2009年数学一试题答案、解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-等价无穷小，则（）

（A ）11,6a b ==- （B ）11,6

a b == （C ）11,6a b =-=- （D ）11,6

a b =-= 【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则。参见水木艾迪考研数学春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义》（秦华大学出版社）例 4.67，强化班教材《大学数学强化 299》16、17 等例题。 【答案】A

22220000sin sin 1cos sin lim lim lim lim ln(1)()36x x x x x ax x ax a x a ax x bx x bx bx bx

→→→→---===---- 23

0sin lim 166.x a ax a b b ax a

→==-=- 36a b =-意味选项B ，C 错误。

再由2

01cos lim 3x a ax bx →-=-存在，故有1cos 0(0)a ax x -→→，故a=1，D 错误，所以选A 。 （2）如图，正方形{(,)|||1,||1}x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域，

(1,2,3,4),cos K K K D D k I y xdxdy ==⎰⎰，则14

max{}K K I ≤≤=（）

【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。对称性与轮换对称性在几分钟的应用是水木艾迪考研数学重点打造的技巧之一。参见水木艾迪考研数学春季班教材《考研数学通用辅导讲义----微积分》例 12.3、12.14、12.16、12.17，强化班教材《大学数学同步强化 299》117 题，以及《考研数学三十六技》例 18-4。

24,D D 关于x 轴对称，而cos y x -即被积函数是关于y 的奇函数，所以2413;,I I D D =两区域关于y 轴对称，cos()cos y x y x -=即被积函数是关于x 的偶函数，由积分的保号性，13{(,)|,01}{(,)|,01}2

cos 0,2cos 0x y y x x x y y x x I y xdxdy I y xdxdy ≥≤≤≤-≤≤=>=<⎰⎰⎰⎰，所以正确答案为A 。

（3）设函数()y f x =在区间[-1,3]上的图形为

则函数0()()x F x f t dt =⎰为（）

【解析与点评】考点：函数与其变限积分函数的关系、函数与其导函数之间的关系，变限积 分函数的性质（两个基本定理），定积分的几何意义。由()y f x =的图形可见，其图像与 x 轴及y 轴、x=0所围的图形的代数面积应为函数()F x ，由于()f x 有第一类间断点，()F x 只能为连续函数，不可导。

(1,0)x ∈-时，()0f x >且为常数，应有()F x 单调递增且为直线函数。

(0,1)x ∈时，()0,()0f x F x <≤，且单调递减。(1,2)x ∈时，()0,()f x F x >单调递增。(2,3)x ∈时，()0,()f x F x =为常值函数。正确选项为D 。【答案】D 。

（4）设有两个数列{},{}n n a b ，若lim 0n n a →∞

=，则（） （A ）当1n n b ∞=∑收敛时，1n n n a b ∞=∑收敛 （B ）1n n b ∞=∑发散时，1n n n a b ∞=∑发散