全等三角形的性质和判定

全等三角形的性质和判定

要点一、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点二、对应顶点,对应边，对应角

1. 对应顶点，对应边，对应角定义

两个全等三角形重合在一起,重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.

要点诠释：

在写两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应位置上,这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC ≌△DEF ，其中点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点；AB 和DE ，BC 和EF,AC 和DF 是对应边；∠A 和∠D ，∠B 和∠E ，∠C 和∠F 是对应角.

要点三、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；

全等三角形的对应角相等.

要点四、全等三角形的判定

（SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ）

全等三角形判定一（SSS ，SAS)

全等三角形判定1-—“边边边”

三边对应相等的两个三角形全等。（可以简写成“边边边”或“SSS ”）。 要点诠释:如图，如果''A B ＝AB,''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .

要点二、全等三角形判定2——“边角边”

1. 全等三角形判定2-—“边角边"

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边"或“SAS ”).

要点诠释：如图,如果AB ＝ ''A B ,∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.

2。 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。

如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合,故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。

【典型例题】

类型一、全等三角形的判定1——“边边边”

1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．

求证：RM 平分∠PRQ ．

证明:∵M 为PQ 的中点（已知）,

∴PM ＝QM

在△RPM 和△RQM 中,

()(),,

RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩

已知公共边 ∴△RPM ≌△RQM(SSS ）．

∴∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）．

即RM 平分∠PRQ.

举一反三：

【变式】已知:如图，AD ＝BC ，AC ＝BD 。试证明:∠CAD ＝∠DBC 。

类型二、全等三角形的判定2——“边角边”

2、已知：如图,AB ＝AD ，AC

＝AE,∠1＝∠2．

求证:BC ＝DE ．

证明: ∵∠1＝∠2

∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE

在△ABC 和△ADE 中

AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ABC ≌△ADE （SAS ）

∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）

3、如图,将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB,EB ＝DB,∠ABC ＝∠EBD ＝90°）,连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系,并证明你的结论．

证明:延长AE 交CD 于F,

∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形

∴AB ＝BC ，BD ＝BE

在△ABE 和△CBD 中

90ABE CBD BE BD ⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩

∴△ABE ≌△CBD （SAS ）

∴AE ＝CD ，∠1＝∠2

又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等)

∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°

∴AE ⊥CD

举一反三：

【变式】已知：如图，PC ⊥AC ，PB ⊥AB ，AP 平分∠BAC ，且AB ＝AC ，点Q 在PA 上，

求证:QC ＝QB

类型三、全等三角形判定的实际应用

4、“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝，他根据DE ＝DF ，EH ＝FH,不用度量，就知道∠DEH ＝∠DFH ．请你用所学的知识证明．

【答案与解析】

证明：在△DEH 和△DFH 中，

EH FH DH DH ⎪⎨⎪=⎩

＝

∴△DEH ≌△DFH （SSS)

∴∠DEH ＝∠DFH ．

一、选择题

1。 △ABC 和△'''A B C 中，若AB ＝''A B ，BC ＝''B C ,AC ＝''A C 。则（ ）

A.△ABC ≌△'''A C B

B.△ABC ≌△'''A B C

C 。 △ABC ≌△'''C A B

D 。 △ABC ≌△'''C B A

2. 如图,已知AB ＝CD ，AD ＝BC ，则下列结论中错误的是（ ）

A.AB ∥DC

B.∠B ＝∠D C 。∠A ＝∠C D.AB ＝BC

3. 下列判断正确的是（ )

A 。两个等边三角形全等

B.三个对应角相等的两个三角形全等

C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等

D.直角三角形与锐角三角形不全等

6. 如图,已知AB ⊥BD 于B,ED ⊥BD 于D ，AB ＝CD ，BC ＝ED ，以下结论不正确的是（ ）

A.EC ⊥AC B 。EC ＝AC C.ED ＋AB ＝DB D.DC ＝CB

二、填空题

9. 如图，在△ABC 和△EFD 中,AD ＝FC ，AB ＝FE ，当添加条件_______时,就可得

△ABC ≌△EFD （SSS ）

10。 如图，AC ＝AD ，CB ＝DB ，∠2＝30°,∠3＝26°，则∠CBE ＝_______.