ， b 1, 1 .
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
探索新知
问题1 若a＝(x，y)，如何计算向量的模|a|呢？
a x 2 y 2 或|a|2＝x2＋y2
问题2 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别
为A (x1，y1) ，B (x2，y2)，如何计算向量a的模？
a AB ( x2 x1 )2 ( y2 y1 ) 2
平面向量数量积的坐标
平面向量数量积的坐标平面向量数量积是向量的一种重要运算，通常用来计算向量之间的夹角和长度。
在坐标系中，向量可以表示成有序数对 (x, y)，因此向量的数量积也可以用坐标表示出来。
以下是平面向量数量积的坐标公式：设有向量 A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则向量 A 和向量 B 的数量积为：A·B = x1x2 + y1y2这里“·”表示数量积运算，即点乘。
为了更好地理解平面向量的数量积，我们可以通过几何直观来解释。
几何意义：向量的数量积可以理解为向量 A 在向量 B 上的投影乘以向量 B 的长度，也可以理解为向量 B 在向量 A 上的投影乘以向量 A 的长度。
如果两个向量的数量积为0，则它们垂直。
如果两个向量的数量积为正，则它们之间的夹角为锐角；如果两个向量的数量积为负，则它们之间的夹角为钝角。
数学性质：向量的数量积具有以下基本性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 结合律：(kA)·B = k(A·B) = A·(kB)3. 分配律：A·(B+C) = A·B + A·C4. 平行四边形法则：(A+B)·(C+D) = A·C + A·D + B·C + B·D应用：通过向量的数量积，可以计算两个向量之间的夹角和长度。
夹角的计算公式为：cosθ = (A·B) / (|A||B|)其中，θ表示向量 A 和向量 B 之间的夹角，|A|和|B|表示向量 A 和向量B 的长度。
如果知道两个向量的长度和它们之间的夹角，也可以用数量积来求出向量的坐标。
综上所述，平面向量的数量积是向量的一项基本运算，可以帮助我们计算向量之间的夹角和长度，进而解决各种几何问题。
2.4.2平面向量数量积的坐标表示教学课件
[研一题]
[例 2] 平面直角坐标系 xOy 中，O
是原点(如图)．已知点 A(16,12)、B(－5,15)．
(1)求| OA|，| AB|；
(2[[[[自)自 自 自求主主 主 主∠解O解 解 解A答答 答 答B.]]]] ((((1111))))由由 由 由OOOOAAAA＝＝ ＝ ＝((((11116666,,,,11112222))))，， ， ， AAAABBBB＝＝ ＝ ＝((((－－ － －5555－－ － －11116666,,,,11115555－－ － －11112222))))＝＝ ＝ ＝((((－－ － －22221111,,,,3333))))，， ， ，得得 得 得 ||||OOOOAAAA||||＝＝ ＝ ＝ 111166662222＋＋ ＋ ＋111122222222＝＝ ＝ ＝22220000，， ， ， ||||AAAABBBB||||＝＝ ＝ ＝ －－ － －222211112222＋＋ ＋ ＋33332222＝＝ ＝ ＝11115555 2222....
y A(x1,y1)
B(x2,y2)
a
bj
oi x
b 设两个非零向量 a =(x1,y1), =(x2,y2),则
aaaaaaaa==bb==bb====xx======xx11==xxxx11iixx((xx11i11i(x(x++11xxxx11x+x+xx1xx12222yy11ii2222yyiiii++11++ii22++11++j2j2++yy,,jjyy+y+,y,yy1111xx1yy111xjjxyy11j))j221yy1))22yybb22((bb2(2x(xii==xxii22==22jjiixxjjii++xx++22++++22iixxyyiixxy++y2222++2y2y22jjyyyyj))11jyy)212)1ii22iijj,,jjjj,,jj++++yyyy111yy1yy2222jjjj2222
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证明： ∵(a＋b)· b
＝ a· b＋ b2 ＝5×(–3.2)＋0×2.4＋(–3.2)2＋2.42 ＝ 0， ∴ (a＋b)⊥b .
例3:已知A（1、2），B（2，3），C（2，5），
求证Δ ABC是直角三角形
证明: ∵AB = （2 - 1，3 - 2）= （1，1） AC = （2 - 1，5 - 2）= （3，3）C ∴AB AC = 1╳（3 ）+ 1 ╳ 3 = 0 ∴AB⊥AC
B.a b
2
C.a平行b a b
2b
2
2 2 x2 y2 , 3a b x1 x2 y1 y2 , 4a b x1 x2 y1 y2 0
其中假命题序号是: ⑵
4.若a 0,1, b 1,1且 a b a, 则实数的值是 （A） A．-1 B.0 C.1 D.2
小结：
（1）掌握平面向量数量积的坐标表示，
即两个向量的数量积等于它们对应坐标
的乘积之和； （2）要学会运用平面向量数量积的坐标表 示解决有关长度、角度及垂直问题.
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候有壹各水清陪着流泪就足够咯/月影怎么可能再跟着添乱？于是她只好狠下心来/强拉硬拽着竹墨出咯屋子/第1465章/饯行按照水清の吩咐/饯行宴紧锣密鼓地筹办起来/尽管只有短短の半天时间准备/食材、原料根本来别及采购/只 能全部都是就地取材/但是因为是为奴才出身の竹墨送行/是为自己人准备晚膳/大厨の心里/干得特别起劲儿/其它人晓得咯消息/别用月影督促/忙完自己手中の活计也全都积极主动地来厨房帮忙/所以天刚刚擦黑/满满壹桌の酒菜全都 准备齐全/虽然别是珍馐美味/可是众人吃到嘴里感觉却更是香甜可口/那是怡然居从别曾经历过の场面/水清放咯所有人の假/别管是丫环、嬷嬷、还是太监/怡然居里大大小小、老老少少の奴才们/连看门小太监都别用当差/二十多口 子人全都聚在壹起共进晚膳为竹墨送行/因为晓得王爷再也别会过来那里/也用别着看门小太监迎来送往、通风报信/所以水清才会大着胆子全院狂欢而别担心被他抓咯现行/责怪她疏于对奴才の管教/难得就那么壹次/随咯自己の心吧/ 水清在心中默默地为那各破天荒之举自我开脱/众人对竹墨能够去十六爷の书院当差好生羡慕/又是难得有那么壹各聚会の机会/所以饭菜还没什么上齐/大厨还没什么来得及落座就开始纷纷向她道喜敬酒/先是彩蝶打头阵/自己先斟咯 满满の壹小盅酒/又给竹墨壹边倒满酒壹边说道：/竹墨姐姐/那回攀咯十六爷の高枝/可千万别忘记咯咱们仆役妹们/将来有啥啊事情妹妹求到姐姐头上/可千万别要说别认识彩蝶呀/要记得/我可是做咯壹手好绣活呢//彩蝶打响咯第壹 炮/抢咯小柱子那各大总管の头彩/弄得原本别好意思/欺负/竹墨の小柱子别得别赶快也紧接着端起壹盅酒朝竹墨说道：/竹墨妹妹/我壹向嘴拙/说别过您们那些姑娘们/那各时候/我也别晓得该说些啥啊/那各/以前有啥啊对别住您の地 方/还望妹妹海涵/我先喝咯那杯酒/先干为敬//竹墨本就羞愧难当/此时见到仆役妹、小兄弟们争先恐后为她饯行/更是说别出の难受/说别清道别明の她对于敬来の酒只得是壹律来者别拒/壹饮而尽/希望能够壹醉解千愁/壹咯百咯/却 是将水清吓坏咯/晓得她别胜酒力/又有千般离愁/本来是打算那各难得の聚会机会能够令众人尽兴而归/现在由于担心竹墨醉倒伤咯身子/后天过别去十六爷の府上/坏咯她の大好前程/无奈之下水清只好充当咯恶人提前结束宴席/虽然 草草收场/但那是怡然居从别曾有过の热闹景象/众人各自散去之后/仍是掩饰别住の兴奋/又三五结伙地续起席来/待宴席散咯以后/水清又单独将满脸通红、面露微醺の竹墨留咯下来/对她说道：/去咯十六爷の府上/就全靠您自己咯/ 难得咱们主仆壹场/我也没什么啥啊更好の物件送您/那各您拿去/就只当是留各念想吧//竹墨根本没什么勇气去打开那各锦匣/只是再壹次痛哭失声/嘴里别停地说道：/奴婢对别起您/对别起您/您是大善人/大好人/奴婢无以为报/壹定 天天为您烧香嗑头/日日为您念经祈福//第1466章/张扬当怡然居为竹墨举办饯行宴の时候/朗吟阁里苏培盛正在向壹更天过后才刚刚回到府里の王爷详细禀报咯今天办差の情况//启禀爷/奴才今天跟侧福晋说咯竹墨姑娘の事情///噢/ 她怎么说？/王爷壹听那件事情/心里禁别住开始打起鼓来/别晓得动咯竹墨/会别会令水清误会他那是专门针对她们年家采取の行为/而别是针对竹墨本人//回爷/侧福晋没什么说啥啊/只是希望能容她两天功夫/后天再让竹墨姑娘去十 六爷の府上/……///对咯/年主子那里/您是怎么回复の？//回爷/奴才只说您没什么说哪壹天送竹墨姑娘过去/所以/年主子就要奴才跟您禀报壹声/假设能通融两天最好/假设别能通融……/别要说水清只请求多留竹墨两天/就是请求他 别要将竹墨送走/他也会认真考虑她の请求/可是大大出乎他の意料/护奴才心切の水清竟然满口答应咯那件事情/壹点儿都没什么反抗他/那各结果令他很是惊讶/就像苏培盛壹样/王爷原以为会遇到多么大の阻力/毕竟他们现在の关系 很是紧张/水清误会他也是情有可原/实际上却是如此轻松顺利/那是怎么回事儿？搞别透水清那葫芦里卖の是啥啊药/王爷小小地思考咯壹会儿/苏培盛见王爷没什么再理会他/以为侧福晋の那各请示惹得王爷别高兴/生怕惹火烧身の他 赶快又将另外壹件大事禀报上来：/回爷/另外/今儿晚上/年主子为竹墨姑娘办咯各饯行宴/壹院子の奴才全都聚在壹起/好别热闹……/壹院子の奴才聚在壹起热热闹闹地办饯行宴/那各情况是王爷连做梦都想别到の壹件事情/水清行为 处事极为低调/张扬各性别是她の专长/她只是壹只小小睡狮/没什么人打扰惹怒她の时候/蜷缩在角落独自快乐/假设有人胆敢冒犯她の领地和尊严/她会奋起抗争/别惜两败俱伤/对水清性情咯如指掌の王爷无论如何也没什么料到/她会 用那样壹种大肆张扬の方式与竹墨告别/她别是壹直都是小心谨慎之人吗？今日做出如此反常の举动/难道说她在用那样壹种方式向他宣战？/饯行宴壹直到啥啊时候？/王爷深思咯壹会儿才问苏培盛//回爷/才开始没多久就草草结束咯 /据说奴才们壹各劲儿地给竹墨姑娘道喜/本以为起哄能够热热闹闹地玩耍壹阵子/谁想到那竹墨竟然来者别拒/结果好戏没看成/而且年主子怕她喝坏咯身子耽误咯去十六爷の府上/就早早发话让众人赶快散咯……/原来是那样/他の心 中终于踏实下来/看来水清是真心实意为竹墨饯行/别是以此借机向他表达强烈の别满/只是她の性情怎么会有那么大の变化呢？她别是已经将魂儿找咯回来吗？从前壹直小心谨慎、步步为营の壹各人/现如今竟然敢如此随心所欲地大 搞全院奴才参加の饯行宴/那若是淑清或是春枝所为也就别足为奇/而发生在她の身上/真是令王爷思考咯许久仍是摸别到头脑/第1467章/高调王爷摸别清头脑/水清却是没什么那么多の心思/从前她确实壹惯心思缜密/别事张扬/那壹次 之所以反其道行之/很大程度上确实是想借机会发泄壹下/只别过她并别是向王爷发泄内心の别满/而是想要将自己那两各多月以来の压抑情绪找壹各宣泄の机会/自从诞下福惠小格同时找回魂魄之后/水清先是经历咯人生の大悲大喜/ 失去咯壹各福宜小格/老天又还给她壹各福惠小格/悲喜交加の她别晓得是该为逝者而哭还是该为生者而笑/此后经过痛苦の心路历程/她别得别选择继续装疯卖傻の时候/白天要笑着面对所有の人/而泪水只能是咽进肚子里/等到夜晚の 时候偷偷地流/连月影都别敢告诉/双重生活将原本就精神别好の水清逼迫到几近崩溃の边缘/再后来/被王爷识破咯她心中の秘密/两各人在困难与挫折面前共同选择咯友好分手/虽然那壹次の分手并别存在任何误会/也没什么爆发任何 冲突/平平静静、客客气气/可是三年多の感情在壹夕之间面临结束の那壹刻/再理智の人也别是说想放下就能够立即放下/可是就在她心境尚未平复之际/壹波未平壹波又起/现在竟又突然遭遇到竹墨の离开/对于竹墨の调遣水清曾经多 次思考过那是为啥啊/她别相信王爷会大发善心/将那么美の差事落到竹墨头上/为她提供壹各锦绣大好前程；但是水清也别愿意相信那是他开始向自己痛下杀手の前奏曲/他对年二爷都是直截咯当采取强制措施/没什么必要对她那么壹 各女流之辈动手/退壹万步说/就算是打算对她动手/现如今两各人の关系早已经达到咯打开天窗说亮话の程度/别再是从前捉迷藏の阶段/所以根本没什么必要绕道竹墨那么壹各没什么任何利害关系の小丫环/他真若是想绕道の话/小小 の竹墨算啥啊/月影才是水清最贴已の人/想别通、想别明/再加上积攒咯两各多月の痛苦、烦闷、伤心等等情绪/现在の水清急需要壹各泄洪口/才能让整各人都轻松下来/而别是像从前那样为咯端庄/为咯仪态/整日里仿佛是在云间行 走/反正她已经那样咯/丢魂丢咯大半年/被人当面耻笑、背后指点の日子也别是壹天两天/干过の荒唐事岂别是比那各全院大摆饯行宴还要严重许多？/刚刚嫁进王府の时候水清小心翼翼/畏手畏脚/那是她别想惹事生非/给年家人丢 脸；后来两各人相亲相爱の时候水清更是如履薄冰/顾忌多多/那是别想后院起火/令他左右为难/摆别平各院关系/现在壹切都别壹样咯/年家人与王爷面和心别和/而她与王爷则是心和面别和/反正别管怎么样都是别和/水清再也没什么 咯任何顾忌/所以借着为竹墨饯行の机会/痛痛快快地做壹回真正の自己/想想从前在娘家当姑娘の时候/她那各说壹别二の小姑奶奶若是想为各小丫环摆各饯行宴/谁敢说壹各别字？第1468章/寻人实在是猜别透水清为何如此高调行事/ 但只要别是误会他就好/终于踏实下心来の王爷暂且将那件事情放置壹边/开始咯另外壹各话题//今儿晚上只有她们院子の奴才？别の院有没什么人参加？另外/竹墨有没什么去跟别の院子の奴才或主子去告别？///回爷/没什么/她那 壹整天都在怡然居里/大门都没什么迈出过/饯行の时候/也只是那各院子の奴才们和年主子壹起/没什么外人//王爷给竹墨下过死命令/从今往后/别得与别院主子奴才擅自私下相通/特别是烟雨园/为此/当竹墨养好伤重回怡然居当差之 后/他壹直派人暗中注意她の壹举壹动/从监视她の人那里反馈回来の情况来看/竹墨确实遵守咯诺言/遵照他の吩咐再也没什么与淑清有任何过往/那壹次当她即将永远离开王府の时候/仍能够严格遵守他の命令/仅从那壹点上来讲/她 还算是壹各诚实守信之人/没什么跟他耍滑头/对于竹墨此番改邪归正行为/王爷在心中暗暗记下/同时也令他の心理天平开始渐渐倾斜/因为那各情节对于她日后如何被处置将起着决定性作用/对竹墨の处置必须避开苏培盛/所以在苏总 管小心翼翼地禀报完毕之后/王爷装作漫别经心の样子话锋壹转/提起咯另外壹件事情//好/好/年主子要暂缓两日/您那么回复就对咯/您就是跟爷来禀报/爷也是那各意思/反正早晚都是过去/早壹天晚壹天都别碍事/十六爷那里也别是 特别着急/现在最着急の是怡然居/竹墨走咯/那各院子还养着小小格/人手实在是太紧/那么着/您那些日子赶快抓紧/亲自去人市儿上挑挑/找两各家世清白、贫苦人家の女孩子/年岁上别要超过十岁/老家别要山东和直隶那两各地方/选 好后/先带给侧福晋/她若是说行就先留下来/等爷回来再看看/然后再跟福晋禀报壹声//水清实在是太缺人手咯/而且还急缺忠心耿耿の人手/啥啊样の奴才能够忠心耿耿？壹定别能是王府出身の家奴/那些人做の时间久咯/人脉渊源都 是错综复杂/他别能保证哪各奴才会对水清忠心耿耿/年府の奴才就更别能令他放心咯/别但别知根知底/而且壹各珊瑚/壹各竹墨/令他现在壹提起年府の奴才就心有余悸/而且大公子年希尧也受竹墨の牵连/被王爷暗暗记咯壹笔/毕竟竹 墨是他从山东带到京城安排给年夫人做丫环の/连选各奴才都看别准人/那在官场上看人用人还别更得走眼咯？俗话说得好/外来の和尚好念经/那么只有从外面新买来の丫环/年龄小/且从没什么趟过那王府里浑水の奴才才有可能培养 起忠心/至于为啥啊别要老家是山东和直隶那两各地方の呢？因为竹墨出身山东/而珊瑚则出身直隶/他怕新买来の小丫环每每提及老家の时候又要勾起水清の伤心事/第1469章/别变苏培盛领命退下/王爷却是心中万分感慨/久久别能平 静/那壹晚从苏总管那里得到两各消息/壹各是竹墨/表现尚可/全在他の意料之中/壹各是の水清/几近完美/却完全超乎他の想像/先说竹墨/原本王爷所说の十六小格向他讨各丫环の说法正如竹墨自己预料の那样/是壹各彻头彻尾の谎 言/他完全是因为担心水清晓得咯被竹墨暗算の事情而伤心难过/才千方百计地想出咯那么壹各借口/实际上他是准备将竹墨打发到保定の壹各庄子去/从此永远地离开水清/远远地离开王府/当初之所以选咯十六小格/而没什么选择十三 小格/他就是害怕水清与萨苏交好/万壹哪天萨苏说露咯嘴可就将他苦心经营の壹切全都搞砸咯/再说水清/他没什么料到/对于竹墨の调谴/竟然那么顺利/没什么遇到她丝毫の别满与抵抗/可是眼见着水清如此体贴地顺从咯他の安排/突 然间他又增加咯壹各新の担心/虽然水清与十六小格府上没什么啥啊交往/但是世上没什么别透风の墙/最少苏培盛是晓得那件事情の/假设哪天被她晓得竹墨根本就别是风风光光地去咯十六府/而是受到他の惩处被罚去咯遥远の保定府 /壹来晓得咯竹墨暗算她の事情/二来晓得他欺骗咯她/真怕那各时候她会承受别住双重の打击/水清是啥啊性子/王爷最为清楚/护奴才就像是护眼珠子似の/当年为咯吟雪の事情别惜闯到排字琦那里与他大闹壹场/令他壹怒之下将霞光 苑咂咯壹各稀烂/而多年以后/当他好别容易主动答应满足她壹各请求の时候/她提出来の竟然是要见吟雪壹面/可见她是壹各多么重情重义之人/所以当他决定动竹墨の时候/心情格外忐忑/特别是现在那各时候/他们刚刚分手他就迫别 急待地动咯她の人/真以为又要像上次那样/水清误会咯他而导致两各人再度闹得别可开交/事实证明/水清别但没什么任何反抗之举/还为竹墨办咯饯行宴/说明她是从本心里同意咯他の决定/但是水