方程思想

方 程 思 想

石家庄市第九中学 姚遥 李雅馨

方程思想不仅是最基本的也是最重要的数学思想之一，它是从对问题的数量关系分析入手，将问题中的条件转化为数学模型（这种模型可以是方程、不等式或方程与不等式的混合组成），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获得解决的思想.利用方程思想解决数学问题时，首先要具备正确列出方程的能力，其次要具备用方程思想解题的意识.方程思想在高中数学体系中的应用主要体现在数列、解析等方面.

例1. (1)已知函数)(x f 满足.2)(2)(x x f x f =-+，求).(x f 的解析式.

解：此题显然是关于)(x f 与)(x f -的方程，凭借已知中的一个方程是无法求解出)(x f 的，抓住已知中x -与x 互为相反数，以x -代换x 再造一个方程x x f x f 2)(2)(-=+-，得到相当于两个“未知数”)(x f 与

)(x f -的两个方程，再进行求解.易得所求x x f 2)(-=.

这里核心是“轮换”，即以x -代换x ，再造一个方程.类似地有，若函数)(x f 满足，x x f x f 2)(2)1(=+-，求解)(x f ，我们应以x -1代换x 得)1(2)1(2)(x x f x f -=-+再利用方程思想求解. 还有，若

,)(2)1

(x x f x

f =+求)(x f 等都需要方程思想求解. (2)已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tan α

tan β＝________.

解：

由已知得⎩⎪⎨⎪⎧

sin αcos β＋cos αsin β＝23，

sin αcos β－cos αsin β＝1

5，

∴sin αcos β＝1330，cos αsin β＝7

30， ∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝137.

这里把两个已知视为关于βαcos sin 与βαsin cos 的二元一次方程组是解题的关键.

（一）方程思想在数列中的应用

利用方程思想解决数列问题时,基本的解题思路是待定系数法，通过设元,寻找已知与未知之间的等量关系,构造方程或方程组,然后求解方程完成未知向已知的转化。

例2.设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，

已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.

(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(2)当d >1时，记c n ＝a n b n

，求数列{c n }的前n 项和T n .

[解] (1)由题意有，⎩⎨

⎧

10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，

即⎩⎨

⎧

2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，

解得⎩⎨⎧==21

1

d a 或⎩⎨⎧

a 1

＝9，d ＝2

9.

故⎩⎨⎧

a n ＝2n －1，

b n ＝2

n －1

或⎩⎪⎨

⎪⎧

a n ＝

19n ＋，

b n

＝9·⎝ ⎛⎭

⎪⎫29n －1

.

(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝

2n －1

2n －1

，于是 T n ＝1＋32＋522＋723＋92

4＋…＋

2n －1

2n －1

，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －1

2n .② ①－②可得

12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32

n ，

故T n ＝6－

2n ＋3

2n －1

. （二）方程思想在解析几何中的应用

方程思想在解析几何中的应用主要体现在对圆锥曲线参数a 、b 、c 的求解上。

例3.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的半焦距为

c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为1

2c .

(1)求椭圆E 的离心率；

(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝5

2的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．

[解] (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到直

线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bc

a

，

由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.

(2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2

)x 2

＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2

－4b 2

＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－

8k

k ＋

1＋4k 2

， x 1x 2＝

k ＋

2

－4b 2

1＋4k 2

.

由x 1＋x 2＝－4，得－

8k

k ＋1＋4k 2

＝－4，

解得k ＝1

2

.从而x 1x 2＝8－2b 2.