2013届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：10.3排列数、组合数公式

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• 1. 公式的应用体现为三种形式，即正向应用、 逆向应用和变式应用，其中变式应用是较难掌 握的，它要根据实际问题的需要进行变式，如 利用组合数性质的变式：-1 C m - C m 求和. m Cn n 1 n • 2. 对含排列数、组合数的代数式的计算，要注 意利用阶乘的性质、组合数性质和提取公因式 等手段简化运算过程.
An mAn An1
20
• (2)因为 • • • • • 所以
m 1 m1 m 1 n! Cn n-m n - m (m 1)!(n - m -1)! n! m Cn ， m !(n - m)!
n - m 1 m-1 n - m 1 n! Cn m m (m -1)!(n - m 1)! n! m ， Cn m !(n - m)!
第十章 排列、组合、 二项式定理和概率
第 讲
1
●排列数、组合数基本公式，阶 考点 乘的计算公式 搜索 ●组合数的两个基本性质
以函数、方程、不等式及实际问 高考 题为背景，考查排列数、组合 猜想 数公式的应用.
2
• • • • • • •
1. n的阶乘n!=①________________. n(n-1)(n-2)…2·1 m n! 2. An =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=②________. m (n - m)! n! An =③__________. 3. C m = n m m !(n - m)! Am 4.组合数的两个性质是:④__________; m n-m Cn Cn ⑤_________________. m m-1 m Cn Cn Cn 1 5.规定0!＝⑥_____； 0=⑦_____. 1 Cm 1 6.n(n-1)!=⑧_____. n!
3
• 1.若n∈N*，且n<10， • 则(10-n)(11-n)…(100-n)等于( 10- n 90 • A. A100-n B. A100-n
C)
• 解：积的个数为(100-n)-(10-n)+1=91. • 故选C.
4
C. A
91 100-n
D. A
92 100-n
• • • • • • •
• 故②能推广.
m! x( x -1)( x - 2) ( x - m 2) (m -1)! x( x -1)( x - 2) ( x - m 2) ( x - m 1m 1) (m -1)! ( x 1) x( x -1) ( x - m 2) m! Cxm1.
，
16
• • • • •
化简得n2-11n-12＜0，解得-1＜n＜12. 因为n≥5，且n∈N*， 所以M={5，6，7，8，9，10，11}， 从而其子集的个数为 0 1 7 =27=128(个). C C C
7 7 7
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参 考 题
题型 证明排列数、组合数恒等式
• 1. 证明下列等式： • (1) • (2)
8
题型2
解排列数、组合数方程
• 2. 解下列方程： -7 2 • (1) 3Cxx-3 5 Ax-4； • (2) C n1 C n-1 C n-2 C n .
n3 n1 n n1
• 解：(1)方程可化为
• 即
• • 经检验，x=11是原方程的解.
3( x - 3) 5 ，所以(x-3)(x-6)=40， 4! x-6 2-9x-22=0，所以x=11或x=-2(舍去). 即x
15
• •
• 求集合M共有多少个子集？
1 1 2 设集合 M {n | 3 - 4 5 , n N *} ， Cn Cn Cn
• 解：不等式可化为 6 24 • n(n -1)(n - 2) n(n -1)( n - 2)( n - 3) • 240 • (n 5) n(n -1)(n - 2)(n - 3)(n - 4) • 40 • 即 1- 4 ， n - 3 (n - 3)(n - 4)
• 又n∈N*，故n=6.
1 19
3n 13 n ，所以 17 n 13 . 3 2 17 - n 2n
18 17 16 11 C19 C18 C17 C12
C C C C
1 18 1 17
1 12
19 18 17 12 124.
6
题型1 排列数、组合数的四则运算 • 1. 计算下列各式的值：
• (1)
4 A84 A84 5 A84 5 A84 5 • 解：(1)原式= . 5 5 5 4 4 A9 - A9 3 A9 3 9 A8 27 2 3 3 C100 C100 C101 1 1. • (2)原式＝ 3 3 A101 C101· 3! 6 3
m m 2
C
n m n 1
n m n
)
m 1 m m!(Cm n Cm n ) m 1 m n 1
m!C
.
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x( x -1) ( x - m 1) • 3. 规定 C ，其中 m! m x∈R，m是正整数，且 0 =1，这是组合Cn C
m x
10
•
某参观团共18人，从中选出 2人担任联络工作，要求选出的2人中 至少要有一个男人，而其中有2个老年 男人不能入选，已知符合要求的选法 共有92种，求该参观团男女成员各多 少人？
11
• • • • • • •
解：设参观团有女人n个，则男人 有18-n个，且0＜n＜15，n∈N*. 1 1 2 由已知 ， CnC16-n C16-n 92 1 所以n(16-n)+ (16-n)(15-n)=92， 即n2-n-56=0， 2 所以n=8或n=-7(舍去). 故参观团有男人10人，女人8人.
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• (2)原不等式可化为 21! 21! •
• 即 • • 即
21 ！ (25 - x)！x - 4)！(23- x)!( x - 2)! (22 - x)！x -1)！ ( ( 1 1 (25 - x)(24 - x) ( x - 2)( x - 3)，
，
1 1 23 - x x -1
(25 - x)(24 - x) ( x - 2)( x - 3) 23 - x x -1 4 x 22
，
14
• 由此解得，4≤x＜12(x∈N*).所以原不等 式的解集是｛x|4≤x＜12，x∈N*｝. • 点评：解排列式、组合式型的不等式有 两个关键之处：一是先转化为常规的不 等式，二是符合公式意义的自然数解.
98 97 A A C100 C100 . ;(2) 3 A -A A101
5 8 6 9
4 8 5 9
• 点评：排列数、组合数公式的化简与运 • 算，就是公式的顺用、逆用和变用的结合.
7
• 计算： C
3n 13n
C
3n-1 12n
C
3n-2 11n
C
17-n Fra Baidu bibliotek 2n
• 解：据题意， • 所以原式
( x - 3)! ( x - 4)! 3 5 ( x - 7)!4! ( x - 6)!
，
9
• • • • • •
1 (2)方程可化为 Cn23 Cn21 Cn2 Cn1 (n 2)， 1 2 1 2 即 Cn22 Cn2 Cn22 Cn，所以 Cn2 Cn ， 即 n 2 n(n -1)，所以n2-3n-4=0. 2 所以n=4或n=-1(舍去). 故n=4是原方程的解. 点评：解排列数、组合数方程时，一般先把排 列式、组合式化成全排式(阶乘式)，然后约去 一些公共因式，得到基本方程，最后求得的解 需符合排列式、组合式的意义.
• 解： (1)因为 • 所以原式
k (k 1) -1 1 1 (k 1)! ( k 1)! k ! ( k 1)!
，
•
1 1 1 1 1 (1- ) ( - ) 2 ！ 2 3! ！ n! ( n 1)! 1 1(n 1)!
x
数
广.
(n、m是正整数，且m≤n)的一种推
3 C8 的值；
m-1 n m n 1
• (1)求
m n
C C
m n
n -m n
• (2)组合数的两个性质：① C C C 是否都能推广到
C
m x
；②
(x∈R，m是正整数)的
情形？若能推广，则写出推广的形式并给
出证明；若不能，则说明理由.
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• • • • • •
解：(1) (2)性质 ①不能推广. 例如取x= 时， C 1有定义， 2 2 2无意义. -1 但 C2 性质②能推广，其推广形式是 (x∈R，m是正整数). m m-1 m Cx Cx Cx1
3 -8
-8 (-9) (-10) C -120 . 3!
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0 • 证明：当m=1时， C1 Cx x 1 C11 . x x • 当m≥2时， x( x -1)( x - 2) ( x - m 1) m m -1 • Cx Cx
m An 1
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• • • • • • •
证法2：从a1，a2，…，an+1这n+1个不 同元素中任取m个元素作排列， 共有 Am 个排列. n1 其中含有元素a1的排列数 为 1 m-1 m-1 ；不含有元素a1的 Am An mAn 排列数为 . m An 由分类计数原理，得 m m-1 m .
2.若 S A1 A2 A3 A4 A100 ， 1 2 3 4 100 则S的个位数字是( C ) A. 8 B. 5 C. 3 D. 0 解： =1， =2， 3 =6， 4=24， 1 2 A3 A1 A4 A2 而 ， 6，…， 100的个位数字均为0， 5 A5 A6 A100 从而S的个位数字是3.
A mA
m n
m-1 n
A
m n 1
；
m 1 m1 n - m 1 m-1 Cn Cn n-m m
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证明：(1)证法1：
A mA
m n m -1 n
n! n! m (n - m)! (n - m 1)! n !(n - m 1) n! m (n - m 1)! (n - m 1)! n! (n - m 1) m (n - m 1)! n !(n 1) (n 1)! (n - m 1)! (n 1- m)!
m 1 m1 n - m 1 m-1 Cn Cn n-m m
.
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题型
• (1) • (2)
化简、求和问题
• 2. 化简下列各式：
1 2 n + ++ ; 2！ 3! (n 1)! m ! (m 1)! ( m 2)! ( m n)! . 0! 1! 2! n!
.
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(m n)! (m 1)! (m 2)! • (2)原式 m ! 1 m! m!2! m !n ! 0 1 2 n m!(Cm1 Cm1 Cm 2 Cm n ) m!(C m!C
m 1 m 2
C
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题型3
• • • • • • •
解排列数、组合数不等式
3. 解下列不等式: (1) Ax 6 Ax;-2 (2) C x-4 C x-2 C x-1. 21 21 21 9 6 解： (1)原不等式可化为 9! 6 ，即 9 8 7 ！ 6 6， (9 - x)! (8 - x)！ 9- x 得-75＜x＜9. 又1≤x-2≤6，故3≤x≤8，x∈N*. 所以原不等式的解集是{3，4，5，6，7，8}.
5
• 3.组合数 C r 1 •
A. n 1 C. nrC
r -1 n -1
r (n＞r≥1，n、r∈Z)恒等于( n
) D
C
r -1 n -1
B. ( n 1)( r 1)C n r -1 D. Cn-1 r
r -1 n -1
• 解：由组合数的变形公式得
n r -1 r Cn-1 C.n r